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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优华东师大版（2024）
第1章 有理数 1.10 有理数的除法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．有理数，在数轴上的对应位置如图所示，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列结论正确的是（　　）
A．无限不循环小数叫做无理数
B．有理数包括正数和负数
C．0除以任何数都得0
D．两个有理数的和一定大于每一个加数
6．如果□÷△=☆…○，且○=5，那么△最小是（　　）.
A．3 B．4 C．5 D．6
7．下列说法中正确的是（　　）
①若a，b互为相反数，且ab≠0，则=-1
②倒数等于本身的数有0，±1　
③若|x-1|=5，则x=6
④若|a+8|+（b-2）2=0，则a-b=-10
⑤a+5比a大
⑥（-2）2与-22相等．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．计算： 的结果是（　　）
A．-1 B．1 C． D．25
9．如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，下列结论：
①；②；③；④．
其中结论正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列各式的计算结果是负数的是（　　）。
A．-2×3×（-2）×5 B．3÷（-3）×2.6÷（-1.5）
C．|-3|×4×（-2）÷（ ） D．（-2-5）×（-3+5）÷|-10|
二、填空题
11．计算：　 　．
12．定义：是不为的有理数，我们把称为的差倒数如：的差倒数是，的差倒数是已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，以此类推，则　 　．
13．化成最简整数比：25g∶0.5kg＝　 　．
14．下列结论：①若a为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则的值为1或，其中正确结论的番号是　 　．
15．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，，用这种方法解决下列问题：
（1）当时，的值为　 　；
（2）若有理数不等于零，的值为　 　；
（3）若有理数，异号，的值为　 　．
16．在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数n，当n为偶数时，就用n除以2，得到一个新的自然数；当n为奇数时，我们先把n乘以3后，其结果再加上1，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序m次，直到运算的结果第一次为1时，终止此程序，我们就称m是自然数n的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过3次运算后结果第一次为1，则称8的熵．若输入自然数，则自然数3的熵；若一个自然数n的熵，则满足条件的所有可能的自然数n的取值之和为；
三、计算题
17．计算：
（1）
（2）
（3） （用简便方法计算）
（4）
（5）
（6）
四、解答题
18．每克铀含有 个原子核，一个原子核裂变时能放出 千焦的热量， 1 吨干木柴完全燃烧能放出 千焦的热量， 那么 1 克铀的原子核全部裂变时放出的热量相当于多少吨干木柴完全燃烧所放出的热量？ （结果精确到 0.01 吨）
19．某校体育老师对七年级班女生进行了百米抽样测试，达标成绩为秒，抽测的名女生的成绩如下表所示用时少于秒的部分记作负数，多于秒的部分记作正数，单位：秒：
学生 号 号 号 号 号 号 号 号
成绩
（1）这组女生中，达标的有　 　 人，跑步最快的是　 　 号，成绩是　 　 秒；
（2）这组女生此次百米测试的平均成绩是多少秒？
20．如图1是甲、乙两个圆柱形水槽轴截面图，甲槽内水位高度为，乙槽内无水，现将甲槽内的水注入乙槽．
（1）若甲槽的底面积是乙槽的2倍．
①当甲槽内水位下降，则乙槽水位上升___________．（用含x的代数式表示）
②当甲槽与乙槽水位高度相等时，求水槽中水位的高度．
（2）如图2，若乙槽内放入高度为的圆柱形铁块，当甲槽内水位下降到时，乙槽内水位刚好到达铁块高度；当甲槽内的水全部注入乙槽时，乙槽的水位高度是．若乙槽的底面积是，求甲槽的底面积和铁块的底面积．
（3）在（2）的条件下，是否存在乙水槽水位高度是甲水槽水位高度的4倍，若不存在，请说明理由，若存在，请求出此时甲水槽的水位高度．
21．已知 ∶ ＝0.3∶0.4， ∶ ＝ ，求： ∶ ∶ ．
22．小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方．小明把记作，记作．
（1）直接写出计算结果，_____， _____；
（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 _____．（填序号）
①对于任何正整数n，都有；
②；
③；
④对于任何正整数n，都有．
（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数，），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示）
（4）请利用（3）问的推导公式计算：．
23．已知三个有理数a，b，c的积是负数，它们的和是正数，当x= 时，求代数式： x2019-2x+2的值.
参考答案及试题解析
1．C
2．D
【解答】解：对于A．，故选项A不正确；
对于B．，故选项B不正确；
对于C．，故选项C不正确；
对于D．，故选项D正确；
故选D．
【分析】根据有理数的加法，减法，乘方，除法法则逐项分析即可．
3．D
4．D
5．A
【解答】解：A、无限不循环小数叫做无理数，正确，故本选项符合题意；
B、有理数包括正有理数、0和负有理数，不正确，故本选项不符合题意；
C、0不能除以0，无意义，不正确，故本选项不符合题意；
D、一个数同0相加仍得这个数，所以两个有理数的和不一定大于每一个加数，不正确，故本选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据有理数的分类、无理数的定义、有理数的除法、加法法则逐一判断即可.
6．D
【解答】解：∵□÷△=☆…○，且○=5
∴△＞5，
∴△最小是6，
故答案为：D.
【分析】根据余数的定义即可求解.
7．B
【分析】根据相反数的定义对①进行判断；根据倒数的定义对②进行判断；根据绝对值的意义对③进行判断；根据非负数的性质可④进行判断；由于a+5＞a得到⑤正确；利用乘方的意义对⑥进行判断．
【解答】若a，b互为相反数，则a+b=0，而ab≠0，于是 =-1，所以①正确；
倒数等于本身的数有±1，所以②错误；
|x-1|=5，则x=6 或x=-4，所以③错误；
若|a+8|+（b-2)2=0，则a=-8，b=2，于是a-b=-10，所以④正确；
a+5比a大，所以⑤正确；
（-2)2=4，-22=-4，所以⑥错误．
故选B．
8．C
【解答】解： ．
故答案为：C．
【分析】将除法转化为乘法，然后约分即得.
9．B
10．D
【解答】解：A项中，-2×3×（-2）×5=60；
B项中，3÷（-3）×2.6÷（-1.5）=；
C项中，|-3|×4×（-2）÷（）=48；
D项中，（-2-5）×（-3+5）÷|-10|=-1.4。
所以计算结果是负数的是（-2-5）×（-3+5）÷|-10|。
故答案为：D。
【分析】除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数；
几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。
11．
12．
【解答】解：∵
∴
∴三个为一个周期，
∵
∴
故答案为：.
【分析】计算前四个式子，结果为：，三个为一个周期，据此求解即可.
13．1:20
【解答】25g∶0.5kg=25g∶500g=1:20，
故答案为：1:20.
【分析】先进行单位统一，然后，再进行化简即可.
14．②④
15．；或1；0
【解答】解：（1）当时，，
故答案为：；
（2）a≠0，分两种情况：
①当时，，
②当时，，
故答案为：或；
（3）a，b异号，
①设，则，
，
②
设，则，
，
故答案为：．
【分析】
（1）将代入计算即可；
（2）分两种情况，一种是，一种是，代入式子计算即可；
（3）根据有理数，异号，，或，然后计算即可．
16．7,786
17．（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
18．解：由题意可得：
1 克铀的原子核全部裂变时放出的热量为：
∵1 吨干木柴完全燃烧能放出 千焦的热量
∴
即1 克铀的原子核全部裂变时放出的热量相当于6.50 吨干木柴完全燃烧所放出的热量.
【分析】根据题意先计算出 1 克铀的原子核全部裂变时放出的热量，再除以1 吨干木柴完全燃烧能放出 千焦的热量，结合同底数幂的乘除法及有理数的乘除法即可求出答案.
19．（1）6；4；16.8
（2）解：
秒，
答：这组女生的平均成绩为秒．
【解答】(1)解：∵达标成绩为18秒，表中少于秒的部分记作负数，
∴表中数据是0或负数的学生都是达标的，
∴这组女生的1号，3号，4号，5号，6号，8号这6名学生达标，
跑步最快的是4号用时最少，成绩是18-1.2=16.8(秒).
故答案为：6；4；16.8.
【分析】（1）根据表格中的数据即可求解.
（2）用达标成绩加上抽测8名女生成绩的平均数即可.
20．（1）①；②当甲槽与乙槽水位高度相等时，水槽中水位的高度为
（2）；
（3）存在；此时甲水槽的水位高度为
21．解： ∶ ＝3：4=9：12，
∶ ＝6：5=12：10，
∶ ∶z=9：12：10
【分析】因为x和z都与y比，所以根据比的性质，把y的份数转化的一样多，进而把它们写成连比即可．
22．（1）2，；
（2）③
（3）（n为正整数，）
（4）6
23．解：∵a，b，c的积是负数，它们的和是正数，
∴a，b，c中应该有两数是正数，一数是负数，
那么不妨设a，b是正数，c是负数，
∴x= ＝1+1﹣1＝1，
∴x2019－2x+2＝1﹣2+2＝1.
【分析】由题意可得a，b，c应该有两数是正数，一数是负数，于是不妨设a，b是正数，c是负数，进而可求出x的值，然后把x的值代入所求式子计算即可.
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