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同济大学第二附属中学2024学年第二学期期末考试
高二年级数学学科（试卷）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.
1. 设抛物线的准线方程为__________.
2. 已知，，则_________．
3. 已知是椭圆上的动点，，且，则__________.
4. 设随机变量服从正态分布，且，若，则__________.
5. 如图是某小组成员的年龄分布茎叶图（十位数字为茎、个位数字为叶），则该小组成员年龄的第30百分位数为_________．
2 7 8
3 1 3 6 6 8
4 0 5
5 2 4 8
6. 已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围______.
7. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为______．
8. 马鞍山市某月连续四天的最低气温如下表所示：
第天
最低气温（单位）
由最小二乘法得到经验回归方程，则的值为_____________.
9. 已知点，直线被圆所截得弦中点为N，则的最大值是________.
10. 已知双曲线（）的左、右焦点分别为、．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得．若的面积为，则的值为______．
11. 袋中装有5个相同的红球和2个相同的黑球，每次从中抽出1个球，抽取3次按不放回抽取，得到红球个数记为X，得到黑球的个数记为Y；按放回抽取，得到红球的个数记为.下列结论中正确的是_____________.①；②；③；④.
12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，线段与轴相交于点．若，且，则的离心率为________．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，前2题每题4分，后两题每题5分，否则一律得零分.
13. 一个志愿者组织有成员45人，40岁以上的成员有25人，如果按照年龄进行分层随机抽样，要抽取一个容量为18的样本，则应抽取40岁以上成员的人数为（ ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
14. 已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，，，则下面结论正确的是（ ）
A. 事件A与B一定是对立事件
B.
C.
D 若事件A、B相互独立，则
15. 已知随机变量X的分布列为
0 1
若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
16. 坐标平面上的点，将点绕原点逆时针旋转后得到点.这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线：绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.
17. 已知直线；
（1）若，求实数的值；
（2）若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值.
18. 为积极参与马拉松比赛，某中学决定从3000名学生随机抽取100名学生进行体能检测，这100名学生进行了15公里的马拉松比赛，比赛成绩（分钟）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是，，，，.
（1）求图中的值，并估计这100名学生比赛成绩的平均数；
（2）根据样本频率分布直方图，估计该校3000名学生中约有多少名学生能在80分钟内完成15公里马拉松比赛
19. 已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过抛物线焦点的直线与抛物线相交于、两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）求直线的方程.
20. 时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
直播带货评级 主播的学历层次 优秀 良好 合计
本科及以上 60 40 100
专科及以下 30 70 100
合计 90 110 200
（1）是否有的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？
（2）统计学中常用表示在事件条件下事件发生优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势．现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”，表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势；
（3）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望．
附：，．
0.050 0.010 0001
k 3.841 6.635 10.828
21. 已知双曲线的左顶点在直线上，的左焦点为，点.为的右支上一动点.
（1）求双曲线渐近线方程；
（2）过点且斜率为的直线与的左支交于D，E两点，求的面积的最小值；
（3）设为的左支上与不重合的一动点，若直线平分，证明：直线MN恒过定点.
同济大学第二附属中学2024学年第二学期期末考试
高二年级数学学科（试卷）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.
【1题答案】
【答案】
【2题答案】
【答案】##0.125
【3题答案】
【答案】5
【4题答案】
【答案】0.5##
【5题答案】
【答案】
【6题答案】
【答案】
【7题答案】
【答案】##
【8题答案】
【答案】
【9题答案】
【答案】
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】①③④
【12题答案】
【答案】##
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，前2题每题4分，后两题每题5分，否则一律得零分.
【13题答案】
【答案】B
【14题答案】
【答案】D
【15题答案】
【答案】D
【16题答案】
【答案】B
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1），平均数为73
（2）2250
【19题答案】
【答案】（1）
（2）或.
【20题答案】
【答案】（1）有 （2），在事件条件下发生有优势
（3）分布列见解析，
【21题答案】
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析.

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