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广西柳州城中区2025年5月九年级教学质量抽测数学试卷
1．（2025·城中模拟）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走10步记作“”，则向北行走8步可记作（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·城中模拟）第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·城中模拟）如图是物理学中经常使用的型磁铁示意图，其左视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·城中模拟）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·城中模拟）某次演讲比赛中，进入决赛的7位同学得分由低到高依次为88，90，90，92，97，97，98．这组得分的中位数是（　　）分
A．98 B．92 C．97 D．90
6．（2025·城中模拟）五边形的外角和为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·城中模拟）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（　　）
A． B． C．1 D．5
8．（2025·城中模拟）学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如下表：
累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000
针尖朝上频率
随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（　　）（精确到）
A． B． C． D．
9．（2025·城中模拟）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·城中模拟）一元二次方程x2+x﹣2=0根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
11．（2025·城中模拟）如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点O到桥面的距离（单位：米）是（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·城中模拟）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
13．（2025·城中模拟）分解因式：x2+3x=　 　．
14．（2025·城中模拟）若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为　 　
15．（2025·城中模拟）某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为　 　（V）．
16．（2025·城中模拟）如图，矩形纸片中，，，点、分别是边、上的动点，将纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为，则的最大值为　 　．
17．（2025·城中模拟）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
18．（2025·城中模拟）如图，在，．
（1）使用直尺和圆规，作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若，，求的长．
19．（2025·城中模拟）二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“．惊蛰”“．夏至”“．白露”“．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“．惊蛰”的概率是 ．
（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人同时抽到“．惊蛰”“．夏至”的概率．
20．（2025·城中模拟）端午节到来之际，小明家的经销店准备销售粽子和咸鸭蛋．据了解，购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元．
（1）求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元
（2）若每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元．小明父亲打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1600元，求至少购进多少个粽子
21．（2025·城中模拟）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
22．（2025·城中模拟）综合与实践
【发现问题】
海边洗浴时，往往因没有合适的地方更换衣服而尴尬．小明妈妈买来一块长宽的加厚不透明的布料用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间（地面是长方形，布料接头部分忽略不计），小明发现高的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积，而地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化．
【提出问题】
设临时换衣间长方形地面的一边长为，临时换衣间地面面积为，那么与之间有什么关系呢？
【分析问题】
一方面发现临时换衣间的底面周长是，于是另一边长可以用含的代数式表示，于是利用矩形的面积长宽，就可以直接列出面积与的关系式．另一方面可以依据实际操作和计算得到一边长和面积的相关数据，如表：
长方形地面的一边长 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 …
长方形地面的面积 0.84 1.14 1.36 1.5 1.56 …
然后在平面直角坐标系中，分别描出上面表格中的各对数值对应的点，得到如图，再由图象猜想与之间函数关系，最后利用待定系数法即可求出对应的函数解析式．
【解决问题】
（1）求出与的函数关系；
（2）求为何值时，临时换衣间的空间最大？最大空间是多少？
（3）小明发现离洗浴地不远处有一栋长高的建筑外墙．若利用部分墙体，你能帮小明设计空间更大的临时换衣间吗？若能，请结合具体数据进行表达．
23．（2025·城中模拟）【综合与实践】
【课本再现】
人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点是正方形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出．由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究．
【例题延伸】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且，试判断，，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转得到，使与重合，试求，，之间有什么数量关系？并说明理由；
【类比探究】
（2）如图2，在矩形中，已知，，点为边延长线上一点，连接，过点作于点，交于点．
①求的值；
②求的值；
【拓展应用】
（3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，若，请你求出的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若将向南行走10步记作“”，则向北行走8步可记作．
故答案为：A．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据正负数的意义，结合题意作答即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
22100000用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，只能看到一个竖着放置的长方形，且下面还有一部分长方形，
即的左视图是.
故答案为：B．
【分析】根据左视图是从左面看得到的图形并结合个选项可判断求解．
4．【答案】A
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方计算法则计算求解即可.
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：由题意得，这组得分的中位数是92分，
故答案为：B．
【分析】把一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的那个数据或最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数. 根据中位数的定义计算求解即可.
6．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正五边形的外角和是．
故答案为：C．
【分析】多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是，据此作答求解即可.
7．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点与点关于轴对称，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点求出，再代入计算求解即可.
8．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可知，“针尖朝上”频率在左右波动，
∴根据以上实验数据可以估计出“针尖朝上”的概率约为．
故答案为：C．
【分析】根据“针尖朝上”频率在左右波动，求解即可.
9．【答案】D
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过点C作直线平行于直线m，
∵直线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据平行公理的推论可得，根据平行线的性质可得，∠2=∠4，由可求出，即可求得∠2.
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2+x﹣2=0 ，
∴a=1，b=1，c=﹣2，
∴b2﹣4ac=1+8=9＞0．
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：A．
【分析】根据题意求出a=1，b=1，c=﹣2，再根据一元二次方程根的判别式计算求解即可.
11．【答案】D
【知识点】轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：作于C，
∵大桥主塔是一个轴对称图形（如图所示），
∴，
又OC⊥AB，
∴（米），
∵，
∴（米）
故答案为：D．
【分析】作于C，根据轴对称图形性质可得OA=OB，利用等腰三角形的三线合一得，然后利用∠OAB的正切函数求出OC即可.
12．【答案】A
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图：连接，作于点B，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据等边三角形的判定方法求出是等边三角形，再利用勾股定理求出AB的值，最后根据扇形和三角形的面积公式计算求解即可.
13．【答案】x（x+3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+3x=x（x+3）．
【分析】观察原式，发现公因式为x；提出后，即可得出答案．
14．【答案】1：9
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：9.
故答案为：1：9.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，据此求解即可.
15．【答案】64
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为，
∵点在该函数图象上，
∴（V），
故答案为：64．
【分析】根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为，其中U为电压，再根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标得乘积都等于比例系数，把代入可得U的值．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：当B与重合时，最大，此时E在的垂直平分线上，如图：
矩形纸片中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】利用勾股定理求出BD=10，再根据相似三角形的判定方法求出，最后根据相似三角形的性质计算求解即可.
17．【答案】解：（1）
；
（2）
方程的两边同乘，得，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
检验：当时，．
原方程的解为：．
【知识点】零指数幂；解分式方程；实数的绝对值；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据零指数幂，立方根和绝对值计算求解即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程，再检验求解即可．
18．【答案】（1）解：分别以点、为圆心，大于一半长为半径画弧，两条弧分别相交于点和，连接交于点，连接，即为所求作的边上的中线．
（2）解：，，
．
在，，
，
，
．
是中边上的中线，
．

【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；尺规作图-中线
【解析】【分析】（1）根据题意要求作中线即可；
（2）根据含的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出的长，最后利用直角三角形斜边上的中线性质计算求解即可.
（1）解：分别以点、为圆心，大于一半长为半径画弧，两条弧分别相交于点和，连接交于点，连接，即为所求作的边上的中线．
（2）解：，，
．
在，，
，
，
．
是中边上的中线，
．
19．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
由表格可知共有12种等可能的结果，其中两人同时抽到“A．惊蛰”“B．夏至”的结果共2种．
∴两人同时抽到“A．惊蛰”“B．夏至”的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解；∵一共有四张不同的卡片，且每张卡片被抽到的概率相同，
∴小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“．惊蛰”的概率是；
【分析】（1）根据一共有四张不同的卡片，且每张卡片被抽到的概率相同，利用概率公式计算求解即可；
（2）先列表，再求出共有12种等可能的结果，其中两人同时抽到“A．惊蛰”“B．夏至”的结果共2种，最后根据概率公式计算求解即可.
（1）解；∵一共有四张不同的卡片，且每张卡片被抽到的概率相同，
∴小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“．惊蛰”的概率是；
（2）解：列表如下：
　
　
　
　
　
由表格可知共有12种等可能的结果，其中两人同时抽到“A．惊蛰”“B．夏至”的结果共2种．
∴两人同时抽到“A．惊蛰”“B．夏至”的概率为．
20．【答案】（1）解：设每个粽子的进价为元，每个咸鸭蛋的进价为元，
由题意得：．
解得．
答：每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元；
（2）解：设购进个粽子，
根据题意，得．
解得．
因为是正整数，所以最小值取600．
答：至少购进600个粽子．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先设每个粽子的进价为元，每个咸鸭蛋的进价为元，再找出等量关系列方程组，最后解方程组求解即可；
（2）先设购进个粽子， 再求出，最后解不等式计算求解即可.
（1）设每个粽子的进价为元，每个咸鸭蛋的进价为元，则：
．
解得．
答：每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元；
（2）设购进个粽子，
根据题意，得．
解得．
因为是正整数，所以最小值取600．
答：至少购进600个粽子．
21．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵为切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴．
（2）解：在中，，
∵，
在和中，，，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，则，，
在中，，
解得，
∴半径的长为3.

【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）根据题意先求出，再根据余角的性质求出，最后根据圆周角定理等证明求解即可；
（2）利用勾股定理求出AB=10，再利用HL证明，最后利用勾股定理计算求解即可.
（1）证明：如图，连接，
∵为切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴．
（2）解：在中，，
∵，
在和中，，，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，则，，
在中，，
解得，
∴半径的长为3
22．【答案】（1）解：由题意得，长方形的宽为：，
则；

（2）解：，-1＜0，
∴函数有最大值，
∴当时，函数的最大值为：，
即当时，临时换衣间的空间最大，最大空间是；
（3）解：能．
设长方形的长为，则宽为，
则，
．
∴函数有最大值，
当时，函数的最大值为，
即小明的空间可以更大，当长为2.5m时，空间的最大面积为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先求出长方形的宽为，再根据长方形的面积公式求解即可；
（2）根据二次函数的性质计算求解即可；
（3）根据题意先求出，再根据二次函数的性质求解即可.
（1）解：由题意得，长方形的宽为：，
则；
（2）解：；
，故函数有最大值，
当时，函数的最大值为：，
即当时，临时换衣间的空间最大，最大空间是；
（3）解：能．设长方形的长为，则宽为，
则，
．
故函数有最大值，
当时，函数的最大值为，
即小明的空间可以更大，当长为2.5m时，空间的最大面积为．
23．【答案】解：（1）．理由如下：
是绕点顺时针旋转得到的，
，，．
四边形是正方形，
，，
，
，
，D，G三点共线．
，，
，
，
，
．
，
，
．
（2）①，
．
∵在矩形中，，，
，
，
，
．
，
．
②，，
．
设，则，
，
．
（3）由平移的性质可得，．
点为的中点，
垂直平分，
．
，
设，，
，
．
，
，
解得，
．
，设，
．
∵在中，，
解得或（舍去），
．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质求出，，，再根据正方形的性质求出，，最后根据全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）①根据题意先求出，再根据相似三角形的判定方法证明，最后根据相似三角形的性质计算求解即可；
②根据相似三角形的性质求出，再利用勾股定理求出EF=5a，最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质求出，再利用勾股定理求出CN=3x，最后计算求解即可.
1 / 1广西柳州城中区2025年5月九年级教学质量抽测数学试卷
1．（2025·城中模拟）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走10步记作“”，则向北行走8步可记作（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若将向南行走10步记作“”，则向北行走8步可记作．
故答案为：A．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据正负数的意义，结合题意作答即可.
2．（2025·城中模拟）第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
22100000用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．（2025·城中模拟）如图是物理学中经常使用的型磁铁示意图，其左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，只能看到一个竖着放置的长方形，且下面还有一部分长方形，
即的左视图是.
故答案为：B．
【分析】根据左视图是从左面看得到的图形并结合个选项可判断求解．
4．（2025·城中模拟）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方计算法则计算求解即可.
5．（2025·城中模拟）某次演讲比赛中，进入决赛的7位同学得分由低到高依次为88，90，90，92，97，97，98．这组得分的中位数是（　　）分
A．98 B．92 C．97 D．90
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：由题意得，这组得分的中位数是92分，
故答案为：B．
【分析】把一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的那个数据或最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数. 根据中位数的定义计算求解即可.
6．（2025·城中模拟）五边形的外角和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正五边形的外角和是．
故答案为：C．
【分析】多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是，据此作答求解即可.
7．（2025·城中模拟）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（　　）
A． B． C．1 D．5
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点与点关于轴对称，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点求出，再代入计算求解即可.
8．（2025·城中模拟）学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如下表：
累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000
针尖朝上频率
随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（　　）（精确到）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可知，“针尖朝上”频率在左右波动，
∴根据以上实验数据可以估计出“针尖朝上”的概率约为．
故答案为：C．
【分析】根据“针尖朝上”频率在左右波动，求解即可.
9．（2025·城中模拟）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过点C作直线平行于直线m，
∵直线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据平行公理的推论可得，根据平行线的性质可得，∠2=∠4，由可求出，即可求得∠2.
10．（2025·城中模拟）一元二次方程x2+x﹣2=0根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2+x﹣2=0 ，
∴a=1，b=1，c=﹣2，
∴b2﹣4ac=1+8=9＞0．
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：A．
【分析】根据题意求出a=1，b=1，c=﹣2，再根据一元二次方程根的判别式计算求解即可.
11．（2025·城中模拟）如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点O到桥面的距离（单位：米）是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：作于C，
∵大桥主塔是一个轴对称图形（如图所示），
∴，
又OC⊥AB，
∴（米），
∵，
∴（米）
故答案为：D．
【分析】作于C，根据轴对称图形性质可得OA=OB，利用等腰三角形的三线合一得，然后利用∠OAB的正切函数求出OC即可.
12．（2025·城中模拟）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图：连接，作于点B，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据等边三角形的判定方法求出是等边三角形，再利用勾股定理求出AB的值，最后根据扇形和三角形的面积公式计算求解即可.
13．（2025·城中模拟）分解因式：x2+3x=　 　．
【答案】x（x+3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+3x=x（x+3）．
【分析】观察原式，发现公因式为x；提出后，即可得出答案．
14．（2025·城中模拟）若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为　 　
【答案】1：9
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：9.
故答案为：1：9.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，据此求解即可.
15．（2025·城中模拟）某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为　 　（V）．
【答案】64
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为，
∵点在该函数图象上，
∴（V），
故答案为：64．
【分析】根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为，其中U为电压，再根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标得乘积都等于比例系数，把代入可得U的值．
16．（2025·城中模拟）如图，矩形纸片中，，，点、分别是边、上的动点，将纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：当B与重合时，最大，此时E在的垂直平分线上，如图：
矩形纸片中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】利用勾股定理求出BD=10，再根据相似三角形的判定方法求出，最后根据相似三角形的性质计算求解即可.
17．（2025·城中模拟）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
【答案】解：（1）
；
（2）
方程的两边同乘，得，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
检验：当时，．
原方程的解为：．
【知识点】零指数幂；解分式方程；实数的绝对值；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据零指数幂，立方根和绝对值计算求解即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程，再检验求解即可．
18．（2025·城中模拟）如图，在，．
（1）使用直尺和圆规，作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：分别以点、为圆心，大于一半长为半径画弧，两条弧分别相交于点和，连接交于点，连接，即为所求作的边上的中线．
（2）解：，，
．
在，，
，
，
．
是中边上的中线，
．

【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；尺规作图-中线
【解析】【分析】（1）根据题意要求作中线即可；
（2）根据含的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出的长，最后利用直角三角形斜边上的中线性质计算求解即可.
（1）解：分别以点、为圆心，大于一半长为半径画弧，两条弧分别相交于点和，连接交于点，连接，即为所求作的边上的中线．
（2）解：，，
．
在，，
，
，
．
是中边上的中线，
．
19．（2025·城中模拟）二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“．惊蛰”“．夏至”“．白露”“．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“．惊蛰”的概率是 ．
（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人同时抽到“．惊蛰”“．夏至”的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
由表格可知共有12种等可能的结果，其中两人同时抽到“A．惊蛰”“B．夏至”的结果共2种．
∴两人同时抽到“A．惊蛰”“B．夏至”的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解；∵一共有四张不同的卡片，且每张卡片被抽到的概率相同，
∴小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“．惊蛰”的概率是；
【分析】（1）根据一共有四张不同的卡片，且每张卡片被抽到的概率相同，利用概率公式计算求解即可；
（2）先列表，再求出共有12种等可能的结果，其中两人同时抽到“A．惊蛰”“B．夏至”的结果共2种，最后根据概率公式计算求解即可.
（1）解；∵一共有四张不同的卡片，且每张卡片被抽到的概率相同，
∴小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“．惊蛰”的概率是；
（2）解：列表如下：
　
　
　
　
　
由表格可知共有12种等可能的结果，其中两人同时抽到“A．惊蛰”“B．夏至”的结果共2种．
∴两人同时抽到“A．惊蛰”“B．夏至”的概率为．
20．（2025·城中模拟）端午节到来之际，小明家的经销店准备销售粽子和咸鸭蛋．据了解，购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元．
（1）求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元
（2）若每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元．小明父亲打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1600元，求至少购进多少个粽子
【答案】（1）解：设每个粽子的进价为元，每个咸鸭蛋的进价为元，
由题意得：．
解得．
答：每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元；
（2）解：设购进个粽子，
根据题意，得．
解得．
因为是正整数，所以最小值取600．
答：至少购进600个粽子．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先设每个粽子的进价为元，每个咸鸭蛋的进价为元，再找出等量关系列方程组，最后解方程组求解即可；
（2）先设购进个粽子， 再求出，最后解不等式计算求解即可.
（1）设每个粽子的进价为元，每个咸鸭蛋的进价为元，则：
．
解得．
答：每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元；
（2）设购进个粽子，
根据题意，得．
解得．
因为是正整数，所以最小值取600．
答：至少购进600个粽子．
21．（2025·城中模拟）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵为切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴．
（2）解：在中，，
∵，
在和中，，，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，则，，
在中，，
解得，
∴半径的长为3.

【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）根据题意先求出，再根据余角的性质求出，最后根据圆周角定理等证明求解即可；
（2）利用勾股定理求出AB=10，再利用HL证明，最后利用勾股定理计算求解即可.
（1）证明：如图，连接，
∵为切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴．
（2）解：在中，，
∵，
在和中，，，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，则，，
在中，，
解得，
∴半径的长为3
22．（2025·城中模拟）综合与实践
【发现问题】
海边洗浴时，往往因没有合适的地方更换衣服而尴尬．小明妈妈买来一块长宽的加厚不透明的布料用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间（地面是长方形，布料接头部分忽略不计），小明发现高的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积，而地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化．
【提出问题】
设临时换衣间长方形地面的一边长为，临时换衣间地面面积为，那么与之间有什么关系呢？
【分析问题】
一方面发现临时换衣间的底面周长是，于是另一边长可以用含的代数式表示，于是利用矩形的面积长宽，就可以直接列出面积与的关系式．另一方面可以依据实际操作和计算得到一边长和面积的相关数据，如表：
长方形地面的一边长 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 …
长方形地面的面积 0.84 1.14 1.36 1.5 1.56 …
然后在平面直角坐标系中，分别描出上面表格中的各对数值对应的点，得到如图，再由图象猜想与之间函数关系，最后利用待定系数法即可求出对应的函数解析式．
【解决问题】
（1）求出与的函数关系；
（2）求为何值时，临时换衣间的空间最大？最大空间是多少？
（3）小明发现离洗浴地不远处有一栋长高的建筑外墙．若利用部分墙体，你能帮小明设计空间更大的临时换衣间吗？若能，请结合具体数据进行表达．
【答案】（1）解：由题意得，长方形的宽为：，
则；

（2）解：，-1＜0，
∴函数有最大值，
∴当时，函数的最大值为：，
即当时，临时换衣间的空间最大，最大空间是；
（3）解：能．
设长方形的长为，则宽为，
则，
．
∴函数有最大值，
当时，函数的最大值为，
即小明的空间可以更大，当长为2.5m时，空间的最大面积为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先求出长方形的宽为，再根据长方形的面积公式求解即可；
（2）根据二次函数的性质计算求解即可；
（3）根据题意先求出，再根据二次函数的性质求解即可.
（1）解：由题意得，长方形的宽为：，
则；
（2）解：；
，故函数有最大值，
当时，函数的最大值为：，
即当时，临时换衣间的空间最大，最大空间是；
（3）解：能．设长方形的长为，则宽为，
则，
．
故函数有最大值，
当时，函数的最大值为，
即小明的空间可以更大，当长为2.5m时，空间的最大面积为．
23．（2025·城中模拟）【综合与实践】
【课本再现】
人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点是正方形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出．由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究．
【例题延伸】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且，试判断，，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转得到，使与重合，试求，，之间有什么数量关系？并说明理由；
【类比探究】
（2）如图2，在矩形中，已知，，点为边延长线上一点，连接，过点作于点，交于点．
①求的值；
②求的值；
【拓展应用】
（3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，若，请你求出的长．
【答案】解：（1）．理由如下：
是绕点顺时针旋转得到的，
，，．
四边形是正方形，
，，
，
，
，D，G三点共线．
，，
，
，
，
．
，
，
．
（2）①，
．
∵在矩形中，，，
，
，
，
．
，
．
②，，
．
设，则，
，
．
（3）由平移的性质可得，．
点为的中点，
垂直平分，
．
，
设，，
，
．
，
，
解得，
．
，设，
．
∵在中，，
解得或（舍去），
．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质求出，，，再根据正方形的性质求出，，最后根据全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）①根据题意先求出，再根据相似三角形的判定方法证明，最后根据相似三角形的性质计算求解即可；
②根据相似三角形的性质求出，再利用勾股定理求出EF=5a，最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质求出，再利用勾股定理求出CN=3x，最后计算求解即可.
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