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湖南省郴州市2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测数学试题
注意事项：
1.试卷分试题卷和答题卡.试卷共6页，有四大题，共19小题，满分150分.考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号、考室号及座位号写在答题卡和试题卷的封面上.
3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在试卷上作答无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.
4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知，为实数，（为虚数单位），则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在长方体中，，，则直线和直线所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
4. 某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形的周长为（ ）
A. 12 B. 28 C. D. 20
6. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（ ）
A. 16 B. C. D. 4
7. 同时抛掷一白一红两枚质地均匀的骰子，用表示白色骰子的点数，表示红色骰子的点数，设事件“”，事件“为偶数”，事件“”，则下列结论正确的是（ ）
A. 与对立 B. C. 与相互独立 D. 与相互独立
8. 中，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）
9. 已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）
A. 复数的虚部为 B.
C. 复数的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限
10. 如图，在平面直角坐标系中，，，，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 四边形的面积为
C. 的外接圆的周长为 D.
11. 如图，在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点，动点在平面内，则下列说法中正确的是（ ）
A. 当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形
B. 当四面体的顶点在一个体积为的球面上时，
C. 当时，取得最小值
D. 的最小值为
三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分.）
12. 已知一组数据：3，5，7，1，4，6，9，2，则这组数据的第75百分位数是________.
13. 在正三棱台中，，，棱台的高为，则该棱台的体积为________.
14. 在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，二面角的大小为60°，则三棱锥的外接球的表面积为________.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 如图，在中，，点是的中点，点，分别是，的三等分点，且，.设，.
（1）用，表示，；
（2）若，，求.
16. 为了进一步推动体育强国和健康中国的建设，国家体育总局办公厅印发了《2025年群众体育工作要点》，为了解某地高中学生体育锻炼时长，从该地区28000名学生中抽取500人，得到日均体育锻炼时长的频率分布表，如下：
分组 频数 频率
120 0.24
160
155 031
35
30 0.06
合计 500 1
（1）求和的值；
（2）估计该地区高中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）；
（3）从和两组中用分层抽样的方法共抽取了7人，再从这7人中随机抽取2人，求这两人来自不同的组的概率.
17. 如图，和都垂直于平面，且，是的中点.为等边三角形.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
18. 错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识.某班级数学老师利用DeepSeek设计了一个错题重做网页小游戏.并在班级发起错题重做挑战赛.甲和乙两人组成“郴队”参加挑战赛.每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不影响，且各轮结果也互不影响.
（1）若甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为.求“郴队”在两轮比赛中做对2题的概率；
（2）若甲和乙第一轮做对的概率分别为，，第二轮做对的概率分别为，.求“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率.
19. 在2025年斯诺克世界锦标赛中，中国选手赵心童展现了卓越的球技，成为首位获得世锦赛冠军的中国选手，同时也是亚洲首位斯诺克世锦赛冠军.假设在一次模拟的斯诺克比赛中，球桌的尺寸为矩形，斯诺克选手需要从一个特定角度击球，使球从点出发，经过点，最终进入袋口，如图所示.其中，，，，足够长.
（1）若，求；
（2）若，交于点，设，，其中，，求的最大值.
参考答案
1-8.
【答案】B
【答案】A
【答案】C
【答案】C
【答案】D
【答案】B
【答案】B
【答案】C
9.【答案】BC
10.【答案】ABC
11.【答案】ABD
12.【答案】6.5##
13.【答案】##
14.【答案】
15.【答案】（1）
（2）8
16.【答案】（1）；
（2）0.9小时 （3）
17.【小问1】
证明：取的中点，连接，.
因为为中点，所以，
平面，平面，故
又，故且.
所以四边形是平行四边形，所以
因为是等边三角形，是中点，所以
因为平面，平面，所以平面平面
又平面平面，平面，所以平面，
所以平面.
【小问2】
设边长为，则，又平面且，
所以，解得.
由（1）知，平面，连接.
所以为直线与平面所成角.
因平面，平面，所以.
由勾股定理知：.同理，.
因为为中点，所以.
由（1）知平面，平面，则.
由（1）易知.
所以，在中，.
即直线与平面所成角的正弦值为.
18.【小问1】
设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，，
已知，，且与相互独立，各轮之间也相互独立.
“郴队”在两轮比赛中做对2题有三种情况：
情况一：甲做对2题，乙做对0题的概率为.
情况二：甲做对0题，乙做对2题的概率为.
情况三：甲做对1题，乙做对1题
甲做对1题的概率为
乙做对1题的概率为
所以甲做对0题，乙做对2题的概率为.
因为这三种情况互斥，所以“郴队”在两轮比赛中做对2题.
【小问2】
设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，.
已知，，，，且各事件相互独立.
“郴队”在两轮比赛中做对3题有两种情况：
情况一：甲做对2题，乙做对1题
甲做对2题的概率为
乙做对1题的概率为
所以甲做对2题，乙做对1题的概率为.
情况二：甲做对1题，乙做对2题
甲做对1题的概率为
乙做对2题的概率为
所以甲做对1题，乙做对2题的概率为.
由于这两种情况互斥，所以“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率为.
19.【小问1】
因为，所以，
又因为，，
在中，由余弦定理可知，
即.
整理可得，解得或.
【小问2】
法一：因为，所以.
又因为，，所以.
因为、、三点共线，所以，变形得.
所以
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最大值为.
法二：因为，所以.
又因为，，所以.
因为、、三点共线，所以，
变形得.
因为，，所以，
所以.
当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.

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