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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优华东师大版（2024）
第2章 整式及其加减 2.3 整式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列叙述正确的是（　　）
A．是整式 B．是二次四项式
C．的各项系数都是 D．的常数项是
2．给出下列说法：①表示负数；②在中，底数是2；③单项的次数是3；④多项式的次数是3；⑤若，则，．其中说法正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．将多项式按的降幂排列的结果是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列说法中正确的个数有（　　）
（1）－a表示负数； （2）小于－1的数的倒数大于其本身 ；
（3）单项式－的系数为－； （4）一个有理数不是整数就是分数
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．代数式-2x，0，3x-y，，中，单项式的个数有(　　)
A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个
6． 下列说法中正确的是 (　　)
A．单项式-3xy的系数是-3
B．单项式2πa3 的次数是 4
C．多项式是二次三项式
D．多项式的项分别是x2，2x，3
7．下面说法中，正确的是（　　）
A． 是代数式
B． ， ， ，都是单项式
C．单项式和多项式都是整式
D．多项式 由 ， ， 组成
8．如果的乘积中不含x的一次项，则a为（　　）
A．5 B．－5 C． D．
9．单项式﹣8ab2的系数和次数分别是（　　）
A．8与2 B．8与3 C．﹣8与2 D．﹣8与3
10．下列说法正确的是（　　）
A．若|a|=-a，则a＜0.
B．若a＜0，ab＜0，则b＞0.
C．式子3xy2-4x3y+12是七次三项式.
D．若a=b，m是有理数，则.
二、填空题
11．的系数是　 　．
12．是　 　次　 　项式．
13．在 ，x＋1，－2，－ ，0.72xy， ，a中，　 　是单项式．
14．任意写一个含有字母a、b且常数项为－9的三次三项式. 　 　
15．已知三个单项式：①；②；③，按次数由小到大排列为　 　．（填序号）
16．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如下所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自世纪中叶（约公元年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”．请你探索杨辉三角中每一行中所有数字之和的规律，并求出第行中所有数字之和为　 　．
三、计算题
17．在小学学习正整数的加减时，我们会用“列竖式”的方法帮助计算. 在进行整式的加减运算时也可以用类似的方法：如果把两个或者几个整式按同一字母降幂(或升幂)排列，并将各同类项对齐，就可以列竖式进行加减了，比如计算就可以列竖式为：
根据上述阅读材料，解决下列问题：
已知：，
（1）将A按照x的降幂进行排列是： ；
（2）仿照上面的方法列竖式计算A+B；
（3）小丽说也可以用类似方法列竖式计算A-B，请你试试看；
（4）请写一个多项式C= ，使其与B的和是二次单项式.
四、解答题
18．填表．
（1）
单项式 30a -x3 y ab2c3 -3xy3 πr2
系数 　 　 　 　 　 　
次数 　 　 　 　 　 　
（2）
多项式 3a-1 -x+5x2+7 x2y-3xy+1
项 　 　 　
次数 　 　 　
最高次项 　 　 　
几次几项式 　 　 　
19．已知关于x的多项式3x4﹣（m+5）x3+（n﹣1）x2﹣5x+3不含x3项和x2项，求m，n的值．
20．如图.
（1）求：阴影部分的面积和周长.
（2）上述求得的表示面积和周长的式子分别是单项式还是多项式 若是单项式，说出它的系数和次数；若是多项式，它是几次多项式 并说出各项的系数.
21．如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且关于x的多项式是七次二项式．
（1） ， ；
（2）点P、Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向右运动．且点P的速度是点Q速度的2倍，经过6秒钟点P与点Q相遇，求点Q与点P的速度分别为每秒几个单位；
（3）若P、Q两点同时以（2）中各自的速度相向而行，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向左运动，且点P运动到B点后原速返回，当点Q到达点A时，P、Q停止运动，经过几秒钟，P、Q两点相距6个单位长度．
22．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最小的正整数，且多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c.
（1）　 　，　 　，　 　；
（2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与某数表示的点重合，则此数为　 　；
（3）若这三条线段的长度之比为2∶2∶5，则折痕处对应的点在数轴上所表示的数可能是多少？
23．设a，b，c为整数，且对一切实数都有（x-a）（x -8）+1=（x-b）（x-c）恒成立．求a+b+c的值．
参考答案及试题解析
1．D
2．B
3．B
4．C
【解答】解：（1）中，当a<0时，﹣a是正数，故（1）错误，所以（1）不符合题意；
（2）中，小于－1的数的倒数大于其本身，正确，所以（2）符合题意；
（3）中，单项式－的系数为－，错误，所以（3）不符合题意；
（4）中，有理数分为整数和分数，故一个有理数不是整数就是分数，正确，所以（4）符合题意，
所以，正确的有2个，
故选：C．
【分析】本题考查了负数、倒数、单项式的系数、有理数的分类，根据负数和倒数的定义、单项式的系数定义和有理数的分类，逐项分析判断，即可求解.
5．B
【分析】根据单项式的定义来解答．单项式是只有字母和数字的积的形式的代数式，一个字母或数字也叫单项式．
【解答】（1）任意个字母和数字的积的形式的代数式（除法中有：除以一个数等于乘这个数的倒数)，-2x符合该条件，而不符合积的形式；
（2）一个字母或数字也叫单项式．如，0也是单项式；
（3）分母中不含字母（单项式是整式，而不是分式)，所以属于分式，而不属于单项式．
所以上述代数式中单项式有-2x和0两个．
故选B．
【点评】确定一个代数式是否是单项式有三个标准：
（1）任意个字母和数字的积的形式的代数式；
（2）一个字母或数字也叫单项式；
（3）分母中不含字母．
6．A
【解答】解：单项式-3xy的系数是-3，故A正确；
单项式2πa3 的次数是3，故B错误；
多项式 是四次三项式，故C错误；
多项式.的项分别是x2，-2x，6，故D错误.
故答案为：A.
【分析】A、根据单项式的系数的意义求解；
B、根据单项式次数的意义求解；
C、D根据多项式的次数与项求解.
7．C
【解答】A是等式，故不符合题意；
B选项中 项，分母中含有字母，故不符合题意；
C选项的表述即整式的定义，故符合题意；
D选项中，多项式 由 ， ， 组成，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】数与字母的积是单项式，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式，判断即可.
8．B
【解答】解：∵，
又∵乘积中不含x一次项，
∴，解得 ．
故答案为：B．
【分析】将 根据多项式乘法法则展开整理，因乘积中不含x一次项可得 ，解之即可。
9．D
【解答】解：单项式﹣8ab2的系数和次数分别是﹣8，3．
故选：D．
【分析】依据单项式的系数和次数的定义解答即可．
10．B
【解答】解：A、若 ： ，则a≤0，不符合题意；
B、若a<0，ab<0， 则b>0， 符合题意；
C、式子3xy2-4x3y+12是4次三项式，不符合题意；
D、若a=b， m≠0，则， 不符合题意.
故答案为：B.
【分析】当a≤0， ；若a<0结合ab<0， 则b>0；几个单项式的和就是多项式，其中每一个单项式就是多项式的项，次数最高的项的次数就是多项式的次数；根据等式的性质，等式两边要同时除以不等于零的数.
11．
【解答】解：的系数是
故答案为：
【分析】本题考查的是单项式定义及系数，其中表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此定义分析求解，即可得到答案.
12．二；三
【解答】解：的次数为，的次数为，的次数为，
∴ 多项式的次数为，
该多项式共含有3个单项式，
∴ 多项式的项数为3.
故答案为：二；三．
【分析】根据一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数，直接分析即可.
13．－2，－ ，0.72xy， ，a
【解答】解：根据题意得：单项式有：-2、、0.72xy、、a
是分式；x＋1是多项式；
故答案为：-2、、0.72xy、、a
【分析】根据单项式是数与字母的积，单独的一个数字或字母也是单项式，可求解。
14．ab2+a－9 (答案不唯一)
【解答】根据题意，得
此多项式是：ab2+a－9（答案不唯一）.
故答案是：ab2+a－9（答案不唯一）.
【分析】根据题意，结合三次三项式、常数项为-9可写出所求多项式，答案不唯一，只要符合题意即可.
15．
【解答】解：根据题意知，①中的次数为2；②中的次数为；③中的次数为3，
∵，
∴按次数由小到大排列为①③②，
故答案为：①③②.
【分析】先利用单项式的次数的定义（单项式中所有字母的指数的和叫作它的次数）求解每个单项式的次数，再比较大小即可.
16．
【解答】杨辉三角形的规律公式是：
1、每个数等于它上方两数之和。
2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
3、第n行的数字有n+1项。
4、第n行数字和为2n-1。
5、(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
6、第n行的第m个数和第n-m个数相等。
依据第4个公式，第2022行数字之和是22022-1=22021
故填：22021
【分析】了解杨辉三角形的相关公式。
17．（1）；（2）；（3）；（4）不唯一，如
18．（1）
单项式 30a -x3 y ab2c3 -3xy3 πr2
系数 30 -1 1 1 -3/4 π
次数 1 3 1 6 4 2
（2）
多项式 3a-1 -x+5x2+7 x2y-3xy+1
项 3a，-1 -x，5x2，7 x2yy，-3xy，
次数 1 2 3
最高次项 3a 5x2 x2y
几次几项式 一次二项式 二次三项式 三次三项式
【分析】根据单项式、多项式的相关定义填表即可.
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做这个多项式的项.
多项式的次数/最高次项：多项式里，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，次数最高的项叫做最高次项.
19．解：∵关于x的多项式3x4﹣（m+5）x3+（n﹣1）x2﹣5x+3不含x3项和x2项，
∴m+5＝0，n﹣1＝0，
∴m＝﹣5，n＝1．
【分析】根据多项式不含x3项和x2项可得m+5=0，n-1=0，求解可得m、n的值.
20．（1）解：根据题意知，
阴影部分的面积为2ra-πr2；
阴影部分的周长为2a+2πr.
（2）解：根据（1）知表示面积的式子是二次多项式，各项系数分别为2，一π；
表示周长的式子是一次多项式，各项系数分别为2，2π.
【分析】（1）利用圆的面积及割补法求出阴影部分的面积，再求出阴影部分的周长即可；
（2）利用多项式的系数的定义和项的定义分析求解即可.
21．（1）
（2）点Q的速度为每秒3个单位，点P的速度为每秒6个单位
（3）秒或秒或4秒
22．（1）；1；9
（2）6
（3）解：这条线段的长是11，且剪断后三条线段的长度之比为2∶2∶5，，故这三条线段的长分别为：，，.
如图1，当时，折痕处的数为：.
如图2，当时，AM折痕处的数为：.
如图3，当时，折痕处的数为：.
综上所述：折痕处对应的点在数轴上所表示的数可能是，，
【解答】解：（1）b是最小的正整数，b=1，
是关于x的二次多项式，且一次项系数为c，
a+2=0，c=9，
a=-2，
综上所述，a=-2，b=1，c=9.
故答案为：-2；1；9.
（2）设折叠后折痕上的点表示的数为M，
a=-2，c=9，
点M表示的数为，
设此时与点B重合的点表示的数为x，
依题由：，
解得：x=6，
此数为6.
故答案为：6.
【分析】（1）根据最小的正整数是1以及多项式的系数和次数的定义即可求出a、b、c的值；
（2）根据数轴上两点间中点的表示方法即可解决；
（3）先根据三条线段的长度之比为2∶2∶5，求得三条线段的长分别为，，，再根据数轴上点的表示及线段中点的定义分类讨论即可.
23．解：∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝x2﹣（a+8）x+8a+1，
（x﹣b）（x﹣c）＝x2﹣（b+c）x+bc
又∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝（x﹣b）（x﹣c）恒成立，
∴﹣（a+8）＝﹣（b+c），
∴8a+1＝bc，
消去a得：
bc﹣8（b+c）＝﹣63，
（b﹣8）（c﹣8）＝1，
∵b，c都是整数，故b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，
解得b＝c＝9或b＝c＝7，
当b＝c＝9时，解得a＝10，
当b＝c＝7时，解得a＝6，
故a+b+c＝9+9+10＝28或7+7+6＝20，
故答案为：20或28．
【分析】等式两边化简之后，利用一次项系数相等和常数项相等得到两个等式a+8＝b+c和8a+1＝bc；消去a，再因式分解得到（b﹣8）（c﹣8）＝1，进而b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，分别计算出a，b，c的值即可得出答案．
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