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专题4.5 整式的加减 同步讲练
知识点梳理01：单项式
1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式；例如：等等。
技巧点拨
（1）单项式包括三种类型：
数与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；例如：等等。
单独的一个数；例如：等等。
单独的一个字母．例如：等等。
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．
例如：或也是单项式，但分母中含有字母的不可以，如不是单项式，因为它不能写成数字与字母的乘积形式．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：的系数分别为．
技巧点拨
（1）圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数；
（2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；
（3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．
3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，例如：
它们的次数分别为：2次，3次，3次．这里切记此处的π是数，不是作为字母，因此这个单项式的次数计算时只能算r的三次。
技巧点拨
（1）没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏；
（2）计算单项式的次数时，数字上的指数不能算．
知识点梳理02：多项式
多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式，例如：．
此例子中该多项式可以看成是，因此它是单项式的和。
多项式的概念中所说的和是包含减法的，因为所有的减法都可以转化成加法。
多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
这个多项式包含的项有三项： ，其中最后一项是，可不要当成1了！
名师点拨
（1）多项式的每一项包括它前面的符号；
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式．
3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
技巧点拨
多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数，不要与单项式的次数混淆．
知识点梳理03：整式
单项式与多项式统称为整式．它们之间关系如下图：
技巧点拨
（1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式．
知识点梳理04：同类项的概念
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．
技巧点拨
正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”：
（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；
（2）“两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关．
所有的常数项都是同类项．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
技巧点拨
合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变．
知识点梳理05：去括号法则
去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。
技巧点拨
括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；
括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．
添括号法则：
添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；
添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．
知识点梳理06：整式的加法和减法
整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
技巧点拨
（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
（2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来．
（3）整式加减的最后结果的检查：
要合并到不能再合并为止；
一般按照某一字母的降幂或升幂排列；
不能出现带分数．
考点1：已知同类项求指数中母或代数式的值
【典例精讲】（24-25七年级上·广西桂林·期中）整式化简求值：若单项式与单项式是同类项，试求的值．
【答案】，
【思路引导】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，以及整式的加减－化简求值，一般先把所给整式去括号合并同类项，再把所给字母的值或代数式的值代入计算．先去括号合并同类项化简，再利用同类项定义求出x与y的值，代入计算即可求出值．
【规范解答】解：
，
∵单项式与单项式是同类项，
∴，
∴原式．
【变式训练】（23-24七年级上·广西河池·期末）已知与是关于x、y的单项式，且它们是同类项．
(1)求a的值；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)
(2)1
【思路引导】本题考查了同类项的定义，解题关键是明确同类项所含字母相同，相同的字母的指数也相同；
（1）根据同类项相同的字母的指数相同列出方程即可求解；
（2）根据同类项合并为0，得出系数和为0，求出字母的值，再代入求解即可．
【规范解答】（1）解：∵与是关于x、y的单项式，且它们是同类项，
∴
解得．
（2）解：∵，
∴，
∴．
考点2：合并同类项
【典例精讲】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
(1)把看成一个整体，合并______；
(2)已知，运用“整体思想”求的值；
(3)若，，则______．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【思路引导】本题考查了代数式的求值、合并同类项，掌握整体代入法求代数式的值是解题关键．
（1）运用“整体思想”合并同类项即可；
（2）先合并同类项，再运用“整体思想”代入求值即可；
（3）把写成，再整体代入即可得出结果．
【规范解答】（1）解：
；
故答案为：2；
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：∵，，
∴
；
故答案为：．
【变式训练】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
(1)把看成一个整体，合并______；
(2)已知，运用“整体思想”求的值；
(3)若，，则______．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【思路引导】本题主要考查了代数式的求值、合并同类项等知识点，掌握运用整体代入法求解代数式的值是解题的关键．
（1）运用“整体思想”合并同类项即可解答；
（2）把写成，然后将整体代入即可解答；
（3）将和相加可得，写成，然后将整体代入即可解答．
【规范解答】（1）解：
．
故答案为：2．
（2）解：∵，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
考点3：整式的加减运算
【典例精讲】（24-25七年级上·福建福州·期中）定义新运算“”，即对任意的有理数，满足．
（下列运算结果均不含新运算符号“*”）
(1)分别计算和；
(2)计算，并用含的代数式表示的运算结果；
(3)判断定义的新运算是否满足运算律：
①先计算，再判断交换律是否成立？
②先计算，再判断结合律是否成立？
【答案】(1)
(2)，
(3)①，交换律不成立；②，结合律不成立.
【思路引导】本题考查的是新定义下的有理数的运算及整式加减运算；
（1）根据新运算法则计算即可；
（2）根据新运算法则计算即可；
（3）①计算进而得出结论；②计算，，进而得出结论；
【规范解答】（1）解：
，
．
（2）由（1）得原式
．
；
（3）①，
所以交换律不成立．
②，
，
，
所以结合律不成立．
【变式训练】（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）已知关于的多项式和，其中（为常数），．
(1)若多项式中不含项，求的值；
(2)当时，求；
(3)在（2）的条件下，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【思路引导】本题考查的是整式的加减运算，求解代数式的值；
（1）由多项式中不含项，可得，再进一步求解即可；
（2）先代入，再去括号，合并同类项即可；
（3）由条件可得：，再进一步变形整体代入计算即可.
【规范解答】（1）解：多项式中不含项
，
；
（2）解：当时
；
（3）解：由（2）可知，
，
，
；
考点4：整式的加减中的化简求值
【典例精讲】（22-23七年级上·重庆永川·期中）先化简，再求值：
若，求的值．
【答案】；
【思路引导】本题主要考查绝对值与偶次幂的非负性及整式加减的化简求值，熟练掌握绝对值与偶次幂的非负性、整式加减的化简求值是解题的关键．由题意易得，然后对代数式进行化简，进而代值求解即可．
【规范解答】解：，
，
；
；
当时，原式．
【变式训练】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）计算：
(1)；
(2)．
(3)先化简，再求值：，其中，．
【答案】(1)2
(2)21
(3)；
【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，整式加减运算中的化简求值．
（1）按照从左到右依次计算即可．
（2）先算乘方，再算乘法，最后再算加减法．
（3）先化简整式，再代入数值计算即可．
【规范解答】（1）解：
（2）解：
（3）解：
，
当，时，
原式．
考点5：整式加减中的无关型问题
【典例精讲】（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和．
（1）当，，时，的值为 ；
（2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ．
【答案】 24
【思路引导】本题考查整式加减运算的实际应用．
（1）由图可知：，确定两个未被覆盖的长方形的长和宽，求出，即可；
（2）设，求出的值，根据的值与的长度无关，得到的系数为0，进行求解即可．
【规范解答】解：（1）由图可知：，
∴，，
∴；
故答案为：；
（2）设，
则：
；
∵的值与的长度无关，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式训练】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）已知关于x、y的多项式
(1)若该多项式不含三次项，求m的值；
(2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值．
【答案】(1)
(2)
【思路引导】本题考查了整式加减的化简求值，多项式的概念，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据去括号和合并同类项法则将多项式化简，再根据不含三次项可知，三次项的系数为0，即可求出m的值；
（2）由（1）可得，该多项式为，再整体代入计算求值即可．
【规范解答】（1）解：，
该多项式不含三次项，
，
；
（2）解：由（1）可得，该多项式为，
当，时，
．
考点6：整式加减的应用
【典例精讲】24-25七年级上·北京·期中）如图1．在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区，其中的展台有三种不同的形状，其规格如图2所示．
(1)该长方形区域的长可以用式子表示为____；
(2)根据图中信息，用等式表示a，b，c满足的数量关系为____．
【答案】(1)
(2)
【思路引导】本题主要考查列代数式的知识，熟练掌握图中的数量关系是解题的关键．
（1）根据图中关系列出代数式即可；
（2）根据宽相等得出等量关系式即可．
【规范解答】（1）解：由图知：该长方形区域的长为，
故答案为：；
（2）解：由图知长方形区域的宽为或，
，
，
故答案为：．
【变式训练】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）某超市在国庆期间对顾客实行优惠，规定如表所示：
一次性购物金额 优惠办法
少于300元 不予优惠
等于或大于300元但低于600元 九折优惠
等于或大于600元 其中600元部分给予九折优惠，超过600元部分给予七折优惠
(1)如果王叔叔一次性购物700元．那么他实际付款多少元？
(2)若顾客在该超市一次性购物元，
①当小于600但不小于300时，他实际付款 元，
②当大于或等于600时，他实际付款 元（用含的代数式表示）；
(3)如果王叔叔两次购物货款合计940元，第一次购物的货款为元，用含的式子表示两次购物王叔叔实际付款多少元？
【答案】(1)他实际付款610元
(2)①②
(3)
【思路引导】本题考查列代数式，整式加减的应用，读懂题意，正确的列出代数式是解题的关键：
（1）根据优惠方案，列出算式进行计算即可；
（2）根据优惠方案列出代数式即可；
（3）根据优惠方案，列出代数式进行计算即可．
【规范解答】（1）解：（元）；
答：他实际付款610元；
（2）①当小于600但不小于300时，他实际付款元；
②当大于或等于600时，他实际付款（元）；
（3）第一次购物的货款为元，则：第二次购物的货款为元，
∵，
∴，
∴两次购物王叔叔实际付款：（元）．
考点7：写出满足某些特征的单项式
【典例精讲】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路：
(1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ．
(2)这组单项式的次数的规律是 ．
(3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ．
(4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ．
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)，
【思路引导】本题主要考查了单项式规律题，单项式的系数、次数，写出满足某些特征的单项式等知识点，通过观察所给单项式发现并总结出一般规律是解题的关键．
（1）通过对这组单项式的系数进行观察并总结规律，即可得出答案；
（2）通过对这组单项式的次数进行观察并总结规律，即可得出答案；
（3）根据（1）、（2）的归纳，即可得出答案；
（4）根据（3）的猜想，直接写出第个、第个单项式即可．
【规范解答】（1）解：这组单项式的系数分别为：，，，，，，，，
可以发现，其符号规律是正负交替，即：，
其绝对值规律是，，，，，即：，
故答案为：，；
（2）解：这组单项式的次数分别为：，，，，，，，，，
其规律是：从开始的连续自然数，即：，
故答案为：；
（3）解：根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是：，
故答案为：；
（4）解：根据猜想，可以写出第个、第个单项式，它们分别是：
，
，
故答案为：，．
【变式训练】（24-25七年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料，完成相应的任务：
一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫做对称式．例如代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式、，因为，所以是对称式；而代数式中字母a、b交换位置，得到代数式，因为，所以不是对称式．
任务：
(1)下列四个代数式中，是对称式的是_______（填序号即可）；
①；②；③；④；⑤
(2)写出一个只含有字母m，n的单项式，使该单项式是对称式，且次数为8次；
(3)已知，求，并直接判断所得结果是否为对称式．
【答案】(1)①④
(2)（答案不唯一）
(3)，是对称式
【思路引导】本题主要考查了整式的加减，正确理解对称式的定义是解题的关键．
（1）根据对称式定义逐个判断即可；
（2）按照要求写出一个符合要求的式子即可；
（3）先将代入计算，再根据对称式的定义判断即可得答案．
【规范解答】（1）解：根据对称式的定义可知：、是对称式，、、不是对称式．
故答案为：①④．
（2）解：∵只含有字母m，n，单项式是对称式，且次数为8，
∴单项式可以是：（答案不唯一）．
（3）解：∵，
∴
，
．
由根据对称式的定义可知，是对称式，
∴是对称式．
考点8：单项式规律题
【典例精讲】（24-25七年级上·河南平顶山·期末）观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，…，按照上述规律，第100个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路引导】本题考查了数字变化类和单项式，根据题意可总结规律为：奇数个单项式的系数为正，偶数个单项式的系数为负，第个单项式系数，次数是，从而利用规律即可解答，理解题意，总结出规律，并利用规律解题是关键．
【规范解答】解：单项式的次数为：2，，10，，26，，
；
；
；
；
；
第个单项式的系数为：，
第100个单项式的系数为：，
单项式的次数为：3，5，7，9，11，，
单项式的次数为：，
第100个单项式的次数为，
故第100个单项式是，
故选：D．
【变式训练】（24-25七年级上·重庆渝中·期末）已知整式：，其中，， ，为自然数，为正整数，且．下列说法：
①满足条件的整式中有个单项式；
②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个；
③满足条件的整式共有个．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路引导】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可．
【规范解答】解：∵为自然数，为正整数，且，
∴，
当时，则，
∴，，
满足条件的整式有，
当时，则，
∴，，，
满足条件的整式有：，，，
当时，则，
∴，，，
满足条件的整式有：，，；
当时，，
满足条件的整式有：4；
∴满足条件的单项式有：，，，4，共4个，故①符合题意；
不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有2个；故②符合题意；
满足条件的整式共有个．故③符合题意；
综上分析可知：正确的有3个．
故选：D．
考点9：多项式系数、指数中字母求值
【典例精讲】（24-25七年级上·河南商丘·期中）多项式是关于的二次三项式，则取值为（ ）
A．0 B．4 C．4或0 D．-4或1
【答案】A
【思路引导】本题主要考查了多项式，熟练掌握多项式的次数：多项式中最高次项的次数，叫做多项式的次数；一个多项式有几项就叫几项式是解题的关键．
根据多项式的定义得且，求解即可．
【规范解答】解：∵多项式是关于的二次三项式，
∴且，
∴，
故选：A．
【变式训练】（24-25七年级上·湖北孝感·期中）已知多项式，．
(1)若A是二次二项式，则k的值为 ；
(2)若k为最大的负整数时，化简．
【答案】(1)
(2)
【思路引导】此题考查了整式的加减、多项式的次数等知识．
（1）根据题意得到，即可求出；
（2）k为最大的负整数时，得到，即可得到，再计算即可．
【规范解答】（1）解：∵是二次二项式，
∴，
解得，
故答案为：
（2）∵k为最大的负整数时，
∴
∴，，
∴
考点10：将多项式按某个字母升幂(降幂）排列
【典例精讲】（24-25七年级上·四川资阳·期末）下列说法：①实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③将多项式按b的升幂排列是；④若多项式化简后不含项，则k的值是．其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【思路引导】本题考查了运用数轴比较大小，整式加减中的无关型问题，将多项式按某个字母升幂（降幂）排列，据此相关内容进行逐项分析，即可作答．
【规范解答】解：由数轴得，
∴，
故①说法错误的；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
故②说法正确的；
将多项式按b的升幂排列是；
故③说法正确的；
∵多项式化简后不含项，
∴，
∴，
故④说法错误的；
故选：B．
【变式训练】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知多项式．
(1)将该多项式按y降幂排列．
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【思路引导】本题考查多项式的降幂排列，多项式的减法．熟练掌握多项式的降幂排列，去括号，合并同类项，是解题和关键．
（１）将多项式A按y的降幂排列就是按y的指数从高到低排列，根据定义即可求解；
（2）去括号，合并同类项，即得．
【规范解答】（1）解：按y的降幂排列，
（2）解：∵，，
∴
．
考点11：数字类规律探索
【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）在数学习题课中，同学们为了求的值，进行了如下探索：
(1)某同学设计如图1所示的几何图形，将一个面积为的长方形纸片对折．
（）求图中部分的面积；
（）请你利用图形求的值；
(2)请你利用备用图，再设计一个能求与的值的几何图形．
【答案】(1)（）；（）；
(2)见解析．
【思路引导】本题主要考查了图形与数字的变化规律、有理数的混合运算等知识点，明确题意并灵活利用数形结合的思想是解答本题的关键．
（）（）由对折可知，每一个图形的面积都是上一个图形面积的，由规律可得的面积是；
（）由图形可知，，所以可得：；
（）首先利用对角线把矩形分成两个面积相等的三角形，然后依次作点为的中点，点为的中点，点为的中点．
【规范解答】（1）解：（）由图可知，的面积为，
的面积为，
的面积为，
的面积为；
（）如下图所示，
由图可知，
，
；
（2）解：可设计如下图所示：
点为的中点，点为的中点，点为的中点，
由图可知，
，
；
【变式训练】（24-25七年级上·广东东莞·期中）仔细观察下列三组数
第一组： ，，，，， …
第二组： ，，，，，…
第三组： ，，，，，…
解答下列问题：
(1)每一组的第6个数分别是_____，______，_____；
(2)分别写出各组的第n个数_____，_____，_____；
(3)取每组数的第10个数，计算它们的和．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【思路引导】本题考查了数字规律探究题，有理数的混合运算，找到规律是解题的关键；
（1）第一组是连续的正整数的平方，第二组是连续的正整数乘以，第三组数据是第一组和第二组对应数据的和，据此求得每一组第6个数，即可求解．
（2）根据（1）的规律，即可求解；
（3）根据题意列式计算，即可求解．
【规范解答】（1）解：依题意，每一组的第6个数分别是 ，，，
故答案为：，，．
（2）解：各组的第n个数分别为，
故答案为：．
（3）解：每组数的第10个数，分别为，
其和为．
考点12：图形类规律探索
【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，正方形的边长为1，第一次取出正方形的一半，第二次取出剩下图形的一半……以此类推，每一次都取出剩下图形的一半，共进行n次这样的操作．
进行的次数 1 2 3 n
剩下图形的面积 ____ ____ ____
(1)请将上表填写完整．
(2)请利用这个几何图形求的值： ．（用含n的代数式表示）
【答案】(1)见详解
(2)
【思路引导】（1）根据题意填表即可．
（2）原正方形分成各个小长方形的面积之和为，由即可得出的值．
本题主要考查了有理数乘方的应用，列代数式，一元一次方程的应用，面积等知识．
【规范解答】（1）解：解：上表填写如下：
进行的次数 1 2 3
剩下图形的面积
故答案为：，，．
（2）解：原正方形分成各个小长方形的面积之和为，
∴，
则，
故答案为：．
【变式训练】（2025七年级上·全国·专题练习）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去．
(1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形．
(2)计算的值．
【答案】(1)
(2)
【思路引导】本题主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键．
（1）观察发现：每操作一次，等边三角形的个数增加4，据此进行作答即可；
（2）先提取，然后运用（2）的结论进行计算即可．
【规范解答】（1）解：由题意可知：
操作1次，共得到的等边三角形个数为：；
操作2次，共得到的等边三角形个数为：；
操作3次，共得到的等边三角形个数为：；
操作4次，共得到的等边三角形个数为：；
故答案为：．
（2）解：
考点13：带有字母的绝对值化简问题
【典例精讲】（（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数，，在数轴上所对应的点的位置如图所示．
(1)将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来；
(2)填空：______；______；______；（填“”或“”）
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)，，
(3)
【思路引导】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值和整式的加减；
（1）根据数轴上，左边的数小于右边的数即可解答；
（2）根据有理数的加法，减法，乘法法则判断符号，即可求解．
（3）根据点在数轴上的位置和绝对值化简解答即可．
【规范解答】（1）解：根据数轴可得：；
（2）解：由数轴可知，，，且，
∴，，；
故答案为：，，；
（3）解：由数轴可知，，，且，
∴，，
∴
．
【变式训练】（24-25七年级上·北京·期中）1．已知，有理数在数轴上的位置如图所示，
（1）化简： ；
（2）若两数的倒数是他们自身，当的范围是 时，有最小值，最小值为 ．
（3）在（2）的条件下，若未知数满足，则代数式的最大值是 ．
【答案】 2 7
【思路引导】本题考查化简绝对值，两点间的距离，整式的加减运算，根据数轴判断数的大小，式子的符号，掌握绝对值的意义，是解题的关键．
【规范解答】解：（1）由图可知：，，
∴，
∴原式；
故答案为：；
（2）∵两数的倒数是他们自身，
∴，
∵表示数轴上表示的数到表示和的数的距离和，
∴当时，有最小值为：；
故答案为：；2；
（3）由（2）知：当时，有最小值为，
当时，有最小值为，
∵，
∴，，
∴的最大值为3，的最大值为，
∴的最大值为：；
故答案为：7．
1．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ．
【答案】或243（两个答案均可得分）
【思路引导】本题考查了图形的变化类问题，找到图形的变化规律，即可得出答案．
【规范解答】解：∵第1个图案中有个，
第2个图案中有个，
第3个图案中有个，
第4个图案中有个，
…，
按此规律，第⑥个图案中有个涂有阴影的三角形．
故答案为：或243．
2．（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ．
【答案】
【思路引导】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．分析已知式子，得到第个式子为，即可得到答案．
【规范解答】解：第1个式子：，
第2个式子：，
第3个式子：，
第4个式子：，
……
观察发现，第个式子为，
故答案为：
3．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ．
【答案】21
【思路引导】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可．
【规范解答】解：∵第1个图案中矩形的个数：；
第2个图案中矩形的个数：；
第3个图案中矩形的个数：；
…
第n个图案中矩形的个数：，
∴则第10个图案中矩形的个数为：，
故答案为：21．
4．（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路引导】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可．
【规范解答】解：第1个代数式为，
第2个代数式为，
第3个代数式为，
第4个代数式为，
第5个代数式为，
……，
以此类推，可知，第n个代数式是，
故选：A．
5．（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式：
第1个：
第2个：
第3个：
第4个：
按照以上规律，第个等式为 ．
【答案】
【思路引导】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1，据此可得答案．
【规范解答】解：观察算式可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1，
所以第个等式为：，
故答案为：．
基础夯实
1．（2025七年级上·全国·专题练习）若，则的值为（　　）
A． B． C．8 D．10
【答案】B
【思路引导】本题考查整式的加减—化简求值，先将式子根据整式的加减运算法则化简，再代入计算即可．
【规范解答】解：原式
，
当，时，
原式
．
故选：B．
2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法正确的是（ ）
A．的系数是3
B．的次数是4
C．的最高次项为
D．的系数是
【答案】D
【思路引导】本题考查了单项式和多项式的次数及系数的概念，单项式是指数字和字母的乘积，单项式的次数是指所有字母的指数和，系数是指单项式的数字部分；多项式是多个单项式的和，次数是多项式中单项式的最高次数叫做多项式的次数；根据定义逐一分析即可．
【规范解答】解：A、单项式的系数是，而非仅3，选项错误；
B、单项式的次数是2，而非4，选项错误；
C、多项式中，各单项式次数依次为3、4、0，最高次项为，选项错误；
D、单项式的系数为，选项正确；
故选：D．
3．（24-25七年级上·湖南郴州·期中）单项式的系数，次数分别是（ ）
A．3、4 B．、4 C．、3 D．、3
【答案】D
【思路引导】本题考查了单项式的系数和次数，熟记定义是解本题的关键．单项式系数的定义：单项式中的数字因数；单项式次数的定义：单项式中字母因数的指数和；据此解答即可．
【规范解答】解：单项式的系数是，次数是3，
故选：D．
4．（23-24七年级上·江西赣州·期末）已知和是同类项，则式子的值是 ．
【答案】2
【思路引导】此题主要考查了同类项的定义，正确得出m，n的值是解题关键．直接利用同类项的定义（两个单项式中，含有相同的字母，且相同字母的指数也相同，则称这两个单项式为同类项），得出m，n的值，进而得出答案．
【规范解答】解：∵和是同类项，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：2．
5．（24-25七年级上·福建南平·期中）若与是同类项，则 ．
【答案】
【思路引导】本题考查了同类项的定义，代数式求值，根据同类项的定义求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键．
【规范解答】解：∵与是同类项，
∴，，
∴，
故答案为：．
6．（25-26七年级上·重庆渝北·自主招生）有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…从第3个数开始，每一个数都是它前面2个数的和，那么在前2020个数中有 个奇数．
【答案】
【思路引导】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可得从第1个数开始，每3个数中有2个奇数，据此求出2020除以3的商和余数即可得到答案．
【规范解答】解：这数列的奇偶排列规律是：奇、奇、偶、奇、奇、偶……
∴从第1个数开始，每3个数中有2个奇数，
∵，
∴在前2020个数中有个奇数，
故答案为：．
7．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表：
用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分
收费标准（元/度）
(1)若小明家10月用电量为160度，则他们家10月的电费是_____元．
(2)若小明家11月用电量为230度，则他们家11月的电费是_____元．
(3)若小明家12月用电量为度；请用含的代数式表示他们家12月应缴的电费．
【答案】(1)10月的电费是80元
(2)11月的电费是120元
(3)见详解
【思路引导】本题考查了列代数式，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先理解题意，再结合10月用电量为160度，进行列式计算，即可作答．
（2）先理解题意，再结合11月用电量为230度，进行列式计算，即可作答．
（3）理解题意，进行分类讨论，根据不同情况进行列式化简，即可作答．
【规范解答】（1）解：依题意，（元）
∴10月的电费是80元；
（2）解：依题意，（元）
∴11月的电费是120元；
（3）解：依题意，当时，则电费是元；
当时，
∴，
则电费是元；
当时，
∴，
则电费是元．
8．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）某小区的两块紧挨在一起的长方形空地的平面图如图所示（图中长度单位：m），现该小区管理者要在此空地上修建一个半圆形花圃，其余部分进行硬化．
(1)求硬化部分的面积（用含x的代数式表示）；
(2)当时，求硬化部分的面积（结果保留π）．
【答案】(1)
(2)
【思路引导】本题考查列代数式、求代数式的值、整式的加减，根据图形正确列出代数式是解答的关键．
（1）根据图形，阴影部分的面积是两个长方形的面积和减去半圆面积，进而化简可求解；
（2）将代入（1）中代数式求解即可．
【规范解答】（1）解：由图可知，阴影部分面积为
；
（2）解：当时，硬化部分的面积为．
9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，一个边长为的正方形，挖去四个半径为的半圆剩下来的部分（单位：cm）．
(1)用代数式表示剩下部分的周长；
(2)当，时，剩下部分的周长是多少（取3.14）．
【答案】(1)
(2)
【思路引导】本题考查了列代数式和代数式求值，正确列式是解题的关键；
（1）根据剩下部分的周长4个半圆的周长求解即可；
（2）把，代入（1）的式子计算即可．
【规范解答】（1）解： ，
答：剩下部分的周长是 ；
（2）解：当，时，
答：剩下部分的周长为．
10．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知：，．
(1)计算的表达式；
(2)若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【思路引导】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项法则，是解题的关键．
（1）根据去括号，合并同类项法则进行计算即可；
（2）先根据去括号，合并同类项得出，然后根据代数式的值与字母的取值无关，得出，，最后代入求出结果即可．
【规范解答】（1）解：
；
（2）解：
代数式的值与字母的取值无关，
∴，，
解得：，，
∴．
培优拔高
11．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）若单项式与的和仍为单项式，则的值是（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】C
【思路引导】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．先根据同类项的定义求出m和n的值，再把求得的m和n的值代入所给代数式计算即可．
【规范解答】解：∵单项式与的和仍为单项式，
∴单项式与是同类项，
∴，
∴．
故选：C．
12．（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）将一些小圆球如图摆放，第六幅图中共有（ ）个小圆球
A．25 B．30 C．36 D．42
【答案】C
【思路引导】本题考查了数字的规律探究以及连续奇数求和的知识，解题的关键是通过观察前几幅图中小圆球数量的计算式，总结出第 n幅图中小圆球数量为这一规律．
【规范解答】解：第一幅图：1 个，即 ；
第二幅图： 个，；
第三幅图： 个，；
第四幅图：个，．
由此可总结规律：第 n幅图中小圆球的数量是从 1 开始的 n个连续奇数的和，且和为．
根据上述规律，第六幅图中小圆球的数量是从 1 开始的 6 个连续奇数的和，即
． 按照规律，其和为．
所以，第六幅图中共有 36 个小圆球．
故选：C．
13．（24-25七年级下·北京房山·期末）对于一个四位正整数，若它的千位数字比个位数字大6，百位数字比十位数字大2，则称正整数为“数”．
（1）最小的“数”为____________；
（2）一个“数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为 ，记，若能被8整除，则满足条件的的最大值为____________．
【答案】（1）6200；（2）9753
【思路引导】本题考查整式的加减，代数式求值等知识，读懂题意，审清概念是解题的关键．
（1）根据“千位数字比个位数字大6，百位数字比十位数字大2”可知：当个位数字和十位数字都是0，取得最小的“数”，从而得解；
（2）根据题意可知，从而代入消去c和d，从而得到，要使得取最大值，则千位数字a取9，由可让、7……依次判断即可．
【规范解答】解：（1）∵千位数字比个位数字大6，百位数字比十位数字大2，
∴当个位数字和十位数字都是0时，千位数字是6，百位数字是2，此时取得最小的“数”，最小的“数”为6200，
（2）一个“数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，
∴，
由题意可知：，即，
∴，
又∵，
∴，
∴要使得取最大值，则千位数字a取9，
则若，则，不能被8整除，不合题意；
若，则，能被8整除，符合题意，此时，；
∴满足条件的的最大值为9753．
故答案是：（1）6200；（2）9753．
14．（24-25七年级上·全国·期中）观察下列一组数： ， ， ， ， ，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数 ．（用含n的式子表示）
【答案】
【思路引导】本题主要考查整式里数字类的规律题，根据题意先观察分子和第个数之间关系为，再观察分母和第个数之间关系为，即可得到答案；
【规范解答】解：，
当时，，；
，
当时，，；
，
当时，，；
，
当时，，；
，
当时，，；
∴当当时，分子，分母；
∴；
故答案为：
15．（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）下列几何体都是用小正方体堆放而成的．照这样的规律，第个几何体是用 个小正方体堆放而成的：第个几何体是用 个小正方体堆放而成的．
【答案】
【思路引导】本题考查图形的变化类问题，根据各图形中小正方体的个数，找到小正方体排列的规律，再利用规律解决问题即可．找到小正方体排列的规律是解题的关键．
【规范解答】解：第个几何体中的小正方体的个数为：，
第个几何体中的小正方体的个数为：，
第个几何体中的小正方体的个数为：，
∴第个几何体中的小正方体的个数为：，
……
∴第个几何体中的小正方体的个数为：．
故答案为：；．
16．（24-25七年级上·福建福州·期中）在春节联欢晚会上，魔术师给观众们表演了一个扑克牌游戏，随机挑选了一位观众，魔术师背对该观众，让该观众按下列四个步骤操作：
第一步，把部分扑克牌分发为张数相等的四堆，分别记为，，，四堆且每堆不少于2张牌；
第二步，从A堆中拿出两张放入堆中，从堆中拿出一张放入堆中；
第三步，从堆中拿出与A堆张数相同的牌放入A堆，从堆中拿出与堆相同的牌放入堆中；
第四步，把，两堆的牌叠在一起拿在手上．
这时，魔术师准确地说出了该观众手上牌的张数，这个张数是 ．
【答案】6
【思路引导】此题考查了整式的加减的应用，弄清题意是解本题的关键．设第一步中每堆牌的张数为x，根据题中的步骤，写出每一步完成后每堆牌的张数，即可得到答案．
【规范解答】解：设第一步中每堆牌的张数为x，
则第二步完成后，，，四堆牌张数分别为，，，，
第三步完成后，，，四堆牌张数分别为，，，，即，3，3，，
第四步，把，两堆的牌叠在一起拿在手上，手上牌的张数为．
故答案为：6．
17．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，一个长方形运动场被分割成A，A，B，B，C共5个区域，A区域是边长为的正方形，C区域是边长为的正方形．
(1)①B区域长方形场地的长是___________m，宽是___________m；
②列式表示一个B区域长方形场地的周长，并将式子化简．
(2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；当时，求整个长方形运动场的周长．
【答案】(1)①，；②
(2)
【思路引导】本题考查列代数式和代数式求值，理解拼图中各个区域之间的关系是解决问题的关键．
（1）①根据拼图中各个区域之间的关系得出答案；
②表示一个B区域长方形场地的长和宽，再求周长即可
（2）求出整个大长方形的长、宽，再求出周长，最后把代入计算即可．
【规范解答】（1）解：①根据图形各个区域之间的关系可得，
B区长方形场地的长是，宽为，
故答案为：，；
②一个B区域长方形场地的周长为．
（2）解：整个长方形运动场的长为，宽为，
因此，整个长方形运动场的周长为．
当时，．
故整个长方形运动场的周长为．
18．（2025七年级上·全国·专题练习）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．
(1)图中阴影部分的面积为 ；
(2)受此启发，得到＝ ；
(3)迁移应用：得到＝ （直接写出答案即可）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【思路引导】（1）根据图中三角形面积之间的关系即可解决问题；
（2）利用数形结合的思想即可解决问题；
（3）根据（3）中的结论即可解决问题；
本题考查图形变化的规律，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键；
【规范解答】（1）解：由题知，
正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半，
所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等．
又因为部分①的面积为：，
部分②的面积为：，
部分③的面积为：，
…，
依次类图，部分n的面积为．
当时，
．
所以阴影部分的面积为．
故答案为：．
（2）解：由（1）知，
，
所以．
故答案为：．
（3）解：由题知，
原式．
令①，
则②，
得，
，
即，
所以原式
．
故答案为：．
19．（24-25七年级上·福建泉州·期中）阅读下面材料：
在数轴上点A、B分别表示数a，b，则A、B两点之间的距离，例如，当，．
回答下列问题：
(1)①在数轴上表示与两点间的距离是 ，
②在数轴上表示x与4两点间的距离是 ；
③在数轴上表示x与________两点之间的距离为．
(2)下面对式子进行探究：
①当表示数x的点在与4之间移动时，的值总是一个固定的值为：___________．
②要使，数轴上表示的数___________________．
(3)求的最小值．
【答案】(1)①4；②；③
(2)①6；②5或
(3)9
【思路引导】本题考查了绝对值的几何意义是数轴上两点之间的距离，理解绝对值的几何意义是解题的关键．
（1）直接根据题干中两点之间的距离公式计算即可；
（2）①分析出的意义，再结合数轴可得；
②分析出的意义，再根据两点之间的距离为8列式计算即可；
（3）分5种情况去绝对值符号，计算各种不同情况的值，最后讨论得出最小值．
【规范解答】（1）解：①在数轴上表示与两点间的距离是；
②在数轴上表示x与4两点间的距离是；
③
则在数轴上表示x与两点之间的距离为；
（2）解：①当表示数x的点在与4之间移动时，
表示数轴上x与的距离和与4的距离之和，
则此时；
②表示数轴上x与的距离和与4的距离之和为8，
则x的值为或；
（3）解：表示数轴上x分别与4，2，，的距离之和，
时，原式,此时的最小值是13；
时，原式，此时的最小值是9；
时，原式，
时，原式，此时的最小值是9；
时，原式，此时的最小值是11，
综上：的最小值为9．
20．（24-25七年级上·广东广州·期中）阅读理解：对于一个正的三位数，规定： 应用：有一个正的四位数，且， ，
(1)若交换千位和个位上的数字，再交换百位和十位上的数字，所构成新的四位数是 ；
(2)用减去(1)中构成的四位数，得到新的四位数记为，试判断百位和十位的数字之和是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
(3)交换的百位和十位上的数字，又构成一个新四位数，记为；把和相加求和后得到的值为，求 ．
【答案】(1)
(2)百位和十位的数字之和是定值，该定值为，理由见解析
(3)
【思路引导】本题主要考查整式的加减以及求代数式的值；
（1）根据题意正确交换数位上的数字即可．
（2）要根据，，，的大小关系，正确确定每个数位上的数字，计算百位和十位的数字之和，即可求解．
（3）运用整体思想求的值．
【规范解答】（1）解：将正的四位数交换千位和个位上的数字，再交换百位和十位上的数字，所构成新的四位数是
故答案为：．
（2）是定值．
， ，且，，
，
百位和十位的数字之和是，
百位和十位的数字之和是定值，该定值为．
（3），
，
，
解得．
故答案为：．中小学教育资源及组卷应用平台
专题4.5 整式的加减 同步讲练
知识点梳理01：单项式
1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式；例如：等等。
技巧点拨
（1）单项式包括三种类型：
数与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；例如：等等。
单独的一个数；例如：等等。
单独的一个字母．例如：等等。
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．
例如：或也是单项式，但分母中含有字母的不可以，如不是单项式，因为它不能写成数字与字母的乘积形式．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：的系数分别为．
技巧点拨
（1）圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数；
（2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；
（3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．
3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，例如：
它们的次数分别为：2次，3次，3次．这里切记此处的π是数，不是作为字母，因此这个单项式的次数计算时只能算r的三次。
技巧点拨
（1）没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏；
（2）计算单项式的次数时，数字上的指数不能算．
知识点梳理02：多项式
多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式，例如：．
此例子中该多项式可以看成是，因此它是单项式的和。
多项式的概念中所说的和是包含减法的，因为所有的减法都可以转化成加法。
多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
这个多项式包含的项有三项： ，其中最后一项是，可不要当成1了！
名师点拨
（1）多项式的每一项包括它前面的符号；
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式．
3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
技巧点拨
多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数，不要与单项式的次数混淆．
知识点梳理03：整式
单项式与多项式统称为整式．它们之间关系如下图：
技巧点拨
（1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式．
知识点梳理04：同类项的概念
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．
技巧点拨
正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”：
（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；
（2）“两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关．
所有的常数项都是同类项．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
技巧点拨
合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变．
知识点梳理05：去括号法则
去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。
技巧点拨
括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；
括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．
添括号法则：
添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；
添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．
知识点梳理06：整式的加法和减法
整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
技巧点拨
（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
（2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来．
（3）整式加减的最后结果的检查：
要合并到不能再合并为止；
一般按照某一字母的降幂或升幂排列；
不能出现带分数．
考点1：已知同类项求指数中母或代数式的值
【典例精讲】（24-25七年级上·广西桂林·期中）整式化简求值：若单项式与单项式是同类项，试求的值．
【变式训练】（23-24七年级上·广西河池·期末）已知与是关于x、y的单项式，且它们是同类项．
(1)求a的值；
(2)若，且，求的值．
考点2：合并同类项
【典例精讲】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
(1)把看成一个整体，合并______；
(2)已知，运用“整体思想”求的值；
(3)若，，则______．
【变式训练】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
(1)把看成一个整体，合并______；
(2)已知，运用“整体思想”求的值；
(3)若，，则______．
考点3：整式的加减运算
【典例精讲】（24-25七年级上·福建福州·期中）定义新运算“”，即对任意的有理数，满足．
（下列运算结果均不含新运算符号“*”）
(1)分别计算和；
(2)计算，并用含的代数式表示的运算结果；
(3)判断定义的新运算是否满足运算律：
①先计算，再判断交换律是否成立？
②先计算，再判断结合律是否成立？
【变式训练】（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）已知关于的多项式和，其中（为常数），．
(1)若多项式中不含项，求的值；
(2)当时，求；
(3)在（2）的条件下，若，求的值．
考点4：整式的加减中的化简求值
【典例精讲】（22-23七年级上·重庆永川·期中）先化简，再求值：
若，求的值．
【变式训练】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）计算：
(1)；
(2)．
(3)先化简，再求值：，其中，．
考点5：整式加减中的无关型问题
【典例精讲】（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和．
（1）当，，时，的值为 ；
（2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ．
【变式训练】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）已知关于x、y的多项式
(1)若该多项式不含三次项，求m的值；
(2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值．
考点6：整式加减的应用
【典例精讲】24-25七年级上·北京·期中）如图1．在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区，其中的展台有三种不同的形状，其规格如图2所示．
(1)该长方形区域的长可以用式子表示为____；
(2)根据图中信息，用等式表示a，b，c满足的数量关系为____．
【变式训练】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）某超市在国庆期间对顾客实行优惠，规定如表所示：
一次性购物金额 优惠办法
少于300元 不予优惠
等于或大于300元但低于600元 九折优惠
等于或大于600元 其中600元部分给予九折优惠，超过600元部分给予七折优惠
(1)如果王叔叔一次性购物700元．那么他实际付款多少元？
(2)若顾客在该超市一次性购物元，
①当小于600但不小于300时，他实际付款 元，
②当大于或等于600时，他实际付款 元（用含的代数式表示）；
如果王叔叔两次购物货款合计940元，第一次购物的货款为元，用含的式子表示两次购物王叔叔实际付款多少元？
考点7：写出满足某些特征的单项式
【典例精讲】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路：
(1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ．
(2)这组单项式的次数的规律是 ．
(3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ．
(4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ．
【变式训练】（24-25七年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料，完成相应的任务：
一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫做对称式．例如代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式、，因为，所以是对称式；而代数式中字母a、b交换位置，得到代数式，因为，所以不是对称式．
任务：
(1)下列四个代数式中，是对称式的是_______（填序号即可）；
①；②；③；④；⑤
(2)写出一个只含有字母m，n的单项式，使该单项式是对称式，且次数为8次；
(3)已知，求，并直接判断所得结果是否为对称式．
考点8：单项式规律题
【典例精讲】（24-25七年级上·河南平顶山·期末）观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，…，按照上述规律，第100个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】（24-25七年级上·重庆渝中·期末）已知整式：，其中，， ，为自然数，为正整数，且．下列说法：
①满足条件的整式中有个单项式；
②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个；
③满足条件的整式共有个．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
考点9：多项式系数、指数中字母求值
【典例精讲】（24-25七年级上·河南商丘·期中）多项式是关于的二次三项式，则取值为（ ）
A．0 B．4 C．4或0 D．-4或1
【变式训练】（24-25七年级上·湖北孝感·期中）已知多项式，．
(1)若A是二次二项式，则k的值为 ；
(2)若k为最大的负整数时，化简．
考点10：将多项式按某个字母升幂(降幂）排列
【典例精讲】（24-25七年级上·四川资阳·期末）下列说法：①实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③将多项式按b的升幂排列是；④若多项式化简后不含项，则k的值是．其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知多项式．
(1)将该多项式按y降幂排列．
(2)若，求的值．
考点11：数字类规律探索
【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）在数学习题课中，同学们为了求的值，进行了如下探索：
(1)某同学设计如图1所示的几何图形，将一个面积为的长方形纸片对折．
（）求图中部分的面积；
（）请你利用图形求的值；
(2)请你利用备用图，再设计一个能求与的值的几何图形．
【变式训练】（24-25七年级上·广东东莞·期中）仔细观察下列三组数
第一组： ，，，，， …
第二组： ，，，，，…
第三组： ，，，，，…
解答下列问题：
(1)每一组的第6个数分别是_____，______，_____；
(2)分别写出各组的第n个数_____，_____，_____；
(3)取每组数的第10个数，计算它们的和．
考点12：图形类规律探索
【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，正方形的边长为1，第一次取出正方形的一半，第二次取出剩下图形的一半……以此类推，每一次都取出剩下图形的一半，共进行n次这样的操作．
进行的次数 1 2 3 n
剩下图形的面积 ____ ____ ____
(1)请将上表填写完整．
(2)请利用这个几何图形求的值： ．（用含n的代数式表示）
【变式训练】（2025七年级上·全国·专题练习）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去．
(1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形．
(2)计算的值．
考点13：带有字母的绝对值化简问题
【典例精讲】（（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数，，在数轴上所对应的点的位置如图所示．
(1)将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来；
(2)填空：______；______；______；（填“”或“”）
(3)化简：．
【变式训练】（24-25七年级上·北京·期中）1．已知，有理数在数轴上的位置如图所示，
（1）化简： ；
（2）若两数的倒数是他们自身，当的范围是 时，有最小值，最小值为 ．
（3）在（2）的条件下，若未知数满足，则代数式的最大值是 ．
1．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ．
2．（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ．
3．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ．
4．（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式：
第1个：
第2个：
第3个：
第4个：
按照以上规律，第个等式为 ．
基础夯实
1．（2025七年级上·全国·专题练习）若，则的值为（　　）
A． B． C．8 D．10
2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法正确的是（ ）
A．的系数是3
B．的次数是4
C．的最高次项为
D．的系数是
3．（24-25七年级上·湖南郴州·期中）单项式的系数，次数分别是（ ）
A．3、4 B．、4 C．、3 D．、3
4．（23-24七年级上·江西赣州·期末）已知和是同类项，则式子的值是 ．
5．（24-25七年级上·福建南平·期中）若与是同类项，则 ．
6．（25-26七年级上·重庆渝北·自主招生）有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…从第3个数开始，每一个数都是它前面2个数的和，那么在前2020个数中有 个奇数．
7．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表：
用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分
收费标准（元/度）
(1)若小明家10月用电量为160度，则他们家10月的电费是_____元．
(2)若小明家11月用电量为230度，则他们家11月的电费是_____元．
(3)若小明家12月用电量为度；请用含的代数式表示他们家12月应缴的电费．
8．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）某小区的两块紧挨在一起的长方形空地的平面图如图所示（图中长度单位：m），现该小区管理者要在此空地上修建一个半圆形花圃，其余部分进行硬化．
(1)求硬化部分的面积（用含x的代数式表示）；
(2)当时，求硬化部分的面积（结果保留π）．
9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，一个边长为的正方形，挖去四个半径为的半圆剩下来的部分（单位：cm）．
(1)用代数式表示剩下部分的周长；
(2)当，时，剩下部分的周长是多少（取3.14）．
10．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知：，．
(1)计算的表达式；
(2)若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值．
培优拔高
11．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）若单项式与的和仍为单项式，则的值是（ ）
A． B．4 C．2 D．
12．（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）将一些小圆球如图摆放，第六幅图中共有（ ）个小圆球
A．25 B．30 C．36 D．42
13．（24-25七年级下·北京房山·期末）对于一个四位正整数，若它的千位数字比个位数字大6，百位数字比十位数字大2，则称正整数为“数”．
（1）最小的“数”为____________；
（2）一个“数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为 ，记，若能被8整除，则满足条件的的最大值为____________．
14．（24-25七年级上·全国·期中）观察下列一组数： ， ， ， ， ，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数 ．（用含n的式子表示）
15．（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）下列几何体都是用小正方体堆放而成的．照这样的规律，第个几何体是用 个小正方体堆放而成的：第个几何体是用 个小正方体堆放而成的．
16．（24-25七年级上·福建福州·期中）在春节联欢晚会上，魔术师给观众们表演了一个扑克牌游戏，随机挑选了一位观众，魔术师背对该观众，让该观众按下列四个步骤操作：
第一步，把部分扑克牌分发为张数相等的四堆，分别记为，，，四堆且每堆不少于2张牌；
第二步，从A堆中拿出两张放入堆中，从堆中拿出一张放入堆中；
第三步，从堆中拿出与A堆张数相同的牌放入A堆，从堆中拿出与堆相同的牌放入堆中；
第四步，把，两堆的牌叠在一起拿在手上．
这时，魔术师准确地说出了该观众手上牌的张数，这个张数是 ．
17．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，一个长方形运动场被分割成A，A，B，B，C共5个区域，A区域是边长为的正方形，C区域是边长为的正方形．
(1)①B区域长方形场地的长是___________m，宽是___________m；
②列式表示一个B区域长方形场地的周长，并将式子化简．
(2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；当时，求整个长方形运动场的周长．
18．（2025七年级上·全国·专题练习）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．
(1)图中阴影部分的面积为 ；
(2)受此启发，得到＝ ；
(3)迁移应用：得到＝ （直接写出答案即可）．
19．（24-25七年级上·福建泉州·期中）阅读下面材料：
在数轴上点A、B分别表示数a，b，则A、B两点之间的距离，例如，当，．
回答下列问题：
(1)①在数轴上表示与两点间的距离是 ，
②在数轴上表示x与4两点间的距离是 ；
③在数轴上表示x与________两点之间的距离为．
(2)下面对式子进行探究：
①当表示数x的点在与4之间移动时，的值总是一个固定的值为：___________．
②要使，数轴上表示的数___________________．
(3)求的最小值．
20．（24-25七年级上·广东广州·期中）阅读理解：对于一个正的三位数，规定： 应用：有一个正的四位数，且， ，
(1)若交换千位和个位上的数字，再交换百位和十位上的数字，所构成新的四位数是 ；
(2)用减去(1)中构成的四位数，得到新的四位数记为，试判断百位和十位的数字之和是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
(3)交换的百位和十位上的数字，又构成一个新四位数，记为；把和相加求和后得到的值为，求 ．

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