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2024级高一下期期末学业质量监测
数学
本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．
一、单选题（本题共8小题．每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数z满足，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 在正方体中，，P、Q分别为棱，BC的中点，则从点P出发，沿正方体表面到达点Q的最短路径的长度为（ ）
A. B. C. 3 D.
4. 已知甲、乙两组数据的统计结果如下表.若将这两组数据混合后得到丙组数据，则丙组数据的方差为（ ）
样本容量 平均数 方差
甲组 20 10 1
乙组 30 15 6
A. 10 B. C. 9 D. 3
5. 已知，则的值为（ ）
A B. C. D.
6. 已知钝角的三边为，，，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数在区间上单调，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
8. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，但刘徽未能求得牟合方盖的体积，约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等．图1为棱长为r的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为r的正方体的八分之一，图3是底面边长为r的正方体的一个底面和底面以外的顶点作的正四棱锥，由祖暅原理计算知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题．每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9. 若复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当或时，z实数
B. 若z为纯虚数，则或
C. 若复数z对应的点位于第二象限，则
D. 若复数z是方程的解，则
A. 三棱锥的体积为定值
B. 异面直线与直线所成角为定值
C. 在点P运动过程中，平面BPD截该正方体的截面形状为三角形或矩形
D. 直线与平面所成角的余弦值的范围是
11. 如图，是边长为2的等边三角形，M为BC上靠近B的三等分点，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若AM交BO于点N，，则
C. 的最大值为5
D. 若点Q为此半圆弧上的另一个动点，且满足，则的最大值为
三、填空题（本题共3小题．每小题5分，共15分）
12. 计算________．
13. 已知某圆锥侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的外接球体积为_____________.
14. 已知向量，，的模长分别为2，1，1，记向量与的夹角为θ，，则的最大值为________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）．
（1）求a的值；
（2）从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数；
（3）认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少．（保留整数）
16. 如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，．
（1）求证：平面．
（2）在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由．
17. 在中，内角、、所对的边分别为、、，已知.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
18. 如图，已知四棱锥中，侧面PAD为边长等于2正三角形，底面ABCD为菱形，，O为AD中点，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为．
（1）证明平面PBO；
（2）求点P到平面ABCD距离；
（3）求二面角的余弦值．
19. 已知函数（，，）的部分图象如图所示．
（1）将的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向上平移两个单位长度得到函数．求函数的解析式与对称中心．
（2）已知（），求的值．
（3）已知，高2024级数学节利用函数进行了一个棋盘游戏：有一个的正方形棋盘，开始时将一颗棋子置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每走一步移动1格，且在第n（，）步时，若，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求实数λ的取值范围．
2024级高一下期期末学业质量监测
数学
本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．
一、单选题（本题共8小题．每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】B
二、多选题（本题共3小题．每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
【9题答案】
【答案】ACD
【10题答案】
【答案】AB
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题（本题共3小题．每小题5分，共15分）
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【15题答案】
【答案】（1）
（2）众数为65分，平均数为71.8分
（3）68分
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）存在点，满足即可，理由见解析
【17题答案】
【答案】（1）（2）
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【19题答案】
【答案】（1）；对称中心：
（2）
（3）

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