资源简介

第十二章 平面图形的认识
12.1.2 三角形的内角和
本节课《三角形的内角和》是青岛版初中数学七年级下册第十二章第一节《三角形》第二课时的内容.本节课的学习内容是通过复习小学时学习的三角形内角和证明方法，理解并掌握三角形的内角和，学会用几何方法证明三角形内角和及直角三角形的锐角的关系，并且学会应用三角形内角和解决复杂几何问题.这是在初步认识三角形和研究了平行线基础上进行的，是进一步研究三角形的外角的性质，进一步认识三角形、多边形等图形的特征的基础.
学生在小学阶段已经通过测量和拼接的方法初步验证了三角形的内角和为180°，但缺乏严格的几何证明.到了七年级下册，学生已经具备了一定的几何知识和逻辑推理能力，能够理解平行线的性质和简单的几何证明.然而，部分学生可能在几何语言的表达和逻辑推理上存在困难，因此教学中需要注重引导和启发，帮助学生逐步掌握几何证明的方法.
1.理解并掌握三角形内角和等于180°及直角三角形的两个锐角的关系.
2.经历观察、操作、归纳等活动，对三角形内角和及其推论进行推导证明，进一步发展空间观念，用几何语言准确表达能力，培养学生几何证明解决问题的能力.
3.能够应用三角形内角和的定理解决简单的几何问题，感受数学语言的简洁美，并能将学到的知识应用到生活中去，提高应用意识.
重点：理解并掌握三角形内角和等于180°及其推论.
难点：在内角和性质及其推论的推导过程中，进一步发展学生空间观念，提升学生用几何语言准确表达的能力，培养学生应用三角形内角和解决复杂几何问题.
复习导入
问题1：我们上一节课学习了三角形的概念和分类，那么这几个不同的三角形的内角和是多少？
师生活动：学生通过已学的知识，经过个人测量，汇报展示.
答：图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的内角和都是180°.
设计意图：教师以复习的形式回顾上节课的重点内容，为下面的探究问题的出现做好铺垫埋下 伏笔.
探究新知
活动一：探究三角形内角和是180°
问题2：小学时是如何得到“三角形的内角和”？
师生活动：学生独立思考后，在教师的引导下，用裁剪拼接得到三角形内角和是180°.
答：任意剪出一个三角形纸片，将三角形的三个角撕下，按图中的方式拼接，会发现三角形的三个内角可以拼成个平角.
问题3：根据拼接过程，试着说明“三角形的内角和是180°”？
师生活动：学生独立思考后，在教师的引导下，学习三角形内角和是180°的证明过程.
答：由图可知，过点 A 画直线 BC 的平行线 DE.可以将∠B，∠BAC，∠C 拼成一个平角.
根据平角的定义，得
∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°.
根据两直线平行，内错角相等，得
∠DAB=∠B，∠EAC=∠C.
所以∠B+∠BAC+∠C=180°.由此，可以得到：三角形的内角和等于 180°.
归纳：三角形的内角和等于180°。
设计意图：通过几何推导，进一步巩固三角形内角和是180°的理解，提高推导证明能力，为后面探究三角形外角的性质做准备.
活动二：探究直角三角形的两个锐角的关系
问题4：如图，在△ABC 中，若∠C=90°，∠A 与∠B 有怎样的关系？
师生活动：学生独立思考后，在教师的引导下，学习几何证明的方法，然后回答问题.
答：因为∠A十∠B十∠C=180，∠C=90，所以∠A+∠B=90°，即∠A与∠B互余.
归纳：直角三角形的两个锐角互余.
问题5：若∠A+∠B=90°，则△ABC 是什么三角形？
师生活动：学生独立思考后，在教师的引导下，学习几何证明的方法，然后回答问题.
答：∠A+∠B=90°，因为三角形内角和等于180，所以∠C=90°，即△ABC 是直角三角形.
归纳：有两个角互余的三角形是直角三角形.
师生活动：学生独立思考后，在教师的引导下，学习几何证明的方法，然后回答问题.
设计意图：培养学生自主学习的习惯，在逻辑推理中得出探究答案，提高几何逻辑推导能力.
应用新知
经典例题
例1：如图，将一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠BAC的度数为（）
A.75° B.45° C.60° D.30°
解析：根据三角形内角和是180°，得∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∠BAC=180°-45°-60°=75°，故选A.
师生活动：学生回答，教师点评，全班交流.
例2：如图，在△ABC 中，D是边AB 上的一点，∠A 与∠ACD 互余，请说明∠B与∠DCB 互余.
解析:根据∠A 与∠ACD 互余，及互余的定义，得
∠A+∠ACD=90°.
根据三角形的内角和等于 180°，得
∠ADC=180°-(∠A+∠ACD)=90°.
根据平角的定义，得
∠BDC=180-∠ADC=180°-90°=90°.
根据直角三角形的定义，知△BDC 是直角三角形，所以∠B 与∠DCB 互余.
师生活动：学生独立思考作答，教师巡视指导，全班展示交流.
例3：在△ABC中,∠A ,则此三角形是（）.
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
解析：
师生活动：学生回答，教师点评，全班交流.
设计意图：通过学生参与活动，激发学生参与课堂教学的热情，让学生加深对三角形内角和的证明方法的认识.激发学生的求知欲望，感受几何的魅力.
课堂练习
1. 分别计算下图中∠1 的度数.
解析：（1）根据三角形的内角和等于 180°，得
∠1=180°-65°-65°=50°；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余，得
∠1=90°-60°=30°.
师生活动：老师提问学生举手回答问题.
2. 如图，点B，E，C在同一条直线上，∠A=∠DEC，∠D=∠BEA，∠A与∠D互为余角.试说明：（1）AE⊥DE；（2）AB∥CD
解析：（1）根据点B，E，C在同一条直线上，得
∠AEB+∠AED+∠DEC=180°，
由题目得，∠A=∠DEC，∠D=∠BEA，代入，得
∠D+∠AED+∠A=180°，又∠A+∠D=90°，得∠AED=90°，即AE⊥DE.
（2）由∠A+∠D=90°，∠A=∠DEC，∠D=∠BEA，得
∠DEC+∠D=90°，∠A+∠BEA=90°，
根据有两个角互余的三角形是直角三角形，得
∠B=∠C=90°，即∠B+∠C=180°，
根据同旁内角互补，两直线平行，得AB//CD.
师生活动：学生先独立思考再回答问题.
3. 已知：如图，AC，BD相交于点O．求证：∠A+∠B=∠C+∠D．
师生活动：学生先独立思考再作答.
解析：根据三角形内角和是180°，∠A+∠B+∠AOB=180°，
所以∠A+∠B=180°-∠AOB．
同理可得，∠C+∠D=180°-∠COD，
又因为∠AOB=∠COD，
所以180°-∠AOB=180°-∠COD，
所以∠A+∠B=∠C+∠D．
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深理解三角形内角和是180°及推论.
课堂检测
限时训练
1.已知在△ABC中,∠A=∠B-∠C,则△ABC为（）.
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上都有可能
解析：因为三角形内角和等于180°，得∠A+∠B+∠C=180°①,
又∠A=∠B-∠C②,把②代入①,得2∠B=180°,解得∠B=90°,
故该三角形是直角三角形.故选C.
2. 在△ABC中， ∠A：∠B：∠C=2：2：4，求∠A 、∠B、 ∠C的度数.
解析：设每一份角为a度，则∠A＝2a°、∠B=2a°、∠C=4a°
因为三角形内角和等于180°，所以：
2a+2a+4a=180，解得，a=22.5
2a=2×22.5=45， 4a=4×22.5=90
答： ∠A 为45°，∠B为45°、 ∠C为90°.
师生活动：老师提问学生举手回答问题.
3. 如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F.求∠ABE的度数
解析 ：根据三角形内角和是180°，得
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-60°-40°=80°.
因为AC⊥BE，得 ∠AEB=90°，所以∠ABE=90°-∠BAC=90°-80°=10°.
师生活动：老师提问学生举手回答问题.
4. 将一副普通的直角三角尺ADE和ABC如图放置,点D恰好落在BC边上,三角尺中∠ABC=60°，较长的边AE∥BC，则∠FAD的度数是（）.
A.30° B.25° C.10° D .15°
解析 ：因为AE∥BC,∠ABC=60°，所以∠BAE=180°-∠ABC=120°，
由题意得，∠BAC=90°，所以∠CAE=∠BAE-∠BAC=30°，
所以∠E=45°，∠ADE=90°，所以∠EAD=180°-∠ADE-∠E=45°，
所以∠FAD=∠EAD-∠CAE=15°.故选D.
师生活动：老师提问学生举手回答问题.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深理解几何图形所研究的方向.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.三角形的内角和是多少？
3. 如何推导得到三角形内角和？
4. 直角三角形两个锐角的关系如何？
5. 如何推导验证直角三角形两个锐角的关系？
答：
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
你还有没有其他方法证明三角形内角和是180°呢？快跟小伙伴们去找一找吧！(共20张PPT)
12.1三角形
【第12章平面图形的认识】
第2课时 三角形的内角和
数学青岛版新课标七年级下册
1. 学生能理解三角形的内角和是180°及直角三角形两个锐角的关系.
2. 在探究三角形内角和的过程中，通过对三角形内角和及其推论进行推导证明，培养学生的几何直观能力.
3. 学生学会应用三角形内角和的定理解决简单的几何问题，感受数学语言的简洁美，培养逻辑推理能力，并能将学到的知识应用到生活中去，提高应用意识.
4.经历各式各样的生活情境，体会几何与生活的紧密联系，培养学生空间想象和解决实际问题的能力.
思考：我们上一节课学习了三角形的概念和分类，那么这几个不同的三角形的内角和是多少？
图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的内角和都等于 180°.
思考：还记得小学时是如何得到“三角形的内角和”吗？
活动一：探究三角形内角和是180°
任意剪出一个三角形纸片，将三角形的三个角撕下，按图中的方式拼接，会发现三角形的三个内角可以拼成个平角.
思考：根据拼接过程，试着说明“三角形的内角和是180°”？
由图可知，过点 A 画直线 BC 的平行线 DE.
可以将∠B，∠BAC，∠C 拼成一个平角.
根据平角的定义，得
∠DAB +∠BAC +∠EAC =180°.
根据两直线平行，内错角相等，得
∠DAB =∠B，∠EAC =∠C.
所以∠B +∠BAC +∠C =180°.
由此，可以得到：三角形的内角和等于180°.
活动一：探究三角形内角和是180°
思考：如图，在△ABC 中，
（1）若∠C =90°，∠A 与∠B 有怎样的关系？
因为∠A +∠B +∠C =180°，∠C =90°，
所以∠A +∠B =90°，
即∠A 与∠B 互余.
活动二：探究直角内角两个锐角的关系
思考：如图，在△ABC 中，
（2）若∠A +∠B=90°，则△ABC 是什么三角形？
∠A +∠B =90°，
因为三角形内角和等于180°，
所以∠C =90°，
即△ABC 是直角三角形.
活动二：探究直角内角两个锐角的关系
归纳总结：
①三角形的内角和等于 180°。
②直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.
发现
例1.如图，将一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠BAC 的度数为（ ）
A.75° B.45° C.60° D.30°
解析：根据三角形内角和是180°，得 ∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∠BAC=180°- 45°- 60°=75°，故选A.
A
经典例题
例2.如图，在△ABC 中，D是边AB 上的一点，∠A 与∠ACD 互余，请说明∠B与∠DCB 互余.
解析：根据∠A 与∠ACD 互余，及互余的定义，得∠A+∠ACD=90°.
根据三角形的内角和等于 180°，得
∠ADC=180°-(∠A+∠ACD)=90°.
根据平角的定义，得
∠BDC=180°-∠ADC=180°- 90°=90°.
根据直角三角形的定义，知△BDC 是直角三角形，所以∠B 与∠DCB 互余.
教材
例题
经典例题
解析：∠A=∠B=∠C，所以∠B=2∠A，∠C=3∠A，根据∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A+2∠A+3∠A=180°，解得∠A=30°，所以，∠B=2×30°=60°，∠C=3×30° =90，
所以，此三角形是直角三角形.故选B.
1. 分别计算下图中∠1 的度数.
解析：
（1）根据三角形的内角和等于 180°，得
∠1=180°- 65°- 65°=50°；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余，得
∠1=90°-60°=30°.
教材
练习
2. 如图，点B，E，C在同一条直线上，∠A=∠DEC，∠D=∠BEA，∠A与∠D互为余角.试说明:（1）AE⊥DE；（2）AB ∥ CD.
教材
练习
（2）由∠A+∠D=90°，∠A=∠DEC，∠D=∠BEA，得
∠DEC+∠D=90°，∠A+∠BEA=90°，
根据有两个角互余的三角形是直角三角形，得
∠B=∠C=90°，即∠B+∠C=180°，
根据同旁内角互补，两直线平行，得AB∥CD.
解析:（1）根据点B，E，C在同一条直线上，∠AEB+∠AED+∠DEC=180°，
由题目得，∠A=∠DEC，∠D=∠BEA，代入，∠D+∠AED+∠A=180°，又∠A+∠D=90°，得∠AED=90°，即AE⊥DE.
3.已知：如图，AC，BD相交于点O．求证：∠A+∠B=∠C+∠D．
解析：根据三角形内角和是180°，∠A+∠B+∠AOB=180°，
所以∠A+∠B=180°-∠AOB．
同理可得，∠C+∠D=180°-∠COD，
又因为∠AOB=∠COD，
所以180°-∠AOB=180°-∠COD，
所以∠A+∠B=∠C+∠D．
1.已知在△ABC中,∠A=∠B-∠C,则△ABC为（ ）.
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上都有可能
解析：因为三角形内角和等于180°，得∠A+∠B+∠C=180°①,
又∠A=∠B-∠C ②,把②代入①,得2∠B=180°,
解得∠B=90°,故该三角形是直角三角形.故选C.
C
限时训练
2. 在△ABC中， ∠A：∠B：∠C=2：2：4，求∠A 、∠B、 ∠C的度数.
解析：设每一份角为a度，则
∠A＝2a°、∠B=2a°、∠C=4a°
因为三角形内角和等于180°，所以：
2a+2a+4a=180°解得，a=22.5°
2a=2×22.5°=45°， 4a=4×22.5°=90°
答： ∠A 为45°，∠B为45°， ∠C为90°.
限时训练
3.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F.求∠ABE的度数.
解析：设根据三角形内角和是180°，得
∠BAC=180°-∠ABC - ∠ACB=180°-60°-40°=80°.
因为AC⊥BE，得 ∠AEB=90°，
所以∠ABE=90°-∠BAC=90°-80°=10°.
限时训练
4.将一副普通的直角三角尺ADE和ABC如图放置,点D恰好落在BC边上,三角尺中∠ABC=60°，较长的边AE∥BC，则∠FAD的度数是（ ）.
A.30° B.25° C.10° D .15°
解析：因为AE∥BC ， ∠ABC=60°，
所以∠BAE=180°-∠ABC=120°，由题意得，∠BAC=90°，所以∠CAE=∠BAE-∠BAC=30°，
所以∠E=45°，∠ADE=90°，
所以∠EAD=180°-∠ADE-∠E=45°，
所以∠FAD=∠EAD-∠CAE=15°.故选D.
D
限时训练
三角形内角和
推导过程：
①借助平行线的性质，说明三角形内角和是180°；
②借助三角形的内角和，说明直角三角形两个锐角的关系.
三角形的内角和等于180°.
直角三角形的两个锐角互余；
有两个角互余的三角形是直角三角形
实践作业
你还有没有其他方法证明三角形内角和是180°呢？快跟小伙伴们去找一找吧！

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