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第十二章 平面图形的认识
12.1.4 三角形的三边关系
本节课《三角形的三边关系》是青岛版初中数学七年级下册第十二章第一节《三角形》第四课时的内容.本节课的学习内容是在学习三角形的概念和分类后，三角形的内角和定理以及外角性质之后，开始学习三角形的边的关系，理解并掌握三角形的任意两边之和大于第三边，并且学会应用三角形三边关系解决复杂几何问题.这是在初步认识三角形的概念和内角、外角的基础上进行的，进一步研究三角形的性质，也是进一步认识三角形、多边形等图形的特征的基础.
学生通过对三角形的定义和分类的学习，初步具备了一定的分析与归纳的能力，为本节课的学习奠定了基础，但是学生对逆向判断三条边能否构成三角形仍有一定困难，尤其是在应用三边关系时，容易忽略“任意两边”的“任意”这一关键条件.因此在教学中注重训练学生对三角形三边关系的应用，培养学生解决几何问题能力.
1.理解并掌握三角形三边关系.
2.经历观察、操作、归纳等活动，对三角形是三边关系进行推导证明，培养学生几何证明解决问题的能力.
3.能够应用三角形的三边关系逆向判断三条边能否构成三角形，感受数学语言的简洁美，并能将学到的知识应用到生活中去，提高应用意识.
重点：理解并掌握三角形的三边关系.
难点：能够应用三角形的三边关系逆向判断三条边能否构成三角形，培养学生应用三角形外角性质解决复杂几何问题.
复习导入
问题1：我们在前面几节课学习了三角形的及内角、外角，说一下△ABC的内角、外角？
师生活动：学生通过已学的知识，经过个人辨别，汇报展示.
答：图中△ABC的内角是∠ABC、∠BAC、∠ACB. ∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°.
图中△ABC的外角是∠1，∠2，∠3.
设计意图：教师以复习的形式回顾上节课的重点内容，为下面的探究问题的出现做好铺垫埋下 伏笔.
探究新知
活动一：探究三角形的三边关系
问题2：如图,任意画一个△ABC,从点B出发,沿三角形的边到点C,可以选择两条路线,哪条路线最短
师生活动：学生独立思考后，在教师的引导下，用刻度尺测量三边的关系.
答：可以选择B→A→C或者B→C，其中AB+AC>BC，所以BC路线最短.
问题3：为什么AB+AC>BC？
师生活动：学生在教师的引导下，回答问题.
答：根据两点之间线段最短, 可知BA+AC>BC.
问题4：如图 ,从点A出发,沿三角形的边到点B,可以选择两条路线,哪条路线最短 为什么？
师生活动：学生在教师的引导下，回答问题.
答：可以选择A→C→B或者A→B，根据两点之间线段最短, 可知AC+CB>AB.
问题5：如图 ,从点A出发,沿三角形的边到点C,可以选择两条路线,哪条路线最短 为什么？
师生活动：学生在教师的引导下，回答问题.
答：可以选择A→B→C或者A→C，根据两点之间线段最短, 可知AB+BC>AC.
问题6：根据上面的问题，试着归纳出三角形的三边关系.
师生活动：学生在教师的引导下，回答问题.
答：三角形的任意两边之和大于第三边.
设计意图：培养学生自主学习的习惯，在逻辑推理中得出探究答案，提高归纳逻辑推导能力.
归纳：三角形的任意两边之和大于第三边.
应用新知
经典例题
例1：下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）.
A．3cm,4cm,8cm B．8cm,7cm,15cm C．5cm,5cm,11cm D．13cm,12cm,20cm
解析：：A、3+4＜8，不能摆成三角形，本选项不符合题意；
B、8+7=15，不能摆成三角形，本选项不符合题意；
C、5+5＜11，不能摆成三角形，本选项不符合题意；
D、13+12＞20，能摆成三角形，本选项符合题意； 故选D．
师生活动：学生回答，教师点评，全班交流.
例2：两根木棒的长度分别为3cm,6cm,取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．10cm
解：第三根木棒的长度为x cm, 则x＜6+3，，同时，x+3>6,
即x>3,即3＜x＜9，
所以第三根木棒的长度可以是四个数据中的4cm, 故选C．
师生活动：学生回答，教师点评，全班交流.
例3：能用一根长为18cm的细铁丝围成一个边长为4cm的等腰三角形吗 为什么
解析: 因为长为4cm的边可能是腰,也可能是底边,所以分两种情况讨论。
①若底边长为4cm,设腰长为xcm,则
4+2x=18。解得x=7。
因为4+7>7,7+7>4,
所以底边长为4cm时能围成三角形。
②若腰长为4cm,设底边长为xcm,则
4×2+x=18。解得x=10。
因为4+4<10,
所以腰长为4cm时不能围成三角形。
由①②可知,能围成满足条件的等腰三角形,其腰长为7cm,底边长为4cm.
设计意图：通过学生参与活动，激发学生参与课堂教学的热情，让学生加深对三角形的三边关系的理解，学会应用三角形的三边关系解决几何问题.激发学生的求知欲望，感受几何的魅力.
课堂练习
1. 用下列长度的三条线段能否组成三角形 为什么
(1) 3,4,5; (2) 4,4,8; (3) 5,7,11; (4) 2,3,6
解析：(1) 3+4>5，能摆成三角形；(2) 4+4=8，不能摆成三角形；
(3) 5+7>12，能摆成三角形； (4) 3+2<6，不能摆成三角形．
师生活动：老师提问,学生举手回答问题.
2. 已知等腰三角形的两条边长分别为4cm和9cm,求这个三角形的周长.
解析：当腰是4cm，4+4<9,不能构成三角形，所以腰是9cm,
所以三角形的三边长为9cm, 9cm, 4cm.
三角形的周长=9+9+4=22，
答：这个三角形的周长是22cm.
师生活动：学生先独立思考,再回答问题.
3. 一个等腰三角形的周长为 28cm.
(1)已知腰长是底边长的3倍,求各边长,
(2)已知其中一边长为6cm,求其他两边长.
解： (1)设三角形的底边长x cm，腰长是3x cm，则
x+3x+3x=28，解得x=4cm，3x=12cm，
即各边长分别为4cm，12cm，12cm.
(2)假设腰长是6cm，则底边长=28-6-6=16cm，根据6+6<16,不能构成三角形.
所以底边长6cm，腰长=（28-6）÷2=11cm，根据6+11>11，可以构成三角形，所以其他两边长为11cm，11cm.
师生活动：学生回答，教师点评，全班交流.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深理解三角形内角和是180°及推论.
课堂检测
限时训练
1. 为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，树小沙在池塘一侧选取了一点O，测得OA=16m,OB=12m,那么A、B间的距离不可能是( ).
A．7m B．17m C．27m D．37m
解析：如图，连接AB， 由三角形的三边关系可知：16-12＜AB＜16+12，即4＜AB＜28，
所以A、B间的距离不可能是37m, 故选D．
2. 五条长度分别是3，4，5，6，7的线段,任选三条可以组成____个三角形,一定不能组成三角形的三条线段是_______.
解析：由3+4=7,所以线段可以组成9个三角形:
3，4，5和3，4，6和4，6，7和3，5，6 和3 ，5 ，7和3 ，6 ，7和5 ，4 ， 6和5，4 ，7和5，6，7.
一定不能组成三角形的三条线段是3，4 ，7.
师生活动：老师提问学生举手回答问题.
3. 在△ABC中,AB=9,BC=2,并且 AC为奇数,那么△ABC的周长为多少
解析: 由三角形的三边关系得 AC<11.同时，AC+2>9,即AC>7，
即7师生活动：老师提问学生举手回答问题.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深理解几何图形所研究的方向.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.三角形的三边关系？
3.怎么证明三角形的三边关系？
4.如何判断三条边能否构成三角形？
答：
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
假设有一个三角形的周长是11，其中一条边长是4，且三条边长均是整数，试着写出这个三角形另外两条边长.(共20张PPT)
12.1三角形
【第12章平面图形的认识】
第4课时 三角形的三边关系
数学青岛版新课标七年级下册
1.理解并掌握三角形的三边关系.
2.经历观察、操作、归纳等活动，对三角形的三边关系进行推导证明，培养学生几何证明解决问题的能力.
3.能够应用三角形的三边关系逆向判断三条边能否构成三角形，感受数学语言的简洁美，并能将学到的知识应用到生活中去，提高应用意识.
4.经历各式各样的生活情境，体会几何与生活的紧密联系，培养学生空间想象和解决实际问题的能力.
思考：我们在前面几节课学习了三角形的内角、外角，说一下△ABC的内角、外角？
图中△ABC的内角是∠ABC、∠BAC、∠ACB.
∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°.
图中△ABC的外角是∠1,∠2,∠3.∠1+∠2+∠3=360°
思考：如图,任意画一个△ABC,从点B出发,沿三角形的边到点C,可以选择两条路线,哪条路线最短
活动一：探究三角形的三边关系
可以选择B→A→C或者B → C，其中BC 路线最短.
思考：为什么AB+AC >BC？
根据两点之间线段最短, 可知BA+AC >BC.
活动一：探究三角形的三边关系
思考：如图 ,从点A出发,沿三角形的边到点B,可以选择两条路线,哪条路线最短 为什么？
可以选择A→C→B或者A→B，根据两点之间线段最短, 可知AC+CB >AB.
活动一：探究三角形的三边关系
思考：如图 ,从点A出发,沿三角形的边到点C,可以选择两条路线,哪条路线最短 为什么？
可以选择A→B→C或者A→C根据两点之间线段最短, 可知AB +BC>AB.
活动一：探究三角形的三边关系
思考：根据上面的问题，试着归纳出三角形的三边关系.
归纳：三角形的任意两边之和大于第三边.
活动一：探究三角形的三边关系
例1.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）.
A．3cm,4cm,8cm B．8cm,7cm,15cm
C．5cm,5cm,11cm D．13cm,12cm,20cm
解析：A、3+4＜8，不能摆成三角形，本选项不符合题意；
B、8+7=15，不能摆成三角形，本选项不符合题意；
C、5+5＜11，不能摆成三角形，本选项不符合题意；
D、13+12＞20，能摆成三角形，本选项符合题意； 故选D．
D
经典例题
例2.两根木棒的长度分别为3cm,6cm,取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．10cm
解析：第三根木棒的长度为x cm, 则x＜6+3，即x＜9，
同时，x+3>6,即x>3,即3＜x＜9，
所以第三根木棒的长度可以是四个数据中的4cm, 故选C．
C
经典例题
例3.能用一根长为18cm的细铁丝围成一个边长为4cm的等腰三角形吗 为什么
解析:因为长为4cm的边可能是腰,也可能是底边,所以分两种情况讨论.①若底边长为4cm,设腰长为x cm,则4+2x =18.解得x =7.
因为4+7>7,7+7>4,所以底边长为4cm时能围成三角形.
②若腰长为4cm,设底边长为xcm,则4×2+ x =18.解得x=10.
因为4+4<10,所以腰长为4cm时不能围成三角形.由①②可知,
能围成满足条件的等腰三角形,其腰长为7cm,底边长为4cm.
教材
例题
1.用下列长度的三条线段能否组成三角形 为什么
(1) 3,4,5; (2) 4,4,8; (3) 5,7,11; (4) 2,3,6 .
解析：(1) 3+4>5，能摆成三角形；
(2) 4+4=8，不能摆成三角形；
(3) 5+7>12，能摆成三角形；
(4) 3+2<6，不能摆成三角形．
教材
练习
2.已知等腰三角形的两条边长分别为4cm和9cm,求这个三角形的周长.
解析：当腰是4cm，4+4<9,不能构成三角形，所以腰是9cm,
所以三角形的三边长为9cm, 9cm, 4cm.
三角形的周长=9+9+4=22，
答：这个三角形的周长是22cm.
教材
练习
3.一个等腰三角形的周长为 28cm.
(1)已知腰长是底边长的3倍,求各边长,
(2)已知其中一边长为6cm,求其他两边长.
解析： (1)设三角形的底边长x cm，腰长是3x cm，则
x+3x+3x=28，解得x=4cm，3x=12cm，
即各边长分别为4cm，12cm，12cm.
(2)假设腰长是6cm，则底边长=28-6-6=16cm，根据6+6<16,不能构成三角形.
所以底边长6cm，腰长=（28-6）÷2=11cm，根据6+11>11，可以构成三角形，所以其他两边长为11cm，11cm.
1.为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，树小沙在池塘一侧选取了一点O，测得OA=16m,OB=12m,那么A、B间的距离不可能是( ).
A．7m B．17m C．27m D．37m
解析：如图，连接AB， 由三角形的三边关系
可知：AB＜16+12，即AB＜28，
所以A、B间的距离不可能是37m, 故选D．
D
限时训练
2.五条长度分别是3,4,5,6,7的线段,任选三条可以组成____个三角形,一定不能组成三角形的三条线段是_______.
解析：由3+4=7,所以线段可以组成9个三角形:
3，4，5和3，4，6和4，6，7和3，5，6 和3 ， 5 ， 7和3 ， 6 ， 7和5 ， 4 ， 6和5，4 ， 7和5，6，7.
一定不能组成三角形的三条线段是3 ， 4 ， 7.
限时训练
9
3，4，7
3.在△ABC中,AB=9,BC=2,并且 AC为奇数,那么△ABC的周长为多少
解析：由三角形的三边关系得 AC<11.
同时，AC+2>9,即AC>7，即7因为 AC为奇数,所以AC=9,所以△ABC的周长为9+9+2=20.
限时训练
判断三条边能否构成三角形：
只要检验两条较短的线段之和是否大于第三条线段的长，就可以判断三条线段能否构成三角形.
三角形的三边关系
三角形的三边关系：
三角形的任意两边之和大于第三边.
实践作业
假设有一个三角形的周长是11，其中一条边长是4，且三条边长均是整数，试着写出这个三角形另外两条边长.

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