资源简介

第1章 有理数
1.1正数与负数
《正数与负数》是青岛版初中数学七年级上册第一章《有理数》的起始课，作为衔接小学自然数、分数知识与初中有理数体系的关键内容，教材通过气温、收支、方位等生活实例，引导学生理解具有相反意义的量及正负数的表示方法，明确0作为正负数分界点的基准意义，为后续学习有理数分类、数轴等奠定基础．
1．通过生活实例理解具有相反意义的量．
2．通过实例了解正数和负数是实际生活的需要，加深学生对于正、负数的理解，发展学生的应用意识．
3．学生积极参与数学活动，体会数学与实际生活的密切联系，感受数学在生活中的应用，培养学生的创新意识．
　　重点：理解相反意义的量及正负数表示方法．
难点：正负数在实际情境中的灵活应用．
本章引入
下面是我国部分城市1月某天的气温预报．
观察上图，图中出现了一些负数．我国是世界上最早认识和使用负数的国家，早在两千多年前，我国古人已经在生产和生活中使用负数．如，以收入为正，支出为负；以盈余为正，亏欠为负；以增产为正，减产为负．我国古代数学名著《九章算术》在“方程”一章中第一次“构造”出正数、负数，并给出了正数、负数的运算法则．在本章中，我们将认识、理解负数，并将对数的认识扩充至有理数的范围，研究数的分类、表示及大小关系等．
师生活动： 教师展示“部分城市气温预报”图片，提问：“图中气温与之前学过的数有何不同？哪些是负数？”引导学生观察并列举负数（如-10℃、-19℃）．随后介绍我国古代负数的应用（如《九章算术》），提问：“为什么古人要引入负数？”鼓励学生结合生活经验回答（如区分收支、增减等）．
设计意图：通过生活情境和数学史引入，激发学生好奇心，建立负数与生活的关联，同时渗透数学文化，体现教材的育人价值．
复习回顾
为了记录物体的个数或顺序，产生了自然数；为了表示分配、测量的结果，产生了分数和小数．由于生产和生活的需要，人们对数的认识在不断地深入．
观察温度计，0℃下方的2℃怎么读？也是读作2℃吗？上升2℃和下降2℃有什么关系，该怎样区分它们呢？
师生活动：教师提问，引导学生回顾数的发展历程．展示温度计示意图，组织学生交流讨论，引出“相反意义的量”的表示需求．
设计意图：激活学生已有知识经验，通过温度计这一具体工具，直观呈现相反意义的量，为引入正负数做铺垫，体现知识的连贯性．
探究新知
活动一：认识相反意义的量
议一议
（1）消防战士在零上70℃的火场中救援，边防战士在零下40℃的严寒天气中巡逻．
（2）小亮妈妈某一天的账户记录显示收人92元，支出63.8元．
（3）小亮从天安门出发向东骑行了4km，小莹从天安门出发向西骑行了4km．
零上的温度与零下的温度、收入的钱数与支出的钱数、向东的路程与向西的路程，它们都是具有相反意义的量．
具有相反意义的量必须满足两个条件
1．它们是同一属性的量，如上升9米与向东运动了7米，因为表示的运动方式不同，所以不是同一属性．
2．它们的意义相反，如收入与支出，零上与零下，向东与向西，存入与支出，上升与下降，增加与减少，运进与运出，盈利与亏损等都表示相反的意义．
师生活动：教师呈现三组实例（温度、收支、方位），组织学生分组讨论：“每组中的两个量有何共同特点？”引导学生归纳“相反意义的量”的两个条件（同属性、意义相反）．
设计意图：通过实例对比和反例辨析，帮助学生抽象出“相反意义的量”的本质特征，突破“同属性”这一难点，为正负数的表示奠定基础．
活动二：表示相反意义的量
　　（1）如何表示具有相反意义的量？
为了表示具有相反意义的量，可以把其中一种意义的量规定为正，用符号“+”表示；把与其意义相反的量规定为负，用符号“-”表示．例如，用+70℃表示零上70℃，用-40℃表示零下40℃；用+92元表示收人92元，用-63.8元表示支出63.8元；用+4km表示向东骑行4km，用-4km表示向西骑行4km．
章引言中的-5 ℃表示零下5℃，6℃表示零上6℃．
你还能举出类似的例子吗？
我国第七次人口普查与第六次人口普查相比，山东省人口增长5.99%，山西省人口减少2.23%.可以用+5.99%表示山东省人口增长5.99%，用-2.23%表示山西省人口减少2.23%．
一个月内，李明体重增加1.2kg，张华体重减少0.5kg，可以用+1.2kg表示李明体重增加1.2kg，用-0.5kg表示张华体重减少0.5kg．
师生活动：教师提出问题：“如何用数学符号表示相反意义的量？”以温度为例，示范用“+”“-”表示零上和零下，随后让学生尝试用符号表示收支、方位等实例．邀请学生分享生活中的类似例子（如体重增减、人口变化等），强化符号表征能力．
设计意图：通过“示范—模仿—应用”的过程，让学生经历符号化的抽象过程，理解正负数是解决实际问题的工具，发展应用意识．
活动三：正、负数的概念
像+70，+92，+4，+5.99%这样的数叫作正数(positive number)．符号“+”称为正号，读作“正”，如“+70”读作“正七十”．一般来说，“+”可以省略．
像-40，-63.8，-4，-2.23%这样的数叫作负数(negative number)．符号“-”称为负号，读作“负”，如“-40”读作“负四十”．
特别强调：0既不是正数也不是负数．
思考：0表示“没有”吗？
　　0是正负数的分界点．它不再简简单单的只表示没有，它具有丰富的意义，0可以表示基准，也可以表示一个确定的量．例如，0℃是一个确定的温度．
师生活动：教师列举生活中正负数实例，如海拔、盈亏等引导学生识别；组织学生小组讨论正负数应用情境．学生分享生活见闻，积极参与讨论并发表见解．
设计意图：让学生在实例和讨论中理解正负数概念及其实际应用，培养数学应用意识与合作交流能力．
应用新知
（1）神舟飞船在太空飞行时，向阳的一面舱外温度超过100℃，背阳的一面舱外温度低于-100℃．-100℃表示什么？
（2）我国“极目一号”Ⅲ型浮空艇最大升空高度高于海平面9032m，“奋斗者”号载人潜水器最深潜水深度低于海平面10909m．如果用正数表示高于海平面的高度，那么高于海平面9032m怎样表示？低于海平面10909m呢？
分析：在温度问题中，以0℃为基准判断零上或零下；在高度问题中，以海平面为基准判断高于或低于．
解：（1）-100℃表示零下100℃．
（2）高于海平面9032m可表示为+9032m；低于海平面10909m可表示为-10909m．
总结：准确找到每个情境中的基准，并依据规定的正负表示规则进行判断和表示．
把下列各数分别填在相应的大括号里(将各数用逗号分开)
-8，4.7，+63，3.14，12%，-0.85，-200.
正数：{ 4.7，+63，3.14，12% …}
负数：{ -8，，-0.85，-200. …}
分析：正数是大于0的数，负数是小于0的数，0既不是正数也不是负数．
筷子是我国的传统餐具．某种筷子的长度为240mm，该产品合格的标准240mm±2mm．这里的“240 mm±2 mm”表示什么？
分析：通过分别计算基准值加上和减去波动量，得出产品合格长度的最大值和最小值，从而确定完整的合格长度范围．
解：如果筷子的长度超出240mm，则超出部分不多于2mm；如果子的长度不足240mm，则不足部分不多于2mm．
总结：准确把握“±”所代表的增减含义是解题的关键．
某天，小华在一条东西方向的公路上行走，他从家里出发，向东走了300m记作+300m，那么他原路返回行走200m表示什么意思？记作什么？这时他停下来休息，休息的地方在他家的什么方向上？距离家有多远？小华共走了多少米？
分析：首先明确了以向东走为正方向，即向东走的距离用正数表示，当小华原路返回行走时，方向与规定的正方向相反，所以向西走的距离要用负数表示．
解：返回行走200m表示向西行走200m，记作-200m．休息的地方在他家的东方，距离家100m，小华共走了500m．
总结：路程是实际走过的距离总和，与方向无关．
师生活动：教师通过神舟飞船温度、海拔高度等实例引导学生分析正负数含义，讲解例题时强调基准判断与正负表示规则；学生参与例题分析，理解不同情境中基准的确定及正负数的表示方法．
设计意图：借助实际案例让学生掌握正负数在具体场景中的应用，强化对“基准”和“相反意义量”的理解，提升用正负数解决实际问题的能力．
课堂练习
说出下列叙述中正数、负数各表示什么．
（1）某家用冰箱冷藏室的温度设置为+4℃，冷冻室的温度设置为-18℃；
（2）珠穆朗玛峰的海拔为+8848.86m，吐鲁番盆地的海拔为-154.31m．
分析：在温度方面，0℃是正负温度的分界；在海拔高度方面，海平面是正负高度的分界．
解：（1）冰箱冷藏室温度设置为+4℃，表示零上4摄氏度，是高于0摄氏度的温度；冷冻室温度设置为-18℃，表示零下18摄氏度，是低于0摄氏度的温度．
（2）珠穆朗玛峰的海拔为+8848.86m，表示高于海平面8848.86米；吐鲁番盆地的海拔为-154.31m，表示低于海平面154.31米．
总结：正负数可用于表示具有相反意义的量．
用正数、负数表示下列问题中具有相反意义的量．
（1）如果将增长记为正，那么超市零售额同比增长9.8%记作+9.8% ，同比下降0.4%记作-0.4%；
（2）如果将弹簧伸长记为正，那么弹簧伸长5cm记作+5cm，缩短3cm记作-3cm；
（3）水文站在记录水位变化时，如果将水位上升记为正，那么水位上升25cm记作+25cm，水位下降18cm记作-18 cm．
注意：有单位的最后结果要带单位．
下列各数哪些是正数？哪些是负数？
-37，81，-0.005，，0，4.23，-16.3，0.618，，-11.57．
　　分析：根据正数与负数的定义判断下面的数．
　　解：正数：81，4.23，0.618，．
　　　　负数：-37，-0.005，，-16.3，-11.57．
总结：正数是大于0的数，负数是小于0的数，0是正数和负数的分界点，既不是正数也不是负数.在判断数的正负性时，对于带有正负号的数，可直接根据符号判断，对于像小数、分数等形式的数，依据其与0的大小关系判断．
限时训练
1．下列说法正确的个数是( )
①加正号的数是正数，加负号的数是负数；②任意一个正数，前面加上“－”，就是一个负数；③0是最小的正数；④大于0的数是正数；⑤ 字母a既是正数，又是负数．
A．0 B．1 C．2 D．3
分析：①加正号的数不一定是正数，如，同样，加负号的数不一定是负数，故①不正确；②正确；③0既不是正数，又不是负数，故③不正确；④正确；⑤字母a可以表示正数，也可以表示负数，但不能既是正数又是负数，故⑤不正确．故选：C．
2．某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子，并称重、封装．一箱橘子的标准质量为2.5kg．如果用正数表示超过标准质量的克数，那么：
（1）比标准质量多65g和比标准质量少30g各怎么表示？
（2）50g，-27g各表示什么意思？
分析：依据给定的标准质量和正负数表示规则，正确表示质量差异以及理解正负数所代表的实际含义．
解：（1）比标准质量多65g用+65g表示，比标准质量少30g用-30g表示；
（2）50g表示这箱橘子的质量比标准质量多50g，-27g表示这箱橘子的质量比标准质量少27g．
总结：明确正负数表示具有相反意义的量．
3．里约奥运会勇夺冠军的中国女排的平均身高为187cm，如果以平均身高为标准，超过部分记为正数，不足部分记为负数，有5名队员分别记为+10，-5，0，+7，-2，则她们的实际身高应是______________________________．
分析：我们知道以平均身高187cm为标准，正数表示比平均身高高，负数表示比平均身高低，0表示正好是平均身高．
解：依题意，平均身高为187cm，+10表示比平均身高高10cm，即187+10=197cm，-5表示比平均身高矮5cm，即187-5=182cm，0表示正好是平均身高197cm，+7表示比平均身高高7cm，即187+7=194cm，-2表示比平均身高矮2cm，即187-2=185cm．
故答案为：197、182、187、194、185．
总结：解题时一定要先弄清“基准”，再把数据还原成原数据．
摩托车厂本周计划每天生产250辆摩托车，由于工人实行轮休，每天上班的人数不一定相等，实际每天生产量(与计划量相比)的增长值如下表：
星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
增减 -5 +7 -3 +4 +10 -9 -25
　
据上面的记录，问：
（1）哪几天生产的摩托车比计划量多？
（2）星期几生产的摩托车最多，是多少辆？
（3）星期几生产的摩托车最少，是多少辆？
　　分析：本题围绕摩托车厂一周内每天实际生产量与计划生产量的关系展开，核心在于理解正负数所代表的实际意义，即正数表示当天实际生产量比计划量多，负数表示比计划量少．
　　解：（1）星期二，星期四，星期五． （2）星期五生产的摩托车最多，是260辆．（3）星期日生产的摩托车最少，是225辆．
　　总结：从解题方法上看，关键在于明确增长值正负的含义，并正确运用有理数运算规则计算实际生产量，进而通过比较解决问题．
师生活动：教师布置多样化练习任务，如判断正负数意义、用正负数表示相反量、分类正负数等，引导学生结合温度、海拔、质量等实例分析；学生独立完成练习并交流思路，通过具体问题深化对正负数概念及基准的理解．
设计意图：通过针对性练习巩固正负数在实际场景中的应用，强化学生对“相反意义量”和“基准”的掌握，提升用正负数解决实际问题的能力，培养数学应用意识与逻辑思维．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．如何表示具有相反意义的量？
设计意图：通过师生共同回顾知识，强化学生对正负数概念、相反意义量及实际应用的整体认知，培养归纳总结能力，巩固学习效果．
实践作业
利用正数和负数，协助父母记录家庭一周内的收支情况．
要求：收入用正数表示，支出用负数表示，如收入100元，记作+100，支出80元，记作-80．
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
收入
支出(共24张PPT)
第1章 有理数
数学青岛版新课标七年级上册
观察上图，图中出现了一些负数．我国是世界上最早认识和使用负数的国家，早在两千多年前，我国古人已经在生产和生活中使用负数．如，以收入为正，支出为负；以盈余为正，亏欠为负；以增产为正，减产为负．我国古代数学名著《九章算术》在“方程”一章中第一次“构造”出正数、负数，并给出了正数、负数的运算法则．
下面是我国部分城市1月某天的气温预报.
在本章中，我们将认识、理解负数，并将对数的认识扩充至有理数的范围，研究数的分类、表示及大小关系等．
1.1正数与负数
1．通过生活实例理解具有相反意义的量．
2．通过实例了解正数和负数是实际生活的需要，加深学生对于正、负数的理解，发展学生的应用意识．
3．学生积极参与数学活动，体会数学与实际生活的密切联系，感受数学在生活中的应用，培养学生的创新意识．
为了记录物体的个数或顺序，产生了自然数；为了表示分配、测量的结果，产生了分数和小数．由于生产和生活的需要，人们对数的认识在不断地深入．
观察温度计，0℃下方的2℃怎么读 也是读作2℃吗 上升2℃和下降2℃有什么关系，该怎样区分它们呢？
活动一：认识相反意义的量
(1)消防战士在零上70℃的火场中救援，边防战士在零下40℃的严寒天气中巡逻．
(2)小亮妈妈某一天的账户记录显示收人92元，支出63.8元．
(3)小亮从天安门出发向东骑行了4km，小莹从天安门出发向西骑行了4km．
零上的温度与零下的温度、收入的钱数与支出的钱数、向东的路程与向西的路程，它们都是具有相反意义的量．
活动一：认识相反意义的量
具有相反意义的量必须满足两个条件：
1.它们是同一属性的量，如上升9米与向东运动了7米，因为表示的运动方式不同，所以不是同一属性．
2.它们的意义相反，如收入与支出，零上与零下，向东与向西，存入与支出，上升与下降，增加与减少，运进与运出，盈利与亏损等都表示相反的意义．
活动二：表示相反意义的量
(1)如何表示具有相反意义的量
为了表示具有相反意义的量，可以把其中一种意义的量规定为正，用符号“+”表示；把与其意义相反的量规定为负，用符号“-”表示．例如，用+70℃表示零上70℃，用-40℃表示零下40℃；用+92元表示收人92元，用-63.8元表示支出63.8元；用+4km表示向东骑行4km，用-4km表示向西骑行4km．
章引言中的-5 ℃表示零下5℃，6℃表示零上6℃．
活动二：表示相反意义的量
(2)你还能举出类似的例子吗
我国第七次人口普查与第六次人口普查相比，山东省人口增长5.99%，山西省人口减少2.23%.可以用+5.99%表示山东省人口增长5.99%，用-2.23%表示山西省人口减少2.23%．
一个月内，李明体重增加1.2kg，张华体重减少0.5kg，可以用+1.2kg表示李明体重增加1.2kg，用-0.5kg表示张华体重减少0.5kg．
像+70，+92，+4，+5.99%这样的数叫作正数(positive number).符号“+”称为正号，读作“正”，如“+70”读作“正七十”.一般来说，“+”可以省略．
像-40，-63.8，-4，-2.23%这样的数叫作负数(negative number)．
符号“-”称为负号，读作“负”，如“-40”读作“负四十”．
特别强调：0既不是正数也不是负数．
思考：0表示“没有”吗？
活动三：正、负数的概念
0是正负数的分界点．它不再简简单单的只表示没有，它具有丰富的意义，0可以表示基准，也可以表示一个确定的量．例如，0℃是一个确定的温度．
准确找到每个情境中的基准，并依据规定的正负表示规则进行判断和表示．
在温度问题中，以0℃为基准判断零上或零下；在高度问题中，以海平面为基准判断高于或低于．
解：(1)-100℃表示零下100℃．
(2)高于海平面9032m可表示为+9032m；低于海平面10909m可表示为-10909m．
教材
例题
分析
总结
经典例题
把下列各数分别填在相应的大括号里(将各数用逗号分开):
4.7，+63，3.14，12%
-8，-0.85，-200
分析
正数是大于0的数，负数是小于0的数，0既不是正数也不是负数．
准确把握正数和负数与0的大小关系．
教材
例题
总结
准确把握“±”所代表的增减含义是解题的关键．
解：如果筷子的长度超出240mm，则超出部分不多于2mm；如果子的长度不足240mm，则不足部分不多于2mm．
分析
通过分别计算基准值加上和减去波动量，得出产品合格长度的最大值和最小值，从而确定完整的合格长度范围．
经典例题
某天，小华在一条东西方向的公路上行走，他从家里出发，向东走了300m记作+300m，那么他原路返回行走200m表示什么意思 记作什么 这时他停下来休息，休息的地方在他家的什么方向上 距离家有多远 小华共走了多少米
解：返回行走200m表示向西行走200m，记作-200m．休息的地方在他家的东方，距离家100m，小华共走了500m．
首先明确了以向东走为正方向，即向东走的距离用正数表示，当小华原路返回行走时，方向与规定的正方向相反，所以向西走的距离要用负数表示．
总结
路程是实际走过的距离总和，与方向无关．
分析
教材
练习
1.说出下列叙述中正数、负数各表示什么．
(1)某家用冰箱冷藏室的温度设置为+4℃，冷冻室的温度设置为-18℃；
(2)珠穆朗玛峰的海拔为+8848.86m，吐鲁番盆地的海拔为-154.31m．
在温度方面，0℃是正负温度的分界；在海拔高度方面，海平面是正负高度的分界．
正负数可用于表示具有相反意义的量．
解：(1)冰箱冷藏室温度设置为+4℃，表示零上4摄氏度，是高于0摄氏度的温度；冷冻室温度设置为-18℃，表示零下18摄氏度，是低于0摄氏度的温度．
(2)珠穆朗玛峰的海拔为+8848.86m，表示高于海平面8848.86米；吐鲁番盆地的海拔为-154.31m，表示低于海平面154.31米．
分析
总结
2.用正数、负数表示下列问题中具有相反意义的量．
(1)如果将增长记为正，那么超市零售额同比增长9.8%记作 ，同比下降0.4%记作 ；
(2)如果将弹簧伸长记为正，那么弹簧伸长5cm记作 ，缩短3cm记作 ；
(3)水文站在记录水位变化时，如果将水位上升记为正，那么水位上升25cm记作 cm，水位下降18cm记作 cm．
教材
练习
+9.8%
-0.4%
+5cm
-3cm
+25
-18
注意
有单位的最后结果要带单位．
根据正数与负数的定义判断下面的数．
正数是大于0的数，负数是小于0的数，0是正数和负数的分界点，既不是正数也不是负数．在判断数的正负性时，对于带有正负号的数，可直接根据符号判断，对于像小数、分数等形式的数，依据其与0的大小关系判断．
教材
练习
分析
总结
3 下列各数哪些是正数？哪些是负数？
限时训练
1．下列说法正确的个数是( )
①加正号的数是正数，加负号的数是负数；②任意一个正数，前面加上“-”，就是一个负数；③0是最小的正数；④大于0的数是正数；⑤ 字母a既是正数，又是负数．
A．0 B．1 C．2 D．3
C
分析
2.某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子，并称重、封装．一箱橘子的标准质量为2.5kg．如果用正数表示超过标准质量的克数，那么：
(1)比标准质量多65g和比标准质量少30g各怎么表示？
(2)50g，-27g各表示什么意思？
解：(1)比标准质量多65g用+65g表示，比标准质量少30g用-30g表示；
(2)50g表示这箱橘子的质量比标准质量多50g，-27g表示这箱橘子的质量比标准质量少27g．
依据给定的标准质量和正负数表示规则，正确表示质量差异以及理解正负数所代表的实际含义．
明确正负数表示具有相反意义的量．
分析
总结
限时训练
解：依题意，平均身高为187cm，+10表示比平均身高高10cm，即187+10=197cm，-5表示比平均身高矮5cm，即187-5=182cm，0表示正好是平均身高197cm，+7表示比平均身高高7cm，即187+7=194cm，-2表示比平均身高矮2cm，即187-2=185cm．
我们知道以平均身高187cm为标准，正数表示比平均身高高，负数表示比平均身高低，0表示正好是平均身高．
解题时一定要先弄清“基准”，再把数据还原成原数据．
3.里约奥运会勇夺冠军的中国女排的平均身高为187cm，如果以平均身高为标准，超过部分记为正数，不足部分记为负数，有5名队员分别记为+10，-5，0，+7，-2，则她们的实际身高应是______________________________．
197、182、187、194、185
分析
总结
限时训练
4.摩托车厂本周计划每天生产250辆摩托车，由于工人实行轮休，每天上班的人数不一定相等，实际每天生产量(与计划量相比)的增长值如下表：
星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
增减 -5 +7 -3 +4 +10 -9 -25
据上面的记录，问：
（1）哪几天生产的摩托车比计划量多
（2）星期几生产的摩托车最多，是多少辆
（3）星期几生产的摩托车最少，是多少辆
限时训练
本题围绕摩托车厂一周内每天实际生产量与计划生产量的关系展开，即正数表示当天实际生产量比计划量多，负数表示比计划量少．
4.摩托车厂本周计划每天生产250辆摩托车，由于工人实行轮休，每天上班的人数不一定相等，实际每天生产量(与计划量相比)的增长值如下表：
星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
增减 -5 +7 -3 +4 +10 -9 -25
解：（1）星期二，星期四，星期五． （2）星期五生产的摩托车最多，是260辆．（3）星期日生产的摩托车最少，是225辆．
从解题方法上看，关键在于明确增长值正负的含义，并正确运用有理数运算规则计算实际生产量，进而通过比较解决问题．
分析
总结
限时训练
相反意义的量
正数与负数
0既不是正数也不是负数.
像+70，+92，+4，+5.99%这样的数叫作正数.
像-40，-63.8，-4，-2.23%这样的数叫作负数.
知识点1相交线
属性相同，表示的意义却相反的量叫作相反意义的量.
正数与负数
利用正数和负数，协助父母记录家庭一周内的收支情况．
　　要求：收入用正数表示，支出用负数表示，如收入100元，
记作+100，支出80元，记作-80．
实践作业
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
收入
支出

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