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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优华东师大版（2024）
第3章 图形的初步认识 3.6 角
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，时针与分针的夹角是（　　）
A．75° B．65° C．55° D．45°
2．将一副三角板摆放（直角顶点重合）如图所示，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，若，则的方向是（　　）
A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西
4．如图，将一副学生用三角板（一个锐角为的直角三角形，一个锐角为的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当，则（　　）
A． B． C． D．
5．如图，点在直线上，，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，若将三个含的等腰直角三角形的直角顶点重合放置，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，小明从 处沿北偏东 方向行走至点 处，又从点 处沿东偏南 方向行走至点 处，则 等于（　　）
A． B． C． D．
8．如图，上有A、B两点，点C为弧AB上一点，点P是外一点，且，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，，交于点，平分，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．某测绘装置上一枚指针原来指向南偏西50°，把这枚指针按逆时针方向旋转90°，则结果指针的指向是　 　．（指向用方位角表示）
12．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝7cm，DE＝3cm，求CE的长为　 　cm.
13．比较大小：18°2'　 　 18.2°（填 > 、 < 、 = ）.
14．如图，直线与直线相交于点，，已知，则　 　．
15．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起（其中∠A=60°，∠D=30°，∠E=∠B=45°），若固定ACD，改变BCE的位置(其中点C位置始终不变），且∠ACE＜150°，点E在直线AC的上方．当ACD的一边与BCE的某一边平行时，则∠ACE所有可能的度数为：　 　．
16．如图，在中，，， 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为，若，则的长为　 　．
三、计算题
17．已知一个角的补角比这个角的倍大，求这个角和它的补角．
四、解答题
18．如图，已知，点D在上，交于点E，连接，若，．
（1）求证：；
（2）若，平分，求的度数．
19．如图，已知∠AOB=90°，以O为顶点、OB为一边画∠BOC，然后再分别画出∠AOC与∠BOC的平分线OM、ON．
（1）在图1中，射线OC在∠AOB的内部．
①若锐角∠BOC=30°，则∠MON= °；
②若锐角∠BOC=n°，则∠MON= °．
（2）在图2中，射线OC在∠AOB的外部，且∠BOC为任意锐角，求∠MON的度数．
（3）在（2）中，“∠BOC为任意锐角”改为“∠BOC为任意钝角”，其余条件不变，（图3），求∠MON的度数．
20．如图，，平分，，则与平行吗？说明理由．
21．如图，已知，，平分，平分．
（1）求的度数．
【迁移应用】：
（2）若（不超过），其他条件不变，求的度数．
（3）若（不超过），其他条件不变，求的度数．
【归纳总结】：
（4）从上面的结果中你能归纳、总结出什么规律？
22．已知点B、O、C在同一条直线上，∠AOB=α（0°＜α＜60°）.
（1）如图①，若∠AOD= 90°，∠COD = 65°，则α =　 　；
（2）如图②，若∠BOD = 90°，∠BOE = 50°，OA平分∠DOE，求α；
（3）如图③，若∠AOD与∠AOB互余，∠BOE也与∠AOB互余，请在图③中画出 符合条件的射线OE加以计算后，直接写出∠DOE的度数（用含α的式子表示）.
23．钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成60°的角 分别是几点几分
参考答案及试题解析
1．A
【解答】根据8：30时时针和分针的位置关系可知夹角是
故答案为：A.
【分析】分针每分走1小格，分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°.
2．C
3．A
4．D
【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用对顶角的定义可得，再结合，求出即可.
5．C
6．D
【解答】如图所示：
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠2=∠AOC=25°，
∴∠1=∠EOF-∠2-∠DOF=90°-25°-35°=30°，
故答案为：D.
【分析】利用角的运算和等量代换可得∠1=∠EOF-∠2-∠DOF=90°-25°-35°=30°.
7．C
【解答】如图：
∵小明从 处沿北偏东 方向行走至点 处，又从点 处沿东偏南 方向行走至点 处，
∴ ， ，
∵向北方向线是平行的，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】如图， 根据小明所走的路线可得 ， ，利用平行线的性质求出∠ABE的度数，利用角的和差求出∠EBC，由∠ABC=∠ABE+∠EBC即可求出∠ABC的度数.
8．D
【解答】解：如图，在优弧AB上找一点D，连接AD，BD，AB，则∠ADB=∠AOB=30°
在圆内接四边形ADBC中
∠ACB=180°-∠ADB=180°-30°=150°
∴∠CAB+∠CBA=180°-150°=30°
又∵AC=BC=PC
∴∠CPA=∠CAP，∠CBP=∠CPB
∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）
=180°-（∠CAB+∠CBA+∠CAP+∠CBP）
=180°-30°-（∠CAP+∠CBP）
=150°-（∠CAP+∠CBP）
=150°-（∠APC+∠BPC）
=150°-∠APB
∴∠APB=75°
故答案为：D．
【分析】连接AD，BD，AB，先利用圆周角求出∠ADB=∠AOB=30°，再利用圆内接四边形的性质可得∠ACB=180°-∠ADB=180°-30°=150°，再根据等腰三角形和三角形的内角和求出∠CAB+∠CBA=180°-150°=30°，最后利用∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=150°-（∠APC+∠BPC）=150°-∠APB计算即可。
9．A
【解答】解：∵AB∥CD，∠FGB=60°，
∴∠FED=∠FGB=60°，
∴∠FEC=180°-∠FED=120°，
∵EM平分∠CEF，
∴∠CEM=∠FEC=60°，
∵AB∥CD，
∴∠GME=∠CEM=60°.
故答案为：A.
【分析】由二直线平行，同位角相等，得∠FED=∠FGB=60°，由邻补角定义得∠FEC=120°，由角平分线的定义得∠CEM=∠FEC=60°，最后再根据二直线平行，内错角相等，得∠GME=∠CEM=60°.
10．D
【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，即，
①∵，，
∴，
故①正确；
②∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
即，
故②正确；
③由①可得，
∴，
∴，即，
又，
∴，
即，
将代入，
化简可得：，
故③正确；
④∵，，
∴，
∵，
∴，
故④正确；
正确的个数共有4个，
故选：D．
【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果．
11．南偏东40°
【解答】解：一枚指针原来指向南偏西50°，把这枚指针按逆时针方向旋转90°，则结果指针的指向是南偏东40°，
故答案为：南偏东40°．
【分析】先确定指针与正南方向的夹角在旋转后为：90°-50°=40°，即可得到其方位角.
12．4
【解答】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，
∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，
∴BD=FD，EF=CE，
∴EF=DF-DE=BD-DE=7-3=4，
∴CE=4cm.
故答案为：4.
【分析】由角平分线的定义可得∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，由平行线的性质可得∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，从而得出∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，根据等角对等边可得BD=FD，EF=CE，继而得出EF=DF-DE=BD-DE=4，即得结论.
13．＜
【解答】解：∵18.2°=18°12′，
∴18°12′＞18°2′，
即18°2′＜18.2°.
故答案为：＜.
【分析】先将18.2°化简为18°12′，再来比较大小即可.
14．120°
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC＝∠BOD＝30°，
∴∠COE＝∠AOE＋∠AOC＝90°＋30°＝120°．
故答案为：120°．
【分析】先根据垂直定义求出∠AOE，再根据对顶角相等求出∠AOC，然后相加即可得出∠COE的度数．
15．
16．
17．解：设这个角为，这个角的补角为，
∵一个角的补角比这个角的倍大，
∴，解得，，
∴这个角的补角为，
∴这个角是，它的补角是．
【分析】根据互补的定义，找出这两个角的数量关系，再利用一个角的补角比这个角的4倍大15°这个已知，找出相等关系，列出方程求解即可.
18．（1）证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【分析】
（1）根据平行线的性质得出，结合已知可得出，然后根据平行线的判定即可得证；
（2）结合已知，根据平行线的性质可求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，最后根据平行线的性质求解即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
19．解：（1）①45；②45；
解：（2）∵∠AOB=90°，设∠BOC=α，
∴∠AOC=90°+α，
∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，
∴∠COM=∠AOC，∠CON=∠BOC，
∴∠MON=∠COM﹣∠CON=∠AOB=45°，
解：（3）∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，
∴∠COM=∠AOC，∠CON=∠BOC，
∴∠MON=∠COM+∠CON=（∠AOC+∠BOC）=（360°﹣90°）=135°．
【解答】解；（1）①∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，
∴∠COM=AOC，∠CON=∠BOC，
∴∠MON=∠COM+∠CON=∠AOB=45°，
故答案为45°，
②∵∠AOB=90°，∠BOC=n°，
∴∠AOC=（90﹣n）°，
∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，
∴∠COM=∠AOC=（90﹣n）°，∠CON=∠BOC=n°，
∴∠MON=∠COM+∠CON=∠AOB=45°，
故答案为45°；
【分析】（1）①由OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，得到∠COM=AOC，∠CON=∠BOC，结合∠MON=∠COM+∠CON=∠AOB，即可求解；
②由OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，求得∠COM=（90﹣n）°，∠CON=n°，结合∠MON=∠COM+∠CON=∠AOB，即可求解；
（2）设∠BOC=α，由OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，得到∠COM=∠AOC，∠CON=∠BOC，结合∠MON=∠COM﹣∠CON=∠AOB，即可求解；
（3）由OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，得到∠COM=∠AOC，∠CON=∠BOC，结合∠MON=∠COM+∠CON=（∠AOC+∠BOC），进行计算，即可求解.
20．解：，
，
平分，
，
，
，
，
【分析】本题考查了平行线的性质及判定和角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定是解题关键.
根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠DEF=∠CFE，再根据角平分线的定义可知：∠CEF=∠DEF，等量代换可得：∠CFE=∠CEF，结合∠A=∠CFE，等量代换可得：∠A=∠CEF，最后根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行可知：EF∥AB．
21．(1)
(2)
(3)
(4) ，与的大小无关
22．（1）
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴
（3）或
【解答】解：（1）∵∠AOD=90°，∠COD=65°，
∴∠AOB=180°-∠AOD-∠COD=25°，
故答案为：25°；
（3）①当在的上方时，如图，
∵与互余，也与互余，
∴，
∴；（射线画对1分，结果1分）
②当在的下方时，如图，
∵与互余，也与互余，
∴，
∴（射线画对1分，结果1分）
综上所述，的度数为：或.
【分析】（1）根据余角与补角的定义进行运算即可；
（2）由已知条件可求得∠DOE=140°，再由角平分线的定义可求得∠AOE=70°，从而可求∠AOB的大小；
（3）分两种情况进行讨论：①OE在OB的上方；②OE在OB的下方，结合图形进行求解即可.
23．解：共有四次时针与分针所夹的角为60°．( 1 )第一次正好是两点整．显然，这时时针与分针成60°角．(因为钟面上每两个相邻的字之间的度数是30°，即5个小格相当于30°)．( 2 )第二次时针与分针的夹角为60°，如图．设为2点x分．这时分针行x分，即x小格．而时针行 小格(分针行1周，即60个小格，时针只行5个小格，所以时针速度是分钟的 )．分针不但超过时针，而且在时针前10个小格(形成60°)，所以解得 ，即2点 分时，时针与分针的夹角为60°．( 3 )第三次时针与分针的夹角为60°，如图．设为3点y分．则解得 ，即3点 分时，时针与分针的夹角为60°．( 4 )第四次时针与分针的夹角为60°，如图．设为3点z分，则解得 ，即3点 分时，时针与分针的夹角为60°．
【分析】因为钟面上每两个相邻的字之间的度数是30°，即5个小格相当于30°，分针行1周，即60个小格，时针只行5个小格，所以时针速度是分钟的，此题有4中情况：)第一次正好是两点整．显然，这时时针与分针成60°角，第二次时针与分针的夹角为60°，如图，设为2点x分．这时分针行x分，即x小格．而时针行 小格，分针不但超过时针，而且在时针前10个小格形成60°；第三次时针与分针的夹角为60°，如图．设为3点y分，第四次时针与分针的夹角为60°，如图，设为3点z分，根据题意分别列出方程，求解即可得出答案。
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