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第三章 《勾股定理》章节测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下面四组数中是勾股数的一组是（ ）
A．，， B．5，12，13
C．1.5，2，2.5 D．，，
2．在Rt ABC中，，则边上的高的长为（ ）
A．5 B． C． D．
3．直角三角形的两边长是1和，则它第三边长为（ ）
A． B．1 C．或1 D．3
4．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为5、9、6，则正方形D的面积是（ ）
A．8 B．14 C．20 D．25
5．如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
6．我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（ ）
A．B．C． D．
7．如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称为格点格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，将长为m的梯子斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上移动2m，则梯子底端B向左移动（ ）
A．m B．6m C．4m D．2m
9．如果梯子的底端离建筑物底部8米，则米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（ ）
A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
11．如图，在 ABC中，，，，则 ．
12．在 ABC中，，则边上的中线 ．
13．若等腰三角形三条边的长分别为，，，则这个三角形一腰上的高为 ．
14．如图，数轴上的点M表示的数为m，则 ．
15．公元3世纪，我国汉代数学家赵爽注解《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，弦为25，股为20，则小正方形的面积为 ．
16．如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，下列四个说法：①；②;③；④．其中说法正确的结论有 ．(填序号)
17．一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为 ．
18．如图，四边形中，，，且，以，，为边向外作正方形，其面积分别为，，．若，，则的值为 ．
19．如图，正方形网格中的 ABC，若小方格边长为1，则 ABC的形状为 ．
20．如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中，，，四个点中能与点，构成一个直角三角形的是点 ．
三、解答题（共5小题，共50分）
21．（本题8分）如图，在 ABC中，点为边上一点，．
(1)如图1，若，求的长；
(2)如图2，若点在的平分线上，求的长．
22．（本题10分）如图，在 ABC中，，，点是边上的一点，，．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求线段的长．
23．（本题10分）如图，有一块直角三角形纸片的两直角边，，现将 ABC沿直线AD折叠，使点C落在点E，求CD的长．
24．（本题10分）我国明朝数学家程大位的数学著作《直指算法统宗》中，有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺，（假设秋千的绳索拉的很直）如图，请你根据词意计算秋千绳索的长度．
25．（本题12分）勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．
当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明．
(1)以下是利用图1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：
证明：连结，过点作边上的高于点，则．
，
又______________________，
______________________
．
(2)请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：．
参考答案
一、选择题
1．B
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】本题考查的是勾股数，勾股数：满足 的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念逐一验证判断即可．
【详解】解：A 、 即 36， 64，100，，而 ，不满足 ，所以，，不是勾股数，不符合题意；
B 、5，12，13，均为正整数，且 ，满足勾股定理，是勾股数，符合题意；
C 、1.5，2，2.5包含小数，非正整数，不符合勾股数定义，不是勾股数，不符合题意；
D 、 不是正整数，且 ，不满足勾股定理，不是勾股数，不符合题意．
故选：B ．
2．C
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，熟知勾股定理和直角三角形的面积公式是解答此题的关键．根据勾股定理求出，再根据即可求出的值．
【详解】解：如图所示，
在中，，
∴，
∵是边上的高，
，即，
．
故选：C．
3．C
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理，分两种情况讨论：已知两边均为直角边或其中一边为斜边．
【详解】若两已知边均为直角边，则第三边（斜边）为：．
若较长边为斜边，另一已知边1为直角边，则第三边（另一直角边）．
为：．
综上，第三边可能为或1．
故选：C．
4．C
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
根据勾股定理得：，解得即可．
【详解】解：根据勾股定理得：，
∵正方形A、B、C的面积依次为5、9、6，
∴，
∴正方形D的面积是20．
故选：C
5．C
【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数
【分析】本题考查了数轴上的点表示的数，勾股定理，熟练掌握勾股定理以及数轴上的点表示的数是解题的关键．根据勾股定理以及数轴上的点表示的数解答即可．
【详解】解：如图，
由题意得，，
∴，
∴点A所表示的数为．
故选：C．
6．D
【知识点】勾股定理的证明方法
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则，据此可判断C；D选项中的图形不能证明勾股定理．
【详解】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于，
∴，
∴，
∴，故A能证明勾股定理，不符合题意；
B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于，
∴，
∴，
∴，故B能证明勾股定理，不符合题意；
C、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为，
∴，
∴，
∴，故C能证明勾股定理，不符合题意；
D选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意；
故选：D．
7．D
【知识点】格点图中画等腰三角形、在网格中判断直角三角形
【分析】根据网格的特点以及等腰直角三角形的性质，分类讨论，找出符合题意的点，即可求解．
【详解】解：如图，
格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有个
故选：D．
8．D
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画出对应几何图形，求出即可求解.
【详解】解：如图所示：
由题意得：m，m，
∴m，
∵m，m，
∴m，
∴梯子底端B向左移动了：
故选：D
9．D
【知识点】用勾股定理构造图形解决问题
【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．
由题意知，如图，，，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，如图，，，

由勾股定理得，，
∴米长的梯子可以达到建筑物的高度是米，
故选：D．
10．B
【知识点】用勾股定理构造图形解决问题
【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.
【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，
作点A的对称点B，
连接PB，
则PB为所求，
根据题意，得PC=8，BC=6，
根据勾股定理，得PB=10，
故选B.
二、填空题
11．4
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．在中，利用勾股定理，进行计算即可解答．
【详解】解：在 ABC中，，，，
故答案为：4
12．5
【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，先利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可
【详解】解：在 ABC中，，
∴，
∴边上的中线，
故答案为：5．
13．．
【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，过点作，根据等腰三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，根据三角形的面积公式可得：，解得：．
【详解】解：如下图所示，
在中，，，
过点作，过点作，
，
在中，，
，
又，
解得：．
故答案为：．
14．
【知识点】实数与数轴、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理求出的长，即可得到的长，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，由题意得，，
∴，
故答案为：．
15．25
【知识点】以弦图为背景的计算题
【分析】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式．应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．
【详解】解：∵弦为25，股为20，
∴勾，
∴小正方形的边长为，
∴小正方形的面积为，
故答案为：25．
16．①
【知识点】以弦图为背景的计算题
【分析】根据题意，得，，结合公式，求得，结合公式计算即可．
本题考查了弦图中公式变形计算，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握公式变形，弦图的几何意义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，，
∵，
∴，
∴，
故．
故①正确；②错误；③错误；④错误；
故答案为：①．
17．
【知识点】用勾股定理解三角形、用勾股定理构造图形解决问题
【分析】本题考查了勾股定理的应用,理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键．过作于点，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．
【详解】解：如图，过点作于点
∴
∴
由勾股定理可得：
即离门铃米远的地方，门铃恰好自动响起
故答案为：．
18．12
【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，过作交于点，则，依据四边形是平行四边形，即可得出，，再根据勾股定理，即可得到，进而得到的值．熟练勾股定理的应用是解题的关键。
【详解】解：如图，过作交于点，则，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
故答案为：．
19．直角三角形
【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握相关内容是解题的关键．根据三角形网格求出三角形的边长，再根据勾股定理逆定理进行判断即可．
【详解】解：∵，
，
，
∴，
∴的形状为直角三角形．
故答案为：直角三角形．
20．
【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：点、，，，
，
不是直角三角形，故点不符合题意；
点、，，，
，
不是直角三角形，故点不符合题意；
点、，，，
，
是直角三角形，故点符合题意；
点、，，，
，
不是直角三角形，故点不符合题意；
故答案为：．
三、解答题
21．（1）解：在 ABC中，，
，
，
，
设，则，
在Rt中，，
，
；
（2）解：过点作于点，
，
平分，
，
在与中，
，
（），
，
，
设，则，
在中，，
，
.
22．（1）解：，，，
，
是直角三角形．
（2）解：是直角三角形，
，
在中，，
，
，
，
解得，
故的长为．
23．解：∵，，，
∴，
由折叠，得
，
∴，
∵，
∴，
解答，
∴．
答：CD的长为．
24．解：如图，过点作于点．
设秋千绳索的长度为尺．
由题可知，尺，（尺），尺，
∴尺．
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得．
答：秋千绳索的长度为14.5尺．
25．（1）证明：连接，过点作边上的高于点，则．
∵
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：连接，过点B作边上的高，则．
∵
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

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