资源简介

第3章《勾股定理》章节测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列四个说法：
①如果a，b，c为一组勾股数，那么仍是勾股数；
②如果直角三角形的两边是8、15，那么斜边必是17；
③如果一个三角形的三边是12、25、20，那么此三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c，那么．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
2．如图，为数轴原点，，两点分别对应-3，3，作腰长为4的等腰 ABC，连接，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在直角三角形中，，，，点D为中点，则的长为（ ）
A．10 B． C．4 D．5
4．如图，在中，垂直平分交于点D，若的周长为14，且，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
5．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
6．如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌成了一个正方形图案．已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边长，有下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④
7．如图，正方形的面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则与的关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
9．如图，长方形 中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为（ ）
A．1 B．3 C．1或 D．1或3
10．如图，在中，，，，是边上一动点，将沿折叠，点落在处，设，当落在的内部时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
11．已知直角三角形的两边长为4和6，那么这个直角三角形的斜边长为 ．
12．如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点D在数轴上表示．以点D为圆心，长为半径画弧，交数轴右侧于点E，则点E所表示的数是 ．
13．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ．
14．如图，三角形纸片 ABC中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是 ．
15．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为，若，，则每个直角三角形的面积为 ．
16．如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形．若乙的面积是31，丙的面积是18，丁的面积是9，则的长为 ．
17．如图长方体木箱的长、宽、高分别为，，则能放进木箱中的直木棒最长为 ．
18．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 米．
19．在一个长6米，宽为6米的正方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图的高是米的正三角形，一只昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 米．
20．如图，O为等腰直角 ABC（）内一点，连接，，，，， ，则的长为 ．
三、解答题（共5小题，共50分）
21．（本题10分）如图，小正方形的边长为1，三角形的三个顶点都在小正方形的顶点上：
(1) ； ； ；
(2)求出的长
22．（本题10分）如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现，，是腰上一点，且，．
(1)求证：；
(2)求三角形花园 ABC的面积．
23．（本题10分）【课本再现】
（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程．
【类比迁移】
（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________．
【能力提升】
（3）如图3，在 ABC中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值．
24．（本题10分）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传．
(1)求的度数．
(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？
(3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？
25．（本题10分）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，．
(1)请你利用图1证明勾股定理；
(2)如图2，在 ABC中，，，，且，当 ABC是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由；
(3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长．
参考答案
一、选择题
1．D
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股树（数）问题、判断三边能否构成直角三角形
【分析】此题主要考查勾股定理的逆定理，直角三角形的判定等知识点的综合运用．
根据勾股定理对①进行判断；利用分类讨论的思想和勾股定理对②进行判断；根据勾股定理的逆定理对③进行判断；根据等腰直角三角形的性质和勾股定理对④进行判断．
【详解】解：∵a，b，c为一组勾股数，∴，又∵，，∴，∴如果a，b，c为一组勾股数，那么仍是勾股数；故①正确；
如果直角三角形的两边是8、15，当直角边为8、15时，那么斜边是17，当15是斜边时，斜边是15，故②错误；
∵，∴如果一个三角形的三边是12、25、20，那么此三角形不是直角三角形，故③错误；
∵等腰直角三角形的三边是a，b，c（a＞b=c），∴， ∴，∴，∴一个等腰直角三角形的三边是a，b，c（a＞b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1，故④正确．
正确的有①④．
故选：D．
2．D
【知识点】求一个数的算术平方根、实数与数轴、勾股定理与无理数
【分析】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质．先利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后利用画法可得到，于是可确定点对应的数．
【详解】解：为等腰三角形，，
，
在中，，
以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，
，
点对应的数为．
故选：D．
3．D
【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．
【详解】解：在中，，，，
，
点为的中点，
，
故选：D．
4．C
【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查垂直平分线的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
设长为x，则，根据垂直平分，得，再由的周长为14，可得，求出，，由勾股定理，即可解答．
【详解】解：设长为x，则，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴．
即，
∴，解得，
∴，
∵
∴．
故选C．
5．D
【知识点】勾股定理的证明方法
【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断．
【详解】解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，
∴，
整理得，
故①可以证明勾股定理；
在图②中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴，
整理得，
故②可以证明勾股定理；
在图③中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
∴，
整理可得，
故③可以证明勾股定理；
在图④中，连接，
此图也可以看成绕其直角顶点顺时针旋转，再向下平移得到．一方面，四边形的面积等于和的面积之和，另一方面，四边形的面积等于和的面积之和，
所以，
即，
整理：，
，
∴，
故④可以证明勾股定理；
∴能证明勾股定理的是①②③④．
故选：D．
6．D
【知识点】以弦图为背景的计算题
【分析】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．
根据直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．
【详解】解：①∵为直角三角形，
∴根据勾股定理：，故本选项正确；
②由图可知，，故本选项正确；
③由可得①，
又∵②，
∴得，，
整理得，，
，故本选项错误；
④由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为，
即；故本选项正确．
∴正确结论有①②④．
故选：D．
7．D
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及等腰直角三角形等知识，熟练掌握勾股定理，找出规律是解题的关键．设正方形的边长为，求出找出规律，则，即可得出结论．
【详解】
解：如图，设正方形的边长为，
则，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为，
，
同理，，
则，
，
．
故选：D．
8．D
【知识点】在网格中判断直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答．
以点为直角顶点时，根据勾股定理的逆定理得出符合条件的有2个点；以点为直角顶点时有3个点，以点为直角顶点时有3个点，共8个．
【详解】解：如图所示：
其中，，AB=2，
∵，
∴为直角三角形，
同理：为直角三角形，
网格中其他点C如图所示，
所以格点C的个数是8，
故选：D．
9．C
【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题
【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点．分为两种情况，当和时，将图形画出，利用折叠性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，当时，

∵在矩形中，，，，
∴，
由折叠性质可得：，，，则点在上，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴，则，
如图，当时，

∴，
由折叠性质可得：，
∴四边形为正方形，
∴，则，
综上，或1，
故选．C．
10．D
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、折叠问题
【分析】当时，点落在上时，此时，当落在上时，得到解答即可．
本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】解：过点C作于点E，
∵，，，
∴，，
∴当P与点E时重合时，点落在上时，此时，
∴当落在上时，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
二、填空题
11．或
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查的是勾股定理，即在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求斜边的长必须分类讨论，即6是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【详解】解：当6是斜边时，第三边长；
当4和6是直角边时，斜边长；
∴斜边的长为：或，
故答案为：或．
12．
【知识点】数轴上两点之间的距离、勾股定理与无理数
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出的长是解题的关键．先根据利用勾股定理求出的长，再由已知条件得到的长，然后利用数轴上的两点间的距离公式求出答案即可．
【详解】解：由题意可知：，，
在中，，
，
，
点E表示的数为．
故答案为：．
13．
【知识点】数字类规律探索、勾股树（数）问题
【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解．
【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，
由勾股定理，得：，
解得：，
∴；
∴第⑤组勾股数为；
故答案为：．
14．
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．根据折叠的性质可得：，，，，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可得：，，，，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，
故答案为：．
15．12
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，完全平方公式的应用，
根据勾股定理得，由已知条件结合完全平方公式可得，进而求出，则此题可解．
【详解】解：根据勾股定理得，
∵，
∴，，
∴，
即，
∴直角三角形的面积为．
故答案为：12．
16．
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．利用勾股定理的几何意义解答．
【详解】解：如图，连接，
，
，
乙的面积是31，丙的面积是18，丁的面积是9，
，
，
，或（舍去，不符合题意），
故答案为：．
17．13
【知识点】用勾股定理解三角形、用勾股定理构造图形解决问题
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．首先利用勾股定理计算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可．
【详解】解：连接，，如图所示，为最长边
由题意可知，
在中，，，
那么
故答案为：13．
18．2.7
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】在中，根据勾股定理求出的长，再在中，求出的长，最后由进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，
，
根据题意得：，
在中，米，米，
米，
在中，米，米，
米，
米，
小巷的宽度为2.7米，
故答案为：2.7．
19．10
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、等边三角形的性质
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短，用勾股定理计算解答即可．
【详解】解：设正三角形的边长为x，
∵正三角形的高是，
∴由三线合一和勾股定理，得：，
∴，
∴正三角形的边长为2，
如图，将木块展开，得到如图的长方形，
如图长方形的相当于是米，宽米．
在中，
米，
∴昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 10米．
故答案为：10．
20．
【知识点】根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义
【分析】将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接、，则，，所以，由，，得，而，则，再证明，即可得到．
【详解】解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接、，则，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵ ABC是等腰直角三角形，，
∴，，
在和中，
，
∴（），
∴，
故答案为：．
三、解答题
21．（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，，
由网格的特点可得点D为的中点，
∴，，
如图所示，过点D作于H，则，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．（1）解：∵
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即的长为，
∴，
∴三角形花园 ABC的面积为．
23．解:（1）依题意，∵大的正方形的面积可以表示为，
大的正方形的面积还可以表示为
∴
∴
∴；
（2）空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，
∵，，
∴空白部分的面积；
（3）∵设的长为，则
∵是边上的高
∴
∴
∴
解得．
24．（1）解：，
又，
，
是直角三角形，即．
（2）解：过点作，垂足为D，
直角三角形，
，
，
解得，
小丽在家能听到广播；
（3）解：依题意，，
根据勾股定理，，
移动广播车的速度为10米／秒，
秒
答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒．
25．（1）证明：根据题意，由图1可知：
，，，，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
；
又∵
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
过点A作交延长线于H，设，
在中，，
在中，，
∴，
化简得，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在中，，
∵
∴，
∴，
解得，，
∵
∴，
∴（负值舍去）
∴的斜边的长为．

展开更多......

收起↑