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第09讲 6.4.1平面几何中的向量方法
6.4.2向量在物理中的应用举例
课程标准 学习目标
①.能用向量方法解决简单的几何问题。 ②.能用向量方法解决简单的几何应用类问题和其他实际问题。 ③体会向量在解决几何在生活中的实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力。 1.在系统学习向量知识的基础上，能用向量方法解决简单的几何问题； 2.提升学生实际问题中的知识抽象，能用向量方法解决简单的几何应用类问题和其他实际问题； 3.体会向量在解决几何问题在生活中的实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力，提升数学核心素养.；
知识点01：平面几何中的向量方法
（1）向量在平面几何中的应用
① 平面两个向量的数量积：；
② 向量平行的判定: ；
③向量平行与垂直的判定:；
④平面内两点间的距离公式： （其中，）
⑤求模：； ；
⑥对于题目中遇到的有些平面图形(如长方形、正方形、直角三角形等)的计算求解问题,可通过建立平面直角坐标系,用坐标把向量表示出来,通过代数运算来解决(“形”转“数”).
（2）用向量解决平面几何问题的步骤
①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系.
【即学即练1】（2023上·广东佛山·高二华南师大附中南海实验高中校考期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】易知，
可得，即，且，
所以可得的形状是直角三角形.
故选：B
知识点02：向量在物理中的应用举例
向量的定义有着丰富的物理背景,物理学中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量,力所做的功就是向量的数量积的物理背景,因此,向量可以解决一些物理问题归纳.
（1）力学问题的向量处理方法
①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象；
②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上.
（2）速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成.
①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果.
②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标来求解.
（3）功、动量问题的向量处理方法
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力与位移的数量积,即(为与的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量实际上是数乘向量.
在解决问题时要注意数形结合
（4）利用向量法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
①问题转化，即把物理问题转化为数学问题.
②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.
③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.
④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
【即学即练2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）．
【答案】答案见解析
【详解】物体受三个力，重力，斜面对物体的支持力，摩擦力，
且重力可分解为沿斜面向下的分力和垂直斜面的分力，则重力与位移之间的夹角，
则重力对物体做的功，
支持力与位移方向垂直，做功为，
摩擦力与位移方向相反，对物体做功
．

题型01 利用向量解决平面几何中的平行（共线）问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在四边形中，若，且，则四边形是（ ）
A．矩形 B．等腰梯形
C．正方形 D．菱形
【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.

【变式1】（2023上·山东泰安·高二校考开学考试）在四边形中，，则四边形的形状是 .
题型02 利用向量解决垂直问题
【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：．
【典例2】（2023下·广东东莞·高一东莞市厚街中学校考阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．

(1)求的余弦值．
(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，AC为的一条直径，为圆周角.求证：.

【变式2】（2023下·陕西西安·高一统考期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.

(1)请用、表示向量；
(2)设和的夹角为，若，且，求证：.
题型03 利用向量求线段长度
【典例1】（2023下·湖南永州·高一统考期末）一个人骑自行车由A地出发向东骑行了到达B地，由B地向南东方向骑行了到达C地，从C地向北偏东骑行了到达D地，则A，D两地的距离是 ．
【典例2】（2023下·河北沧州·高一校考阶段练习）如图，在中，.
(1)求的长；
(2)求的长.
【变式1】（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第四中学校考阶段练习）已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为 .
【变式2】（2023下·江西上饶·高一校联考阶段练习）在菱形ABCD中，O为菱形ABCD内一点.
(1)用，，，表示；
(2)若，，求，.
题型04 向量在物理中的应用
【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（ ）．
A．N B．5N C．10N D．N
【典例2】（2022上·江西·高二南昌县莲塘第一中学校考期中）在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入重量为的物品，在另一个秤盘中放入重量的砝码，天平平衡．根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为，，，若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则的大小为 ．
【典例3】（2023·全国·高一随堂练习）如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）．
【变式1】（2023·全国·高一随堂练习）飞机从A地向西北飞行200km到达B地后，又从B地向东飞行km到达C地，再从C地向南偏东60°飞行km到达D地，求飞机从D地飞回A地的位移．
【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行，求物重G的大小．

【变式3】（2023·全国·高一随堂练习）如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．

(1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度；
(2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）．
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·高一课时练习）在四边形中，若，则四边形为（ ）
A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形
2．（2023下·贵州贵阳·高一校考阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（2022上·湖南岳阳·高二校联考期中）中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2020下·高一课时练习）已知三个力，，同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，需再加上一个力，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022上·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）设向量与的夹角为θ，定义，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023下·云南曲靖·高三校联考阶段练习）马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为，此时两只胳膊的夹角为，试估算小猴子的体重（单位）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为，）
A．9.2 B．7.5 C．8.7 D．6.5
7．（2022下·山东临沂·高一校考阶段练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（ ）
A． B．61 C．75 D．60
8．（2020上·安徽黄山·高一统考期末）某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023下·广东江门·高一统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．中，D为BC的中点，则
B．向量，可以作为平面向量的一组基底
C．若非零向量与满足，则为等腰三角形
D．已知点，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为
10．（2022·高一课时练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.下列结论中正确的是（ ）
A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为
C．当时， D．当时，
三、填空题
11．（2022下·上海虹口·高一华东师范大学第一附属中学校考期末）高一学生将质量为20kg的物体用两根绳子悬挂起来，如图（1）（2），两根绳子与铅垂线的夹角分别为45°和30°，则拉力与大小的比值为 .
12．（2022上·河南·高三校联考阶段练习）在中，，，，则的周长为 .
四、解答题
13．（2023·全国·高一课堂例题）如图所示，把一个物体放在倾角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力．已知N，求，的大小．

14．（2021下·福建·高一校联考期中）如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标，设.
(1)计算的大小；
(2)甲在Ox上距O点3千米的点A处，乙在Oy上距O点1千米的点B处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以4千米/小时的速度行走；
①若过半小时后甲到达C点，乙到达D点，请用与来表示；
②若t时刻，甲到达G点，乙到达H点，求的最小值.
B能力提升
1．（2023上·四川·高三校联考阶段练习）如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2017·陕西宝鸡·高三统考阶段练习）在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足||＝，则的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
3．（2020下·高一课时练习）点为所在的平面内，给出下列关系式：
①；
②；
③.
则点依次为的（ ）
A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．重心、内心、外心 D．外心、垂心、重心
4．（2015上·陕西西安·高三统考期中）已知向量，，动点从点开始沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度大小为；另一动点从点开始沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度大小为，设、在秒时刻分别在、处．
（Ⅰ）经过多长时间最小？求出最小值；
（Ⅱ）经过多长时间后，求出值．
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6.4.2向量在物理中的应用举例
课程标准 学习目标
①.能用向量方法解决简单的几何问题。 ②.能用向量方法解决简单的几何应用类问题和其他实际问题。 ③体会向量在解决几何在生活中的实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力。 1.在系统学习向量知识的基础上，能用向量方法解决简单的几何问题； 2.提升学生实际问题中的知识抽象，能用向量方法解决简单的几何应用类问题和其他实际问题； 3.体会向量在解决几何问题在生活中的实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力，提升数学核心素养.；
知识点01：平面几何中的向量方法
（1）向量在平面几何中的应用
① 平面两个向量的数量积：；
② 向量平行的判定: ；
③向量平行与垂直的判定:；
④平面内两点间的距离公式： （其中，）
⑤求模：； ；
⑥对于题目中遇到的有些平面图形(如长方形、正方形、直角三角形等)的计算求解问题,可通过建立平面直角坐标系,用坐标把向量表示出来,通过代数运算来解决(“形”转“数”).
（2）用向量解决平面几何问题的步骤
①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系.
【即学即练1】（2023上·广东佛山·高二华南师大附中南海实验高中校考期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】易知，
可得，即，且，
所以可得的形状是直角三角形.
故选：B
知识点02：向量在物理中的应用举例
向量的定义有着丰富的物理背景,物理学中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量,力所做的功就是向量的数量积的物理背景,因此,向量可以解决一些物理问题归纳.
（1）力学问题的向量处理方法
①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象；
②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上.
（2）速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成.
①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果.
②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标来求解.
（3）功、动量问题的向量处理方法
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力与位移的数量积,即(为与的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量实际上是数乘向量.
在解决问题时要注意数形结合
（4）利用向量法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
①问题转化，即把物理问题转化为数学问题.
②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.
③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.
④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
【即学即练2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）．
【答案】答案见解析
【详解】物体受三个力，重力，斜面对物体的支持力，摩擦力，
且重力可分解为沿斜面向下的分力和垂直斜面的分力，则重力与位移之间的夹角，
则重力对物体做的功，
支持力与位移方向垂直，做功为，
摩擦力与位移方向相反，对物体做功
．

题型01 利用向量解决平面几何中的平行（共线）问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在四边形中，若，且，则四边形是（ ）
A．矩形 B．等腰梯形
C．正方形 D．菱形
【答案】D
【详解】因为，可得，所以，
即且，所以四边形为平行四边形，
又由，可得四边形的对角线互相垂直，
所以四边形为菱形.
故选：D.
【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.

【答案】证明见解析
【详解】因为点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，
所以
所以，
又因为与不共线，所以，且，
所以四边形EFGH为平行四边形.
【变式1】（2023上·山东泰安·高二校考开学考试）在四边形中，，则四边形的形状是 .
【答案】矩形
【详解】由可知,进而，
由可得且，所以四边形为矩形，
故答案为：矩形
题型02 利用向量解决垂直问题
【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：．
【答案】证明过程见解析
【详解】由题意得，，

故，
因为，所以，
故.
【典例2】（2023下·广东东莞·高一东莞市厚街中学校考阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．

(1)求的余弦值．
(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在．
【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系．
则．
由于就是的夹角．

的余弦值为．
（2）设
．
．
由题得．
①当点在上时，设，
；
②当点在上时，设，
，舍去．
综上，存在．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，AC为的一条直径，为圆周角.求证：.

【答案】证明见解析
【详解】证明：如图，

设，，
则，，，，
∴，
∴，∴.
【变式2】（2023下·陕西西安·高一统考期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.

(1)请用、表示向量；
(2)设和的夹角为，若，且，求证：.
【答案】(1).
(2)证明见解析.
【详解】（1）.
（2），
，.
题型03 利用向量求线段长度
【典例1】（2023下·湖南永州·高一统考期末）一个人骑自行车由A地出发向东骑行了到达B地，由B地向南东方向骑行了到达C地，从C地向北偏东骑行了到达D地，则A，D两地的距离是 ．
【答案】
【详解】以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图，

则，，即，
，即，
所以，故.
所以A，D两地距离为.
故答案为：.
【典例2】（2023下·河北沧州·高一校考阶段练习）如图，在中，.
(1)求的长；
(2)求的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）；
，
，故，
.
（2），
.
【变式1】（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第四中学校考阶段练习）已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为 .
【答案】
【详解】设D为的中点，则，
所以，
所以，
所以.
故答案为：
【变式2】（2023下·江西上饶·高一校联考阶段练习）在菱形ABCD中，O为菱形ABCD内一点.
(1)用，，，表示；
(2)若，，求，.
【答案】(1)
(2)；
【详解】（1）因为四边形为菱形，所以，
则，所以.
（2）因为，，
所以，
则，
.
题型04 向量在物理中的应用
【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（ ）．
A．N B．5N C．10N D．N
【答案】B
【详解】
如图，，，，，.
在中，有，
所以，的大小为5N.
故选：B.
【典例2】（2022上·江西·高二南昌县莲塘第一中学校考期中）在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入重量为的物品，在另一个秤盘中放入重量的砝码，天平平衡．根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为，，，若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则的大小为 ．
【答案】
【详解】依题意，且，
所以，
即，解得．
故答案为：．
【典例3】（2023·全国·高一随堂练习）如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）．
【答案】答案见解析
【详解】物体受三个力，重力，斜面对物体的支持力，摩擦力，
且重力可分解为沿斜面向下的分力和垂直斜面的分力，则重力与位移之间的夹角，
则重力对物体做的功，
支持力与位移方向垂直，做功为，
摩擦力与位移方向相反，对物体做功
．

【变式1】（2023·全国·高一随堂练习）飞机从A地向西北飞行200km到达B地后，又从B地向东飞行km到达C地，再从C地向南偏东60°飞行km到达D地，求飞机从D地飞回A地的位移．
【答案】大小为，方向为南偏西
【详解】
如图，飞机从运动到的过程，
由已知可得，，，且，
所以，，.
过点作，
因为，
所以，，
所以，.
由勾股定理可得，，
，所以.
所以，飞机从D地飞回A地的位移大小为，方向为南偏西.
【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行，求物重G的大小．

【答案】
【详解】
设细绳作用力为，则，
如图，对力进行分解，可得.
根据力的平衡可知，物重G的大小为.
【变式3】（2023·全国·高一随堂练习）如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．

(1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度；
(2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）．
【答案】(1)答案见解析
(2)船实际航行速度的大小为，方向与江水速度间的夹角为
【详解】（1）如图所示，表示船速，表示水速，
以为邻边作平行四边形，
则表示该船实际航行的速度；

（2）由题意，
在中，，
则，，所以，
所以船实际航行速度的大小为，方向与江水速度间的夹角为.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·高一课时练习）在四边形中，若，则四边形为（ ）
A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形
【答案】B
【详解】四边形ABCD中，若，
则，且，
所以四边形是梯形.
故选：B
2．（2023下·贵州贵阳·高一校考阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【详解】依题意，
如图，连接AC，由，得．
因为C为半圆上的点，所以，所以．
故选：A．
3．（2022上·湖南岳阳·高二校联考期中）中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，
而，又由已知可得，所以
.
故选：D
4．（2020下·高一课时练习）已知三个力，，同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，需再加上一个力，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由物理知识，知物体平衡，则所受合力为，所以，故.
故选：D
5．（2022上·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）设向量与的夹角为θ，定义，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，，
得， ，
，
.
故选：B
6．（2023下·云南曲靖·高三校联考阶段练习）马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为，此时两只胳膊的夹角为，试估算小猴子的体重（单位）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为，）
A．9.2 B．7.5 C．8.7 D．6.5
【答案】C
【详解】设两只胳膊的拉力分别为，，，，
，
，解得．
小猴子的体重约为．
故选：C．
7．（2022下·山东临沂·高一校考阶段练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（ ）
A． B．61 C．75 D．60
【答案】D
【详解】如图，，，
作平行四边形，则是菱形，，
，
所以，
因此该学生体重为（kg）.
故选：D．
8．（2020上·安徽黄山·高一统考期末）某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设船的实际速度为，则，
北岸的点在的正北方向，游船正好到达处，则，
所以，
即，解得，
故选：D．

二、多选题
9．（2023下·广东江门·高一统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．中，D为BC的中点，则
B．向量，可以作为平面向量的一组基底
C．若非零向量与满足，则为等腰三角形
D．已知点，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为
【答案】DC
【详解】对于A，在中，因为D为BC的中点，所以，
所以，
故选项A正确；
对于B，因为向量，，所以，
可知与共线，不能作为平面向量的一组基底，故选项B错误；
对于C，因为和分别表示与向量和同向的单位向量，
所以以和为邻边的平行四边形是菱形，
根据平行四边形法则可知在的平分线上，
又因为，所以的平分线垂直于，所以，
即为等腰三角形，故选项C正确；
对于D，若点P是线段AB的三等分点，则或，
因为，，所以，
所以或，
即点P的坐标可以为或，故选项D错误.
故选：AC.
10．（2022·高一课时练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.下列结论中正确的是（ ）
A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为
C．当时， D．当时，
【答案】DD
【详解】对于A，根据题意，得，所以，
解得，因为时，单调递减，所以越大越费力，越小越省力，故A正确；
对于B，由题意知的取值范围是，故B错误；
对于C，因为，所以当时，，所以，故C错误；
对于D，因为，所以当时，，所以，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
11．（2022下·上海虹口·高一华东师范大学第一附属中学校考期末）高一学生将质量为20kg的物体用两根绳子悬挂起来，如图（1）（2），两根绳子与铅垂线的夹角分别为45°和30°，则拉力与大小的比值为 .
【答案】
【详解】设N，N，
则，
可得.
故答案为：
12．（2022上·河南·高三校联考阶段练习）在中，，，，则的周长为 .
【答案】6
【详解】设，则有均为单位向量，
且与同向，与同向，
所以与的角平分线共线，
又因为，
所以的角平分线与垂直，
即的角平分线与高线合一,
所以为等腰三角形，且,
又由，
得，
所以是等边三角形，则的周长为.
故答案为:6.
四、解答题
13．（2023·全国·高一课堂例题）如图所示，把一个物体放在倾角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力．已知N，求，的大小．

【答案】50，．
【详解】以平行于斜坡方向为x轴，垂直于斜坡方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，．

又由已知可得，
且，所以，
从而可知50，．
14．（2021下·福建·高一校联考期中）如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标，设.
(1)计算的大小；
(2)甲在Ox上距O点3千米的点A处，乙在Oy上距O点1千米的点B处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以4千米/小时的速度行走；
①若过半小时后甲到达C点，乙到达D点，请用与来表示；
②若t时刻，甲到达G点，乙到达H点，求的最小值.
【答案】(1)
(2)①；②2
【详解】（1）因为，
所以 .
（2）①因为，
所以，所以；
②两人在t时刻相距，
所以
当时，即小时后，他们两人相距最短．
B能力提升
1．（2023上·四川·高三校联考阶段练习）如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，
又
，
且，所以．
设与的夹角为，
则．
因为，所以．
故选：C．
2．（2017·陕西宝鸡·高三统考阶段练习）在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足||＝，则的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】以等腰直角三角形的直角边BC为x轴，BA为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则B(0,0)，直线AC的方程为x＋y＝2.
设M(a,2－a)，则0∵0答案：C
3．（2020下·高一课时练习）点为所在的平面内，给出下列关系式：
①；
②；
③.
则点依次为的（ ）
A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．重心、内心、外心 D．外心、垂心、重心
【答案】C
【详解】①由于，其中为的中点，可知为边上中线的三等分点（靠近线段），故为的重心；
②向量，，分别表示在边和上取单位向量和，它们的差是向量，当，即时，则点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为的内心；
③是以，为边的平行四边形的一条对角线的长，而是该平行四边形的另一条对角线的长，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，故为的外心.
故选：C
4．（2015上·陕西西安·高三统考期中）已知向量，，动点从点开始沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度大小为；另一动点从点开始沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度大小为，设、在秒时刻分别在、处．
（Ⅰ）经过多长时间最小？求出最小值；
（Ⅱ）经过多长时间后，求出值．
【答案】（Ⅰ）当时取最小值；（Ⅱ）．
试题解析：解：根据题意得，，则
，；，；
经过秒后，点的位置在，点的位置在，
（Ⅰ）， ，当时取最小值；
（Ⅱ）由，而，那么，解得，故经过2秒钟后，．
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