资源简介

广东省广州市中国教育科学研究院荔湾实验学校九年级2025年中考二模数学试卷
1．（2025·广州模拟） 的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·广州模拟）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·广州模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．（）
C． D．
4．（2025·广州模拟）某文具超市有A，B，C，D四种笔记本销售，它们的单价分别是5元，4元，3元，6元，某天的笔记本销售情况如图所示，那么这天该文具超市销售的笔记本的单价的平均值是（　　）
A．3元 B．4元 C．4.2元 D．4.5元
5．（2025·广州模拟）如图，是一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为110°，若屏幕的长度为，则上方边界处到桌面的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·广州模拟）如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（　　）
A．点D在∠BAC的平分线上 B．
C． D．点D为BC的中点
7．（2025·广州模拟）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为（　　）
A．21 B．25 C．21或25 D．20或24
8．（2025·广州模拟）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为4，则k＝（　　）
A．16 B．12 C．8 D．4
9．（2025·广州模拟）如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（　　）
A．4 B．5 C． D．
10．（2025·广州模拟）已知函数y＝x2﹣2ax+7，当x≤3时，函数值随x增大而减小，且对任意的1≤x1≤a+2和1≤x2≤a+2，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤9，则实数a的取值范围是（　　）
A．﹣3≤a≤4 B．﹣3≤a≤5 C．3≤a≤4 D．3≤a≤5
11．（2025·广州模拟）若式子 有意义，则x的取值范围是　 　
12．（2025·广州模拟）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为　 　．
13．（2025·广州模拟）因式分解：=　 　
14．（2025·广州模拟）一次函数的图象过y轴上一点（0，2），且y随x的增大而减小，则n=　 　
15．（2025·广州模拟）如图，正方形ABCD的边长为，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，G为AE上的一点，且∠F GE=45°，则GF的长为　 　．
16．（2025·广州模拟）如图，为的直径，为中长度为定值的弦，．作于E，连接，，．下列四个结论中：①O到的距离为定值；②；③当时，或；④为定值．正确的是 　 　．（填所有正确的序号）
17．（2025·广州模拟）解不等式组：
18．（2025·广州模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且，连接EF、BE．求证：∽
19．（2025·广州模拟）已知．
（1）化简T；
（2）若点（x，0）在二次函数y＝（x+1）（x+2）的图象上，求T的值．
20．（2025·广州模拟）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数是　　 人；
（2）图2中a是　 度，并将图1条形统计图补充完整；
（3）老师从自主学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D）随机选择两位进行学习经验交流，请用列表法或树状图的方法求出同时选中A，B两位同学的概率．
21．（2025·广州模拟）【综合与实践】
要测量学校旗杆的高度，三个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表：
课题 测量学校旗杆的高度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺，小镜子，直角三角形纸板等
测量小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案示意图
说明 利用镜子反射测量旗杆的高度，点为镜子，眼睛看到镜子中的旗杆顶端． 先测量观测台的高，再在观测点处测得旗杆顶端点的仰角，旗杆底端点的俯角．（其中于） 利用直角三角形纸板的直角边保持水平，并且边与点在同一直线上，直角三角板的斜边与旗杆顶端在同一直线上．
测量数据 ，． ，，． ，，．
（1）根据测量数据，无法计算学校旗杆的高度的小组有第______小组和第______小组；
（2）请选择其中一个可计算的方案及运用其数据求学校旗杆的高度．
22．（2025·广州模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（1，0），D（0，2），反比例函数的图象经过了矩形的顶点B，且．
（1）求反比例函数表达式；
（2）动手画直线OB，记为，结合图象直接写出关于x的不等式的解集．
23．（2025·广州模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）利用尺规作图，过点A作AD⊥CP于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．
24．（2025·广州模拟）如图1，正方形的边长为4，点P在边上（P不与 A、D重合），连接、．将线段绕点P顺时针旋转得到，将线段绕点P逆时针旋转得到，连接．
（1）求证：
①的面积；
②；
（2）如图2，的延长线交于点M，取的中点N，连接，求的取值范围．
25．（2025·广州模拟）已知抛物线与轴交于和两点，且，与轴交于，且对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点的直线与该抛物线交于另一点，与线段交于点．
①若，求点的坐标；
②当时，的最小值是，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】
的倒数是 ，
故答案为：A．
【分析】根据倒数的定义求解即可。
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故A符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】
根据当以：中心对称图形的定义在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形的定义平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；逐一判断即可解答．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；分式的加减法；二次根式的加减法；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.（），故该选项不正确，不符合题意；
C.，该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；
故答案为D
【分析】根据求一个数的立方根，分式的加减，二次根式的加法，同底数幂的乘法运算，逐项分析判断即可求解．
4．【答案】C
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：这天该文具超市销售的笔记本的单价的平均值为
5×10%+4×25%+3×40%+6×25%=4.2（元）．
故答案为：C．
【分析】
根据加权平均数的定义：分别利用 A，B，C，D四种笔记本的单价5元，4元，3元，6元乘以它们的权重10%，25%，40%，25% 列式计算即可解答．
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；补角
【解析】【解答】解：屏幕与键盘所成夹角为110°，
，
在中，，则，
，
，即，
解得，
故答案为：B．
【分析】
根据补角的定义可得，在中由得，从而由利用的余弦函数即可得解答．
6．【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，连接AD
∵DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，
∴四边形DEAF是平行四边形，∠FAD=∠EDA，
当点D在∠BAC的平分线上时，
∴∠FAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∴四边形DECF是菱形，故选项A符合题意；
当AB=AC时，不能说明四边形DECF是菱形，故B不符合题意；
当∠A =90°时，只能说明四边形DECF是矩形，故C不符合题意；
当点D为BC的中点时，不能说明四边形DECF是菱形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】
先证明四边形DEAF是平行四边形，再利用平行四边形的性质得到∠FAD=∠EDA结合角平分线的定义得到∠EAD=∠EDA，从而得到AE=DE，再由菱形的判定定理即可得到结论，其余选项均不能得到四边形AFDE为菱形，由此即可解答．
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设关于x的方程x2﹣10x+k＝0的两个实数根分别为a、b．
方程x2﹣10x+k＝0有两个实数根，则Δ＝100﹣4k≥0，得k≤25．
①当底边长为3时，另两边相等时，则a+b＝10，
∴另两边的长都是为5，
∴k＝ab＝25；
②当腰长为3时，另两边中至少有一个是3，则3一定是方程x2﹣10x+k＝0的根，
则32﹣10×3+k＝0
解得k＝21
解方程x2﹣10x＋21＝0
解得另一根为：x＝7．
∵3+3＜7，不能构成三角形．
∴k的值为25．
故答案为：B．
【分析】分两种情况：①当底边长为3时，另两边相等时，则a+b＝10，②当腰长为3时，另两边中至少有一个是3，则3一定是方程x2﹣10x+k＝0的根，再分别求解即可。
8．【答案】A
【知识点】点的坐标；反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；线段的中点
【解析】【解答】解：∵C是OB的中点，△AOC的面积为4，
∴△AOB的面积为8，
设A（a，b），
∵AB⊥x轴于点B，
∴ab＝16，
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝16．
故答案为：A．
【分析】
先C是OB的中点求得△AOB的面积，设A（a，b）根据面积公式求ab，最后利用待定系数法求k，解答即可．
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；求正切值
【解析】【解答】过A点作AN⊥DF于N，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=AD，∠ABE=∠D，设AD=4，
∵F是CD中点，
∴DF=FC=2，
根据翻折的性质可知AB=AF，
∴△AFD是等腰三角形，
∵AN⊥DF，
∴AN也平分DF，则有DN=NF=1，
∴在Rt△AND中利用勾股定理可得，
∴tan∠D=，
∴tan∠ABE=，
故答案为：D．
【分析】
过A点作AN⊥DF于N，根据菱形的性质得到AB=CD=AD，∠ABE=∠D，设AD=4， F是CD中点，则有DF=FC=2，根据翻折的性质可知AB=AF，可判断△AFD是等腰三角形，由AN⊥DF，得AN也平分DF，则有DN=NF=1，在Rt△AND中利用勾股定理可得AN，则可求出tan∠D，即可得tan∠ABE，解答即可．
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；分类讨论
【解析】【解答】解： 由y＝x2﹣2ax+7得
对称轴为直线，而时，函数值随增大而减小，故；
和，
时，函数的最小值，
故函数的最大值在和中产生，
则，中，哪个距越远，函数值越小，
，
，而，
距离 更远，
时，函数取得最大值为：，
对任意的和，，相应的函数值，总满足：
，
只需最大值与最小值的差小于等于9即可，
，
，
解得，而，
，
故答案为：C．
【分析】
先将函数解析式配方成顶点式即可根据时，函数值随增大而减小得到，排除AB选项；结合已知条件对任意的和，，相应的函数值，总满足，只需最大值与最小值的差小于等于9计算即可解答．
11．【答案】x≥-1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，x+1≥0，
解得，x≥-1，
故答案为：x≥-1.
【分析】根据被开方数大于或等于0列不等式计算即可得解.
12．【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：根据旋转的性质，可得：，
∴．
故答案为：．
【分析】
根据旋转的性质得到，利用等边对等角得到，在利用三角形内角和定理进行计算即可解答.
13．【答案】a(b+c)(b-c)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
＝
＝，
故答案为：a(b+c)(b-c).
【分析】先提取公因式a，再利用平方差公式因式分解即可。
14．【答案】-3
【知识点】一次函数的性质；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵一次函数y随x增大而减小
∴n＜0
∵函数图象过点（0， 2），代入解析式得：
∴n=±3
∴n=-3．
故答案为-3.
【分析】
根据一次函数得性质由y随x增大而减小得n＜0；又因为一次函数图象过点（0， 2），则代入求出n即可解答．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接BF，交AE于H，
∵正方形ABCD的边长为，E，F分别是BC，CD的中点，
， ， ，
在 和中
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
在 中，，
，
．
故答案为： ．
【分析】
连接BF，交AE于H，由正方形性质和中点定义得到 ， ， ， 即可利用SAS证明，利用全等三角形得性质得到角度关系利用AA再证明，利用勾股定理求出BF即可求出BH，再用勾股定理计算即可解答．
16．【答案】①③
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；角平分线的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：①、过O点做于H点，如下图所示：
由垂径定理可知：，由于为⊙O中长度为定值的弦，
∴为定值，且圆O确定后其半径也为定值，
∴必为定值，故①正确；
②、当A、B、E三点共线时，即：时，此时，
故②错误；
③、当时，连接，，
（i）如下图，
∵，
∴，
∴，
∴；
（ii）如下图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，或，故③正确；
④、连接，，如下图所示，
∵为的直径，
∴，
∴，
又，
∴，
由同弧所对的圆周角相等可知，，
∴
，
∵为定值，
∴为定值，
∴为定值，
当图形变为③（ii）中的情况时，
显然，
∴不一定为定值，故④错误；
故答案为：①③．
【分析】
对于①：过O点作，由垂径定理即可求解；对于②：举反例，当A、B、E三点共线时，即时，此时；对于③由时，为等腰直角三角形，得到，进而得到，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解；对于④：由已知得到，进而得到，由为定弦即可求解，对于③④两类要注意分类讨论和的位置关系即可解答．
17．【答案】解：，
解不等式①得：
解不等式②得：，
不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先解一元一次不等式组：解①得，解②得：；再利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则求出解集即可解答
18．【答案】证明：设a，
在正方形ABCD中，
a，
∵，
，
∵点E是AD的中点
∴，
，
∽．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；线段的中点；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】设a，根据正方形得性质得到a，；再由已知条件和中点的定义得到，，即可根据两边对应成比例且夹角相等进行证明即可解答．
19．【答案】（1）解：
．
（2）解：∵点（x，0）在二次函数y＝（x+1）（x+2）的图象上，
∴0＝（x+1）（x+2），解得或，
由（1）中分母可知，故舍去，
把代入，；
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）根据分式运算先化简，再进行同分母分式的减法运算即可解答；
（2）将点代入二次函数表达式，可求出x，选出符合条件的x的值，再带入原式求出T，解答即可．
（1）解：
．
（2）解：∵点（x，0）在二次函数y＝（x+1）（x+2）的图象上，
∴0＝（x+1）（x+2），解得或，
由（1）中分母可知，故舍去，
把代入，；
故答案为：．
20．【答案】（1）40
（2）解：54°，
自主学习1.5小时的人数有：40×35%＝14（人）；
补全统计图如下：
（3）解：根据题意画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，其中选中A，B的有2种，
∴选中A，B同学的概率是：．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解： (1) 本次调查的学生人数是人；
故答案为：40；
（2）；
故答案为54°；
【分析】
（1）用自主学习1小时的人数除以其所占的百分比，即可求解；
（2）用360°乘以自主学习0.5小时的人数所占的百分比，再求出自主学习1.5小时的人数，即可求解；
（3）根据题意画树状图，可得共有12种等可能的结果，其中选中A，B的有2种，再用概率公式计算，即可求解．
21．【答案】（1）一；三
（2）解：选择第二小组的方案，由题意得：
，，，，
在中，，，，
∴，
在中，，，
，
∴，
答：学校旗杆的高度为．
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形；已知正切值求边长；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）第一，第三小组的数据无法算出大楼高度，
理由：第一小组是利用进行计算的，即利用求，但只测量了，，没有测量长度，所以第一小组的数据无法算出大楼高度，
第三小组利用进行计算的，即利用求，再加，但只测量了，，．没有测量线段或的长度，所以第三小组的数据无法算出大楼高度，
故答案为：一，三；
【分析】
（1）根据相似三角形的性质得到，但第一小组没有测量长度，所以第一小组的数据无法算出大楼高度；根据相似三角形的性质得到，但第三组没有测量线段或的长度所以第三小组的数据无法算出大楼高度；逐一判断即可解答；
（2）对方案二，解直角三角形利用正切的值先求出，根据进而求出，即可求出，解答即可．
（1）解：第一，第三小组的数据无法算出大楼高度，
理由：第一小组是利用进行计算的，即利用求，但只测量了，，没有测量长度，所以第一小组的数据无法算出大楼高度，
第三小组利用进行计算的，即利用求，再加，但只测量了，，．没有测量线段或的长度，所以第三小组的数据无法算出大楼高度，
故答案为：一，三；
（2）解：选择第二小组的方案，
由题意得：，，，，
在中，，，，
∴，
在中，，，
，
∴，
答：学校旗杆的高度为．
22．【答案】（1）解：过点B作BE⊥x轴于E．
∵四边形ABCD为矩形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，，，
∴，
∴，．
∴B（5，2）．
将B（5，2）代入中，得．
∴．
（2）或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（2）如图，
∵双曲线是中心对称图形，
∴直线与双曲线的交点关于原点O成中心对称，
∵B（5，2）
∴直线与双曲线的另一交点坐标为（-5，-2）
观察图象得，直线在双曲线上方时，x的取值范围为或，
即不等式的解集为或．
故答案为：或.
【分析】
（1）过点B作BE⊥x轴于E，利用矩形的性质推导出，即可根据AA可推出，利用相似三角形的性质和三角函数可求出，，从而可求出点B的坐标，进一步利用待定系数法得出反比例函数解析式，即可解答；
（2）根据中心对称的性质则得到直线与双曲线的另一个交点坐标 （-5，-2） ，再观察函数图象即可解答．
（1）解：过点B作BE⊥x轴于E．
∵四边形ABCD为矩形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，，，
∴，
∴，．
∴B（5，2）．
将B（5，2）代入中，得．
∴．
（2）解：如图，
∵双曲线是中心对称图形，
∴直线与双曲线的交点关于原点O成中心对称，
∵B（5，2）
∴直线与双曲线的另一交点坐标为（-5，-2）
观察图象得，直线在双曲线上方时，x的聚会范围为或，
即不等式的解集为或．
23．【答案】解：（1）AD⊥CP，如图所示，
（2）∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD=90°．
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB．
又∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC．
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF，
即△PCF是等腰三角形；
（3）连接AE，
∵CE平分∠ACB，
∴=，
∴AE=BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵BE=7，
∴AB=BE=14，
∵∠PAC=∠PCB，∠CPB=∠APC，
∴△PAC∽△PCB，
∴．
又∵tan∠ABC=，
∴，
∴，
设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，
∵PC2+OC2=OP2，
∴(4k)2+72=(3k+7)2，
∴k=6 (k=0不合题意，舍去)．
∴PC=4k=4×6=24．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的性质；尺规作图-垂线；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）根据尺规作图：过直线CP外一点A作PC的垂线，先以A为圆心画弧与PC相交；再分别以交点画弧交于一点，连接这点和A点，即可解答；
（2）由圆周角定理和垂线的定义得到∠DAC=∠PCB；由切线的性质和等边对等角可得∠BCP=∠CAO，∠BCF=∠ACF，结合外角性质可得∠PCF=∠PFC，即可证得PC=PF，即可解答；
（3）利用等腰直角三角形的性质求出AB=14，利用AA可判定△PAC∽△PCB，由相似三角形的性质可得到，由tan∠ABC=，可得，进而可得到，设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，利用勾股定理PC2+OC2=OP2建立关于k的方程，解方程求出k的值即可求出PC的长，解答即可.
24．【答案】（1）解：如图1，作，交的延长线于点G，作，交的延长线于点H，
①由旋转得，，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积；
②由①得，，
∴，
同理，，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图2，在图1的基础上，作于点L，则，
∴四边形是矩形，
∴；
∵，
∴；
设，则
∴；
∵，
∴，
∴随n的增大而增大；
由可知，n随m的增大而减小，
当时，，此时，；
若，则，此时，，
∵点P不与点A、D重合，
∴，
∴，，
∴的取值范围是，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵N是的中点，
∴，
∴的取值范围是．
【知识点】正方形的性质；一次函数的性质；线段的中点；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）①作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，由旋转及正方形的性质利用AAS证明得，利用面积公式即可得证；②证明，再证明，即可得出结论；
（2）在（1）的基础上，作于点L，设，则可证明，设，用含m的代数式表示n，根据勾股定理可用含n的代数式表示，由n随m的增大而减小求出的取值范围，利用角度的和差运算得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的取值范围，解答即可．
（1）如图1，作，交的延长线于点G，作，交的延长线于点H，
①由旋转得，，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积；
②由①得，，
∴，
同理，，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴．
（2）如图2，在图1的基础上，作于点L，则，
∴四边形是矩形，
∴；
∵，
∴；
设，则
∴；
∵，
∴，
∴随n的增大而增大；
由可知，n随m的增大而减小，
当时，，此时，；
若，则，此时，，
∵点P不与点A、D重合，
∴，
∴，，
∴的取值范围是，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵N是的中点，
∴，
∴的取值范围是．
25．【答案】解：（1）∵抛物线与轴交于和两点，且，
∴或，
∵对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有，
∴当时，随的增大而增大，
当抛物线过和两点时，
该抛物线的对称轴是直线，
∴当时，随的增大而减少，不合题意舍去，
当抛物线过点和时，该抛物线的对称轴是直线，
则当时，随的增大而增大，符合题意，
∴，解得：．
∴．
（2）①令，得，
解得：，
∴．
取点，并连接交于点，则．
∴，
∴
∵，
∴，
过作于，则，
由（1）可知，
∴，所以，
在中，，
∴，所以．
在中，，
∴，
设，
∴，解得，（舍去）
当时，，
∴点的坐标为；
②分别过，点作轴于，轴于，则，
∵点，，
设直线的解析式为，
代入，，得
解得
∴直线的解析式为：，
同理可得直线的解析式为：，
联立，解得：，
∴，
联立，得，
∴，，
当时，
．
∵，
∴，
即，
要使取得最小值，只要取得最大值．
∵点在线段上，
∴
当，即时，在内，随的增大而增大，
此时当时，取得最大值，
∴，
解得，（不符合题意，舍去）；
当，即时，在内，取得最大值，
此时不符合题意；
当，即时，在内，随的增大而减小，
此时当时，取得最大值，
∴，解得，（不符合题意，舍去）．
综上所述，的最小值是时，符合条件的的值是或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由且，得到或，根据二次函数图象的增减性，当抛物线过和两点时，该抛物线的对称轴是直线但不合题意应舍去；当抛物线过点和时，得到该抛物线的对称轴是直线；利用待定系数法代入和，可求得二次函数的解析式；
（2）①令得到，取点，并连接交于点，证明，过作于，得到，在中，解得，即，设，根据正切的定义列式，解方程即可解答；
②分别过，点作轴于，轴于，可得，由待定系数法解得直线的解析式为：于是得直线的解析式为：，联立，解得，联立，解得，再由得到比例线段，利用配方法可得，结合条件使取得最小值，分情况讨论即可解答．
1 / 1广东省广州市中国教育科学研究院荔湾实验学校九年级2025年中考二模数学试卷
1．（2025·广州模拟） 的倒数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】
的倒数是 ，
故答案为：A．
【分析】根据倒数的定义求解即可。
2．（2025·广州模拟）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故A符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】
根据当以：中心对称图形的定义在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形的定义平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；逐一判断即可解答．
3．（2025·广州模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．（）
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；分式的加减法；二次根式的加减法；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.（），故该选项不正确，不符合题意；
C.，该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；
故答案为D
【分析】根据求一个数的立方根，分式的加减，二次根式的加法，同底数幂的乘法运算，逐项分析判断即可求解．
4．（2025·广州模拟）某文具超市有A，B，C，D四种笔记本销售，它们的单价分别是5元，4元，3元，6元，某天的笔记本销售情况如图所示，那么这天该文具超市销售的笔记本的单价的平均值是（　　）
A．3元 B．4元 C．4.2元 D．4.5元
【答案】C
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：这天该文具超市销售的笔记本的单价的平均值为
5×10%+4×25%+3×40%+6×25%=4.2（元）．
故答案为：C．
【分析】
根据加权平均数的定义：分别利用 A，B，C，D四种笔记本的单价5元，4元，3元，6元乘以它们的权重10%，25%，40%，25% 列式计算即可解答．
5．（2025·广州模拟）如图，是一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为110°，若屏幕的长度为，则上方边界处到桌面的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；补角
【解析】【解答】解：屏幕与键盘所成夹角为110°，
，
在中，，则，
，
，即，
解得，
故答案为：B．
【分析】
根据补角的定义可得，在中由得，从而由利用的余弦函数即可得解答．
6．（2025·广州模拟）如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（　　）
A．点D在∠BAC的平分线上 B．
C． D．点D为BC的中点
【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，连接AD
∵DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，
∴四边形DEAF是平行四边形，∠FAD=∠EDA，
当点D在∠BAC的平分线上时，
∴∠FAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∴四边形DECF是菱形，故选项A符合题意；
当AB=AC时，不能说明四边形DECF是菱形，故B不符合题意；
当∠A =90°时，只能说明四边形DECF是矩形，故C不符合题意；
当点D为BC的中点时，不能说明四边形DECF是菱形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】
先证明四边形DEAF是平行四边形，再利用平行四边形的性质得到∠FAD=∠EDA结合角平分线的定义得到∠EAD=∠EDA，从而得到AE=DE，再由菱形的判定定理即可得到结论，其余选项均不能得到四边形AFDE为菱形，由此即可解答．
7．（2025·广州模拟）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为（　　）
A．21 B．25 C．21或25 D．20或24
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设关于x的方程x2﹣10x+k＝0的两个实数根分别为a、b．
方程x2﹣10x+k＝0有两个实数根，则Δ＝100﹣4k≥0，得k≤25．
①当底边长为3时，另两边相等时，则a+b＝10，
∴另两边的长都是为5，
∴k＝ab＝25；
②当腰长为3时，另两边中至少有一个是3，则3一定是方程x2﹣10x+k＝0的根，
则32﹣10×3+k＝0
解得k＝21
解方程x2﹣10x＋21＝0
解得另一根为：x＝7．
∵3+3＜7，不能构成三角形．
∴k的值为25．
故答案为：B．
【分析】分两种情况：①当底边长为3时，另两边相等时，则a+b＝10，②当腰长为3时，另两边中至少有一个是3，则3一定是方程x2﹣10x+k＝0的根，再分别求解即可。
8．（2025·广州模拟）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为4，则k＝（　　）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】A
【知识点】点的坐标；反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；线段的中点
【解析】【解答】解：∵C是OB的中点，△AOC的面积为4，
∴△AOB的面积为8，
设A（a，b），
∵AB⊥x轴于点B，
∴ab＝16，
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝16．
故答案为：A．
【分析】
先C是OB的中点求得△AOB的面积，设A（a，b）根据面积公式求ab，最后利用待定系数法求k，解答即可．
9．（2025·广州模拟）如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（　　）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；求正切值
【解析】【解答】过A点作AN⊥DF于N，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=AD，∠ABE=∠D，设AD=4，
∵F是CD中点，
∴DF=FC=2，
根据翻折的性质可知AB=AF，
∴△AFD是等腰三角形，
∵AN⊥DF，
∴AN也平分DF，则有DN=NF=1，
∴在Rt△AND中利用勾股定理可得，
∴tan∠D=，
∴tan∠ABE=，
故答案为：D．
【分析】
过A点作AN⊥DF于N，根据菱形的性质得到AB=CD=AD，∠ABE=∠D，设AD=4， F是CD中点，则有DF=FC=2，根据翻折的性质可知AB=AF，可判断△AFD是等腰三角形，由AN⊥DF，得AN也平分DF，则有DN=NF=1，在Rt△AND中利用勾股定理可得AN，则可求出tan∠D，即可得tan∠ABE，解答即可．
10．（2025·广州模拟）已知函数y＝x2﹣2ax+7，当x≤3时，函数值随x增大而减小，且对任意的1≤x1≤a+2和1≤x2≤a+2，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤9，则实数a的取值范围是（　　）
A．﹣3≤a≤4 B．﹣3≤a≤5 C．3≤a≤4 D．3≤a≤5
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；分类讨论
【解析】【解答】解： 由y＝x2﹣2ax+7得
对称轴为直线，而时，函数值随增大而减小，故；
和，
时，函数的最小值，
故函数的最大值在和中产生，
则，中，哪个距越远，函数值越小，
，
，而，
距离 更远，
时，函数取得最大值为：，
对任意的和，，相应的函数值，总满足：
，
只需最大值与最小值的差小于等于9即可，
，
，
解得，而，
，
故答案为：C．
【分析】
先将函数解析式配方成顶点式即可根据时，函数值随增大而减小得到，排除AB选项；结合已知条件对任意的和，，相应的函数值，总满足，只需最大值与最小值的差小于等于9计算即可解答．
11．（2025·广州模拟）若式子 有意义，则x的取值范围是　 　
【答案】x≥-1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，x+1≥0，
解得，x≥-1，
故答案为：x≥-1.
【分析】根据被开方数大于或等于0列不等式计算即可得解.
12．（2025·广州模拟）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为　 　．
【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：根据旋转的性质，可得：，
∴．
故答案为：．
【分析】
根据旋转的性质得到，利用等边对等角得到，在利用三角形内角和定理进行计算即可解答.
13．（2025·广州模拟）因式分解：=　 　
【答案】a(b+c)(b-c)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
＝
＝，
故答案为：a(b+c)(b-c).
【分析】先提取公因式a，再利用平方差公式因式分解即可。
14．（2025·广州模拟）一次函数的图象过y轴上一点（0，2），且y随x的增大而减小，则n=　 　
【答案】-3
【知识点】一次函数的性质；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵一次函数y随x增大而减小
∴n＜0
∵函数图象过点（0， 2），代入解析式得：
∴n=±3
∴n=-3．
故答案为-3.
【分析】
根据一次函数得性质由y随x增大而减小得n＜0；又因为一次函数图象过点（0， 2），则代入求出n即可解答．
15．（2025·广州模拟）如图，正方形ABCD的边长为，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，G为AE上的一点，且∠F GE=45°，则GF的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接BF，交AE于H，
∵正方形ABCD的边长为，E，F分别是BC，CD的中点，
， ， ，
在 和中
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
在 中，，
，
．
故答案为： ．
【分析】
连接BF，交AE于H，由正方形性质和中点定义得到 ， ， ， 即可利用SAS证明，利用全等三角形得性质得到角度关系利用AA再证明，利用勾股定理求出BF即可求出BH，再用勾股定理计算即可解答．
16．（2025·广州模拟）如图，为的直径，为中长度为定值的弦，．作于E，连接，，．下列四个结论中：①O到的距离为定值；②；③当时，或；④为定值．正确的是 　 　．（填所有正确的序号）
【答案】①③
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；角平分线的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：①、过O点做于H点，如下图所示：
由垂径定理可知：，由于为⊙O中长度为定值的弦，
∴为定值，且圆O确定后其半径也为定值，
∴必为定值，故①正确；
②、当A、B、E三点共线时，即：时，此时，
故②错误；
③、当时，连接，，
（i）如下图，
∵，
∴，
∴，
∴；
（ii）如下图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，或，故③正确；
④、连接，，如下图所示，
∵为的直径，
∴，
∴，
又，
∴，
由同弧所对的圆周角相等可知，，
∴
，
∵为定值，
∴为定值，
∴为定值，
当图形变为③（ii）中的情况时，
显然，
∴不一定为定值，故④错误；
故答案为：①③．
【分析】
对于①：过O点作，由垂径定理即可求解；对于②：举反例，当A、B、E三点共线时，即时，此时；对于③由时，为等腰直角三角形，得到，进而得到，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解；对于④：由已知得到，进而得到，由为定弦即可求解，对于③④两类要注意分类讨论和的位置关系即可解答．
17．（2025·广州模拟）解不等式组：
【答案】解：，
解不等式①得：
解不等式②得：，
不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先解一元一次不等式组：解①得，解②得：；再利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则求出解集即可解答
18．（2025·广州模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且，连接EF、BE．求证：∽
【答案】证明：设a，
在正方形ABCD中，
a，
∵，
，
∵点E是AD的中点
∴，
，
∽．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；线段的中点；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】设a，根据正方形得性质得到a，；再由已知条件和中点的定义得到，，即可根据两边对应成比例且夹角相等进行证明即可解答．
19．（2025·广州模拟）已知．
（1）化简T；
（2）若点（x，0）在二次函数y＝（x+1）（x+2）的图象上，求T的值．
【答案】（1）解：
．
（2）解：∵点（x，0）在二次函数y＝（x+1）（x+2）的图象上，
∴0＝（x+1）（x+2），解得或，
由（1）中分母可知，故舍去，
把代入，；
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）根据分式运算先化简，再进行同分母分式的减法运算即可解答；
（2）将点代入二次函数表达式，可求出x，选出符合条件的x的值，再带入原式求出T，解答即可．
（1）解：
．
（2）解：∵点（x，0）在二次函数y＝（x+1）（x+2）的图象上，
∴0＝（x+1）（x+2），解得或，
由（1）中分母可知，故舍去，
把代入，；
故答案为：．
20．（2025·广州模拟）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数是　　 人；
（2）图2中a是　 度，并将图1条形统计图补充完整；
（3）老师从自主学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D）随机选择两位进行学习经验交流，请用列表法或树状图的方法求出同时选中A，B两位同学的概率．
【答案】（1）40
（2）解：54°，
自主学习1.5小时的人数有：40×35%＝14（人）；
补全统计图如下：
（3）解：根据题意画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，其中选中A，B的有2种，
∴选中A，B同学的概率是：．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解： (1) 本次调查的学生人数是人；
故答案为：40；
（2）；
故答案为54°；
【分析】
（1）用自主学习1小时的人数除以其所占的百分比，即可求解；
（2）用360°乘以自主学习0.5小时的人数所占的百分比，再求出自主学习1.5小时的人数，即可求解；
（3）根据题意画树状图，可得共有12种等可能的结果，其中选中A，B的有2种，再用概率公式计算，即可求解．
21．（2025·广州模拟）【综合与实践】
要测量学校旗杆的高度，三个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表：
课题 测量学校旗杆的高度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺，小镜子，直角三角形纸板等
测量小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案示意图
说明 利用镜子反射测量旗杆的高度，点为镜子，眼睛看到镜子中的旗杆顶端． 先测量观测台的高，再在观测点处测得旗杆顶端点的仰角，旗杆底端点的俯角．（其中于） 利用直角三角形纸板的直角边保持水平，并且边与点在同一直线上，直角三角板的斜边与旗杆顶端在同一直线上．
测量数据 ，． ，，． ，，．
（1）根据测量数据，无法计算学校旗杆的高度的小组有第______小组和第______小组；
（2）请选择其中一个可计算的方案及运用其数据求学校旗杆的高度．
【答案】（1）一；三
（2）解：选择第二小组的方案，由题意得：
，，，，
在中，，，，
∴，
在中，，，
，
∴，
答：学校旗杆的高度为．
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形；已知正切值求边长；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）第一，第三小组的数据无法算出大楼高度，
理由：第一小组是利用进行计算的，即利用求，但只测量了，，没有测量长度，所以第一小组的数据无法算出大楼高度，
第三小组利用进行计算的，即利用求，再加，但只测量了，，．没有测量线段或的长度，所以第三小组的数据无法算出大楼高度，
故答案为：一，三；
【分析】
（1）根据相似三角形的性质得到，但第一小组没有测量长度，所以第一小组的数据无法算出大楼高度；根据相似三角形的性质得到，但第三组没有测量线段或的长度所以第三小组的数据无法算出大楼高度；逐一判断即可解答；
（2）对方案二，解直角三角形利用正切的值先求出，根据进而求出，即可求出，解答即可．
（1）解：第一，第三小组的数据无法算出大楼高度，
理由：第一小组是利用进行计算的，即利用求，但只测量了，，没有测量长度，所以第一小组的数据无法算出大楼高度，
第三小组利用进行计算的，即利用求，再加，但只测量了，，．没有测量线段或的长度，所以第三小组的数据无法算出大楼高度，
故答案为：一，三；
（2）解：选择第二小组的方案，
由题意得：，，，，
在中，，，，
∴，
在中，，，
，
∴，
答：学校旗杆的高度为．
22．（2025·广州模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（1，0），D（0，2），反比例函数的图象经过了矩形的顶点B，且．
（1）求反比例函数表达式；
（2）动手画直线OB，记为，结合图象直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1）解：过点B作BE⊥x轴于E．
∵四边形ABCD为矩形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，，，
∴，
∴，．
∴B（5，2）．
将B（5，2）代入中，得．
∴．
（2）或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（2）如图，
∵双曲线是中心对称图形，
∴直线与双曲线的交点关于原点O成中心对称，
∵B（5，2）
∴直线与双曲线的另一交点坐标为（-5，-2）
观察图象得，直线在双曲线上方时，x的取值范围为或，
即不等式的解集为或．
故答案为：或.
【分析】
（1）过点B作BE⊥x轴于E，利用矩形的性质推导出，即可根据AA可推出，利用相似三角形的性质和三角函数可求出，，从而可求出点B的坐标，进一步利用待定系数法得出反比例函数解析式，即可解答；
（2）根据中心对称的性质则得到直线与双曲线的另一个交点坐标 （-5，-2） ，再观察函数图象即可解答．
（1）解：过点B作BE⊥x轴于E．
∵四边形ABCD为矩形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，，，
∴，
∴，．
∴B（5，2）．
将B（5，2）代入中，得．
∴．
（2）解：如图，
∵双曲线是中心对称图形，
∴直线与双曲线的交点关于原点O成中心对称，
∵B（5，2）
∴直线与双曲线的另一交点坐标为（-5，-2）
观察图象得，直线在双曲线上方时，x的聚会范围为或，
即不等式的解集为或．
23．（2025·广州模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）利用尺规作图，过点A作AD⊥CP于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．
【答案】解：（1）AD⊥CP，如图所示，
（2）∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD=90°．
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB．
又∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC．
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF，
即△PCF是等腰三角形；
（3）连接AE，
∵CE平分∠ACB，
∴=，
∴AE=BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵BE=7，
∴AB=BE=14，
∵∠PAC=∠PCB，∠CPB=∠APC，
∴△PAC∽△PCB，
∴．
又∵tan∠ABC=，
∴，
∴，
设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，
∵PC2+OC2=OP2，
∴(4k)2+72=(3k+7)2，
∴k=6 (k=0不合题意，舍去)．
∴PC=4k=4×6=24．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的性质；尺规作图-垂线；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）根据尺规作图：过直线CP外一点A作PC的垂线，先以A为圆心画弧与PC相交；再分别以交点画弧交于一点，连接这点和A点，即可解答；
（2）由圆周角定理和垂线的定义得到∠DAC=∠PCB；由切线的性质和等边对等角可得∠BCP=∠CAO，∠BCF=∠ACF，结合外角性质可得∠PCF=∠PFC，即可证得PC=PF，即可解答；
（3）利用等腰直角三角形的性质求出AB=14，利用AA可判定△PAC∽△PCB，由相似三角形的性质可得到，由tan∠ABC=，可得，进而可得到，设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，利用勾股定理PC2+OC2=OP2建立关于k的方程，解方程求出k的值即可求出PC的长，解答即可.
24．（2025·广州模拟）如图1，正方形的边长为4，点P在边上（P不与 A、D重合），连接、．将线段绕点P顺时针旋转得到，将线段绕点P逆时针旋转得到，连接．
（1）求证：
①的面积；
②；
（2）如图2，的延长线交于点M，取的中点N，连接，求的取值范围．
【答案】（1）解：如图1，作，交的延长线于点G，作，交的延长线于点H，
①由旋转得，，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积；
②由①得，，
∴，
同理，，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图2，在图1的基础上，作于点L，则，
∴四边形是矩形，
∴；
∵，
∴；
设，则
∴；
∵，
∴，
∴随n的增大而增大；
由可知，n随m的增大而减小，
当时，，此时，；
若，则，此时，，
∵点P不与点A、D重合，
∴，
∴，，
∴的取值范围是，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵N是的中点，
∴，
∴的取值范围是．
【知识点】正方形的性质；一次函数的性质；线段的中点；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）①作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，由旋转及正方形的性质利用AAS证明得，利用面积公式即可得证；②证明，再证明，即可得出结论；
（2）在（1）的基础上，作于点L，设，则可证明，设，用含m的代数式表示n，根据勾股定理可用含n的代数式表示，由n随m的增大而减小求出的取值范围，利用角度的和差运算得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的取值范围，解答即可．
（1）如图1，作，交的延长线于点G，作，交的延长线于点H，
①由旋转得，，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积；
②由①得，，
∴，
同理，，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴．
（2）如图2，在图1的基础上，作于点L，则，
∴四边形是矩形，
∴；
∵，
∴；
设，则
∴；
∵，
∴，
∴随n的增大而增大；
由可知，n随m的增大而减小，
当时，，此时，；
若，则，此时，，
∵点P不与点A、D重合，
∴，
∴，，
∴的取值范围是，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵N是的中点，
∴，
∴的取值范围是．
25．（2025·广州模拟）已知抛物线与轴交于和两点，且，与轴交于，且对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点的直线与该抛物线交于另一点，与线段交于点．
①若，求点的坐标；
②当时，的最小值是，求的值．
【答案】解：（1）∵抛物线与轴交于和两点，且，
∴或，
∵对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有，
∴当时，随的增大而增大，
当抛物线过和两点时，
该抛物线的对称轴是直线，
∴当时，随的增大而减少，不合题意舍去，
当抛物线过点和时，该抛物线的对称轴是直线，
则当时，随的增大而增大，符合题意，
∴，解得：．
∴．
（2）①令，得，
解得：，
∴．
取点，并连接交于点，则．
∴，
∴
∵，
∴，
过作于，则，
由（1）可知，
∴，所以，
在中，，
∴，所以．
在中，，
∴，
设，
∴，解得，（舍去）
当时，，
∴点的坐标为；
②分别过，点作轴于，轴于，则，
∵点，，
设直线的解析式为，
代入，，得
解得
∴直线的解析式为：，
同理可得直线的解析式为：，
联立，解得：，
∴，
联立，得，
∴，，
当时，
．
∵，
∴，
即，
要使取得最小值，只要取得最大值．
∵点在线段上，
∴
当，即时，在内，随的增大而增大，
此时当时，取得最大值，
∴，
解得，（不符合题意，舍去）；
当，即时，在内，取得最大值，
此时不符合题意；
当，即时，在内，随的增大而减小，
此时当时，取得最大值，
∴，解得，（不符合题意，舍去）．
综上所述，的最小值是时，符合条件的的值是或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由且，得到或，根据二次函数图象的增减性，当抛物线过和两点时，该抛物线的对称轴是直线但不合题意应舍去；当抛物线过点和时，得到该抛物线的对称轴是直线；利用待定系数法代入和，可求得二次函数的解析式；
（2）①令得到，取点，并连接交于点，证明，过作于，得到，在中，解得，即，设，根据正切的定义列式，解方程即可解答；
②分别过，点作轴于，轴于，可得，由待定系数法解得直线的解析式为：于是得直线的解析式为：，联立，解得，联立，解得，再由得到比例线段，利用配方法可得，结合条件使取得最小值，分情况讨论即可解答．
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