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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优华东师大版（2024）
第1章 有理数 1.12 有理数的混合运算
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知某地高度每增加1千米，气温大约下降，现在地面气温是，那么6千米高度的气温是（　　）
A． B． C． D．
2．规定表示不超过a的最大整数，例如：，，．计算的值为（　　）
A． B．1 C． D．
3．算式22+22+22+22结果可化为（　　）
A．24 B．82 C．28 D．216
4．用边长为1的正方形纸板，制成一个七巧板（如图①），将它拼成“小天鹅”图案（如图②），其中阴影部分的面积为 （　　）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A．﹣2﹣1=﹣1 B．﹣（﹣2）3=8
C．3÷3=3 D．（﹣2）4=8
6．在计算 时，下列四个过程：①原式 ；②原式 ；③原式 ；④原式 ，其中正确的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
7．如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|=2， |n|=1，且mn<0，那么式子（mn）3-（a+b）2021+（-cd）2021的值是（　　）。
A．-9 B．-7 C．9 D．7
8．（　　）
A．0 B．3 C．9 D．18
9．数学上，为了简便把1到n的连续n个自然数的和记作，即；把1到n的连续n个自然数的乘积记作n！，即n！＝1×2×3×…×（n﹣1）×n；则的值为（　　）
A．0 B．1 C．2020 D．2021
10．当时，代数式的值为，则时，的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．现定义两种运算：“”“”，对于任意两个非零整数、且，，，，则　 　．
12．若 ，则 　 　
13．观察下列等式：
，将这n个等式相加得
；阅读以上解题过程，计算：=　 　．
14．数轴上A点表示的数是1.5，则数轴上与A点相距3个单位长度的B点表示的数是　 　。
15．计算：－ ÷ ＝　 　.
16．阅读下面计算 的过程，然后填空
解： ， ，…，
∴
以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成：
（1）　 　.
（2）当 时，最后一项 =　 　.
三、计算题
17．计算：．
四、解答题
18．（1）用加、减、乘、除号和括号（可以重复），将，6，8这四个数（每个数都要用且只用一次）组成算式，使运算结果为24，你的算法是 （写出一种即可）
（2）规定一种新的运算：，如，则的值是 ；
19．观察下列各等式：，，，……，根据你发现的规律解答下列问题：
（1）请写出第四个等式；
（2）计算的值；
（3）计算：．
20．计算： 小明同学在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了.
（1）如果被污染的数字 ，请计算
（2）如果计算结果等于4，求被污染的数字.
21．某超市销售晋江特产“衙口花生”，平均每天可售出100箱，每箱盈利12元．为了扩大销售，让利顾客，该超市采取降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱．根据上面的信息，解决下列问题：
（1）若每箱降价3元，则每天销售该花生可获利多少元？
（2）若要使每天销售该花生获利1400元，则每箱应降价多少元？
22．观察下列等式：
第1个等式：a1=
第2个等式：a2=
第3个等式：a3=
第4个等式：a4=
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式a5=　 　=　 　 ；
（2）用含n的代数式表示第n个等式an=　 　=　 　(n为正整数) ．
（3）求a1+a2+a3+a4+……+ a10的值．
23．如图，已知数轴上点表示的数为6，点是数轴上在点左侧的一点，且两点间的距离为10，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动.
（1）数轴上点表示的数是；
（2）运动1秒时，点表示的数是；
（3）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，若点同时出发.求：
①当点运动多少秒时，点与点相遇？相遇时对应的有理数是多少？
②当点运动多少秒时，点与点的距离为8个单位长度.
参考答案及试题解析
1．B
2．D
3．A
【分析】根据有理数的乘法和乘方的定义解答．
【解答】22+22+22+22，
=4×22，
=22×22，
=24．
故选A．
【点评】本题考查了有理数的乘方，有理数的乘法，乘方是乘法的特例，乘法是加法的简便运算．
4．A
5．B
【解答】解：A、原式=﹣3，错误；
B、原式=﹣（﹣8）=8，正确；
C、原式=3×3×3=27，错误；
D、原式=16，错误，
故选B
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
6．C
【解答】解：
①原式 =6；不符合题意；
②原式 =3-2=1，不符合题意；
③原式 =-6，同原式结果相同，符合题意；
④原式 =1，不符合题意.
故答案为C.
【分析】首先计算出括号中的结果，然后根据有理数的除法法则计算出已知式子的结果，接下来分别计算出①②③④的结果，最后进行比较即可.
7．A
【解答】解：a、b互为相反数，那么a+b=0，c、d互为倒数，那么cd=1，（mn）3-（a+b）2021+（-cd）2021=（-2）3-0+（-1）2021=-8-0+（-1）=-9。
故答案为：A。
【分析】负数的奇次幂是负数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0；
互为相反数的两个数的和是0；乘积为1的数互为倒数。
8．D
【解答】解：原式=
故答案为：D.
【分析】本题主要考查平方运算和加法运算，属于基础题型.根据正数和复数的平方关系进行计算即可求解.
9．A
【解答】解：由题意可得：
＝（1+2+3+…+2020）﹣（1+2+3+…+2020+2021）+
＝（1+2+3+…+2020）﹣（1+2+3+…+2020）﹣2021+2021
＝0．
故答案为：A.
【分析】由定义的新运算列出常规的关于有理数的加减乘除混合运算算式，进而根据混合运算的运算顺序进行计算即可.
10．D
11．
12．13
【解答】解：∵ +(y-3)2=0，
∴x+2=0，y-3=0，
解得：x=-2，y=3，
则x2+y2= (-2)2+32=13.
故答案为：13.
【分析】根据非负数之和为0，则每一个数都为0，可得x+2=0，y-3=0，求出x、y，进而可得x2+y2的值.
13．
14．-1.5或4.5
【解答】解：∵数轴上A点表示的数是1.5，
∴数轴上与A点相距3个单位长度的B点表示的数是1.5±3=4.5或-1.5.
故答案为：4.5或-1.5.
【分析】要求数轴上与A点相距3个单位长度的B点表示的数，可利用平移解答，即将点A向左或向右平移3个单位。再根据左减右加，列式计算可求出结果。
15．
【解答】解：原式=
故答案为：
【分析】先通分计算括号内异分母分数的加减法，再计算括号外边的除法，先根据除法法则确定出商的符号，再将除数的分子分母交换位置将除法转变为乘法，利用有理数的乘法法则算出答案。
16．（1）
（2）
【解答】解：（1）由题可知： ，
∴
；
（2）设
∵
∴
解得： ，经检验 是原方程的解.
∴
【分析】(1)根据题中方法计算即可；(2)设 ，根据题中方法，解方程即可.
17．解：原式
【分析】根据有理数的乘除法及减法即可求出答案.
18．（1）；（2）1
19．（1）解：由题干信息归纳可得：第四个等式为：；
（2）解：
；
（3）解：
．
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）把各项进行裂项，化简即可求出答案.
（3）利用（2）中的解答的方式把原式化为：再求解即可．
（1）解：由题干信息归纳可得：第四个等式为：；
（2）
；
（3）
．
20．（1）解：由题意可得
=-12+3-4
=-13
（2）解：将被污染的数字设为x，由题意得
去括号，得-12+18x（-4）=4
移项、合并同类项，得18x=20
系数化为”1“，得x=109.
【分析】（1）将未知数的值代入式子，可求出结果.
（2）由题意列出关于x的一元一次方程，再解这个一元一次方程，即可以求得答案.
21．（1）1440元
（2）5元
22．（1）；
（2）；
（3）解：原式=
=
=
==.
【解答】解： （1）第5个等式a5= ，
故答案为：，，
（2） an=
故答案为：，，
【分析】（1）观察已知等式可知：连续奇数乘积的倒数等于各自倒数差的一半，据此解答即可；
（2）利用（1）规律求解即可；
（3）利用规律列出式子，再裂项求和即可.
23．（1）解：∵数轴上A表示的数为6，，
解得b=-4或16，
而B在A的左侧，
∴b=-4，即数轴上点表示的数是-4；
（2）解：运动1秒时，点P表示的数是：6-3×1=3；
（3）解：①设当点P运动x秒时，点P与点Q相遇，
由题意可列方程：3x+2x=10，解得：x=2；
∵6-3×2=0，
∴即相遇时对应的有理数为0；
②点P、Q相遇前，6-3x-(2x-4)=8，
解得：t=；
当P、Q相遇后，2x-4-(6-3t)=8，
解得：x=；
答： 当点P运动或秒时，点P与点Q的距离为8个单位长度.
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离等于两坐标之差的绝对值并结合A、B的位置可求解；
（2）根据点P出发点、速度及时间可求解；
（3）①由点P、Q重合可列关于x的方程，解方程可求解；
②由题意分两种情况：点P、Q相遇前、P、Q相遇后两种情况分别列关于x的方程可求解.
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