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第3章《勾股定理》章节检测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组数中是勾股数的为（ ）
A． B． C．7，8，9 D．
2．三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在 ABC中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若 ABC的周长为12，，则的周长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
4．如图，在 ABC中，为边上一点，把 ABC沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）
A．24 B．18 C．15 D．9
5．意大利著名画家达 芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．图①中两个正方形的边长分别为，，空白部分的面积为，图②中空白部分的面积为，下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为和，若，且，则黄实为（ ）
A．36 B．25 C．16 D．9
7．如图， ABC的两个顶点，均在数轴上，且，，若点表示的数是，点表示的数是，那么以点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（ ）
A． B． C． D．
9．五根小木棒的长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（ ）
A．B．C． D．
10．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为（ ）．（边缘部分的厚度忽略不计）
A．25 B． C．35 D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11．如图等腰三角形的底边长为，腰长为，一动点P(不与B，C重合)，在底边上从B向C以的速度移动，当P运动 秒时，三角形是直角三角形．
12．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是 ，正方形F的面积是 ，正方形G的面积是 ．
13．利用数形结合的思想，可以比较实数的大小．若在方格纸中构造如图所示的图形（方格纸中每个小方格的边长为1），结合图形可得 ．（填“”“”或“”）
14．如图，直角三角形纸片中，，将 BDE，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点，且D，F，G三点共线．已知，，则 ．
15．“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形、、均为正方形．若．，则正方形的面积为 ．
16．勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为 ．
17．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑 米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称．
18．公路和公路在点处交汇，点处有一所中学，米，点到的距离为米，假设拖拉机行驶时，周围米以内会受到噪音的影响，拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时，学校受影响的时间为 秒．
19．定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点．在中，，D是的中点，P是射线上一个动点，当P是中A、C两个顶点的强勾股点时，则写出的长 ．
20．如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时， ABC为直角三角形．
三、解答题（本大题共5小题，共40分）
21．（本题8分）“一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，经测量，，，
(1)护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长；
(2)证明：
22．（本题8分）折纸，操作简单，富有数学趣味，，现将纸片按如图1折叠，折痕为（点、分别在边上且、不与端点重合）．
(1)当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且（保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．
23．（本题8分）如图，在 ABC中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．
(1)判断 BCF的形状，并说明理由；
(2)若，求证：．
24．（本题8分）【阅读材料】学习整式乘法时我们有这样的发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
(1)如图1，由边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形拼成的大正方形，可知大正方形的边长为，即可求得大正方形的面积．将图1大正方形看作由4个小图形拼成，则4个小图形面积之和等于大正方形的面积．即可得到一个乘法公式_____．
(2)思考：爱动脑的小东通过图1的启示，发现拼图还能解决直角三角形三边的关系．如图2，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为，，，将它们拼成一个大的正方形，中间是一个小正方形．
①由图2中你能得到，，之间的数量关系是什么？请写出你的推理过程；
②问题解决：如图3，直线为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点到引水点的距离为12米，渠岸上点到引水点的距离为5米，且．现需在渠岸上选一点开沟，求水沟的最小值．
25．（本题8分）小明学习了勾股定理之后，探究“如何用一条已知线段构造一个直角三角形且使其周长恰好等于线段的长”．
(1)如图1，已知线段，小明在线段上取点和，使得，，再将线段，，围成三角形，求证：所围成的三角形是直角三角形；
(2)如图2，点为线段上一点，请在线段上作点，使，，恰好能构成一个直角三角形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(3)已知正方形、正方形的边长分别为有理数、有理数，且满足，，若正方形的面积等于正方形和正方形的面积之和，求证：正方形的边长也是有理数．
参考答案
一、选择题
1．D
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】本题主要考查了勾股数的知识，理解勾股数的定义是解题关键．勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此逐项分析判断即可．
【详解】解：A. ∵，，又∵，∴不是勾股数，不符合题意；
B.∵ 不是正整数，∴不是勾股数，不符合题意；
C. ∵，，又∵，∴7，8，9不是勾股数，不符合题意；
D. ∵，∴是勾股数，符合题意．
故选：D．
2．C
【知识点】勾股树（数）问题、数字类规律探索
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，勾股数问题，观察可知本原勾股数的第一个数是从3开始的连续的奇数，且第一个数的平方等于第二个数加上第三个数，并且第三个数等于第二个数加1，据此规律求解即可．
【详解】解：3，4，5；
5，12，13；
7，24，25；
9，40，41…，
…．．，
以此类推，可知，第n组本原勾股数的第一个数为，且第三个数比第二个数大1，且第二个数和第三个数的和等于第一个数的平方，
设第n组本原勾股数的第二个数为，则第三个数为，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
3．C
【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，由三角形周长计算公式可推出，设，则，由勾股定理得，解方程可得，由线段垂直平分线的性质可得到，据此根据三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解；∵ ABC的周长为12，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴的周长，
故选：C．
4．D
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，设，根据折叠的性质得，则，然后根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求出答案．
【详解】解：设，
根据折叠的性质得，
∴，
∵根据勾股定理，得，
∴，
解得，
∴，
∴阴影部分的面积．
故选：D．
5．A
【知识点】勾股定理的证明方法
【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形可知，，然后即可判断哪个选项符合题意；
【详解】解：由图可得：，；
故选：A．
6．D
【知识点】以弦图为背景的计算题
【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等图形，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设大正方形的边长为，则大正方形的面积为，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】设大正方形的边长为，则大正方形的面积为，根据勾股定理的，
∴黄实的面积为．
故选：D．
7．A
【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数
【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，两点间的距离求出的长，勾股定理求出的长，再利用两点间的距离求出点D 表示的数即可．
【详解】解：∵点 A 表示的数是，点 C表示的数是，
∴，
∵
∴，，
由作图可知：，
∴点 表示的数是；
故选：A．
8．C
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方；第二个笔筒中：直径平方；因直径相等，列方程即可求解．
【详解】解：设铅笔长度为，
，
解得，，
故铅笔的长为；
故选：C．
9．C
【知识点】利用勾股定理的逆定理求解
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．
【详解】解：，，，，，
，，
以，，三根木棒能摆成直角三角形，以，，三根木棒能摆成直角三角形，
故选：C
10．A
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为的半圆的弧长，矩形的长等于．
【详解】解：将半圆柱展开，如图：，，，
，
∴，
解得（负值舍去），即他滑行的最短距离约为．
故选：A．
二、填空题
11．或4
【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形
【分析】本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法．
先利用等腰三角形“三线合一”求出、以及边上的高，再分别讨论和为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下的长，即可求出所需时间．
【详解】解：如图，作，
∵，
∴，
当点P运动到与点D重合，即为直角时，是直角三角形，
此时，
∴运动时间为(秒)；
当时，设
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
所以运动时间为(秒)；
综上可得：当P运动4秒或秒时，是直角三角形；
故答案为：或4．
12． 8 5 13
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解题的关键是熟练应用勾股定理求得正方形的边长．先由正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，得到对应的边长分别为，然后利用勾股定理求得正方形的边长分别为，从而求得正方形和的面积，正方形的边长，即可得到正方形的面积．
【详解】解：正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，
正方形A，B，C，D的边长分别为，
由勾股定理得，正方形的边长为，正方形的边长为，
正方形的面积为8，正方形的面积为5，正方形的边长为，
正方形的面积为13，
故答案为：8，5，13．
13．
【知识点】实数的大小比较、三角形三边关系的应用、勾股定理与网格问题
【分析】本题考查勾股定理与网格问题，比较实数的大小关系，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上知识点．
根据勾股定理得出三角形的三边长，再利用三角形的三边关系即可得出结果；
【详解】解：根据图象得，画出的三角形的三边长分别为：，
根据三角形的三边关系可得：，
故答案为：．
14．/
【知识点】三角形内角和定理的应用、勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查了折叠的性质， 勾股定理，三角形内角和，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
先根据折叠的性质得到，，，，再利用得到，所以，设，则，根据勾股定理得到，然后解方程即可．
【详解】解：，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点，
，，，，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
解得，
即的长为
故答案为：
15．169
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、勾股定理的证明方法、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：四边形、、均为正方形，
，，，
，
，
，
在中，，
，
，
正方形的面积为，
故答案为：169．
16．
【知识点】勾股定理的证明方法
【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确得出是解题的关键．
【详解】解：如图，
在直角中，由勾股定理得，
，
，
将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形，
，
，
，
．
故答案为：．
17．1.7
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查轴对称的性质以及勾股定理的应用，正确求出的长是关键．
根据勾股定理可得的长，再根据轴对称的性质可得，再用减去可得答案．
【详解】解：由题意得：(米)，
梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称，
米，
(米)，
即当梯子的顶端沿墙面下滑米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称．
故答案为：．
18．
【知识点】三线合一、判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的应用，找出拖拉机会影响学校的路段的长度，再根据“时间路程速度”求解即可．熟练掌握勾股定理及题目情景是解本题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质．
【详解】解：如图所示，为点到直线的距离即，，，为拖拉机会影响学校的路段，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时，
又∵，
∴，
∴学校受影响的时间为秒．
故答案为：．
19．4或16
【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理及逆定理的应用，新定义“强勾股点”，直角三角形斜边中线的性质等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想．
分两种情况：点是两个顶点的强勾股点时，且点在 ABC内，点是两个顶点的强勾股点时，且点在 ABC外，由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案；
【详解】解：∵是的中点，
，
若点是两个顶点的强勾股点时，且点在 ABC内，如图，
∵为的中点，，
，
，
，
；
若点是两个顶点的强勾股点时，且点在外，如图，
∵为的中点，
，
，
综上所述，的长为4或16．
故答案为：4或16．
20．或或
【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．
【详解】解：作于，
则四边形为矩形，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
，
，
当 ABC为直角三角形时，，
即，
解得，；
同理可得：当时，
由勾股定理得，，
，
，
∴，
∴，
解得：；
当时，
由得：，
解得：，
综上：的长为：或或．
故答案为：或或．
三、解答题
21．（1）解：∵，
∴∠B=90°，
在中，由勾股定理得：
，
答：无人机飞行路径的长为；
（2）证明：，，
，
是直角三角形，且，
22．（1）解：作图如下：作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则关于对称，且是等腰三角形，，则为所求作折痕；

（2）解：如图，连接；

设，
∵是等腰三角形，
∴；
由折叠知，，
∴；
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：；
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
23．（1）解： BCF为等腰直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ BCF为等腰直角三角形；
（2）解：在上取一点H，使，连接，

∵ BCF为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
中，由勾股定理得：，
∴．
24．（1）解：根据图示可得，
故答案为：（完全平方公式）；
（2）解：①，理由如下，
有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为，，，
∴，
∴，，，
∴，
∵，，，，
∴，
整理得，；
②根据题意，（米），（米），，
∴（米），
根据点到直线垂线段最短，
∴过点作，此时的值最小，
∵，
∴（米），
∴水沟的最小值为米．
25．（1）解：∵，，，
∴，
∴
∵，
∴
∴以线段，，围成三角形，所围成的三角形是直角三角形；
（2）解：依题意，使，，恰好能构成一个直角三角形，如图所示：
（3）解：设正方形C的边长为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵都是有理数，
∴也是有理数，
即正方形C的边长为有理数．

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