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立体几何初步--高中数学一轮复习人教A版专题特训
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．如图，这是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下四个结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，C是的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的表面爬到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是( )
A． B．4 C． D．6
3．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
4．如图所示，梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形ABCD的面积为( )
A．1 B． C． D．3
5．若棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为( )
A.26 B.28 C.30 D.32
6．在正三棱锥中，，，D是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A． B． C． D．
7．已知A,B,C三点不共线,O为平面外一点,下列条件中能确定M,A,B,C四点共面的是( )
A. B.
C. D.
8．如图，已知正方体的棱长为4，E是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为( )
A． B．18 C． D．36
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．如图,三棱柱中,底面三角形是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述错误的是( )
A.与是异面直线 B.与AE共面
C.AE与是异面直线 D.AE与所成的角为
10．正方体棱长为1，若P是空间异于的一个动点，且，则下列正确的是( )
A.平面
B.存在唯一一点P，使
C.存在无数个点P，使
D.若，则点P到直线的最短距离为
11．已知某圆台的上，下底面的半径分别是3和4，且该圆台的上，下底面的圆周都在半径为5的球O的球面上，则该圆台的体积可能是( )
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．圆锥的全面积为，则它的体积的最大值为____．
13．底面直径为2的圆锥，它的轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为___________.
14．如图所示，在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，，，D是的中点，点E在棱上，要使平面，则________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．正方体中,M,N,Q,P分别是AB ,BC,,的中点.
(1)证明：M,N,Q,P 四点共面.
(2) 证明：PQ,MN,DC三线共点.
16．如图,已知四棱锥的底面是直角梯形,,,,且,．
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角所成平面角的正弦值．
17．如图，在三棱柱中，，，侧面为正方形，D为棱的中点，点E为棱上一点，且平面．
(1)证明：平面平面；
(2)求的值；
(3)若，求直线与平面所成角的正弦值．
18．如图，在三棱锥，DA，DB，DC两两垂直，且，E为BC的中点.
（1）证明：；（用向量方法证明）
（2）求直线AE与DC所成角的余弦值.
19．如图,在正四棱柱中,E是的中点,且.
（1）证明:平面.
（2）证明:平面.
参考答案
1．答案：B
解析:原正方体如图所示，由正方体的性质可知，相交，，，，
则，则四边形为平行四边形，则；
因为等边三角形，则，
又空间内两条直线的夹角范围为，则直线与所成的角为；
因且，则，
则①③错误，②④正确.
故选：B.
2．答案：C
解析:由题意可知圆锥的底面半径，母线，
侧面展开所得扇形的圆心角，则，
因为C是的中点，所以，
则这只蚂蚁爬行的最短距离，
故选：C．
3．答案：D
解析：
如图，连接，，
因为，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，
又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，
所以.
故选：D
4．答案：D
解析:在梯形中，，则该梯形的高为，
梯形的面积为，
在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的，
所以平面图形的面积.
故选：D.
5．答案：B
解析：所求棱台的体积为
故选B
6．答案：A
解析:取棱的中点E，连接，，
因为D是的中点，所以，⊥，
则或其补角是直线与所成的角，.
由题中数据可知，，，
由勾股定理得，
在中，由余弦定理可得，
则，
故.
故选：A
7．答案：D
解析：由空间向量基本定理可知,若M,A,B,C四点共面,
则需满足存在实数x,y,z使得,且,
显然选项A,C不成立；
对于选项B,由可得,
不合题意,即B错误；
对于D,化简可得,
满足,可得D正确；
故选：D.
8．答案：B
解析:取的中点F，连接，易知，所以平面与交点为F，
则平面为平面截正方体的截面，四边形为等腰梯形，
过F做，由，，
所以,，
，,
所以其面积为.
故选：B.
9．答案：ABD
解析：由于与都在平面内,故与共面,A错误；
由于在平面内,而AE与平面相交于E点,
点E不在上,故与AE是异面直线,B错误；
同理AE与是异面直线,C正确；
AE与所成的角就是AE与BC所成的角,而E为BC中点,为正三角形,
所以,即AE与所成为,D错误.
故选：ABD.
10．答案：ACD
解析：对于A，因为平面，
所以点P在平面上，
又因为平面平面，所以平面，所以A正确，
对于B，假设存在点P，使得，
因为，所以，
这与在平面外矛盾，所以假设不成立，即点P不存在，所以B错误，
对于C，如图，因为平面，
平面平面，
所以当点P在直线上时，恒有，所以C正确，
如图，若，则点P在以O为球心，
（）为半径的球面上，
设平面，
则B点到平面的距离为，
所以O点到平面的距离为，
所以平面被球面截得的圆的半径为，
且圆心为中点，设为，
则在等边三角形中，到直线的距离为，
所以点P到直线的距离的最小值为
，所以D正确，
故选：ACD
11．答案：AC
解析:旋转体的性质可得外接球半径与圆台轴截面外接圆半径相等，
如图所示，
当球O的球心O在圆台外时，设圆台的高为h，
则，解得，
圆台的体积为；
当球O的球心O在圆台内时，
则，即圆台的高，
则圆台的体积为.
综上，该圆台的体积为或，
故选：AC.
12．答案：
解析:因为，所以，
所以，
即，
当时，
故答案为：
13．答案：
解析：因为圆锥的底面直径为2，它的轴截面是等边三角形，
则圆锥的母线长，底面半径，
所以圆锥表面积为．
故答案为：．
14．答案：a或2a
解析：以点B为坐标原点，BA，BC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，.设，则，.由题意得，则，即，解得或2a.故或2a.
15．答案：(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
解析：(1)连接.
,N分别为,的中点,且 ,
,P分别为,的中点,且.
四边形为平行四边形, 且
,且M,N,P,Q四点共面.
(2)由(1)知且
,必交于一点E.
,平面,平面.
,平面,平面.
又平面平面.
,即,,三线共点.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)由题意：,,,平面,,
所以平面.
因为平面,所以.
又,,平面,且四边形为梯形,且,所以与必相交,
所以平面.
又平面,
所以平面平面.
(2)以C为原点,建立如图空间直角坐标系,因为平面,所以轴.
设,,则,,,.
所以,,.
设平面的法向量为,
则,取.
设平面的法向量为,
则,取.
所以,,.
所以,
所以,即二面角所成平面角的正弦值为.
17．答案：(1)证明见解析；
(2)；
(3).
解析:(1)由，，得，所以，
又侧面为正方形，所以，
因为，平面，所以平面，
又平面，故平面平面．
(2)如图，连接与交于点F，连接，
因为面，平面平面，平面，
所以，则，
在正方形中，，D为棱的中点，
所以，所以．
(3)设，
由(1)可知，平面，又，所以平面，
由(2)知，，延长交的延长线于H，
因为侧面为正方形，且，则，
连接，所以为直线与平面所成的角，
所以，，则，
由得，
在中，根据余弦定理，
，则，
在中，，所以．
故直线与平面所成角的正弦值为．
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为，
所以
，
所以.
（2）
，
，
所以，
即直线AE与DC所成角的余弦值为.
19．答案：（1）证明见解析;
（2）证明见解析.
解析：（1）在正四棱柱中,连接,连接,则O为中点,
而E是的中点,则,又平面,平面,
所以平面.
（2）四边形是正四棱柱的对角面,则四边形为矩形,
在正方形中,,则矩形为正方形,,而,
因此,又平面,平面,则,又,
,,平面,于是平面,而平面,
因此,又,,平面,
所以平面.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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