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第十二章 平面图形的认识
12.1.3 三角形的外角
本节课《三角形的外角》是青岛版初中数学七年级下册第十二章第一节《三角形》第三课时的内容.本节课的学习内容是通过学习三角形的外角的概念，理解并掌握三角形的外角与内角的关系，学会用几何方法证明三角形外角和内角的关系，并且学会应用三角形外角的性质解决复杂几何问题.这是在初步认识三角形的概念和内角基础上进行的，进一步研究三角形的外角的性质，也是进一步认识三角形、多边形等图形的特征的基础.
学生通过对三角形内角和定理的学习，初步具备了一定的分析与归纳的能力，为本节课的学习奠定了基础，但是学生对数学图形，符号，文字三种语言的相互转化仍有一定困难.尤其是几何公理化推理过程的书写,有的学生不能正确使用数学语言表达问题、进行交流，因此在教学中注重训练学生规范的几何证明书写，培养学生数学交流能力.
1.理解并掌握三角形外角的定义，能正确识别外角.
2.经历观察、操作、归纳等活动，对三角形外角的性质及其推论进行推导证明，掌握三角形外角性质定理及其推论，培养学生几何证明解决问题的能力.
3.能够应用三角形外角的定理解决简单的几何问题，感受数学语言的简洁美，并能将学到的知识应用到生活中去，提高应用意识.
重点：理解并掌握三角形外角的性质.
难点：在三角形外角性质及其推论的推导过程中，提升学生用几何语言准确表达的能力，培养学生应用三角形外角性质解决复杂几何问题.
复习导入
问题1：我们上一节课学习了三角形的内角的性质和推论，那么图中哪些是△ABC的内角？
师生活动：学生通过已学的知识，经过个人辨别，汇报展示.
答：图中△ABC的内角是∠ABC、∠BAC、∠ACB.
设计意图：教师以复习的形式回顾上节课的重点内容，为下面的探究问题的出现做好铺垫埋下 伏笔.
探究新知
活动一：探究三角形外角的定义
问题2：将△ABC的三条边分别延长，得到∠1，∠2，∠3.它们有什么共同的特征
师生活动：学生独立思考后，在教师的引导下，用量角器测量∠1，∠2，∠3与△ABC相邻内角的关系.
答：∠1，∠2，∠3与△ABC相邻内角互为邻补角.
归纳：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 三角形的一个外角与相邻的内角互为邻补角.
问题3：观察△ABC，它有几个外角，试着画出所有的外角？
师生活动：学生学习三角形外角定义后，在教师的引导下，画出所有的外角.
答：三角形有六个外角，每一个内角的顶点上有两个外角，这两个外角互为对顶角.
设计意图：培养学生自主学习的习惯，在逻辑推理中得出探究答案，提高几何逻辑推导能力.
活动二：探究三角形的一个外角与不相邻的两个内角的关系
问题4：如图,∠1,∠2,∠3为△ABC的三个内角,∠ACD为△ABC的一个外角.试着用量角器测量各个角，观察∠ACD与∠1,∠2,∠3之间的关系.
师生活动：学生用量角器测量后，在教师的引导下，回答问题.
答：∠ACD+∠3=180°；∠ACD=∠1+∠2；
∠ACD>∠1, ∠ACD >∠2.
问题5：如图，在△ABC 中，试着说明∠ACD=∠1+∠2？
师生活动：学生独立思考后，在教师的引导下，学习几何证明的方法，然后回答问题.
答：根据三角形的内角和是180°,得
∠1+∠2+∠3=180°.
根据邻补角的定义,得
∠ACD+∠3=180°.
所以∠1+∠2+∠3=∠ACD+∠3.
根据等式的基本性质,得
∠1+∠2=∠ACD.
归纳：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
问题6：试着说明∠ACD>∠1, ∠ACD >∠2？
师生活动：学生独立思考后，在教师的引导下，学习几何证明的方法，然后回答问题.
答：由∠1+∠2=∠ACD,可以得到
∠ACD>∠1和∠ACD>∠2.
归纳：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
设计意图：通过几何推导，进一步巩固三角形外角性质的理解，提高推导证明能力，为后面应用三角形外角性质解决几何问题做准备.
活动三：探究三角形的外角和
问题7：如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角．试着用量角器测量各个角，观察∠BAE，∠CBF，∠ACD之间的关系.
师生活动：学生用量角器测量后，在教师的引导下，回答问题.
答：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.
问题8：试着说明∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.
师生活动：学生独立思考后，在教师的引导下，学习几何证明的方法，然后回答问题.
答：根据平角等于180°，得
∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°，
∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-（∠1+∠2+∠3）．
根据三角形内角和是180°，得
∠1+∠2+∠3=180°，
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°．
应用新知
经典例题
例1：下列各图中，∠1是△ABC的外角是（）.
解析：根据三角形外角由三角形的一边与另一边的延长线组成，故选D.
师生活动：学生回答，教师点评，全班交流.
师生活动：学生独立思考作答，教师巡视指导，全班展示交流.
例2：如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,∠ABD=∠A,∠C=3∠A。
(1)求△ABC各内角的度数;
(2)求∠ADB的度数
解：(1)根据BD是∠ABC的平分线,及角的平分线的定义,得
∠ABC=2∠ABD。因为∠ABD=∠A,
所以∠ABC=2∠A.
根据三角形的内角和等于180°,得
∠A+∠ABC+∠C=180°.
因为∠C=3∠A,
所以∠A+2∠A+3∠A=180°,
即6∠A=180°.
所以∠A=30°,
所以∠ABC=60°,∠C=90°.
(2)根据BD是∠ABC的平分线,及角的平分线的定义,得
∠DBC=∠ABC=30°.
根据∠ADB是△DCB的一个外角,及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得
∠ADB=∠C+∠DBC=90°+30°=120°.
师生活动：学生回答，教师点评，全班交流.
例3：若一个三角形两个外角之和为280°，那么这个三角形是（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D.等边三角形.
解析: 根据三角形的外角和为360°，两个外角之和为280°，
所以第三个外角的度数为360°-280°=80°，
所以其相邻内角是180°-80°=100°，
所以该三角形是钝角三角形．故选C．
设计意图：通过学生参与活动，激发学生参与课堂教学的热情，让学生加深对三角形外角性质的理解，学会应用三角形外角性质解决几何问题.激发学生的求知欲望，感受几何的魅力.
课堂练习
1. 根据图中所给的条件，求∠1，∠2，∠3的度数.
解析：（1）根据三角形外角的定义，得
∠1=180°-155°=25°，
∠2=155°-37°=118°，
∠3=180°-∠2=180°-118°=62°.
师生活动：老师提问学生举手回答问题.
2.如图,在△ABC中,∠B=40°,AE 是∠BAC的平分线,∠ACD=106°,求
∠AEC的度数.
解析：根据三角形外角的性质，得
∠CAB =∠ACD-∠B=106°-40°=66°，
根据AE是∠BAC的平分线,及角的平分线的定义,得
∠BAE=∠BAC=33°,
∠AEC=∠B+∠BAE=40°+33°=73°.
师生活动：学生先独立思考再回答问题.
3. 将一副三角板按如图所示的方法叠在一起，则图中∠α=（）.
解：由题意得：∠1=90°-45°=45°，
则∠α=∠1-30°=15°.故答案为15°.
师生活动：学生回答，教师点评，全班交流.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深理解三角形内角和是180°及推论.
课堂检测
限时训练
1. 如图,在△ABC中,点D,E在边BC上,连接AD,AE.
(1)∠AED=∠B+______,
∠ADC=∠B+______=∠AED+_______;
(2)用 “>”或 “<”填空:
∠AEC______∠ADC,∠B_____∠ADC.
解析：(1) ∠BAE, ∠BAD, ∠EAD;(2)<,<.
2. 如图，在△ABC中，∠ADC=86°，∠BCD=34°，CD平分∠ACB，那么∠A的
度数是（ ）.
A．34° B．42° C．60° D．65°
解析：：由题意，得CD平分∠ACB，∠BCD=34°，
根据角平分线定义，得∠ACD=∠BCD=34°，
∠ADC=86°，
根据外角的性质，得∠BDC=180°-86°=94°，
∠A=∠BDC-∠ACD=94°-34°=60°， 故选C．
师生活动：老师提问学生举手回答问题.
3. 某零件的形状如图所示，按规定∠A，∠B，∠D应分别等于90°，20°和30°时 该零件才合格．王师傅量得∠BCD=150°，关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：该零件不合格； 结论Ⅱ：已知∠A=90°，当∠B与∠D的度数分别减少2°时，∠BCD的度数会减少2°；
A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确
C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
解析:延长DC交AB于点E，
由题意，得∠BCD=150°，∠B=20°，
根据外角的性质，得
∠DEB=150°-20°=130°，
∠A=∠DEB-∠D=130°-30°=100°≠90°，
所以该零件不合格，结论Ⅰ正确；
∠BCD=∠DEB+∠B=∠A+∠D+∠B
=90°+∠D+∠B， 当∠B与∠D的度数分别减少2°时，
∴∠BCD=90°+∠D-2°+∠B-2°=（90°+∠D+∠B）-4°， 即∠BCD的度数会减少4°，结论Ⅱ不正确；故选A．
师生活动：老师提问学生举手回答问题.
4. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC边上一点，E点在AC边上，∠ADE=∠A
ED，若∠BAD=24°，求∠CDE的度数．
解析 ：由题意，得∠ADC 是△ABD 的外角，
根据外角的性质，得∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+24°．
即∠ADE=∠ADC-∠CDE=∠B+24°-∠CDE．
由题意，得∠AED是△CDE的外角，∠B=∠C，
∠AED=∠C+∠CDE=∠B+∠CDE．
因为∠ADE=∠AED，
所以，得∠B+24°-∠CDE=∠B+∠CDE．
即∠CDE=12°．
师生活动：老师提问学生举手回答问题.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深理解几何图形所研究的方向.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.三角形的外角是多少？
3.一个三角形有几个外角？
4. 三角形的外角与不相邻的两个内角的关系如何？
5. 如何推导验证三角形的外角与不相邻的两个内角的关系？
6.三角形的外角和.
答：
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
如图为一个五角星，你能说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°吗？快跟小伙伴们去试一试吧！(共27张PPT)
12.1三角形
【第12章平面图形的认识】
第3课时 三角形的外角
数学青岛版新课标七年级下册
1.理解并掌握三角形外角的定义，能正确识别外角.
2.经历观察、操作、归纳等活动，对三角形外角的性质及其推论进行推导证明，掌握三角形外角性质定理及其推论，培养学生几何证明解决问题的能力.
3.能够应用三角形外角的定理解决简单的几何问题，感受数学语言的简洁美，并能将学到的知识应用到生活中去，提高应用意识.
4.经历各式各样的生活情境，体会几何与生活的紧密联系，培养学生空间想象和解决实际问题的能力.
思考：我们上一节课学习了三角形的内角的性质和推论，那么图中哪些是△ABC的内角？
图中△ABC的内角是∠ABC、∠BAC、∠ACB.
思考：将△ABC的三条边分别延长，得到∠1，∠2，∠3.它们有什么共同的特征
活动一：探究三角形外角的定义
∠1，∠2，∠3与△ABC相邻内角互为邻补角.
思考：观察△ABC，它有几个外角，试着画出所有的外角？
三角形有六个外角，每一个内角的顶点上有两个外角，这两个外角互为对顶角.
活动一：探究三角形的外角定义
活动一：探究三角形外角的定义
归纳：
由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 三角形的一个外角与相邻的内角互为邻补角.
思考：如图,∠1,∠2,∠3为△ABC的三个内角,∠ACD为△ABC的一个外角.试着用量角器测量各个角，观察∠ACD与∠1,∠2,∠3之间的关系
∠ACD+∠3=180°；∠ACD=∠1+∠2；
∠ACD>∠1, ∠ACD >∠2.
活动二：探究三角形的一个外角与不相邻的两个内角的关系
思考：如图，在△ABC 中，试着说明∠ACD=∠1+∠2？
根据三角形的内角和是180°,得
∠1+∠2+∠3=180°.
根据邻补角的定义,得∠ACD+∠3=180°.
所以∠1+∠2+∠3=∠ACD+∠3.
根据等式的基本性质,得
∠1+∠2=∠ACD.
活动二：探究三角形的一个外角与不相邻的两个内角的关系
思考：如图，试着说明∠ACD>∠1, ∠ACD >∠2？
由∠1+∠2=∠ACD,可以得到
∠ACD>∠1和∠ACD>∠2.
活动二：探究三角形的一个外角与不相邻的两个内角的关系
归纳总结：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
活动二：探究三角形的一个外角与不相邻的两个内角的关系
思考：如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角．试着用量角器测量各个角，观察∠BAE，∠CBF，∠ACD之间的关系.
∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.
活动三：探究三角形的外角和
思考：试着说明∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.
根据平角等于180°，得
∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°，
∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-（∠1+∠2+∠3）．
根据三角形内角和是180°，得∠1+∠2+∠3=180°，
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°．
活动三：探究三角形的外角和
归纳总结：
三角形的外角和等于360°.
活动三：探究三角形的外角和
例1.下列各图中，∠1是△ABC的外角是（ ）.
解析：根据三角形外角由三角形的一边与另一边的延长线组成，故选D.
D
经典例题
例2.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,∠ABD=∠A,∠C=3∠A.
(1)求△ABC各内角的度数;
(2)求∠ADB的度数.
教材
例题
解析： (1)根据BD是∠ABC的平分线,及角的平分线的定义,得
∠ABC=2∠ABD.因为∠ABD=∠A,所以∠ABC=2∠A.
根据三角形的内角和等于180°,得∠A+∠ABC+∠C=180°.
因为∠C=3∠A,所以∠A+2∠A+3∠A=180°，
即6∠A=180°.所以∠A=30°,所以∠ABC=60°,∠C=90°.
教材
例题
例2.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,∠ABD=∠A,∠C=3∠A.
(1)求△ABC各内角的度数;
(2)求∠ADB的度数.
解析：（1）根据BD是∠ABC的平分线，及角的平分线的定义，得∠ABC=2∠ABD.因为∠ABD=∠A，所以∠ABC=2∠A.
根据三角形的内角和等于180°，得∠A+∠ABC+∠C=180°
因为∠C=3∠A，所以∠A+2∠A+3∠A=180°，即6∠A=180°.所以∠A=30°，所以∠ABC=60°，∠C=90°.
例3.若一个三角形两个外角之和为280°，那么这个三角形是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形.
解析:根据三角形的外角和为360°，两个外角之和为280°，
所以第三个外角的度数为360°-280°=80°，
所以其相邻内角是180°-80°=100°，
所以该三角形是钝角三角形．故选C．
C
经典例题
1. 根据图中所给的条件，求∠1，∠2，∠3的度数.
解析：根据三角形外角的定义，得
∠1=180°-155°=25°，
∠2=155°-37°=118°，
∠3=180°-∠2=180°-118°=62°.
教材
练习
2.如图,在△ABC中,∠B=40°,AE 是∠BAC的平线,∠ACD=106°,求∠AEC的度数.
教材
练习
3.将一副三角板按如图所示的方法叠在一起，则图中∠α=（ ）．
解析：由题意,得∠1=90°-45°=45°，
则∠α=∠1-30°=15°.故答案为15°．
1
1.如图,在△ABC中,点D,E在边BC上,连接AD,AE.
(1)∠AED=∠B+______,
∠ADC=∠B+______=∠AED+_______;
(2)用 “>”或 “<”填空:
∠AEC______∠ADC,∠B_____∠ADC.
∠BAD
∠BAE
∠ EAD
<
<
限时训练
2.如图，在△ABC中，∠ADC=86°，∠BCD=34°，CD平分∠ACB，那么∠A的度数是（ ）.
A．34° B．42° C．60° D．65°
解析：由题意,得CD平分∠ACB，∠BCD=34°，
根据角平分线定义，得∠ACD=∠BCD=34°，
根据外角的性质，得
∠BDC=180°-∠ADC= =180°-86°= 94°，
∠A=∠BDC-∠ACD=94°-34°=60°， 故选C．
限时训练
C
3.某零件的形状如图所示，按规定∠A，∠B，∠D应分别等于90°，20°和30°时 该零件才合格．王师傅量得∠BCD=150°，关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：该零件不合格； 结论Ⅱ：已知∠A=90°，当∠B与∠D的度数分别减少2°时，∠BCD的度数会减少2°.
A．只有结论Ⅰ正确
B．只有结论Ⅱ正确
C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确
D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
限时训练
解析：延长DC交AB于点E，由题意，得∠BCD=150°，∠B=20°，
根据外角的性质，得∠DEB=150°-20°=130°，
∠A=∠DEB-∠D=130°-30°=100°≠90°，
所以该零件不合格，结论Ⅰ正确；
∠BCD=∠DEB+∠B=∠A+∠D+∠B=90°+∠D+∠B，
当∠B与∠D的度数分别减少2°时，
∠BCD=90°+∠D-2°+∠B-2°=（90°+∠D+∠B）-4°， 即∠BCD的度数会减少4°，结论Ⅱ不正确；故选A.
限时训练
4.如图，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC边上一点，E点在AC边上，∠ADE=∠AED，若∠BAD=24°，求∠CDE的度数．
解析：由题意，得∠ADC 是△ABD 的外角，
根据外角的性质，得∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+24°．
即∠ADE=∠ADC-∠CDE=∠B+24°-∠CDE.
由题意，得∠AED是△CDE的外角，∠B=∠C，
∠AED=∠C+∠CDE=∠B+∠CDE．
因为∠ADE=∠AED，所以，得
∠B+24°-∠CDE=∠B+∠CDE．即∠CDE=12°．
限时训练
三角形的外角
三角形的外角定义：
由三角形的一边与另一边的延长线组成的角.
三角形的一个外角与相邻的内角互为邻补角.
外角的性质：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
三角形的外角和等于360°.
外角和：
实践作业
如图为一个五角星，你能说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°吗？快跟小伙伴们去试一试吧！

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