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第三章《勾股定理》章节检测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组数据为勾股数的是（ ）
A．9，40，41 B．9，16，20 C． D．
2．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点B处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在C处时距离地面的高度是（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在中，，分别以和为边向外作正方形，正方形的面积分别为和．若，，则的值为（ ）
A．7 B．5 C．13 D．25
4．如图，在边长为1的正方形网格中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． ABC的面积为4 D．点到的距离为2
5．如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，，，，将 ABC折叠后点恰好落在边上的点处，折痕为，，则线段的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
7．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B． C． D．
8．如图，是我因古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，则正方形的边长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，已知长方体长，宽，高．蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从A点爬到B点，则蜘蛛爬行的最短路程是（ ）．
A．10 B． C． D．不能确定
10．已知是 ABC的三边，且满足，则 ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11．直角三角形的两边长为3、4，则第三边为 ．
12．能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数．请你写出三组勾股数： ．
13．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为7和22，则c的面积为 ．
14．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为 ．
15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点都是格点，在图中找一点O，使得，则的长为 ．
16．如图，把长方形沿直线向上折叠，使点C落在的位置上，已知，，则 ．
17．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形的边长为 ．
18．如图，数轴上点所表示的数分别是，过点作数轴，个单位长度，以为圆心，长为半径画弧交数轴上点的左侧一点，则点表示的数是 ．
19．已知在灯塔O的北偏东方向9海里处有一轮船A，在灯塔O的南偏东方向海里处有一轮船B，则A，B两船的距离是 海里．
20．边长为6，8，10的 ABC内有一点到三边的距离均为，则的值为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共40分）
21．（本题8分）在 ABC中，，，点D是的中点，点E是线段上的动点，过点E作交于点F，连接，若．
(1)求证：；
(2)求的长．
22．（本题8分）如图，在长方形中，，，为上的点，将沿折叠，使点落在长方形纳的点处．连接，已知．
(1)求证：为直角三角形；
(2)求线段的长．
23．（本题8分）第十四届国际数学教育大会于2021年在上海举办，其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法探究下列问题：
(1)如图2是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：；
(2)如图3，在中，，是边上的高，，求的长度．
24．（本题8分）某校在校园一块闲置的空地上开辟了一块四边形劳动教育基地，供同学们进行劳动实践．如图，，米，米，米，米．
(1)求这块地的面积；
(2)利用尺规作图法将四边形分成面积相等的两个四边形．（保留作图痕迹，写出简要的作图依据）
25．（本题8分）【问题提出】
如图1，在中，，为边上一点（不与点，重合），以为直角边在右侧做等腰直角 ADE，连接．
（1）的度数为______；
（2）线段，，之间有怎样的数量关系，写出并说明理由；
【类比探究】
如图2，若点在边的延长线上，其他条件不变，
（3）试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题
1．A
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，熟悉相关性质是解题的关键．
【详解】解：A、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，符合题意；
B、，不能构成三角形，故不是勾股数，不符合题意；
C、，能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意，
故选：A．
2．A
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，
由题意可知，，，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即小丽在处时距离地面的高度是，
故选：A．
3．D
【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意得出，再由勾股定理得出，从而可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
4．C
【知识点】点到直线的距离、勾股定理与网格问题、利用网格求三角形面积
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离等知识点，利用勾股定理求出长可判定A，利用勾股定理及其逆定理判定B，利用网格图计算三角形的面积可判定C，利用面积公式求出边的高，即可利用点到直线的距离判定D，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【详解】A．∵，∴，正确，不符合题意；
B．∵，，，
∴，∴，正确，不符合题意；
C．，原结论错误，符合题意；
D．点A到的距离，正确，不符合题意；
故选：C．
5．D
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），长方形的性质，勾股定理等知识点，根据长方形的性质得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论，解题关键是熟练掌握折叠的性质及勾股定理．
【详解】∵四边形是长方形，
∴，
∵，
∴，
∵将长方形沿着折叠，点D落在边上的点F处，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选：D．
6．C
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】此题考查勾股定理和折叠问题，设，由折叠可知，，求出，由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：设，由折叠可知，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
即线段的长为，
故选：C
7．B
【知识点】勾股定理的证明方法
【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项．
【详解】解：A．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B．根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意．
C．∵．∴整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选：B．
8．C
【知识点】全等三角形的性质、用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题
【分析】本题主要考查勾股弦图、全等三角形的性质，勾股定理的知识点，掌握勾股弦图的结构是解题关键．
根据三角形全等性质得出，，再根据勾股定理求出，然后线段的和差即可解答．
【详解】解：∵正方形为四个全等的直角三角形拼接而成，
∴，，
在中，由勾股定理，
∴，即正方形的边长是7．
故选C．
9．A
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，分别把长方体沿长，宽，高展开，画出对应的示意图，利用勾股定理求出三种情况下的长，比较即可得到答案．
【详解】解：如图所示，当沿着高把长方体展开时，
在中，，
∴；
如图所示，当沿着长把长方体展开时，
在中，，
∴；
如图所示，当沿着宽把长方体展开时，
在中，，
∴；
∵，
∴沿着长方体的表面从A点爬到B点，则蜘蛛爬行的最短路程是，
故选：C．
10．D
【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定以及非负数的性质，熟练掌握非负数的性质以及勾股定理的逆定理等知识是解题的关键．
根据非负数的性质可得关于的等式，继而可得，根据均大于零，且，继而可得，综合两种情况，可判断出 ABC的形状．
【详解】解：∵均大于零，
∴且，
又∵，即
故第一种情况，即，
∴ ABC是等腰三角形，
第二种情况，
∴ ABC是直角三角形
∴ ABC等腰三角形或直角三角形
故选：．
二、填空题
11．5或
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么．分两种情况，边长为4的边是直角边，边长为4的边是斜边，根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：当边长为4的边是直角边时，第三边为：，
边长为4的边是斜边时，第三边为：．
故答案为：5或．
12．3，4，5；6，8，10；5，12，13
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】本题考查了勾股数，比较简单．满足的三个正整数，称为勾股数，满足这个条件的三个正整数有很多组，随便填3组则可．
【详解】解：∵，，，
∴三组勾股数可以是：3，4，5；6，8，10；5，12，13．
故答案为：3，4，5；6，8，10；5，12，13．
13．15
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．由“”可证，可得，由勾股定理可得c的面积b的面积a的面积即可得到答案．
【详解】解：如图，
三个正方形，
，，
，，
，
在 ABC和中，
，
，
，
∵，即，
根据勾股定理的几何意义，的面积的面积的面积，
的面积的面积的面积．
故答案为：．
14．
【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、等腰三角形的定义
【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，先计算，，，再进一步解答即可．
【详解】解：设小正方形边长为1，连接，由勾股定理可得：
，，，
∴且，
∴ ABC是等腰直角三角形，．
故答案为：
15．
【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理与网格问题
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质与判定，勾股定理的应用，先利用网格特点画出点，再利用勾股定理计算即可.
【详解】解：如图，

∵，
∴在线段的垂直平分线上，
∴，
故答案为：．
16．
【知识点】根据等角对等边证明边相等、勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的判定以及勾股定理；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．先根据折叠的性质得到，再由得到，则，可判断；设，则，然后在中利用勾股定理得到，再解方程即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
是由折叠得到，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
即的长为，
．
故答案为：．
17．
【知识点】以弦图为背景的计算题
【分析】此题考查了正方形的面积和边长、求算术平方根等知识，根据题意得到大正方形的面积为，利用正方形的面积和算术平方根即可求出答案．
【详解】解：根据题意可得，大正方形的面积为，
∴图中的大正方形的边长为，
故答案为：
18．
【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理可得，进而即可求解，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【详解】解：∵数轴，
∴，
∵数轴上点所表示的数分别是，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点表示的数是，
故答案为：．
19．
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查的是方向角问题及勾股定理，根据方向角得到直角，结合勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，，，，
，
∴，
∴，
故答案为：．
20．2
【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、勾股定理逆定理的拓展问题
【分析】根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵62+82=102，
∴△ABC是直角三角形，
∵△ABC内有一点P到三边的距离均为m，
∴×6×m+×8×m+×10×m＝×6×8，
∴m=2，
故答案为：2．
三、解答题
21．（1）证明：，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：，
，
，点是的中点，
，，
，
，
，
在中，，
，
解得：．
22．（1）证明：由折叠，可知．
∵且，
∴．
根据勾股定理的逆定理，是直角三角形．
（2）解：由折叠，可知．
∵，
∴，
∴三点共线．
设，则，
∵，
∴．
在中，由勾股定理，得，
即．
解得．
即线段的长为2．
23．（1）解：∵外面大正方形的面积，里面小正方形的面积个直角三角形的面积，
∴，整理，得．
（2）解：在中，，，
由勾股定理，得：，
是边上的高，
，
∴．
24．（1）解：如图，连接．
∵∠BAD=90°，米，米，
，
米，米，
，
，
四边形的面积（平方米）；
（2）解：如图，作图找到的中点，
，
，
四边形，四边形的面积相等．
25．解：∵，，
∴，
∵ ADE是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
由（1）知：，
∴，
∵，
∴；
（3），理由如下：
∵，
∴，
∴，，
∴；
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴．

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