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广东省深圳市龙华区2025年中考二模数学测试卷
1．（2025·龙华模拟）数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是圆形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·龙华模拟）2025年春节联欢晚会生动展现了重庆的巴渝风情、武汉的楚风汉韵、拉萨的雪域文化、无锡的江南水乡，为文旅带来了新热潮．小华决定从这四个城市中随机选一个作为暑假旅游目的地，假设小华选择四个城市的可能性相同，则选择拉萨的概率是（　　）
A．1 B． C． D．0
3．（2025·龙华模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·龙华模拟）如图，小华爸爸的微信零钱在某日只发生了两笔交易，那么他当天微信零钱的最终收支情况是（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
5．（2025·龙华模拟）学习小组利用平面镜的反射原理，将室外光线引入光线不够充足的室内．如图，光线与平面镜成的角射入，经过平面镜，反射后进入室内．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·龙华模拟）钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数．已知当张力时，频率（即达到标准音高）．若要使频率升高到（即达到标准音高），应该如何调整张力？（　　）
A．增大至 B．减小至 C．增大至 D．减小至
7．（2025·龙华模拟）深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·龙华模拟）如图，在四个相同的正方形网格中，分别作一个顶点均在格点上的平行四边形，其中边上的高最小的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·龙华模拟）当时，代数式的值为　 　．
10．（2025·龙华模拟）若，则　 　
11．（2025·龙华模拟）立一表高八尺，影长六尺；今有一楼，影长四丈五尺．问楼高几何？（选自《海岛算经》）题目大意：直立一根8尺高的标杆，其影子长度为6尺；此时有一栋楼，影长4丈5尺（即45尺），这栋楼有多高？根据题意，可求得这栋楼高　 　尺．
12．（2025·龙华模拟）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．船P与两个灯塔的夹角为，若，则船P位于安全区域时，的大小可能为　 　°．（写出一个即可）
13．（2025·龙华模拟）如图，在菱形中，点E是边的中点，点F是的中点，的延长线交边于点H，若，则的值为　 　．
14．（2025·龙华模拟）（1）计算：；
（2）化简：
15．（2025·龙华模拟）某学校计划购买甲、乙两种科技类科普读物作为科技节活动奖品，甲类科普读物的单价比乙类科普读物的单价高5元，若购买1本甲类科普读物，2本乙类科普读物共需80元．
（1）甲类和乙类科普读物单价分别是多少？
（2）该校计划共购进100本科普读物，总费用不超过2800元，甲类科普读物最多可以买多少本？
16．（2025·龙华模拟）艺术测评主要是为掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学．某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干位同学进行艺术测评与分析，下面是对九（1）班抽测到的10位同学的测评分值的数据分析过程：
【收集与整理】10位同学的测评分值分组统计如下：
分组方式 组别 测评分值
方式一 （按平均分相同分组） Ⅰ组 80，85，85，90，100
Ⅱ组 80，85，90，90，95
方式二 （按分数段分组） 甲组 80，80，85，85，85
乙组 90，90，90，95，100
【描述与分析】
10位同学测评分值的分布情况分组数据统计量分析表
分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和
方式一 Ⅰ组 m 85 46 360
Ⅱ组 90 90 26
方式二 甲组 85 85 6 110
乙组 90 n 16
说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度．它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近．
根据以上信息，解答下面问题：
（1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为______°；
（2）_______，_______．
【判断与决策】
（3）为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由．
17．（2025·龙华模拟）已知直线与相切于点D．
（1）如图1，是的直径，延长与直线交于点A，过点B作，垂足为C，交于点F，连接．若，在不增加新的点的前提下，请提出一个问题： ，并进行解答或证明．（使用部分条件，且求解正解酌情给分；使用全部条件，且求解正确得满分）
（2）如图2，点P是圆上一点，请用尺规在直线上求作一点Q，使得与相切（不写作法，保留作图痕迹）．
18．（2025·龙华模拟）根据以下信息，探索完成任务．
如何设计窗户限位器位置
信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图．
信息2 数学抽象 把上述实物图抽象成如右示意图．已知滑撑支架的滑动轨道AB固定在窗框底边，EF固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点E与点A重合，DE和DB均落在AB上；当点O向点B滑动时，四边形OCDE始终为平行四边形，其中，，．
信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，OC与AB形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在30°以内（即）．
问题解决
任务1 求解关键数量 滑撑支架中CD的长度为__________cm，滑动轨道AB的长度是__________cm．
任务2 确定安装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道AB上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果保留根号）
19．（2025·龙华模拟）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点O，A．
（1）线段的长度为________；
（2）将函数的图象沿x轴正方向平移个单位得到函数的图象，平移后点O，A的对应点为B，C．当点A在点B的左边时，函数，的图象交于点P，若，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过的图象顶点作轴的平行线，将直线向下平移，当直线与函数，的图象有四个不同的交点时，假设这四个交点的横坐标从左往右依次为，，，，请判断．是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
20．（2025·龙华模拟）综合与实践
【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的纸是一个长与宽的比为的矩形．
【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类矩形．
【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类矩形
【分析并解决问题】
（1）学习小组利用一张纸对折一次，使与重合，折叠过程如图1所示，其中，，求证：四边形是类矩形；
（2）学习小组利用一张正方形纸片折叠2次，展开后得折痕，，再将其沿折叠，使得点B与点E重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形是类矩形；
【拓展】
（3）如图3，四边形纸片中，垂直平分，，，点E，F，G，H分别是边上的点，将四边形纸片沿折叠，使得点B的对应点落在上，再沿折叠，使得点C，D的对应点分别落在上，若四边形是类矩形，请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】截一个几何体；简单几何体的三视图；中心投影
【解析】【解答】解：A、圆锥侧面展开图是扇形，故选项A错误；
B、圆柱俯视图是长方形， 故选项B错误；
C、球体的截面是圆， 故选项C正确；
D、正方体的投影是正方形， 故选项D错误；
故选：C ．
【分析】根据立体图形的特点，确定截面，三视图的特点即可求解．
2．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵共有四个城市，且小华选择四个城市的可能性相同，∴选择拉萨的概率是．
故选：C．
【分析】直接利用概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．求解即可．
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项A正确；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D错误；
故选：A．
【分析】根据同底数幂的乘除法，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式的法则，逐一进行判断即可．
4．【答案】B
【知识点】有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：由题意得（元），
∴他当天微信零钱的最终收支情况是元．
故选：B．
【分析】根据题意列出算式，进行有理数的加法运算即可．
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
反射定律可知，，
∵，
，
∴，即，
故选：D．
【分析】由反射定律可知，，再由平行线的性质得∠，再由，即可求得的度数．
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设与之间的函数关系式为为常数，且，
将代入，得，解得，
∴与之间的函数关系式为，
当时，得，解得，
∴应该将张力减小至．
故选：D．
【分析】先设出反比例函数表达式，根据已知条件求得k，进而得到反比例函数，再将目标频率代入函数求出对应的张力，最后与初始张力比较得出调整方式．
7．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设传统方式配送速度为，则采用无人机配送的速度是，
根据题意可得，，
故选：B．
【分析】设传统方式配送速度为，则采用无人机配送的速度是，根据题意列出方程即可．
8．【答案】A
【知识点】实数的大小比较；勾股定理；平行四边形的性质；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：A、平行四边形的面积为：，
边上的高为：；
B、平行四边形的面积为：，
边上的高为：；
C、正方形，边上的高为，
D、菱形的面积为：，
边上的高为：．
∵，
故选：A．
【分析】先求出正方形、菱形、平行四边形的面积，进而分别求出边上的高，再比较大小即可．
9．【答案】5
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：当时，代数式，
故答案为：．
【分析】直接将代入计算即可．
10．【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，易知或
∴，
故答案为：．
【分析】利用平方差公式即可求得m，n的值，进而可求得mn的值.
11．【答案】60
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设楼高为 x 尺，
∴
解得：x=60
故答案为：60
【分析】设楼高为 x 尺，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
12．【答案】54
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：设与相交于点D，
∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴，
∴α的大小可能为，
故答案为：54（答案不唯一）．
【分析】设与相交于点D，先利用三角形的外角性质可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，写出其中一个符合条件的 即可．
13．【答案】
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，延长交的延长线于点，延长交于点，
∵，点是边的中点，，
∵点是的中点，，
令，则，
∵四边形为菱形，
，
，
又∵，
，
，
，
，
，
，
同理，
，
，
，
，
∴是的中线，
，
．
故答案为：．
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可知，再由点F是的中点可得到，令，则，利用菱形的性质和平行线的性质可得，进而根据全等三角形的判定定理可证得，即可得到，，再证得，得到，利用，得到，即可得到BF和FH，进而可求得的值即可 ．
14．【答案】解：（1）原式
（2）原式．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据零指数幂、负指数幂、算术平方根和锐角正切值的运算法则先化简，再进行加减运算即可；
（2）先计算括号内，除法变乘法，约分化简即可求解．
15．【答案】（1）解：设甲类科普读物的单价为元，则乙类科普读物的单价为元
依题意得
解得
则
答：甲类科普读物的单价为30元，乙类科普读物的单价为25元．
（2）解：设购进甲类科普读物本
依题意得30m+25(100-m)≤2800
解得m≤60
答：甲类科普读物最多可以买60本．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲类科普读物的单价为元，则乙类科普读物的单价为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进甲类科普读物本，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
16．【答案】解：（1）36；（2）85；90；
（3）我会选择方式二进行分组．因为两种分组方式的中位数与众数都相同，但方式二的组内离差平方和更小，说明分组方式二下的同组成员之间的水平更接近，有利于开展同级别水平训练的理解和合作，促进同学间的互帮互助，共同进步．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；按组内离差平方和最小的原则进行数据分类
【解析】【解答】解：（1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为，
故答案为：36；
（2）方式一中Ⅰ组数据从小到大排列，中间数为85，则中位数，
方式二种乙组数据中出现次数最多的是90，则众数，
故答案为：85、90；
【分析】（1）直接用360°乘以对应比例即可求出扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数；
（2）根据众数、中位数定义求解即可；
（3）可根据组内离差平方和的意义求解即可.
17．【答案】（1）解：提出问题：圆O的半径是多少 ∵，，，由勾股定理可得，∵直线与圆相切于点O，∴，∵，，∴，又∵，∴∴，设半径为，则，，∴，解得，∴圆O的半径为.
（2）解：如图所示，直线即为所求．
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】（1）问题：求的半径；根据勾股定理可求得AB，进而利用相似三角形的判定和性质可知，构建方程求解即可求得圆O的半径；
（2）连接，，作的角平分线交直线l于点Q，作直线即可．
（1）解：提出问题：圆O的半径是多少
解：连接，
∵直线与圆相切于点O，
∴，
∵，，，
∴根据勾股定理可得，
∵，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
设半径为则，，
∴，
解得；
（2）解：如图，直线即为所求．
18．【答案】解：任务1：8；41；
任务2：解：如图所示，过点C作交于点H，
依题意得，
∵四边形为平行四边形，
∴
∵，
∴，．
又∵，，
由勾股定理可得．
∴
∴．
∴限位器P应装在离点A远的位置．
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—其他类型
【解析】【解答】解：任务1：∵四边形始终为平行四边形，
∵当窗户关闭时，点与点重合，和均落在上，
，
故答案为：8，41；
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得进而利用即可求得AB的长度；
（2）作，根据平行四边形的性质可知CO，进而在中，求出，从而得到长，再求得AB，即可得到结果．
19．【答案】（1）4
（2）解：∵平移前后图像均是轴对称图形，∴整体为轴对称图形，对称轴经过点P．
∵，，∴．
∵点P在的图像上
∴
∴．
（3）解：存在，最大值为12．
当直线位于点P上方时，根据平移的性质可得，．
∵，∴，，
∴，．
∴．
当直线位于点P下方时，
根据平移的性质可得，
∴．
综上．
所以存在最大值12．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）令得，或4，
，
，
故答案为：4；
【分析】（1）把y=0代入 二次函数 中求得对应的x值，即可求出点坐标；
（2）由轴对称图形可得平移后图象为轴对称图形，且对称轴经过点，根据已知条件可知点P的横坐标，代入二次函数 ，即可求得对应的纵坐标，进而写出点P的坐标即可；
（3）分直线在点上方和下方两种情况进行讨论即可.
（1）解：令得，或4，
，
，
故答案为：4；
（2）解：∵平移前后图像均是轴对称图形，
∴整体为轴对称图形，对称轴经过点P．
∵，，∴．
∵点P在的图像上∴
∴．
（3）存在，最大值为12．
当直线位于点P上方时，根据平移的性质可得，．
∵，∴，，
∴，．
∴．
当直线位于点P下方时，
根据平移的性质可得，
∴．
综上．
所以存在最大值12．
20．【答案】解：（1）证明：如图1，由折叠得：，，
∵，四边形是矩形，，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴四边形是类矩形；
（2）证明：如图2，由折叠得：，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
如图3，设，，则，
由折叠得：，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是类矩形；
（3）设与交于点O，
∵垂直平分，
∴，
∵四边形纸片沿折叠，使得点B的对应点落在上，
∴，
同理得：，，
∵四边形是类矩形，
∴或，
①如图4，当时，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图5，当时，，
由①同理得：，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，的长为或．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【分析】（1）先证明，再证明四边形是矩形，即可证得四边形是类矩形；
（2）如图2，由折叠得：，先证明四边形是矩形，如图3，设，，则，根据折叠的性质和等腰直角三角形的性质表示的长，即可求得，从而证得四边形是类矩形；
（3）设与交于点O，分两种情况：或，①如图4，当时，，根据，，列比例式即可得结论；②如图5，当时，，同理可得结论．
1 / 1广东省深圳市龙华区2025年中考二模数学测试卷
1．（2025·龙华模拟）数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是圆形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】截一个几何体；简单几何体的三视图；中心投影
【解析】【解答】解：A、圆锥侧面展开图是扇形，故选项A错误；
B、圆柱俯视图是长方形， 故选项B错误；
C、球体的截面是圆， 故选项C正确；
D、正方体的投影是正方形， 故选项D错误；
故选：C ．
【分析】根据立体图形的特点，确定截面，三视图的特点即可求解．
2．（2025·龙华模拟）2025年春节联欢晚会生动展现了重庆的巴渝风情、武汉的楚风汉韵、拉萨的雪域文化、无锡的江南水乡，为文旅带来了新热潮．小华决定从这四个城市中随机选一个作为暑假旅游目的地，假设小华选择四个城市的可能性相同，则选择拉萨的概率是（　　）
A．1 B． C． D．0
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵共有四个城市，且小华选择四个城市的可能性相同，∴选择拉萨的概率是．
故选：C．
【分析】直接利用概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．求解即可．
3．（2025·龙华模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项A正确；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D错误；
故选：A．
【分析】根据同底数幂的乘除法，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式的法则，逐一进行判断即可．
4．（2025·龙华模拟）如图，小华爸爸的微信零钱在某日只发生了两笔交易，那么他当天微信零钱的最终收支情况是（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【知识点】有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：由题意得（元），
∴他当天微信零钱的最终收支情况是元．
故选：B．
【分析】根据题意列出算式，进行有理数的加法运算即可．
5．（2025·龙华模拟）学习小组利用平面镜的反射原理，将室外光线引入光线不够充足的室内．如图，光线与平面镜成的角射入，经过平面镜，反射后进入室内．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
反射定律可知，，
∵，
，
∴，即，
故选：D．
【分析】由反射定律可知，，再由平行线的性质得∠，再由，即可求得的度数．
6．（2025·龙华模拟）钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数．已知当张力时，频率（即达到标准音高）．若要使频率升高到（即达到标准音高），应该如何调整张力？（　　）
A．增大至 B．减小至 C．增大至 D．减小至
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设与之间的函数关系式为为常数，且，
将代入，得，解得，
∴与之间的函数关系式为，
当时，得，解得，
∴应该将张力减小至．
故选：D．
【分析】先设出反比例函数表达式，根据已知条件求得k，进而得到反比例函数，再将目标频率代入函数求出对应的张力，最后与初始张力比较得出调整方式．
7．（2025·龙华模拟）深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设传统方式配送速度为，则采用无人机配送的速度是，
根据题意可得，，
故选：B．
【分析】设传统方式配送速度为，则采用无人机配送的速度是，根据题意列出方程即可．
8．（2025·龙华模拟）如图，在四个相同的正方形网格中，分别作一个顶点均在格点上的平行四边形，其中边上的高最小的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】实数的大小比较；勾股定理；平行四边形的性质；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：A、平行四边形的面积为：，
边上的高为：；
B、平行四边形的面积为：，
边上的高为：；
C、正方形，边上的高为，
D、菱形的面积为：，
边上的高为：．
∵，
故选：A．
【分析】先求出正方形、菱形、平行四边形的面积，进而分别求出边上的高，再比较大小即可．
9．（2025·龙华模拟）当时，代数式的值为　 　．
【答案】5
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：当时，代数式，
故答案为：．
【分析】直接将代入计算即可．
10．（2025·龙华模拟）若，则　 　
【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，易知或
∴，
故答案为：．
【分析】利用平方差公式即可求得m，n的值，进而可求得mn的值.
11．（2025·龙华模拟）立一表高八尺，影长六尺；今有一楼，影长四丈五尺．问楼高几何？（选自《海岛算经》）题目大意：直立一根8尺高的标杆，其影子长度为6尺；此时有一栋楼，影长4丈5尺（即45尺），这栋楼有多高？根据题意，可求得这栋楼高　 　尺．
【答案】60
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设楼高为 x 尺，
∴
解得：x=60
故答案为：60
【分析】设楼高为 x 尺，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
12．（2025·龙华模拟）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．船P与两个灯塔的夹角为，若，则船P位于安全区域时，的大小可能为　 　°．（写出一个即可）
【答案】54
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：设与相交于点D，
∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴，
∴α的大小可能为，
故答案为：54（答案不唯一）．
【分析】设与相交于点D，先利用三角形的外角性质可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，写出其中一个符合条件的 即可．
13．（2025·龙华模拟）如图，在菱形中，点E是边的中点，点F是的中点，的延长线交边于点H，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，延长交的延长线于点，延长交于点，
∵，点是边的中点，，
∵点是的中点，，
令，则，
∵四边形为菱形，
，
，
又∵，
，
，
，
，
，
，
同理，
，
，
，
，
∴是的中线，
，
．
故答案为：．
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可知，再由点F是的中点可得到，令，则，利用菱形的性质和平行线的性质可得，进而根据全等三角形的判定定理可证得，即可得到，，再证得，得到，利用，得到，即可得到BF和FH，进而可求得的值即可 ．
14．（2025·龙华模拟）（1）计算：；
（2）化简：
【答案】解：（1）原式
（2）原式．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据零指数幂、负指数幂、算术平方根和锐角正切值的运算法则先化简，再进行加减运算即可；
（2）先计算括号内，除法变乘法，约分化简即可求解．
15．（2025·龙华模拟）某学校计划购买甲、乙两种科技类科普读物作为科技节活动奖品，甲类科普读物的单价比乙类科普读物的单价高5元，若购买1本甲类科普读物，2本乙类科普读物共需80元．
（1）甲类和乙类科普读物单价分别是多少？
（2）该校计划共购进100本科普读物，总费用不超过2800元，甲类科普读物最多可以买多少本？
【答案】（1）解：设甲类科普读物的单价为元，则乙类科普读物的单价为元
依题意得
解得
则
答：甲类科普读物的单价为30元，乙类科普读物的单价为25元．
（2）解：设购进甲类科普读物本
依题意得30m+25(100-m)≤2800
解得m≤60
答：甲类科普读物最多可以买60本．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲类科普读物的单价为元，则乙类科普读物的单价为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进甲类科普读物本，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
16．（2025·龙华模拟）艺术测评主要是为掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学．某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干位同学进行艺术测评与分析，下面是对九（1）班抽测到的10位同学的测评分值的数据分析过程：
【收集与整理】10位同学的测评分值分组统计如下：
分组方式 组别 测评分值
方式一 （按平均分相同分组） Ⅰ组 80，85，85，90，100
Ⅱ组 80，85，90，90，95
方式二 （按分数段分组） 甲组 80，80，85，85，85
乙组 90，90，90，95，100
【描述与分析】
10位同学测评分值的分布情况分组数据统计量分析表
分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和
方式一 Ⅰ组 m 85 46 360
Ⅱ组 90 90 26
方式二 甲组 85 85 6 110
乙组 90 n 16
说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度．它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近．
根据以上信息，解答下面问题：
（1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为______°；
（2）_______，_______．
【判断与决策】
（3）为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由．
【答案】解：（1）36；（2）85；90；
（3）我会选择方式二进行分组．因为两种分组方式的中位数与众数都相同，但方式二的组内离差平方和更小，说明分组方式二下的同组成员之间的水平更接近，有利于开展同级别水平训练的理解和合作，促进同学间的互帮互助，共同进步．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；按组内离差平方和最小的原则进行数据分类
【解析】【解答】解：（1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为，
故答案为：36；
（2）方式一中Ⅰ组数据从小到大排列，中间数为85，则中位数，
方式二种乙组数据中出现次数最多的是90，则众数，
故答案为：85、90；
【分析】（1）直接用360°乘以对应比例即可求出扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数；
（2）根据众数、中位数定义求解即可；
（3）可根据组内离差平方和的意义求解即可.
17．（2025·龙华模拟）已知直线与相切于点D．
（1）如图1，是的直径，延长与直线交于点A，过点B作，垂足为C，交于点F，连接．若，在不增加新的点的前提下，请提出一个问题： ，并进行解答或证明．（使用部分条件，且求解正解酌情给分；使用全部条件，且求解正确得满分）
（2）如图2，点P是圆上一点，请用尺规在直线上求作一点Q，使得与相切（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】（1）解：提出问题：圆O的半径是多少 ∵，，，由勾股定理可得，∵直线与圆相切于点O，∴，∵，，∴，又∵，∴∴，设半径为，则，，∴，解得，∴圆O的半径为.
（2）解：如图所示，直线即为所求．
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】（1）问题：求的半径；根据勾股定理可求得AB，进而利用相似三角形的判定和性质可知，构建方程求解即可求得圆O的半径；
（2）连接，，作的角平分线交直线l于点Q，作直线即可．
（1）解：提出问题：圆O的半径是多少
解：连接，
∵直线与圆相切于点O，
∴，
∵，，，
∴根据勾股定理可得，
∵，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
设半径为则，，
∴，
解得；
（2）解：如图，直线即为所求．
18．（2025·龙华模拟）根据以下信息，探索完成任务．
如何设计窗户限位器位置
信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图．
信息2 数学抽象 把上述实物图抽象成如右示意图．已知滑撑支架的滑动轨道AB固定在窗框底边，EF固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点E与点A重合，DE和DB均落在AB上；当点O向点B滑动时，四边形OCDE始终为平行四边形，其中，，．
信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，OC与AB形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在30°以内（即）．
问题解决
任务1 求解关键数量 滑撑支架中CD的长度为__________cm，滑动轨道AB的长度是__________cm．
任务2 确定安装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道AB上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果保留根号）
【答案】解：任务1：8；41；
任务2：解：如图所示，过点C作交于点H，
依题意得，
∵四边形为平行四边形，
∴
∵，
∴，．
又∵，，
由勾股定理可得．
∴
∴．
∴限位器P应装在离点A远的位置．
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—其他类型
【解析】【解答】解：任务1：∵四边形始终为平行四边形，
∵当窗户关闭时，点与点重合，和均落在上，
，
故答案为：8，41；
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得进而利用即可求得AB的长度；
（2）作，根据平行四边形的性质可知CO，进而在中，求出，从而得到长，再求得AB，即可得到结果．
19．（2025·龙华模拟）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点O，A．
（1）线段的长度为________；
（2）将函数的图象沿x轴正方向平移个单位得到函数的图象，平移后点O，A的对应点为B，C．当点A在点B的左边时，函数，的图象交于点P，若，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过的图象顶点作轴的平行线，将直线向下平移，当直线与函数，的图象有四个不同的交点时，假设这四个交点的横坐标从左往右依次为，，，，请判断．是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）4
（2）解：∵平移前后图像均是轴对称图形，∴整体为轴对称图形，对称轴经过点P．
∵，，∴．
∵点P在的图像上
∴
∴．
（3）解：存在，最大值为12．
当直线位于点P上方时，根据平移的性质可得，．
∵，∴，，
∴，．
∴．
当直线位于点P下方时，
根据平移的性质可得，
∴．
综上．
所以存在最大值12．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）令得，或4，
，
，
故答案为：4；
【分析】（1）把y=0代入 二次函数 中求得对应的x值，即可求出点坐标；
（2）由轴对称图形可得平移后图象为轴对称图形，且对称轴经过点，根据已知条件可知点P的横坐标，代入二次函数 ，即可求得对应的纵坐标，进而写出点P的坐标即可；
（3）分直线在点上方和下方两种情况进行讨论即可.
（1）解：令得，或4，
，
，
故答案为：4；
（2）解：∵平移前后图像均是轴对称图形，
∴整体为轴对称图形，对称轴经过点P．
∵，，∴．
∵点P在的图像上∴
∴．
（3）存在，最大值为12．
当直线位于点P上方时，根据平移的性质可得，．
∵，∴，，
∴，．
∴．
当直线位于点P下方时，
根据平移的性质可得，
∴．
综上．
所以存在最大值12．
20．（2025·龙华模拟）综合与实践
【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的纸是一个长与宽的比为的矩形．
【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类矩形．
【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类矩形
【分析并解决问题】
（1）学习小组利用一张纸对折一次，使与重合，折叠过程如图1所示，其中，，求证：四边形是类矩形；
（2）学习小组利用一张正方形纸片折叠2次，展开后得折痕，，再将其沿折叠，使得点B与点E重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形是类矩形；
【拓展】
（3）如图3，四边形纸片中，垂直平分，，，点E，F，G，H分别是边上的点，将四边形纸片沿折叠，使得点B的对应点落在上，再沿折叠，使得点C，D的对应点分别落在上，若四边形是类矩形，请直接写出的值．
【答案】解：（1）证明：如图1，由折叠得：，，
∵，四边形是矩形，，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴四边形是类矩形；
（2）证明：如图2，由折叠得：，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
如图3，设，，则，
由折叠得：，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是类矩形；
（3）设与交于点O，
∵垂直平分，
∴，
∵四边形纸片沿折叠，使得点B的对应点落在上，
∴，
同理得：，，
∵四边形是类矩形，
∴或，
①如图4，当时，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图5，当时，，
由①同理得：，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，的长为或．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【分析】（1）先证明，再证明四边形是矩形，即可证得四边形是类矩形；
（2）如图2，由折叠得：，先证明四边形是矩形，如图3，设，，则，根据折叠的性质和等腰直角三角形的性质表示的长，即可求得，从而证得四边形是类矩形；
（3）设与交于点O，分两种情况：或，①如图4，当时，，根据，，列比例式即可得结论；②如图5，当时，，同理可得结论．
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