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广西梧州市2024—2025学年初中学业水平考试第二次模拟测试数学
1．（2025·梧州模拟）的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：-2025|=-（-2025）=2025
故答案为：D．
【分析】由一个负数的绝对值等于其相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数，作答即可.
2．（2025·梧州模拟）如图所示的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知，俯视图为：
故答案为：B．
【分析】从几何体上面往下看，得到的正投影就是其俯视图，据此逐一判断得出答案.
3．（2025·梧州模拟）平陆运河改变了广西临海但没有江河直接通航入海的现状．截至年6月，平陆运河项目累计完成投资约为元，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C ．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．（2025·梧州模拟）如图，在中，点，分别是，的中点，，则的长为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半可直接得出答案.
5．（2025·梧州模拟）已知点是正比例函数图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵点是正比例函数图象上一点，
∴，得，
∴，
当时，，故选项不符合题意；
当时，，故选项B不符合题意；
当时，，故选项C符合题意；
当时，，故选项D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】先利用待定系数法求出正比例函数的解析式，然后根据正比例函数图象上点的坐标特点，将各个选项中所给点的横坐标分别代入所求的函数解析式算出对应的函数y的值，进而将各个函数值与所给对应点的纵坐标比较即可得出答案.
6．（2025·梧州模拟）如图，在中，，，是的垂直平分线，分别交、于点，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】由等边对等角及三角形内角和定理，求得∠ABC=70°，又由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=BE，再由等边对等角得∠ABE=∠A=40°，最后根据角的构成，由∠CBE=∠ABC-∠ABE，列式计算即可.
7．（2025·梧州模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；负整数指数幂；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，此选项计算正确，符合题意；
B、，此选项原计算错误，不符合题意；
C、，此选项原计算错误，不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，此选项原计算错误，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】由负整数指数幂的法则“”可判断A选项；由同底数幂的除法，底数不变，指数相减，即可判断B选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
8．（2025·梧州模拟）如图，当驾驶员的眼睛点与地面的距离为米时，是驾驶员的视觉盲区，车头近似的看成是矩形，且，若的长度为米，则车宽的长度大约是（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的实际应用；三角形内接矩形相似模型
【解析】【解答】解：如图，过点作，垂足为，交于点，
则米，
设米，由得，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
即，
，
，
，
解得，，
∴米
故答案为：D．
【分析】过点P作PM⊥BE于点M，交AF于点N，设FA=x米，则FD=x米，由矩形的性质得AF∥CD，AF=CD，由平行线的性质推出MN=DF=x米，由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△PAF∽△PBE，由相似三角形对应边成比例建立方程求出PN=x，然后根据PN+MN=PM建立方程，求解得出x的值，从而即可得出CD的长.
9．（2025·梧州模拟）根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持二代居民身份证购买“、”字头列车车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证进站，这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间．已知采用刷身份证进站的方式后平均每分钟进站的旅客人数是原来的3倍，且300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．列出方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．
根据题意，得，
故答案为：A．
【分析】设原来平均每分钟进站旅客的人数是x人，则现在每分钟进站的旅客人数为3x人，由工作总量除以工作小丑等于工作时间及现在300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，即可得出关于x的分式方程．
10．（2025·梧州模拟）已知点，，在同一个函数的图象上，其中，这个函数可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、函数中比例系数2＞0，图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，由于A、B两点的横坐标不相等，而纵坐标相等，故A、B两点不可能同时在该函数的图象上，故此选项不符合题意；
B、函数y=2x中比例系数2＞0，函数图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，由于A、B两点横坐标不相等，而纵坐标相等，故A、B两点不可能同时在该函数的图象上，故此选项不符合题意；
C、函数y=-x2中二次项系数-1＜0，图象开口向下，对称轴直线为x=，所以抛物线上的点离对称轴直线距离越远其对应的函数值就越小，而|-2-0|=2=|2-0|＜|3-0|，所以a＞b，故A、B、C三点能同时在该函数图象上，故此选项符合题意；
D、函数y=x2中二次项系数1＞0，图象开口向上，对称轴直线为x=，所以抛物线上的点离对称轴直线距离越远其对应的函数值就越大，而|-2-0|=2=|2-0|＜|3-0|，所以a＜b，故A、B、C三点不能同时在该函数图象上，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，据此可判断A选项；正比例函数y=kx中当k＞0时，函数图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，据此可判断B选项；二次函数y=ax2中，当a＞0时，图象开口向上，对称轴直线为x=0，抛物线上的点离对称轴直线距离越远其对应的函数值就越大，当a＜0时，图象开口向下，对称轴直线为x=0，抛物线上的点离对称轴直线距离越远其对应的函数值就越小，据此可判断C、D选项.
11．（2025·梧州模拟）如图，四边形内接于，为直径，，连接．若半径为3，．则的长为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，交于，
∵为直径，
∴，
∵半径为3，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】如图，连接BD，OC交BD于Q，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，然后利用勾股定理算出BD的长；由圆心角、弧、弦得关系得出， 由垂径定理的推论“平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦”得出OC⊥BD，DQ=BQ，利用勾股定理算出OQ，进而由线段和差算出QC，最后再利用勾股定理算出CD即可.
12．（2025·梧州模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象相交于点，与轴相交于点，把线段绕点逆时针旋转，若点的对应点在函数的图象上，则的值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数（）的图象上，
∴，解得：，
∴，
∵点在一次函数的图象上，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为，
∵一次函数与轴相交于点，
∴，
过点作轴于点，过点作于点，则，
∵把线段绕点逆时针旋转，若点的对应点在函数的图象上，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴（），
∴，，
∴，
∴，
又点在反比例函数的图象上，
∴．
故答案为：D．
【分析】先将A（a，4）代入反比例函数解析式中可算出a的值，从而可得A点的坐标，再将A点的坐标代入一次函数y=2x+b中，求出b，即可得到一次函数的解析式，然后令所求一次函数解析式中的x=0算出对应的函数值，可得点B的坐标；过点A作AC⊥y轴于点C，过点B'作B'D⊥AC于点D，由旋转的性质得∠BAB'=90°，BA=AB'，由同角的余角相等可推出∠AB'D=∠CAB，从而利用AAS判断出△ABC≌△AB'D，由全等三角形的对应边相等得AD=BC=2，DB'=AC=1，进而可求出点B'的坐标，最后根据反比例函数图象上点的坐标特点，将点B'的坐标代入即可求出k的值.
13．（2025·梧州模拟）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥－3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】∵式子 在实数范围内有意义，
∴ ，解得： .
故答案为： .
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，即可得出不等式，求解即可。
14．（2025·梧州模拟）分解因式： =　 　．
【答案】（m+2）（m﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： =(m+2)(m﹣2)．
故答案为：(m+2)(m﹣2)．
【分析】直接利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
15．（2025·梧州模拟）“海棠花窗”是中国建筑中常见的一种设计．如图是一个海棠花窗的制作示意图，点是正方形的边心距上的一点，以点为圆心，长为半径画弧，同样的作法得到其余三条和弧一样的等弧，已知正方形的边长是6，当时，这个海棠花窗的周长是　 　．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，
由题意得，，，
∴，，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴这个海棠花窗的周长是，
故答案为：．
【分析】连接EB，由题意得OF⊥AB，EA=EB，由等腰三角形的三线合一得，，在Rt△EFA中，由∠AEF的正切函数及特殊锐角三角函数值可求出∠AEF=60°，进而利用勾股定理算出AE的长，最后根据弧长计算公式“”算出弧AB的长度，从而即可求出这个海棠花窗的周长.
16．（2025·梧州模拟）如图，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕；将纸片展平，连接，把沿翻折得到，点恰好落在的中点处．若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，
设，
则在矩形中，，
根据折叠可得，
则，
在中，，
即，
解得：，
在中，，
根据折叠可得，
又点是中点，
∴垂直平分，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
【分析】连接EN，设AD=2x，DE=y，根据矩形的性质得出AD=BC=2x，AB=DC=2，∠B=∠D=∠C=90°，根据折叠性质可得AM=DM=BN=CN=x，AD=AF=FN=2x，则AN=4x，在Rt△ABN中，勾股定理求出，在Rt△AED中，勾股定理表示出AE2，根据折叠可得∠AFE=∠D=90°，根据垂直平分线的性质得出AE=EN，在Rt△CEN中，勾股定理表示出EN2，从而可建立关于字母x、y的方程，进而整体代入后即可求出y的值，从而得到DE的长.
17．（2025·梧州模拟）（1）计算；
（2）解方程组：．
【答案】解：（1）原式；
（2）
把①代入②，得：，解得：；
把代入①，得：；
∴方程组的解为：．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算乘法运算及开方运算，再计算括号内的减法运算，进而计算除法运算，最后进行加减运算即可得出答案；
（2）由于方程组中的①方程已经用含x的式子表示出了y，故利用代入消元法解方程组较为简单；首先将方程①代入②消去y求出x的值，再将x的值代入①方程求出y的值，从而即可得到原方程组的解.
18．（2025·梧州模拟）如图，四边形是平行四边形，是边上的一点，且．
（1）尺规作图：作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）连接．求证：四边形是菱形．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由作图可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形.
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）如图，连接EF，由平行四边形的对边平行得AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠AED=∠EAF，由角平分线的定义得∠DAE=∠FAE，则∠DAE=∠DEA，由等角对等边得AD=DE，结合已知得出AF=DE，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形ADEF是平行四边形，再由“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可得出结论.
（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由作图可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形.
19．（2025·梧州模拟）某校在推进新课程改革的过程中，自主开发了五门校本课程，分别是：．人工智能探索；．传统文化寻根；．体质与健康；．山歌唱四方；．书香润心．每名同学根据自己的爱好只能选择其中一门课程，学校对全校同学的选课情况进行了随机抽样调查，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）补全条形统计图，课程所在的扇形的圆心角的度数是____；
（2）若该校有名学生，请你估计该校选择课程的学生有多少名？
（3）某班有名同学，其中名同学选择课程，名同学选择课程，名同学选择课程．若从这名同学中随机抽取名同学，请你用列表法或画树状图的方法求抽取的这名同学都是选择课程的概率．
【答案】（1）解：抽取的人数为：人，
选择课程的人数为：人，
选择课程的人数为：人，
补全统计图，如图，
课程所在的扇形的圆心角的度数是
故答案为：；
（2）解：名
∴估计该校选择课程的学生有名
（3）列表如下，
共有种等可能的选法；抽取的这名同学都是选择课程的有2种，
∴抽取的这名同学都是选择课程的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用喜欢“人工智能探索”的人数除以其占比即可求出本次调查的总人数，用本次调查的总人数乘以喜欢“传统文化寻根”的人数所占的百分比即可求出喜欢“传统文化探索”的人数，进而根据喜欢5门课程的人数之和等于本次调查的总人数求出喜欢“书香润心”的人数，从而即可补全条形统计图；用360°乘以喜欢“山歌唱四方”的人数所占的百分比即可求出课程D所在的扇形的圆心角的度数；
（2）用该校学生的总人数成恶意样本中喜欢课程B的人数所占的百分比，即可估算出该校选择课程B的学生人数；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意，用列表法列举出所有等可能的情况数，由表可知共有12种等可能的选法，抽取的，2名同学都是选择课程A的有2种，从而根据概率公式计算可得答案.
（1）解：抽取的人数为：人，
选择课程的人数为：人，
选择课程的人数为：人，
补全统计图，如图，
课程所在的扇形的圆心角的度数是
故答案为：．
（2）∴估计该校选择课程的学生有名
（3）解：列表如下，
共有种等可能的选法；抽取的这名同学都是选择课程的有2种，
∴抽取的这名同学都是选择课程的概率为．
20．（2025·梧州模拟）如图，一辆卡车使用一条不可伸缩的长绳通过岸边的定滑轮向左牵引小船靠岸，已知长绳段与水面平行，且岸边，当长绳段与水平方向的夹角时，船头离岸边的距离为米，已知甲板始终保持与水面平行，且到水面的距离为0.65米．
（1）求定滑轮到水面的距离．
（2）当小船受长绳牵引，船头前进到点处，此时长绳段与水平方向的夹角，求卡车向左移动了多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：，，）
【答案】（1）解：延长交于点，
∵，
∴，
由题意，得：，
在中，，
∴，
∴；
答：定滑轮到水面的距离为；
（2）解：由（1）知：，，在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴卡车移动的距离；
答：卡车向左移动了．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）延长BA交DE于点H，由二直线平行，同位角相等可推出∠AHD=90°，在Rt△AHD中，由∠DAH的正切函数可求出DH，再利用线段的和差关系求出DE的长；
（2）在Rt△AHD中，由含30°角直角三角形的性质得出AD=2DH=10m，在Rt△DGH中，由∠DGH的正弦函数可求出DG的长，最后利用AD-DG计算出卡车向左移动的距离.
（1）解：延长交于点，
∵，
∴，
由题意，得：，
在中，，
∴，
∴；
答：定滑轮到水面的距离为；
（2）由（1）知：，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴卡车移动的距离；
答：卡车向左移动了．
21．（2025·梧州模拟）若一元二次方程（，，是常数，且）的两根分别是，，根据求根公式可以推出，．
（1）运用：若一元二次方程的两根分别是，，则 ．
（2）类比探究：小芳同学发现．
请你试证明：．
（3）若，是关于的方程的两个实数根，且，求的值．
【答案】（1）
（2）证明：由题意可得，，
∴；
（3）解：∵，是关于的方程的两个实数根，
∴，，，
∴，，
整理得，
解得，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】（1）解：∵一元二次方程的两根分别是，，
∴，
故答案为：；
【分析（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系“ ”可求出的值；
（2）利用完全平方公式可得然后整体代入后先计算乘方，再通分计算异分母分式的减法运算后即可得出结论；
（3）先利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，根据（2）的方法将第二个等式的左边变形后整体代入可得关于字母m的方程，利用因式分解法解该方程求出m的值；进而利用根的判别式列出不等式求出字母m的取值范围，即可判断出符合题意得m的值.
（1）解：一元二次方程的两根分别是，，则，
故答案为：；
（2）证明：由题意可得，，
∴；
（3）解：∵，是关于的方程的两个实数根，
∴，，，
∴，，
整理得，
解得，
∴．
22．（2025·梧州模拟）数学活动课上，同学们在刘老师的指导下对二次函数进行了研究．
（1）甲同学经过分析后发现，无论取任何实数，该函数的图象与轴都有两个交点．请你通过计算判断甲同学的说法是否正确．
（2）刘老师为了让同学们更好地感悟“数形结合”的思想，提出了新问题：若该函数图象经过点，当时，求的取值范围．
乙同学经过思考后，通过待定系数法求函数的解析式，利用函数的图象与性质确定了的最大值和最小值，进而求出的取值范围．请你结合自己对二次函数的理解求出的取值范围．
（3）刘老师要求同学们能对所学知识举一反三，进一步研究：在已知（2）的函数解析式的前提下，若，且函数的最大值和最小值之差为6，求的值．
【答案】（1）解：当时，，
∴该函数的图象与轴都有两个交点．
故甲同学的说法正确．
（2）解：把代入得到，解得，
∴抛物线解析式为，
∴顶点坐标为，对称轴直线为x=-2，图象开口向上，抛物线上离对称轴直线距离越远得点其函数值越大，
∵，
∴在顶点处有最小值，当时有最大值，
∴的取值范围为．
（3）解：（2）的函数解析式为，
∴对称轴为，开口向上，当时随增大而增大，当时随增大而减小，
①当，即时，随增大而减小，
∴当时，有最大值；当时，有最小值；
∵函数的最大值和最小值之差为6，
∴，
解得，符合题意；
②当，时，对称轴在范围中间，到对称轴的距离小于到对称轴的距离，此时，
∴在顶点处有最小值；当时，有最大值；
∵函数的最大值和最小值之差为6，
∴，
解得，
∵，，
此时不符合题意；
③当，时，对称轴在范围中间，到对称轴的距离大于到对称轴的距离，此时，
∴在顶点处有最小值；当时，有最大值；
∵函数的最大值和最小值之差为6，
∴，
解得，
∵，，
此时符合题意；
④当，即时，随增大而增大，
∴当时，有最小值；当时，有最大值；
∵函数的最大值和最小值之差为6，
∴，
解得，符合题意；
综上所述，若，且函数的最大值和最小值之差为6，的值为或或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）算出根的判别式b2-4ac的值，结合偶数次幂的非负性判断出判别式的值一定是正数即可；
（2）把（-1，-8）代入y=x2+bx-5算出b的值，即可得出抛物线的解析式，然后把抛物线的解析式配成顶点式，可得顶点坐标为（-2，-9），对称轴直线为x=-2，图象开口向上，抛物线上离对称轴直线距离越远得点其函数值越大，再结合x的取值范围求最大值和最小值即可得到的取值范围；
（3）由函数解析式可得对称轴直线为x=-2，图象开口向上，当x＞-2时，y随x的增大而增大，当x＜-2时，y随x的增大而减小，然后分①当，即时，②当，时，对称轴在范围中间，到对称轴的距离小于到对称轴的距离，此时，③当，时，对称轴在范围中间，到对称轴的距离大于到对称轴的距离，此时，④当，即时，随增大而增大，四种情况，分别求出最大及最小值，根据函数的最大值和最小值之差为6， 建立方程求解即可得出答案.
（1）解：当时，，
∴该函数的图象与轴都有两个交点．
故甲同学的说法正确．
（2）解：把代入得到，
解得，
∴抛物线解析式为，
∴顶点坐标为，
当时，函数图象如图：
由图可得，在顶点处有最小值，当时有最大值，
∴的取值范围为．
（3）解：（2）的函数解析式为，
∴对称轴为，开口向上，当时随增大而增大，当时随增大而减小，
①当，即时，随增大而减小，
∴当时，有最大值；当时，有最小值；
∵函数的最大值和最小值之差为6，
∴，
解得，符合题意；
②当，时，对称轴在范围中间，到对称轴的距离小于到对称轴的距离，此时，
∴在顶点处有最小值；当时，有最大值；
∵函数的最大值和最小值之差为6，
∴，
解得，
∵，，
此时不符合题意；
③当，时，对称轴在范围中间，到对称轴的距离大于到对称轴的距离，此时，
∴在顶点处有最小值；当时，有最大值；
∵函数的最大值和最小值之差为6，
∴，
解得，
∵，，
此时符合题意；
④当，即时，随增大而增大，
∴当时，有最小值；当时，有最大值；
∵函数的最大值和最小值之差为6，
∴，
解得，符合题意；
综上所述，若，且函数的最大值和最小值之差为6，的值为或或．
23．（2025·梧州模拟）在中，，，，点是线段上的一个动点，以为直径作圆．
（1）当时，如图1，求证：圆与相切；
（2）如图2，连接，与圆相交于点，连接，请你求出的最小值并说明理由；
（3）如图3，，若点是圆上的一个动点，且点在内，连接、，请你直接写出的最小值．
【答案】（1）证明：过点O作与点，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点H在上，且，
∴圆与相切；
（2）解：最小值为，理由如下：
连接AE，取中点为，以为直径作圆弧交于点G，连接，
∵，
∴，
∴点在上运动，
当三点共线时，有最小值，
此时，∵，
∴，
∴最小值为；
（3）解：的最小值 为.
【知识点】圆周角定理；点与圆的位置关系；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】（3）解：在上取点，使得，且位于点O上方，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，
此时，，
∴．
【分析】（1）过点O作OH⊥BC与点H，先利用勾股定理算出BC=10，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△HBO，由相似三角形对应边成比例可求出OH=OD=3，进而根据到圆心距离等于该圆半径的直线就是该圆的切线即可得出结论；
（2）连接AE，取AC中点为F，以AC为直径作圆弧交BC于点G，连接BF，易得点在上运动，由直径所对的圆周角是直角得∠AED=∠AEC=90°，故点E在弧AG上运动，根据点与圆的位置关系，当B、E、F三点共线时，BE有最小值，利用勾股定理即可求解；
（3）在AB上取点Q，使得，且位于点O上方，连接PQ、OP、CQ，由有两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△POQ∽△BOP，由相似三角形对应边成比例推出；根据点与圆的位置关系，当Q、P、C三点共线时，CP+PQ有最小值，即有最小值，最小值为CQ的长，利用勾股定理即可求解．
（1）证明：过点O作与点，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点H在上，且，
∴圆与相切；
（2）解：最小值为，理由如下：
连接，取中点为，以为直径作圆弧交于点G，连接，
∵，
∴，
∴点在上运动，
当三点共线时，有最小值，
此时，∵，
∴，
∴最小值为；
（3）解：在上取点，使得，且位于点O上方，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，
此时，，
∴．
1 / 1广西梧州市2024—2025学年初中学业水平考试第二次模拟测试数学
1．（2025·梧州模拟）的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·梧州模拟）如图所示的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·梧州模拟）平陆运河改变了广西临海但没有江河直接通航入海的现状．截至年6月，平陆运河项目累计完成投资约为元，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·梧州模拟）如图，在中，点，分别是，的中点，，则的长为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
5．（2025·梧州模拟）已知点是正比例函数图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·梧州模拟）如图，在中，，，是的垂直平分线，分别交、于点，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·梧州模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·梧州模拟）如图，当驾驶员的眼睛点与地面的距离为米时，是驾驶员的视觉盲区，车头近似的看成是矩形，且，若的长度为米，则车宽的长度大约是（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．（2025·梧州模拟）根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持二代居民身份证购买“、”字头列车车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证进站，这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间．已知采用刷身份证进站的方式后平均每分钟进站的旅客人数是原来的3倍，且300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．列出方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·梧州模拟）已知点，，在同一个函数的图象上，其中，这个函数可能是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·梧州模拟）如图，四边形内接于，为直径，，连接．若半径为3，．则的长为（　　）
A． B． C． D．2
12．（2025·梧州模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象相交于点，与轴相交于点，把线段绕点逆时针旋转，若点的对应点在函数的图象上，则的值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
13．（2025·梧州模拟）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
14．（2025·梧州模拟）分解因式： =　 　．
15．（2025·梧州模拟）“海棠花窗”是中国建筑中常见的一种设计．如图是一个海棠花窗的制作示意图，点是正方形的边心距上的一点，以点为圆心，长为半径画弧，同样的作法得到其余三条和弧一样的等弧，已知正方形的边长是6，当时，这个海棠花窗的周长是　 　．
16．（2025·梧州模拟）如图，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕；将纸片展平，连接，把沿翻折得到，点恰好落在的中点处．若，则的长为　 　．
17．（2025·梧州模拟）（1）计算；
（2）解方程组：．
18．（2025·梧州模拟）如图，四边形是平行四边形，是边上的一点，且．
（1）尺规作图：作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）连接．求证：四边形是菱形．
19．（2025·梧州模拟）某校在推进新课程改革的过程中，自主开发了五门校本课程，分别是：．人工智能探索；．传统文化寻根；．体质与健康；．山歌唱四方；．书香润心．每名同学根据自己的爱好只能选择其中一门课程，学校对全校同学的选课情况进行了随机抽样调查，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）补全条形统计图，课程所在的扇形的圆心角的度数是____；
（2）若该校有名学生，请你估计该校选择课程的学生有多少名？
（3）某班有名同学，其中名同学选择课程，名同学选择课程，名同学选择课程．若从这名同学中随机抽取名同学，请你用列表法或画树状图的方法求抽取的这名同学都是选择课程的概率．
20．（2025·梧州模拟）如图，一辆卡车使用一条不可伸缩的长绳通过岸边的定滑轮向左牵引小船靠岸，已知长绳段与水面平行，且岸边，当长绳段与水平方向的夹角时，船头离岸边的距离为米，已知甲板始终保持与水面平行，且到水面的距离为0.65米．
（1）求定滑轮到水面的距离．
（2）当小船受长绳牵引，船头前进到点处，此时长绳段与水平方向的夹角，求卡车向左移动了多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：，，）
21．（2025·梧州模拟）若一元二次方程（，，是常数，且）的两根分别是，，根据求根公式可以推出，．
（1）运用：若一元二次方程的两根分别是，，则 ．
（2）类比探究：小芳同学发现．
请你试证明：．
（3）若，是关于的方程的两个实数根，且，求的值．
22．（2025·梧州模拟）数学活动课上，同学们在刘老师的指导下对二次函数进行了研究．
（1）甲同学经过分析后发现，无论取任何实数，该函数的图象与轴都有两个交点．请你通过计算判断甲同学的说法是否正确．
（2）刘老师为了让同学们更好地感悟“数形结合”的思想，提出了新问题：若该函数图象经过点，当时，求的取值范围．
乙同学经过思考后，通过待定系数法求函数的解析式，利用函数的图象与性质确定了的最大值和最小值，进而求出的取值范围．请你结合自己对二次函数的理解求出的取值范围．
（3）刘老师要求同学们能对所学知识举一反三，进一步研究：在已知（2）的函数解析式的前提下，若，且函数的最大值和最小值之差为6，求的值．
23．（2025·梧州模拟）在中，，，，点是线段上的一个动点，以为直径作圆．
（1）当时，如图1，求证：圆与相切；
（2）如图2，连接，与圆相交于点，连接，请你求出的最小值并说明理由；
（3）如图3，，若点是圆上的一个动点，且点在内，连接、，请你直接写出的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：-2025|=-（-2025）=2025
故答案为：D．
【分析】由一个负数的绝对值等于其相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数，作答即可.
2．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知，俯视图为：
故答案为：B．
【分析】从几何体上面往下看，得到的正投影就是其俯视图，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C ．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半可直接得出答案.
5．【答案】C
【知识点】正比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵点是正比例函数图象上一点，
∴，得，
∴，
当时，，故选项不符合题意；
当时，，故选项B不符合题意；
当时，，故选项C符合题意；
当时，，故选项D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】先利用待定系数法求出正比例函数的解析式，然后根据正比例函数图象上点的坐标特点，将各个选项中所给点的横坐标分别代入所求的函数解析式算出对应的函数y的值，进而将各个函数值与所给对应点的纵坐标比较即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】由等边对等角及三角形内角和定理，求得∠ABC=70°，又由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=BE，再由等边对等角得∠ABE=∠A=40°，最后根据角的构成，由∠CBE=∠ABC-∠ABE，列式计算即可.
7．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；负整数指数幂；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，此选项计算正确，符合题意；
B、，此选项原计算错误，不符合题意；
C、，此选项原计算错误，不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，此选项原计算错误，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】由负整数指数幂的法则“”可判断A选项；由同底数幂的除法，底数不变，指数相减，即可判断B选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
8．【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的实际应用；三角形内接矩形相似模型
【解析】【解答】解：如图，过点作，垂足为，交于点，
则米，
设米，由得，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
即，
，
，
，
解得，，
∴米
故答案为：D．
【分析】过点P作PM⊥BE于点M，交AF于点N，设FA=x米，则FD=x米，由矩形的性质得AF∥CD，AF=CD，由平行线的性质推出MN=DF=x米，由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△PAF∽△PBE，由相似三角形对应边成比例建立方程求出PN=x，然后根据PN+MN=PM建立方程，求解得出x的值，从而即可得出CD的长.
9．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．
根据题意，得，
故答案为：A．
【分析】设原来平均每分钟进站旅客的人数是x人，则现在每分钟进站的旅客人数为3x人，由工作总量除以工作小丑等于工作时间及现在300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，即可得出关于x的分式方程．
10．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、函数中比例系数2＞0，图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，由于A、B两点的横坐标不相等，而纵坐标相等，故A、B两点不可能同时在该函数的图象上，故此选项不符合题意；
B、函数y=2x中比例系数2＞0，函数图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，由于A、B两点横坐标不相等，而纵坐标相等，故A、B两点不可能同时在该函数的图象上，故此选项不符合题意；
C、函数y=-x2中二次项系数-1＜0，图象开口向下，对称轴直线为x=，所以抛物线上的点离对称轴直线距离越远其对应的函数值就越小，而|-2-0|=2=|2-0|＜|3-0|，所以a＞b，故A、B、C三点能同时在该函数图象上，故此选项符合题意；
D、函数y=x2中二次项系数1＞0，图象开口向上，对称轴直线为x=，所以抛物线上的点离对称轴直线距离越远其对应的函数值就越大，而|-2-0|=2=|2-0|＜|3-0|，所以a＜b，故A、B、C三点不能同时在该函数图象上，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，据此可判断A选项；正比例函数y=kx中当k＞0时，函数图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，据此可判断B选项；二次函数y=ax2中，当a＞0时，图象开口向上，对称轴直线为x=0，抛物线上的点离对称轴直线距离越远其对应的函数值就越大，当a＜0时，图象开口向下，对称轴直线为x=0，抛物线上的点离对称轴直线距离越远其对应的函数值就越小，据此可判断C、D选项.
11．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，交于，
∵为直径，
∴，
∵半径为3，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】如图，连接BD，OC交BD于Q，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，然后利用勾股定理算出BD的长；由圆心角、弧、弦得关系得出， 由垂径定理的推论“平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦”得出OC⊥BD，DQ=BQ，利用勾股定理算出OQ，进而由线段和差算出QC，最后再利用勾股定理算出CD即可.
12．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数（）的图象上，
∴，解得：，
∴，
∵点在一次函数的图象上，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为，
∵一次函数与轴相交于点，
∴，
过点作轴于点，过点作于点，则，
∵把线段绕点逆时针旋转，若点的对应点在函数的图象上，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴（），
∴，，
∴，
∴，
又点在反比例函数的图象上，
∴．
故答案为：D．
【分析】先将A（a，4）代入反比例函数解析式中可算出a的值，从而可得A点的坐标，再将A点的坐标代入一次函数y=2x+b中，求出b，即可得到一次函数的解析式，然后令所求一次函数解析式中的x=0算出对应的函数值，可得点B的坐标；过点A作AC⊥y轴于点C，过点B'作B'D⊥AC于点D，由旋转的性质得∠BAB'=90°，BA=AB'，由同角的余角相等可推出∠AB'D=∠CAB，从而利用AAS判断出△ABC≌△AB'D，由全等三角形的对应边相等得AD=BC=2，DB'=AC=1，进而可求出点B'的坐标，最后根据反比例函数图象上点的坐标特点，将点B'的坐标代入即可求出k的值.
13．【答案】x≥－3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】∵式子 在实数范围内有意义，
∴ ，解得： .
故答案为： .
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，即可得出不等式，求解即可。
14．【答案】（m+2）（m﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： =(m+2)(m﹣2)．
故答案为：(m+2)(m﹣2)．
【分析】直接利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
15．【答案】
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，
由题意得，，，
∴，，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴这个海棠花窗的周长是，
故答案为：．
【分析】连接EB，由题意得OF⊥AB，EA=EB，由等腰三角形的三线合一得，，在Rt△EFA中，由∠AEF的正切函数及特殊锐角三角函数值可求出∠AEF=60°，进而利用勾股定理算出AE的长，最后根据弧长计算公式“”算出弧AB的长度，从而即可求出这个海棠花窗的周长.
16．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，
设，
则在矩形中，，
根据折叠可得，
则，
在中，，
即，
解得：，
在中，，
根据折叠可得，
又点是中点，
∴垂直平分，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
【分析】连接EN，设AD=2x，DE=y，根据矩形的性质得出AD=BC=2x，AB=DC=2，∠B=∠D=∠C=90°，根据折叠性质可得AM=DM=BN=CN=x，AD=AF=FN=2x，则AN=4x，在Rt△ABN中，勾股定理求出，在Rt△AED中，勾股定理表示出AE2，根据折叠可得∠AFE=∠D=90°，根据垂直平分线的性质得出AE=EN，在Rt△CEN中，勾股定理表示出EN2，从而可建立关于字母x、y的方程，进而整体代入后即可求出y的值，从而得到DE的长.
17．【答案】解：（1）原式；
（2）
把①代入②，得：，解得：；
把代入①，得：；
∴方程组的解为：．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算乘法运算及开方运算，再计算括号内的减法运算，进而计算除法运算，最后进行加减运算即可得出答案；
（2）由于方程组中的①方程已经用含x的式子表示出了y，故利用代入消元法解方程组较为简单；首先将方程①代入②消去y求出x的值，再将x的值代入①方程求出y的值，从而即可得到原方程组的解.
18．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由作图可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形.
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）如图，连接EF，由平行四边形的对边平行得AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠AED=∠EAF，由角平分线的定义得∠DAE=∠FAE，则∠DAE=∠DEA，由等角对等边得AD=DE，结合已知得出AF=DE，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形ADEF是平行四边形，再由“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可得出结论.
（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由作图可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形.
19．【答案】（1）解：抽取的人数为：人，
选择课程的人数为：人，
选择课程的人数为：人，
补全统计图，如图，
课程所在的扇形的圆心角的度数是
故答案为：；
（2）解：名
∴估计该校选择课程的学生有名
（3）列表如下，
共有种等可能的选法；抽取的这名同学都是选择课程的有2种，
∴抽取的这名同学都是选择课程的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用喜欢“人工智能探索”的人数除以其占比即可求出本次调查的总人数，用本次调查的总人数乘以喜欢“传统文化寻根”的人数所占的百分比即可求出喜欢“传统文化探索”的人数，进而根据喜欢5门课程的人数之和等于本次调查的总人数求出喜欢“书香润心”的人数，从而即可补全条形统计图；用360°乘以喜欢“山歌唱四方”的人数所占的百分比即可求出课程D所在的扇形的圆心角的度数；
（2）用该校学生的总人数成恶意样本中喜欢课程B的人数所占的百分比，即可估算出该校选择课程B的学生人数；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意，用列表法列举出所有等可能的情况数，由表可知共有12种等可能的选法，抽取的，2名同学都是选择课程A的有2种，从而根据概率公式计算可得答案.
（1）解：抽取的人数为：人，
选择课程的人数为：人，
选择课程的人数为：人，
补全统计图，如图，
课程所在的扇形的圆心角的度数是
故答案为：．
（2）∴估计该校选择课程的学生有名
（3）解：列表如下，
共有种等可能的选法；抽取的这名同学都是选择课程的有2种，
∴抽取的这名同学都是选择课程的概率为．
20．【答案】（1）解：延长交于点，
∵，
∴，
由题意，得：，
在中，，
∴，
∴；
答：定滑轮到水面的距离为；
（2）解：由（1）知：，，在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴卡车移动的距离；
答：卡车向左移动了．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）延长BA交DE于点H，由二直线平行，同位角相等可推出∠AHD=90°，在Rt△AHD中，由∠DAH的正切函数可求出DH，再利用线段的和差关系求出DE的长；
（2）在Rt△AHD中，由含30°角直角三角形的性质得出AD=2DH=10m，在Rt△DGH中，由∠DGH的正弦函数可求出DG的长，最后利用AD-DG计算出卡车向左移动的距离.
（1）解：延长交于点，
∵，
∴，
由题意，得：，
在中，，
∴，
∴；
答：定滑轮到水面的距离为；
（2）由（1）知：，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴卡车移动的距离；
答：卡车向左移动了．
21．【答案】（1）
（2）证明：由题意可得，，
∴；
（3）解：∵，是关于的方程的两个实数根，
∴，，，
∴，，
整理得，
解得，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】（1）解：∵一元二次方程的两根分别是，，
∴，
故答案为：；
【分析（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系“ ”可求出的值；
（2）利用完全平方公式可得然后整体代入后先计算乘方，再通分计算异分母分式的减法运算后即可得出结论；
（3）先利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，根据（2）的方法将第二个等式的左边变形后整体代入可得关于字母m的方程，利用因式分解法解该方程求出m的值；进而利用根的判别式列出不等式求出字母m的取值范围，即可判断出符合题意得m的值.
（1）解：一元二次方程的两根分别是，，则，
故答案为：；
（2）证明：由题意可得，，
∴；
（3）解：∵，是关于的方程的两个实数根，
∴，，，
∴，，
整理得，
解得，
∴．
22．【答案】（1）解：当时，，
∴该函数的图象与轴都有两个交点．
故甲同学的说法正确．
（2）解：把代入得到，解得，
∴抛物线解析式为，
∴顶点坐标为，对称轴直线为x=-2，图象开口向上，抛物线上离对称轴直线距离越远得点其函数值越大，
∵，
∴在顶点处有最小值，当时有最大值，
∴的取值范围为．
（3）解：（2）的函数解析式为，
∴对称轴为，开口向上，当时随增大而增大，当时随增大而减小，
①当，即时，随增大而减小，
∴当时，有最大值；当时，有最小值；
∵函数的最大值和最小值之差为6，
∴，
解得，符合题意；
②当，时，对称轴在范围中间，到对称轴的距离小于到对称轴的距离，此时，
∴在顶点处有最小值；当时，有最大值；
∵函数的最大值和最小值之差为6，
∴，
解得，
∵，，
此时不符合题意；
③当，时，对称轴在范围中间，到对称轴的距离大于到对称轴的距离，此时，
∴在顶点处有最小值；当时，有最大值；
∵函数的最大值和最小值之差为6，
∴，
解得，
∵，，
此时符合题意；
④当，即时，随增大而增大，
∴当时，有最小值；当时，有最大值；
∵函数的最大值和最小值之差为6，
∴，
解得，符合题意；
综上所述，若，且函数的最大值和最小值之差为6，的值为或或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）算出根的判别式b2-4ac的值，结合偶数次幂的非负性判断出判别式的值一定是正数即可；
（2）把（-1，-8）代入y=x2+bx-5算出b的值，即可得出抛物线的解析式，然后把抛物线的解析式配成顶点式，可得顶点坐标为（-2，-9），对称轴直线为x=-2，图象开口向上，抛物线上离对称轴直线距离越远得点其函数值越大，再结合x的取值范围求最大值和最小值即可得到的取值范围；
（3）由函数解析式可得对称轴直线为x=-2，图象开口向上，当x＞-2时，y随x的增大而增大，当x＜-2时，y随x的增大而减小，然后分①当，即时，②当，时，对称轴在范围中间，到对称轴的距离小于到对称轴的距离，此时，③当，时，对称轴在范围中间，到对称轴的距离大于到对称轴的距离，此时，④当，即时，随增大而增大，四种情况，分别求出最大及最小值，根据函数的最大值和最小值之差为6， 建立方程求解即可得出答案.
（1）解：当时，，
∴该函数的图象与轴都有两个交点．
故甲同学的说法正确．
（2）解：把代入得到，
解得，
∴抛物线解析式为，
∴顶点坐标为，
当时，函数图象如图：
由图可得，在顶点处有最小值，当时有最大值，
∴的取值范围为．
（3）解：（2）的函数解析式为，
∴对称轴为，开口向上，当时随增大而增大，当时随增大而减小，
①当，即时，随增大而减小，
∴当时，有最大值；当时，有最小值；
∵函数的最大值和最小值之差为6，
∴，
解得，符合题意；
②当，时，对称轴在范围中间，到对称轴的距离小于到对称轴的距离，此时，
∴在顶点处有最小值；当时，有最大值；
∵函数的最大值和最小值之差为6，
∴，
解得，
∵，，
此时不符合题意；
③当，时，对称轴在范围中间，到对称轴的距离大于到对称轴的距离，此时，
∴在顶点处有最小值；当时，有最大值；
∵函数的最大值和最小值之差为6，
∴，
解得，
∵，，
此时符合题意；
④当，即时，随增大而增大，
∴当时，有最小值；当时，有最大值；
∵函数的最大值和最小值之差为6，
∴，
解得，符合题意；
综上所述，若，且函数的最大值和最小值之差为6，的值为或或．
23．【答案】（1）证明：过点O作与点，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点H在上，且，
∴圆与相切；
（2）解：最小值为，理由如下：
连接AE，取中点为，以为直径作圆弧交于点G，连接，
∵，
∴，
∴点在上运动，
当三点共线时，有最小值，
此时，∵，
∴，
∴最小值为；
（3）解：的最小值 为.
【知识点】圆周角定理；点与圆的位置关系；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】（3）解：在上取点，使得，且位于点O上方，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，
此时，，
∴．
【分析】（1）过点O作OH⊥BC与点H，先利用勾股定理算出BC=10，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△HBO，由相似三角形对应边成比例可求出OH=OD=3，进而根据到圆心距离等于该圆半径的直线就是该圆的切线即可得出结论；
（2）连接AE，取AC中点为F，以AC为直径作圆弧交BC于点G，连接BF，易得点在上运动，由直径所对的圆周角是直角得∠AED=∠AEC=90°，故点E在弧AG上运动，根据点与圆的位置关系，当B、E、F三点共线时，BE有最小值，利用勾股定理即可求解；
（3）在AB上取点Q，使得，且位于点O上方，连接PQ、OP、CQ，由有两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△POQ∽△BOP，由相似三角形对应边成比例推出；根据点与圆的位置关系，当Q、P、C三点共线时，CP+PQ有最小值，即有最小值，最小值为CQ的长，利用勾股定理即可求解．
（1）证明：过点O作与点，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点H在上，且，
∴圆与相切；
（2）解：最小值为，理由如下：
连接，取中点为，以为直径作圆弧交于点G，连接，
∵，
∴，
∴点在上运动，
当三点共线时，有最小值，
此时，∵，
∴，
∴最小值为；
（3）解：在上取点，使得，且位于点O上方，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，
此时，，
∴．
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