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四川省成都市温江区2025年二模数学试题
1．（2025·温江模拟）在，，，这四个数中，最小的数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·温江模拟）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·温江模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·温江模拟）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·温江模拟）某班6名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次）：39，45，42，37，41，39，这组数据的众数，中位数分别是（　　）
A．45，39 B．39，39 C．39，40 D．45，41
6．（2025·温江模拟）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·温江模拟）中国古代数学著作《九章算术》，中记载了这样一个题目：五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀，燕的重量各为多少？设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·温江模拟）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2025·温江模拟）因式分解： 　 　．
10．（2025·温江模拟）方程的解是　 　．
11．（2025·温江模拟）如图，是的切线，A，B为切点，若，，则图中阴影部分的面积为　 　．
12．（2025·温江模拟）在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是　 　．
13．（2025·温江模拟）如图，在菱形中，，，M是的中点，点P是上一动点，连接，，则的最小值为　 　．
14．（2025·温江模拟）（1）计算：．
（2）解不等式组：．
15．（2025·温江模拟）年中国新能源汽车产销量突破了万辆，这个数字是全球的，也是连续年全球排名第一．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，诞生了一批优秀的新能源车企．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
类型 人数 所占百分比
纯电
混动
氢燃料
油车
根据图表信息，解答下列问题：
（1）分别求出表中，的值；
（2）若此次汽车展览会的参展人员共有人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的人数；
（3）在喜欢氢燃料的人中有两名男士和两名女士，若从中随机抽取两人进行活动参观感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名女士的概率．
16．（2025·温江模拟）如图，滑动调节式遮阳伞的立柱垂直于地面，为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为，为的中点，，，，．根据生活经验，当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳．若太阳光线与地面的夹角为时，要使遮阳效果最佳，求的长．（结果精确到；参考数据：，，，）
17．（2025·温江模拟）如图，在中，，与边相切于点D，与，分别相交于点E，F，与相交于点G．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径和的长．
18．（2025·温江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点，B两点，与x轴相交于点，过点B作的垂线交反比例函数的图象于另一点D．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）点E是坐标轴上一点，点F是直线上一点，若A，C，E，F为顶点的四边形为菱形，求E，F两点的坐标；
（3）设点P是第三象限内的反比例函数图象上一点，连接交与点Q，若与相似，求点P的坐标．
19．（2025·温江模拟）如图，已知，，，则的值为　 　．
20．（2025·温江模拟）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为　 　．
21．（2025·温江模拟）在平面直角坐标系中，若二次函数图象上存在，两点，当时，满足，则m的取值范围为　 　．
22．（2025·温江模拟）如图，在中，，平分交于点D，E为上一点，．将沿折叠得到，交于点G．若，则　 　．
23．（2025·温江模拟）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这n个自然数中，任取两数之差的绝对值不大于的取法种数k进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若时，则k的值为　 　；若，则k的值为　 　．
24．（2025·温江模拟）在数字经济时代，成都加大对电子信息、生物医药及人工智能等领域的投资力度，促进“成都造”的品牌价值和市场认可度．某工厂现有，两个工种的工人共人，每月发工人工资元，，两个工种的工人的月工资分别为元和元．
（1），两个工种的工人各有多少人？
（2）现工厂扩大生产投入，需再招聘，两个工种的工人共名，招聘要求全工厂工种的人数不少于工种人数的倍，那么此次招聘工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？并求出最少工资总额．
25．（2025·温江模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
（1）求线段的长；
（2）当时，若的面积是面积的两倍，求点D的坐标；
（3）延长交x轴于点F，，试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
26．（2025·温江模拟）如图，在中，，，，点D是边上一动点（点D不与B，C重合），连接，以为边在直线右侧作，使得．
【初步感知】
（1）如图1，在点D的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，随着点D位置的变化，的位置随之发生变化，当的中点M恰好落在上时，求的值．
【拓展延伸】
（3）如图3，交于点F，P为的中点．当为等边三角形时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的数是，
故答案为：B．
【分析】根据有理数的大小比较法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小，据此直接得到答案.
2．【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左边观察，可知几何体的左视图底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，
故答案为：D．
【分析】根据左视图的定义，从左边观察几何体即可求解.
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B 、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故答案为：D．
【分析】根据积的乘方、合并同类项、完全平方公式、平方差公式，逐项进行计算判断即可.
4．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于x轴对称的点的坐标是，
故答案为：B．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标变化规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此得到答案.
5．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵成绩按从小到大进行排列为：37，39，39，41，42，45，
∴这组数据的众数是39，中位数是，
故答案为：C．
【分析】直接根据众数和中位数的定义得到答案.
6．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质直接得到答案.
7．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设雀每只两，燕每只两，
根据题意，可列出方程组为，
故答案为：B．
【分析】设雀每只两，燕每只两，然后根据“ 五只雀、六只燕，共重·6两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重”可列出关于x，y的二元一次方程组，据此得到答案.
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：设与交于点，
根据作图，得是线段的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据线段垂直平分线的尺规作图得是线段的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质得，从而根据等腰三角形“等边对等角”性质得，进而结合直角三角形的性质以及等腰三角形的判定推出，于是可得，则求出的值，最后利用勾股定理求解即可．
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】式子中含有x公因式，所以提取公因式法分解因式可得 。
【分析】直接提取公因式x即可进行因式分解.
10．【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴方程两边同乘，得，
解得：，
检验“当时，，
∴原分式方程的解为，
故答案为：．
【分析】本题考查解分式方程，先去分母将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后检验根即可求解.
11．【答案】
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
【分析】由切线的性质得到，然后根据四边形的内角和求出，最后利用扇形的面积公式进行求解.
12．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点，都在反比例函数的图象上，
∴当时，两点只能在第一、三象限或二、四象限，
∵当时，有，
∴函数图象在第一、三象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据反比例函数的图象与性质可得图象只能在第一、三象限或二、四象限，结合当时，有， 可求出函数图象在第一、三象限，从而可得关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围.
13．【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；轴对称的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接，延长到点Q，使得，连接，
∵四边形是菱形，，，
∴，，
∴、是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点A，Q关于直线对称，
∴，
∴当三点共线，即点P与点C重合时，取得最小值为，
∵M是的中点，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】连接，延长到点Q，使得，连接，根据菱形的性质得，，从而推出、是等边三角形，进而根据等边三角形的性质得，，于是得出，然后根据等腰三角形“三线合一”性质得，则点A，Q关于直线对称，接下来根据轴对称的性质得当三点共线，即点P与点C重合时，取得最小值为，据此即可求解.
14．【答案】解：（1）原式
；
（2），
由①，得，
由②，得，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用负整数指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根，绝对值的意义进行化简，最后进行加减运算即可；
（2）利用解一元一次不等式组的步骤求解，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集.
15．【答案】（1）解：根据题意，得被调查总人数为6÷15%=40（人），
∴，
∴，
根据题意，得喜欢混动的人数为40-22-4-6=8（人），
∴，
∴；
（2）解：（人），
∴估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的人数为5100人；
（3）解：画树状图如下：
∴共有12种等可能的结果，其中恰好抽到两名女士的结果有2种，
∴恰好抽到两名女士的概率为．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先用喜欢油车的人数除以其所占的百分比得出被调查总人数，再求出纯电的占被调查总人数的百分比得a的值，接下来求出喜欢混动的人数，再求喜欢混动的占被调查总人数的百分比得b的值；
（2）用6000乘以新能源（纯电、混动、氢燃料）所占的百分比即可求解；
（3）由树状图法得出所有的等可能结果数，从而得恰好抽到两名女士的结果数，进而利用概率公式进行求解.
（1）解：由喜欢油车的人数为人，占被调查总人数的百分比为，
∴被调查总人数为（人），
∴喜欢纯电的占被调查总人数的百分比为，
∴，
∵喜欢混动的人数为（人），
∴喜欢混动的占被调查总人数的百分比为，
∴；
（2）解：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的人数为（人）；
（3）解：根据题意画树状图得：
共有种等可能的结果，其中两名女士的结果数为种，
所以恰好抽到两名女士的概率．
16．【答案】解：如图，过点作于点，
∵当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳，滑动调节式遮阳伞的立柱垂直于地面，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长约为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】过点作于点，根据题意可得，，从而得，进而得，于是得出，然后求出，根据等腰三角形“三线合一”的性质，解直角三角形求出的值，最后可得的长．
17．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵与边相切于点D，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
∴的半径为，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得，结合题意推出，然后由平行线的性质可得，由圆周角定理得出，最后进行等量代换即可得证结论；
（2）连接，根据切线的性质可得，设，则，结合题意解直角三角形得出的半径，从而可得，，，进而利用勾股定理求出，然后解直角三角形得，利用勾股定理得，于是可求出，，接下来由（1）可得，根据平行线的性质可得，解直角三角形得出，根据平行线的判定推出，由相似三角形的判定证明，根据相似三角形的性质得出，最后即可得出的值．
（1）证明：如图，连接，
，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
，
∵与边相切于点D，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
经检验，是方程的解且符合题意，
∴的半径为，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
18．【答案】（1）解：∵直线与x轴相交于点，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
将代入一次函数中，得，
解得：，
∴，
将代入反比例函数解析式中，得，
解得：，
∴反比例函数的解析式为，
联立，
解得：或，
∴；
（2）解：如图，设直线交轴于，直线交轴于，
由（1）得直线的解析式为，
∴当时，有，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
由题意可得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点E是坐标轴上一点，点F是直线上一点，若A，C，E，F为顶点的四边形为菱形，
∴设，
①当为菱形的对角线时，
∵，，，
∴，
∴点为的中点，
∵，
∴此时点也在直线上，
∵点E是坐标轴上一点，
∴在中，当时，有，
当时，有，
解得，
∴点的坐标为或，
当点的坐标为时，，
解得：，此时，即；
当点的坐标为时，，
解得：，此时，即；
②当为菱形的边时，由菱形的性质可得：，
∴，
解得：或，
∴当时，，即，
当时，，即，
设点，
当时，且菱形为时，此时，
解得：，
∴，不符合题意；
当时，且菱形为时，此时，
解得：，
∴，不符合题意；
当时，且菱形为时，此时，
解得：，
∴，不符合题意；
当时，且菱形为时，此时，
解得：，
∴，不符合题意；
综上所述，，或，；
（3）解：由（2）可得直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
∵与相似，，
∴当时，，如图：
由题意可得此时，
∵直线的解析式为，
∴设直线的解析式为，
将代入解析式可得，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴；
当时，，如图，连接，
设，则，，，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：或，
∵，
∴，此时；
综上所述，点P的坐标为或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出一次函数的解析式，从而求出点的坐标，进而利用待定系数法求出反比例函数的解析式，联立一次函数与反比例函数解析式得到方程组，解方程组即可求出点坐标；
（2）设直线交轴于，直线交轴于，先求出点坐标，得的值，求出的值，然后推出，解直角三角形得的值，从而得点坐标，进而利用待定系数法求出直线的解析式，设，接下来再分两种情况讨论：①当为菱形的对角线时，先推出点为的中点，根据菱形对角线互相垂直，结合题意可知点也在直线上，在中，分别令x，y为0，即可求出点E坐标，进而得点F坐标；②当为菱形的边时，根据菱形的性质可得，于是利用坐标系中两点距离公式得关于t的方程，解方程得t的值，即可得点F坐标，设点，再分四种情况讨论：当菱形为、、、时，结合菱形的性质得关于s，r的方程组，解方程组即可；
（3）联立方程组先求出，再分两种情况：当时，，推出，根据两直线的平行问题，可利用待定系数法求出直线的解析式，联立方程组求出点P坐标；当时，，设，求出的值，利用勾股定理得关于p的方程，解方程求出p的值，即可得点P坐标.
（1）解：将代入一次函数的解析式可得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
将代入一次函数得：，
解得：，
∴，
将代入反比例函数解析式可得，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
联立，
解得或，
∴；
（2）解：如图：令直线交轴于，直线交轴于，
在中，当时，，即，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
由题意可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点E是坐标轴上一点，点F是直线上一点，若A，C，E，F为顶点的四边形为菱形，
∴设，
当为菱形的对角线时，
∵点为的中点，且，
∴此时点也在直线上，
∵点E是坐标轴上一点，
∴在中，当时，；当时，，解得，即此时点的坐标为或，
当点的坐标为时，，
解得：，此时，即；
当点的坐标为时，，
解得：，此时，即；
当为菱形的边时，由菱形的性质可得：，
即，
解得：或，
∴当时，，即，当时，，即，
设点，
当时，且菱形为时，此时，
解得：，即，不符合题意；
当时，且菱形为时，此时，
解得：，即，不符合题意；
当时，且菱形为时，此时，
解得：，即，不符合题意；
当时，且菱形为时，此时，
解得：，即，不符合题意；
综上所述，，或，；
（3）解：由（2）可得：直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
∵与相似，，
∴当时，，如图：
由题意可得此时，
∴设直线的解析式为，
将代入解析式可得，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴；
当时，，连接，如图：
设，则，，，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：或，
∵，
∴，此时；
综上所述，点P的坐标为或．
19．【答案】5
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：5．
【分析】先求出的值，然后根据全等三角形对应边相等的性质得的值.
20．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的解以及根与系数的关系求出，然后利用完全平方公式把变形，最后代入求值即可．
21．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵二次函数图象上存在，两点，当时，满足，
∴点关于直线对称，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后结合题意，根据抛物线的对称性得点关于直线对称，利用中点坐标公式得，接下来结合题意可得，的取值范围，从而得出关于的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围.
22．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
又∵将沿折叠得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线的定义、等腰三角形“等边对等角”的性质，进行等量代换可得，从而证明，进而得，然后解直角三角形得出，设，则，由勾股定理可得，求出，，，，，接下来根据折叠的性质可得，根据相似三角形的判定证明，由相似三角形的性质可得，设，则，，求出，，最后求比即可得解．
23．【答案】12；187
【知识点】探索数与式的规律；实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵当时，即差值不大于1时，有，共1种取法，则，
当时，即差值不大于1.5时，有和，共2种取法，则，
当时，即差值不大于2时，有，，，，，共5种取法，则，
当时，即差值不大于2.5时，~有种：，，~有2种：，，~有2种：，，~有1种：，共7种取法，则，
当时，即差值不大于3时，~有种：，，，~有种：，，，~有种：，，，
~有种：，，~有种：，共9种取法，则，
......
∴当时，即差值不大于11.5时，~有种，~有种，…，~有种，~有种，~有种，…，~有种，
共种取法，
故答案为：12，187．
【分析】先根据前几个值所对应值，找到变化规律即可.
24．【答案】（1）解：设，两个工种的工人各有人，人，
由题意，得，
解得：，
∴，两个工种的工人各有40人，60人；
（2）解：设此次招聘工种工人人，则招聘工种工人人，每月所付的工资总额为元，
根据题意，得，
∵全工厂工种的人数不少于工种人数的倍，
∴，
解得：，
∵，
∵，
∴随的增大而减小，
∴ 当时，每月所付的工资总额最小，最小值为（元），
∴此次招聘工种工人人时，可使每月所付的工资总额最少，最少工资总额为元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设，两个工种的工人各有人，人，然后根据“，两个工种的工人共人，每月发工人工资元，两个工种的工人的月工资分别为元和元“列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设此次招聘工种工人人，每月所付的工资总额为元，则招聘工种工人人，每月所付的工资总额为元，根据未扩招工人时每月发工人工资元，二，两个工种的工人的月工资分别为元和元”可列出w关于m的一次函数关系式，然后利用全工厂工种的人数不少于工种人数的倍，列不等式确定的取值范围，结合一次函数的增减性即可解答．
（1）解：设工种的工人有人，工种的工人有人，
根据题意，得，
解得：，
答：工种的工人有人，工种的工人有人；
（2）解：设此次招聘工种工人人，则招聘工种工人人，每月所付的工资总额为元，
则，
∵全工厂工种的人数不少于工种人数的倍，
∴，
解得：，
对于，，
∴随的增大而减小，
∴ 当时，每月所付的工资总额最小，
最小为（元），
答：此次招聘工种工人人时，可使每月所付的工资总额最少，最少工资总额为元．
25．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），
∴令，得，
∴，
解得：，，
∴，，
∴；
（2）解：如图，连接、、、，过点D作轴于，过点C作轴交于，
∵抛物线，其顶点为C，
∴当时，有，
∴，
设点的坐标为，则，
∴，
由（1）得，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积是面积的两倍，
∴，
整理得：，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点D作轴于，
∵，
∴，
在中，当时，有，
∴，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，则，
解得：，
∴，
∴，
解得：或，
经检验，或是方程的解，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴直线恒过定点．
【知识点】三角形的面积；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）令，从而求解得出、的坐标，进而求出线段的长；
（2）连接、、、，过点D作轴于，过点C作轴交于，先求出点坐标，设点的坐标为，则，从而求出的值，进而利用三角形面积公式表示出的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式，可得点的坐标，于是求出的值，利用三角形面积公式表示出的值，接下来结合题意得出关于m的一元二次方程，解方程即可得解；
（3）过点D作轴于，先求出，的坐标，然后设，则，求出，的值，由等腰三角形的性质可得的值，从而得出的值，进而可得点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式进而可得点坐标，得出关于m的方程，解方程得出的值，即可得点坐标，接下来利用待定系数法求出直线的解析式，当时，即可得直线恒过的定点坐标.
（1）解：在中，令，则，
∴，
解得：，，
∴，，
∴；
（2）解：当时，，
∴，
如图，连接、、、，作轴于，轴交于，
，
设点的坐标为，则，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积是面积的两倍，
∴，
整理得：，
解得：或，
∵，
∴，此时，
∴；
（3）解：∵，
∴，
在中，当时，，故，
如图：作轴于，
，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，则，
解得：，
∴，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴直线恒过定点．
26．【答案】解：（1）∵，
∴，，
∴，，
∴；
（2）如图，过点M作于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：或，
经检验，或时是分式方程的解，且符合题意，
∴或，
∴，
∴的值为或；
（3）如图，连接，
由（1）可得，
∴，
∵P为的中点．
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴、、、四点共圆，
∴，
设，则，，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；手拉手相似模型
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质可得，，从而得，，进而根据相似三角形的判定得证结论；
（2）过点M作于，则，从而根据相似三角形的判定推出，进而根据相似三角形的性质求出，的值，得的值，然后根据“一线三垂直“相似模型证明，得，
接下来设，则，于是得关于a的分式方程，解方程求出a的值，即可得的值，最后由正切的定义计算即可得解；
（3）连接，由（1）可得，得出，由直角三角形的性质可得，由等边三角形的性质可得，，证明、、、四点共圆，由圆周角定理可得，设，则，，求出，，再由相似三角形的性质求出的值，即可得解．
1 / 1四川省成都市温江区2025年二模数学试题
1．（2025·温江模拟）在，，，这四个数中，最小的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的数是，
故答案为：B．
【分析】根据有理数的大小比较法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小，据此直接得到答案.
2．（2025·温江模拟）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左边观察，可知几何体的左视图底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，
故答案为：D．
【分析】根据左视图的定义，从左边观察几何体即可求解.
3．（2025·温江模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B 、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故答案为：D．
【分析】根据积的乘方、合并同类项、完全平方公式、平方差公式，逐项进行计算判断即可.
4．（2025·温江模拟）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于x轴对称的点的坐标是，
故答案为：B．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标变化规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此得到答案.
5．（2025·温江模拟）某班6名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次）：39，45，42，37，41，39，这组数据的众数，中位数分别是（　　）
A．45，39 B．39，39 C．39，40 D．45，41
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵成绩按从小到大进行排列为：37，39，39，41，42，45，
∴这组数据的众数是39，中位数是，
故答案为：C．
【分析】直接根据众数和中位数的定义得到答案.
6．（2025·温江模拟）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质直接得到答案.
7．（2025·温江模拟）中国古代数学著作《九章算术》，中记载了这样一个题目：五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀，燕的重量各为多少？设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设雀每只两，燕每只两，
根据题意，可列出方程组为，
故答案为：B．
【分析】设雀每只两，燕每只两，然后根据“ 五只雀、六只燕，共重·6两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重”可列出关于x，y的二元一次方程组，据此得到答案.
8．（2025·温江模拟）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：设与交于点，
根据作图，得是线段的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据线段垂直平分线的尺规作图得是线段的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质得，从而根据等腰三角形“等边对等角”性质得，进而结合直角三角形的性质以及等腰三角形的判定推出，于是可得，则求出的值，最后利用勾股定理求解即可．
9．（2025·温江模拟）因式分解： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】式子中含有x公因式，所以提取公因式法分解因式可得 。
【分析】直接提取公因式x即可进行因式分解.
10．（2025·温江模拟）方程的解是　 　．
【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴方程两边同乘，得，
解得：，
检验“当时，，
∴原分式方程的解为，
故答案为：．
【分析】本题考查解分式方程，先去分母将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后检验根即可求解.
11．（2025·温江模拟）如图，是的切线，A，B为切点，若，，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
【分析】由切线的性质得到，然后根据四边形的内角和求出，最后利用扇形的面积公式进行求解.
12．（2025·温江模拟）在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点，都在反比例函数的图象上，
∴当时，两点只能在第一、三象限或二、四象限，
∵当时，有，
∴函数图象在第一、三象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据反比例函数的图象与性质可得图象只能在第一、三象限或二、四象限，结合当时，有， 可求出函数图象在第一、三象限，从而可得关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围.
13．（2025·温江模拟）如图，在菱形中，，，M是的中点，点P是上一动点，连接，，则的最小值为　 　．
【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；轴对称的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接，延长到点Q，使得，连接，
∵四边形是菱形，，，
∴，，
∴、是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点A，Q关于直线对称，
∴，
∴当三点共线，即点P与点C重合时，取得最小值为，
∵M是的中点，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】连接，延长到点Q，使得，连接，根据菱形的性质得，，从而推出、是等边三角形，进而根据等边三角形的性质得，，于是得出，然后根据等腰三角形“三线合一”性质得，则点A，Q关于直线对称，接下来根据轴对称的性质得当三点共线，即点P与点C重合时，取得最小值为，据此即可求解.
14．（2025·温江模拟）（1）计算：．
（2）解不等式组：．
【答案】解：（1）原式
；
（2），
由①，得，
由②，得，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用负整数指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根，绝对值的意义进行化简，最后进行加减运算即可；
（2）利用解一元一次不等式组的步骤求解，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集.
15．（2025·温江模拟）年中国新能源汽车产销量突破了万辆，这个数字是全球的，也是连续年全球排名第一．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，诞生了一批优秀的新能源车企．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
类型 人数 所占百分比
纯电
混动
氢燃料
油车
根据图表信息，解答下列问题：
（1）分别求出表中，的值；
（2）若此次汽车展览会的参展人员共有人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的人数；
（3）在喜欢氢燃料的人中有两名男士和两名女士，若从中随机抽取两人进行活动参观感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名女士的概率．
【答案】（1）解：根据题意，得被调查总人数为6÷15%=40（人），
∴，
∴，
根据题意，得喜欢混动的人数为40-22-4-6=8（人），
∴，
∴；
（2）解：（人），
∴估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的人数为5100人；
（3）解：画树状图如下：
∴共有12种等可能的结果，其中恰好抽到两名女士的结果有2种，
∴恰好抽到两名女士的概率为．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先用喜欢油车的人数除以其所占的百分比得出被调查总人数，再求出纯电的占被调查总人数的百分比得a的值，接下来求出喜欢混动的人数，再求喜欢混动的占被调查总人数的百分比得b的值；
（2）用6000乘以新能源（纯电、混动、氢燃料）所占的百分比即可求解；
（3）由树状图法得出所有的等可能结果数，从而得恰好抽到两名女士的结果数，进而利用概率公式进行求解.
（1）解：由喜欢油车的人数为人，占被调查总人数的百分比为，
∴被调查总人数为（人），
∴喜欢纯电的占被调查总人数的百分比为，
∴，
∵喜欢混动的人数为（人），
∴喜欢混动的占被调查总人数的百分比为，
∴；
（2）解：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的人数为（人）；
（3）解：根据题意画树状图得：
共有种等可能的结果，其中两名女士的结果数为种，
所以恰好抽到两名女士的概率．
16．（2025·温江模拟）如图，滑动调节式遮阳伞的立柱垂直于地面，为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为，为的中点，，，，．根据生活经验，当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳．若太阳光线与地面的夹角为时，要使遮阳效果最佳，求的长．（结果精确到；参考数据：，，，）
【答案】解：如图，过点作于点，
∵当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳，滑动调节式遮阳伞的立柱垂直于地面，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长约为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】过点作于点，根据题意可得，，从而得，进而得，于是得出，然后求出，根据等腰三角形“三线合一”的性质，解直角三角形求出的值，最后可得的长．
17．（2025·温江模拟）如图，在中，，与边相切于点D，与，分别相交于点E，F，与相交于点G．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径和的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵与边相切于点D，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
∴的半径为，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得，结合题意推出，然后由平行线的性质可得，由圆周角定理得出，最后进行等量代换即可得证结论；
（2）连接，根据切线的性质可得，设，则，结合题意解直角三角形得出的半径，从而可得，，，进而利用勾股定理求出，然后解直角三角形得，利用勾股定理得，于是可求出，，接下来由（1）可得，根据平行线的性质可得，解直角三角形得出，根据平行线的判定推出，由相似三角形的判定证明，根据相似三角形的性质得出，最后即可得出的值．
（1）证明：如图，连接，
，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
，
∵与边相切于点D，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
经检验，是方程的解且符合题意，
∴的半径为，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
18．（2025·温江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点，B两点，与x轴相交于点，过点B作的垂线交反比例函数的图象于另一点D．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）点E是坐标轴上一点，点F是直线上一点，若A，C，E，F为顶点的四边形为菱形，求E，F两点的坐标；
（3）设点P是第三象限内的反比例函数图象上一点，连接交与点Q，若与相似，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵直线与x轴相交于点，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
将代入一次函数中，得，
解得：，
∴，
将代入反比例函数解析式中，得，
解得：，
∴反比例函数的解析式为，
联立，
解得：或，
∴；
（2）解：如图，设直线交轴于，直线交轴于，
由（1）得直线的解析式为，
∴当时，有，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
由题意可得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点E是坐标轴上一点，点F是直线上一点，若A，C，E，F为顶点的四边形为菱形，
∴设，
①当为菱形的对角线时，
∵，，，
∴，
∴点为的中点，
∵，
∴此时点也在直线上，
∵点E是坐标轴上一点，
∴在中，当时，有，
当时，有，
解得，
∴点的坐标为或，
当点的坐标为时，，
解得：，此时，即；
当点的坐标为时，，
解得：，此时，即；
②当为菱形的边时，由菱形的性质可得：，
∴，
解得：或，
∴当时，，即，
当时，，即，
设点，
当时，且菱形为时，此时，
解得：，
∴，不符合题意；
当时，且菱形为时，此时，
解得：，
∴，不符合题意；
当时，且菱形为时，此时，
解得：，
∴，不符合题意；
当时，且菱形为时，此时，
解得：，
∴，不符合题意；
综上所述，，或，；
（3）解：由（2）可得直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
∵与相似，，
∴当时，，如图：
由题意可得此时，
∵直线的解析式为，
∴设直线的解析式为，
将代入解析式可得，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴；
当时，，如图，连接，
设，则，，，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：或，
∵，
∴，此时；
综上所述，点P的坐标为或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出一次函数的解析式，从而求出点的坐标，进而利用待定系数法求出反比例函数的解析式，联立一次函数与反比例函数解析式得到方程组，解方程组即可求出点坐标；
（2）设直线交轴于，直线交轴于，先求出点坐标，得的值，求出的值，然后推出，解直角三角形得的值，从而得点坐标，进而利用待定系数法求出直线的解析式，设，接下来再分两种情况讨论：①当为菱形的对角线时，先推出点为的中点，根据菱形对角线互相垂直，结合题意可知点也在直线上，在中，分别令x，y为0，即可求出点E坐标，进而得点F坐标；②当为菱形的边时，根据菱形的性质可得，于是利用坐标系中两点距离公式得关于t的方程，解方程得t的值，即可得点F坐标，设点，再分四种情况讨论：当菱形为、、、时，结合菱形的性质得关于s，r的方程组，解方程组即可；
（3）联立方程组先求出，再分两种情况：当时，，推出，根据两直线的平行问题，可利用待定系数法求出直线的解析式，联立方程组求出点P坐标；当时，，设，求出的值，利用勾股定理得关于p的方程，解方程求出p的值，即可得点P坐标.
（1）解：将代入一次函数的解析式可得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
将代入一次函数得：，
解得：，
∴，
将代入反比例函数解析式可得，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
联立，
解得或，
∴；
（2）解：如图：令直线交轴于，直线交轴于，
在中，当时，，即，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
由题意可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点E是坐标轴上一点，点F是直线上一点，若A，C，E，F为顶点的四边形为菱形，
∴设，
当为菱形的对角线时，
∵点为的中点，且，
∴此时点也在直线上，
∵点E是坐标轴上一点，
∴在中，当时，；当时，，解得，即此时点的坐标为或，
当点的坐标为时，，
解得：，此时，即；
当点的坐标为时，，
解得：，此时，即；
当为菱形的边时，由菱形的性质可得：，
即，
解得：或，
∴当时，，即，当时，，即，
设点，
当时，且菱形为时，此时，
解得：，即，不符合题意；
当时，且菱形为时，此时，
解得：，即，不符合题意；
当时，且菱形为时，此时，
解得：，即，不符合题意；
当时，且菱形为时，此时，
解得：，即，不符合题意；
综上所述，，或，；
（3）解：由（2）可得：直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
∵与相似，，
∴当时，，如图：
由题意可得此时，
∴设直线的解析式为，
将代入解析式可得，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴；
当时，，连接，如图：
设，则，，，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：或，
∵，
∴，此时；
综上所述，点P的坐标为或．
19．（2025·温江模拟）如图，已知，，，则的值为　 　．
【答案】5
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：5．
【分析】先求出的值，然后根据全等三角形对应边相等的性质得的值.
20．（2025·温江模拟）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的解以及根与系数的关系求出，然后利用完全平方公式把变形，最后代入求值即可．
21．（2025·温江模拟）在平面直角坐标系中，若二次函数图象上存在，两点，当时，满足，则m的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵二次函数图象上存在，两点，当时，满足，
∴点关于直线对称，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后结合题意，根据抛物线的对称性得点关于直线对称，利用中点坐标公式得，接下来结合题意可得，的取值范围，从而得出关于的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围.
22．（2025·温江模拟）如图，在中，，平分交于点D，E为上一点，．将沿折叠得到，交于点G．若，则　 　．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
又∵将沿折叠得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线的定义、等腰三角形“等边对等角”的性质，进行等量代换可得，从而证明，进而得，然后解直角三角形得出，设，则，由勾股定理可得，求出，，，，，接下来根据折叠的性质可得，根据相似三角形的判定证明，由相似三角形的性质可得，设，则，，求出，，最后求比即可得解．
23．（2025·温江模拟）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这n个自然数中，任取两数之差的绝对值不大于的取法种数k进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若时，则k的值为　 　；若，则k的值为　 　．
【答案】12；187
【知识点】探索数与式的规律；实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵当时，即差值不大于1时，有，共1种取法，则，
当时，即差值不大于1.5时，有和，共2种取法，则，
当时，即差值不大于2时，有，，，，，共5种取法，则，
当时，即差值不大于2.5时，~有种：，，~有2种：，，~有2种：，，~有1种：，共7种取法，则，
当时，即差值不大于3时，~有种：，，，~有种：，，，~有种：，，，
~有种：，，~有种：，共9种取法，则，
......
∴当时，即差值不大于11.5时，~有种，~有种，…，~有种，~有种，~有种，…，~有种，
共种取法，
故答案为：12，187．
【分析】先根据前几个值所对应值，找到变化规律即可.
24．（2025·温江模拟）在数字经济时代，成都加大对电子信息、生物医药及人工智能等领域的投资力度，促进“成都造”的品牌价值和市场认可度．某工厂现有，两个工种的工人共人，每月发工人工资元，，两个工种的工人的月工资分别为元和元．
（1），两个工种的工人各有多少人？
（2）现工厂扩大生产投入，需再招聘，两个工种的工人共名，招聘要求全工厂工种的人数不少于工种人数的倍，那么此次招聘工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？并求出最少工资总额．
【答案】（1）解：设，两个工种的工人各有人，人，
由题意，得，
解得：，
∴，两个工种的工人各有40人，60人；
（2）解：设此次招聘工种工人人，则招聘工种工人人，每月所付的工资总额为元，
根据题意，得，
∵全工厂工种的人数不少于工种人数的倍，
∴，
解得：，
∵，
∵，
∴随的增大而减小，
∴ 当时，每月所付的工资总额最小，最小值为（元），
∴此次招聘工种工人人时，可使每月所付的工资总额最少，最少工资总额为元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设，两个工种的工人各有人，人，然后根据“，两个工种的工人共人，每月发工人工资元，两个工种的工人的月工资分别为元和元“列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设此次招聘工种工人人，每月所付的工资总额为元，则招聘工种工人人，每月所付的工资总额为元，根据未扩招工人时每月发工人工资元，二，两个工种的工人的月工资分别为元和元”可列出w关于m的一次函数关系式，然后利用全工厂工种的人数不少于工种人数的倍，列不等式确定的取值范围，结合一次函数的增减性即可解答．
（1）解：设工种的工人有人，工种的工人有人，
根据题意，得，
解得：，
答：工种的工人有人，工种的工人有人；
（2）解：设此次招聘工种工人人，则招聘工种工人人，每月所付的工资总额为元，
则，
∵全工厂工种的人数不少于工种人数的倍，
∴，
解得：，
对于，，
∴随的增大而减小，
∴ 当时，每月所付的工资总额最小，
最小为（元），
答：此次招聘工种工人人时，可使每月所付的工资总额最少，最少工资总额为元．
25．（2025·温江模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
（1）求线段的长；
（2）当时，若的面积是面积的两倍，求点D的坐标；
（3）延长交x轴于点F，，试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），
∴令，得，
∴，
解得：，，
∴，，
∴；
（2）解：如图，连接、、、，过点D作轴于，过点C作轴交于，
∵抛物线，其顶点为C，
∴当时，有，
∴，
设点的坐标为，则，
∴，
由（1）得，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积是面积的两倍，
∴，
整理得：，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点D作轴于，
∵，
∴，
在中，当时，有，
∴，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，则，
解得：，
∴，
∴，
解得：或，
经检验，或是方程的解，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴直线恒过定点．
【知识点】三角形的面积；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）令，从而求解得出、的坐标，进而求出线段的长；
（2）连接、、、，过点D作轴于，过点C作轴交于，先求出点坐标，设点的坐标为，则，从而求出的值，进而利用三角形面积公式表示出的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式，可得点的坐标，于是求出的值，利用三角形面积公式表示出的值，接下来结合题意得出关于m的一元二次方程，解方程即可得解；
（3）过点D作轴于，先求出，的坐标，然后设，则，求出，的值，由等腰三角形的性质可得的值，从而得出的值，进而可得点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式进而可得点坐标，得出关于m的方程，解方程得出的值，即可得点坐标，接下来利用待定系数法求出直线的解析式，当时，即可得直线恒过的定点坐标.
（1）解：在中，令，则，
∴，
解得：，，
∴，，
∴；
（2）解：当时，，
∴，
如图，连接、、、，作轴于，轴交于，
，
设点的坐标为，则，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积是面积的两倍，
∴，
整理得：，
解得：或，
∵，
∴，此时，
∴；
（3）解：∵，
∴，
在中，当时，，故，
如图：作轴于，
，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，则，
解得：，
∴，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴直线恒过定点．
26．（2025·温江模拟）如图，在中，，，，点D是边上一动点（点D不与B，C重合），连接，以为边在直线右侧作，使得．
【初步感知】
（1）如图1，在点D的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，随着点D位置的变化，的位置随之发生变化，当的中点M恰好落在上时，求的值．
【拓展延伸】
（3）如图3，交于点F，P为的中点．当为等边三角形时，求的长．
【答案】解：（1）∵，
∴，，
∴，，
∴；
（2）如图，过点M作于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：或，
经检验，或时是分式方程的解，且符合题意，
∴或，
∴，
∴的值为或；
（3）如图，连接，
由（1）可得，
∴，
∵P为的中点．
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴、、、四点共圆，
∴，
设，则，，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；手拉手相似模型
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质可得，，从而得，，进而根据相似三角形的判定得证结论；
（2）过点M作于，则，从而根据相似三角形的判定推出，进而根据相似三角形的性质求出，的值，得的值，然后根据“一线三垂直“相似模型证明，得，
接下来设，则，于是得关于a的分式方程，解方程求出a的值，即可得的值，最后由正切的定义计算即可得解；
（3）连接，由（1）可得，得出，由直角三角形的性质可得，由等边三角形的性质可得，，证明、、、四点共圆，由圆周角定理可得，设，则，，求出，，再由相似三角形的性质求出的值，即可得解．
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