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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优华东师大版（2024）
第3章 图形的初步认识 3.5 最基本的图形-点和线
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，下面语句中不正确的是（　　）
A．直线 和直线 是同一条直线
B．射线 和射线 是同一条射线
C．线段 和线段 是同一条线段
D．射线 和射线 是同一条射线
2．命题：① 邻补角互补；② 对顶角相等；③ 同旁内角互补；④ 两点之间线段最短；⑤直线都相等.其中真命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列说法中，正确的个数为（　　）
①两点之间，线段最短；②多项式ab2-3a2+1的次数是5次；③若AB=BC，则点B是线段AC的中点；④数字0也是单项式．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，数轴上，两点所表示的数互为相反数，则关于原点的说法正确的是（　　）
A．在点的左侧 B．在点的右侧
C．与线段的中点重合 D．位置不确定
5．如图所示，C为线段AB的中点，AC=5，D在线段AB上，D是线段AB的三等分点，则BD的长是（　　）
A． B．或 C． D．或
6．如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB上任意一点，则下列表示线段关系的式子错误的是（　　）
A．AB=2AC B．AC+CD+DB=AB
C．CD=AD- AB D．AD= （CD+AB）
7．下列说法错误的是（　　）
A．过直线外一点有且仅有一条直线与它平行
B．相交的两条直线只有一个交点
C．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．经过两点有且只有一条直线
8．线段，点在线段所在的直线上，且，则线段的长度为（　　）
A． B． C．或 D．或
9．如图，河道的同侧有、两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（　　）
A． B．
C． D．
10．探照灯发出的光线可近似看成（　　）
A．直线 B．线段 C．射线 D．折线
二、填空题
11．一次函数的图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，点C的坐标为　 　，若是上一动点．当周长最小时，的坐标是　 　．
12．如图
图1 图2
（1）如图1，直线l上有A，B，C，D 四个点，AD=10，BC=2，则图中所有线段之和为　 　；
（2） 如图2，若∠AOE=80°，∠BOD=35°，则图中所有锐角的角度之和为　 　.
13． 如图，A，B，C，D四点在一条直线上，根据图形填空：
（1）AC=　 　+BC.
（2）CD=AD-　 　.
（3）AC+BD-BC=　 　.
14．如图，边长为8的正方形中，为边上一点，且，是对角线上的一个动点，则的最小值为　 　．
15．线段的中点只有　 　个，线段的五等分点有　 　个．
16．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝　 　度.
三、计算题
17．如图所示，点在线段上，，，点，分别是，的中点．
（1）求的长度；
（2）若点在直线上，且，点为的中点，求的长度．
四、解答题
18．如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，AB＝8．
（1）求线段AD的长．
（2）若点E是线段AB上一点，CE＝BC，求线段AE的长．
19．如图，C是线段上一点，点B是的中点，且．
（1）求的长；
（2）若点E在直线上，且，求的长．
20．如图，已知点C在线段上，并且，E、F分别是的中点．
（1）求线段的长度．
（2）在（1）中，如果，其他条件不变，你能求出的长度吗？
（3）对于（1）题，如果把“点C在线段上”：改成“点C在直线上”，其他的语句都不变，结果会有变化吗？如果有，求出变化后的结果．
21．如图，，是线段上的两个点，且，点是线段的中点，．
（1）求线段的长；
（2）若是线段上一点，满足，求线段的长．
22．问题提出
（1）如图①，半圆O的直径，C是的中点，点D在上，且，P是上的动点，试求的最小值．
问题解决
（2）如图2，扇形花坛的半径为，．根据工程需要，现想在上选点P，在边上选点E，在边上选点F，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目．为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的为等腰三角形，试求的值最小时的等腰的面积．（安装损耗忽略不计）
23．如图，直线上有两点，点是线段上的一点，．
（1）若，则___________，___________．
（2）在（1）的条件下，若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，、两点停止运动．当为何值时，．
（3）为直线上一点，且满足，直接写出的值___________．
参考答案及试题解析
1．D
【解答】解：A、直线OA和直线AB在同一直线上，所以是同一条直线，故此选项不符合题意；
B、射线OA和射线OB端点相同，点A、B在同一直线上，所以是同一条射线，故此选项不符合题意；
C、线段AB和线段BA两端点相同，是同一条线段，故此选项不符合题意；
D、射线OA和射线AB方向一致，但端点不相同，不是同一条射线，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据直线、射线、线段的定义，并结合图形逐一判断即可.
2．C
【解答】解：①邻补角互补是真命题， ②对顶角相等是真命题， ③同旁内角互补是假命题， ④两点之间线段最短是真命题， ⑤直线都相等是假命题.
故答案为：C.
【分析】邻补角的定义，可对①作出判断；利用对顶角的性质，可对②作出判断；利用平行线的性质，可对③作出判断；再利用线段公理，可对④作出判断；不能度量直线的长度，可对⑤作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
3．B
【解答】①两点之间，线段最短，正确；
②多项式ab2-3a2+1的次数是3次，错误；
③若AB=BC，则点B是线段AC的中点，错误，A，B，C可能不在同一条直线上，错误；
④数字0也是单项式，正确．
则正确的有2个．
故答案为：B．
【分析】线段的性质：两点之间，线段最短；多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数；数字也是单项式。根据以上进行判断即可。
4．C
5．B
【解答】解：∵C为线段AB的中点，AC=5，
∴AB=2AC=10，
∵D是线段AB的三等分点，
∴AD=AB=，或BD=AB=，
∴BD=AB-AD=或BD=.
故答案为：B.
【分析】根据中点的定义求得AB的长，再根据三等分点的定义分两种情况进行求解即可.
6．D
【解答】A、由点C是线段AB的中点，则AB=2AC，不符合题意；
B、AC+CD+DB=AB，不符合题意；
C、由点C是线段AB的中点，则AC= AB，CD=AD-AC=AD- AB，不符合题意；
D、AD=AC+CD= AB+CD，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据 点C是线段AB的中点， 再结合图形求解即可。
7．C
【解答】A、过直线外一点有且仅有一条直线与它平行，说法正确；B、相交的两条直线只有一个交点，说法正确；C、经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，应该是：平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故此说法错误；D、经过两点有且只有一条直线，说法正确；故答案选：C．
【分析】根据平面内两条直线的位置关系进行判断即可．
8．C
【解答】解：如图，AB=3cm，BC=1cm，
当点C在线段AB上时，
∴AC=AB-BC=3-1=2cm；
当点C在线段AB的延长线上时，
AC=AB+BC=3+1=4cm，
∴AC的长为2cm或4cm；
故答案为：C.
【分析】分两种情况：当点C在线段AB上时和点C在线段AB的延长线上时，根据线段的和差进行求解即可.
9．D
【解答】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故答案为：D．
【分析】利用垂线段最短，以及两点之间线段最短求解即可。
10．C
【解析】直线：在平面内，向外无限延伸的线，
射线：在平面内，由一点所画的线，
线段：在平面内，由两点所连成的线．
故选：C
【解答】直线、射线、线段的定义可知探照灯发出的光线可近似看成射线．
正确掌握三者的概念是解题的关键．
11．；
12．（1）32
（2）390°
【解答】解：（1）方法1：所有线段和为AB+BC+CD+AC+BD+AD=（AB+BD）+（AC+CD）+AD+BC=3AD+BC=3×10+2=32；
方法2：每条线段都可以表示成AB，BC，CD 的和，在所有的线段和中，AB 在AB，AC，AD 中各出现一次，共出现3次，BC在AC，AD，BC，BD 中各出现一次，共出现4次；CD在AD，BD，CD 中各出现一次，共出现3次，所以线段和=3AB+4BC+3CD=3（AB+BC+CD）+BC=3AD+BC=32.
（2）解：方法1：∠AOE+∠AOB+∠AOC+∠AOD+∠BOC+∠BOD+∠BOE+∠COD+∠COE+∠DOE=4∠AOB+4∠DOE+6∠BOC+6∠COD
方法2：在度数和中，
∠AOB 出现1×4=4次，∠BOC 出现2×3=6次，∠COD 出现3×2=6次，∠DOE 出现4×1=4次，∴度数和 = 4∠AOB + 6∠BOC + 6∠COD +4∠DOE
=4∠ADE+2（∠BOC+∠COD）
=4∠AOE+2∠BOD=390°.
【分析】求线段和，可以直接枚举，再利用整体思想凑出完整的已知线段；也可以将所有线段都分解为AB，BC，CD的和，这样只需看最终的和中AB，BC，CD 各出现几次即可.以线段 BC 为例，在所有以左端点为A 或B，右端点为C或D 的线段中，都包含线段 BC，所以在线段和中，BC 共出现2×2=4次.求图2的锐角的度数和，完全可以类比图1中求线段和的方法.
13．（1）AB
（2）AC
（3）AD
【解答】解：（1）AC=AD-BD+BC=AB+BC；
(2)CD=AD-(AB+BC)=AD-AC；
(3)AC+BD-BC=(AB+BC)+BD-BC
=AB+BC+BD-BC
=AB+BD
= AD.
故填：(1)AB，(2)AC，(3)AD.
【分析】根据图示的线段的和、差关系求解即可.
14．10
15．1；4
【解答】解：① ；
② ；
由图形可得：线段的中点只有1个，线段的五等分点有4个．
故答案为：1，4．
【分析】根据题意画出图形可得出答案．
16．30
【解答】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH.
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，
∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，
∴△ABM≌△CHN（SAS），
∴BM＝HN，
∵BN+HN≥BH，
∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，
如图2中，当B，N，H共线时，
∵△ABM≌△CHN，
∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，
∵∠ABD＝60°，
∴∠DBM＝15°，
∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，
∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，
故答案为：30.
【分析】如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH.证明△ABM≌△CHN（SAS），推出BM＝HN，由BN+HN≥BH，可知B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，求出此时∠MBN即可解决问题.
17．（1）解：，，
，
点是的中点，点是的中点，
，，
，
即的长为.
（2）解：线段的长度为或，
理由：分两种情况：
当点在线段上时，如图：
，，
，
点为的中点，
，
，
；
当点在线段的延长线上时，如图：
，，
，
点为的中点，
，
，
；
综上所述：的长度为或．
【分析】（1）利用线段的和差关系可得，然后利用线段的中点定义可得，，进而利用即可解答；
（2）根据两点间的距离，分两种情况：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；然后分别进行计算即可解答．
（1）解：，，
，
点是的中点，点是的中点，
，，
，
即的长为；
（2）的长度为或，
理由：分两种情况：
当点在线段上时，如图：
，，
，
点为的中点，
，
，
；
当点在线段的延长线上时，如图：
，，
，
点为的中点，
，
，
；
综上所述：的长度为或．
18．（1）解：∵点C是线段AB的中点，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
∵点D是线段BC的中点，
∴CD＝BC＝×4＝2，
∵AD＝AC+CD，
∴AD＝4+2＝6
（2）解：∵CE＝BC，
∴CE＝×4＝1，
当点E在线段AC上时，AE＝AC﹣CE＝4﹣1＝3，
当点E在线段CB上时，AE＝AC+CE＝4+1＝5，
∴线段AE的长为3或5．
【分析】（1）根据中点的定义，可求线段AC和CD的长，从而可以计算出线段的长；（2）根据的条件，点E可能在AC上，也可能在BC上，故分两种情况计算AE的长。
19．（1）解：点B是的中点，
又
（2）解：点B是的中点，
当E点在A点左边时，
当E点在A点右边时，
综上，或3
【分析】（1）先利用线段中点的性质求出CD的长，再利用线段的和差求出AC的长即可；
（2）分类讨论：①当E点在A点左边时，②当E点在A点右边时，再分别画出图形并利用线段的和差求出BE的长即可.
20．（1）线段的长度为；
（2）线段的长度为；
（3）线段的长度为或．
21．（1）
（2）或
22．（1）；（2）
23．（1）12；6
（2）或12
（3）或或1
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