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浙江省金华市2024-2025学年八年级下学期期末教学质量评价卷数学试题
1．（2025八下·金华月考） 下列属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是二元一次方程，故此选项不符合题意；
B、是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程定义：一个未知数”，“未知数的最高次数是2”，“二次项的系数不等于0”，“整式方程”进行解答即可.
2．（2025八下·金华月考） 下列图标中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形.选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形.
故答案为：A.
【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形，逐项判断即可得.
3．（2025八下·金华月考） 若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x+1≥0，
解得x≥-1，
故答案为：B .
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，即对于，需要满足a≥0.
4．（2025八下·金华月考） 下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：2与不是同类二次根式，无法合并，则A不符合题意；
，则B符合题意；
，则C不符合题意；
与不是同类二次根式，无法合并，则D不符合题意；
故答案为：B .
【分析】二次根式的加减法规则：只有同类二次根式(被开方数相同且根指数相同)才能合并，合并时系数相加减，根式部分不变.
5．（2025八下·金华月考） 已知样本数据 2，3，3，5，7，下列说法不正确的是（　　）
A．平均数是4 B．众数是3 C．中位数是3 D．方差是3
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A.平均数是(2+3+3+5+7)÷5=4，故本选项说法正确，不符合题意；
B.3出现了2次，出现的次数最多，则众数是3，故本选项说法正确，不符合题意；
C.把这组数据从小到大排列为：2，3，3，5，7，最中间的数是3，则中位数是3，故本选项说法正确，不符合题意；
D.这组数据的方差是：[(2-4)2+(3-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]÷5=3.2，故本选项说法错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和计算公式分别进行分析即可.
6．（2025八下·金华月考） 用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“在△ABC中，若AB=AC，则∠B<90°时，应先假设∠B≥90°，
故答案为：C.
【分析】使用反证法证明命题时，首先需要假设原命题的结论不成立，然后推导出矛盾.
7．（2025八下·金华月考） 据统计，2022年中国人新汽车销售量约688万辆，2024年中国人新汽车销售量约1286万辆. 设从2022年至2024年的年平均增长率为x，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：688(1+x)2=1256.
故答案为：A.
【分析】利用预计2024年新能源汽车年销售量=2022年新能源汽车年销售量×(1+这两年新能源汽车销售量年平均增长率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
8．（2025八下·金华月考） 如图，已知点O是两条对角线AC、BD的交点，，，，则的周长为（　　）
A．29 B．33 C．34 D．43
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=AO=8，，BC=AD=15，
∴△OBC的周长=BO+OC+BC=10+8+15=33，
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，找到三角形OBC各边的长度即可求解.
9．（2025八下·金华月考） 已知反比例函数 () 的图象上有 ， 两点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当n< 0时，
此时n-1<0-1=-1<0，即k=n-1<0，
反比例函数的图象在二、四象限，
∵n<0，
∴点A、点B在第二象限，
又∵n-2∴y2当0n-1<1-1=0，即k=n-1<0，
反比例函数图象在二、四象限，
∴点A、点B在第二象限，
∵n-2∴y2当n>2时，
n-1>2-1-1>0，即k=n-1>0，
反比例函数图象在一、三象限，
∴点A、点B在第一象限，
∵n-2∴y1当1n-1>1-1=0，即k=n-1>0，
反比例函数图象在一、三象限，
∴点A在第一象限，点B在第三象限，
∴y1>0，y2<0，则y1>y2，D选项正确；
故答案为：D.
【分析】反比例函数为(n≠1)，其k=n-1，根据n的不同取值范围，判断k的正负，进而确定函数图象所在象限以及y1与y2的大小关系.
10．（2025八下·金华月考） 如图，已知菱形ABCD的边长为，，延长BC至点E，射线CF在的内部且满足，过点D作交CF于点G，过点G作交CE于点H. 若，则线段BD的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AO，交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=80°，
∴BO=DO，AC⊥BD，∠BCD=100°，∠BDC=40°，
∵∠DCF=50°
∴∠GCH=30°，
∵GH⊥CE，
∴CG=2GH=2，
∵DG⊥CF，∠DCF=50°
∴∠CDG=40°=∠BDC
∴OD平分∠BDG，
又∵AC⊥BD，DG⊥CG，
∴OC=CG=2，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】由菱形的性质可得BO=DO，AC⊥BD，∠BCD=100°，∠BDC=40°，由直角三角形的性质可得CG=2GH=2，由角平分线的性质可得OC=CG=2，由勾股定理可求OD的长，即可求解.
11．（2025八下·金华月考） 当 时，二次根式 的值为　 　.
【答案】1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当a=-1时，二次根式，
故答案为：1.
【分析】直接把a的值代入进而得出答案.
12．（2025八下·金华月考） 已知某兴趣小组6名同学的一次“人工智能编程”培训成绩（单位：分）依次为：88，92，89，95，91，86，则这组数据的中位数为　 　.
【答案】90
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：按从小到大排列：86，88，89，91，92，95，
中间两个数为89和91，中位数为：
故答案为：90.
【分析】先将数据按大小顺序排列，再根据数据个数的奇偶性确定中位数.
13．（2025八下·金华月考） 已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则m的值为　 　.
【答案】4
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把x=2代入方程x2-2mx+3m=0，
得4-4m+3m=0，
解得m=4.
故答案为：4.
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得4-4m+3m=0，然后解关于m的一次方程即可.
14．（2025八下·金华月考） 若平行四边形的两邻边长分别为4和5，两条较短边之间的距离为3，则两条较长边之间的距离为　 　.
【答案】
【知识点】平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图
由题意得，CD=4，BC=5，AE=3，
由题意得，CD×AE=BC×AF
∴
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的面积等于底×高，可得出两长边的距离.
15．（2025八下·金华月考） 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，点E为BC边上一点，连结AE，将沿AE翻折，使点B恰好与点O重合，则BE的长为　 　.
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴O为AC的中点，
由折叠的性质可得：∠ABE=∠AOE=90°，BE=OE，∠AEB=∠AEO
∴OE垂直平分AC，
∴AE=EC，
∴，
设BE=x，则AE=2x，
由勾股定理得，
x2+(2x)2=62，
∴
故答案为：.
【分析】由题意可得，OE垂直平分AC，可得AE=EC，∠AEB=∠AEO=∠CEO=60°，设BE=x，则AE=2x，根据勾股定理求解即可.
16．（2025八下·金华月考） 在平面直角坐标系中，反比例函数和的图象如图所示.已知矩形OABC的边OA，OC分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，分别交BC，AB于点D，E，分别交BC，AB于点F，G，直线FG与y轴交于点P，连结PD.若，，则的面积为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，AB=a，OA=b，
∴A(b，0)，B(b，a)，C(0，a)，
∵AB//y轴，BC//x轴，
∴点E，G的横坐标为b，点D，F的纵坐标为a，
∵点F，G在反比例函数的图象上，
∴，G(b，1)，
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，
如下图：过点G作GH⊥y轴于点H，
则FC//GH，点H坐标为(0，1)，
∴△PCF∽△PHG，CH=a-1，GH=b，
∴
即
解得：PC=1
∴△PFD的面积为
故答案为：.
【分析】根据AB=a，OA=6可得点A，B的坐标，再由BC//x轴，AB//y轴，结合反比例函数和的表达式可求出点D，E，F，G的坐标(用含a，b的代数式表示)，进而可得线段FC，FD的长，过点G作GH⊥y轴于点H，可得GH=b，由点C，G坐标可得点H坐标，进而可求出线段CH的长，设PC长为m，由△PCF∽△PHG可求出线段PC的长，进而可得△PFD的面积.
17．（2025八下·金华月考）计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解： 原式=
= .
（2）解：原式=
=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)直接应用平方根相乘的法则；
(2)需先处理乘法再处理加法，注意负号的处理和平方根的简化.
18．（2025八下·金华月考）解方程：
（1）；
（2） .
【答案】（1）解：3x2-x=0
x(3x-1)=0
∴，
（2）解：a=2，b=-3，c=-5
Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×(-5)=49>0
∴，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)通过因式分解即可求解；
(2)通过公式法即可求解.
19．（2025八下·金华月考） 如图，已知四边形ABCD为平行四边形，过点A作交BD于点E，过点C作交BD于点F.
（1） 证明：.
（2） 若，，，求EF的长.
【答案】（1）证明：
且
在和中，
∴
∴
（2）解：∵∠AEB=90°，∠ABD=30°，AB=4，
∴，
∴，
∵∠BFC=90°，BC=6，AE=CF=2，
∴，
∴，
∴EF的长是
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得AB//CD，AB=CD，再根据“AAS”证明△ABE≌△CDF，进而即可得出结论；
(2)由∠AEB=90°，∠ABD=30°，AB=4，得，再根据勾股定理即可求解.
20．（2025八下·金华月考） 浙江新能源汽车数量不断上升，据相关信息，2025年全省将建成公共充电桩超230万个. 某小区为优化公共充电桩管理，随机记录了某日50辆新能源汽车的充电情况.
时间段 6点—10点 10点—14点 14点—18点 18点—22点 22点—6点
数量(辆) 4 20 a 10 12
价格(元/度) 1.15 0.60 1.20 0.90 0.55
（1） 填空：=　 　.
（2） 本次调查的50辆新能源汽车用电价格的众数为　 　元/度，中位数为　 　元/度.
（3） 若该地区每天需要充电的新能源汽车数量约为10万辆，请估计在6点至10点时间段内进行充电的新能源汽车数量.
【答案】（1）4
（2）0.6；0.6
（3）解：（辆）
答：估计在6点至10点时间段内进行充电的新能源汽车有8000辆
【知识点】用样本估计总体；中位数；众数
【解析】【解答】解：(1)a=50-4-20-10-12=4(辆)，
故答案为：4.
(2)根据表格数据可知，50辆新能源汽车用电价格的众数为0.6元/度，
中位数为(元/度)，
故答案为：0.6，0.6.
【分析】(1)用50-4-20-10-12计算即可；
(2)用众数，中位数的定义计算即可；
(3)用100000乘以样本中6点至10点时间段内进行充电的新能源汽车所占百分比即可.
21．（2025八下·金华月考） 如图，已知点 A 为反比例函数 图象上的一点，过点 A 作 轴交 y 轴于点 B 且 ，连结 OA.
（1） 求点 A 的坐标.
（2） 将 沿 x 轴正方向平移得到 ，记线段 A' O' 的中点为 C，若反比例函数 的图象恰好经过点 B' 和点 C，求 k 的值.
【答案】（1）解：将y=4代入可得x=3，
∴A(3， 4)
（2）解： 设△ABO平移距离为m，则B'(m，4)，O'(m，0)，A'(3+m，4)，
∵A'O'的中点为C，
∴，
∵反比例函数图象过点B'和点C
∴4m=3+2m，
解得
∴，
∴k=6
【知识点】平移的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)将y=4代入解析式求出点A的横坐标即可；
(2)设△ABO平移距离为m，根据平移性质得到B'(m，4)，O'(m，0)，A(3+m，4)，利用中点坐标公式得到，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于m的方程求出m值即可得到点B'坐标，继而求出k值即可.
22．（2025八下·金华月考） 根据以下素材，探索完成任务.
智能农业种植基地设计
背景 随着科技的日益更新，利用智能化设备和技术，可以有效提高农业种植的生产效率，提升农产品的质量.
素材1 如图，某智能农业种植基地计划搭建一座矩形温室大棚用于高效种植作物.已知大棚的种植面积为1200平方米，且矩形的长 AD比宽AB多10米.
素材2 基地想在矩形中心引入智能光照控制系统P（视为一个点），当系统P到矩形内任意一点（包括边上）的距离不超过28米时视为达标，以确保光照均匀覆盖；否则视为不达标并需要重新改进系统.
素材3 为了更智能地对农作物浇水，在基地内部安装了一个矩形智能灌注设备，要求设备四周预留相同宽度的空间，已知该矩形灌注设备的面积为24平方米.
⑴任务1 设矩形大棚的宽为x米，则长为 ▲ 米，根据素材1的信息可列方程：▲.
⑵任务2 根据素材2的要求，请问：该设计是否达标？如果达标，请给出改进方案.
⑶任务3 设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，求a的值.
【答案】解：任务1：由题意，∵矩形大棚的宽为x米，则长为(x+10)米，
∴x(x+10)=1200.
故答案为：x(x+10)=1200.
任务2：该设计达标.
理由如下：
由题意，结合任务1，x(x+10)=1200，
∴x2+10x-1200=0.
∴x=-40(不合题意，舍去)或x=30
∴AD=40m，AB=30m.
∴对角线BD=50m.
∴AP=BP=CP=DP=25m.
∵当系统P到矩形内任意一点(包括边上)的距离不超过28米时视为达标，
∴该设计达标.
任务3：由题意，设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，
∴(30-2a)(40-2a)=24.
∴a=14或a=21(此时30-2a<0，不合题意，舍去)
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务1：依据题意，由矩形大棚的宽为x米，则长为(x+10)米，则x(x+10)= 1200，进而可以判断得解；
任务2：依据题意，结合任务1，x(x+10)=1200，进而计算可得AD=40m，AB=30m，则对角线BD=50m，故AP=BP=CP=DP=25m，再根据当系统P到矩形内任意一点(包括边上)的距离不超过28米时视为达标，进而可以判断得解；
任务3：依据题意，设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，则(30-2a)(40-2a)=24，进而计算可以得解.
23．（2025八下·金华月考）如图，正方形 ABCD 中，已知 ，对角线 AC与 BD交于点 O，点 E为射线 OB上的一个动点（不与点 B重合），点 M为线段 ED的中点.现将线段 OM绕点 M顺时针旋转 得到线段 MF，连结 AE，EF，AF，OF.
（1） 若点 M 在线段 OD上且 ，求线段 OF及 EF 的长.
（2） 当点 E在 线段 OB上运动时，请判断 的形状，并说明理由.
（3） 在点 E的运动过程中，当 时，求线段 BE的长.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，，AC⊥BD，
∴，
∴OD=OB=6，
∵点M为线段ED的中点，
∴EM=MD=4，
∴OM=OD-MD=2，
∴OM=MF=2，OE=2，
∵MF⊥OM，
∴，
∴
（2）解：是等腰直角三角形
理由：连接FD，如图，
∵△OMF为等腰直角三角形，
∴∠MOF=45°
∵AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∴∠AOF=∠MOF=45°
在△AOF和△DOF中，
∴△AOF≌△DOF(SAS)，
∴FA=FD，
∴∠FAD=∠FDA，
∵点M为线段ED的中点，MF⊥OM，
∴MF为线段DE的垂直平分线，
∴FE=FD，
∴FE=FA，∠FED=∠FDE.
∵∠FDA+∠FDE=∠ADB=45°，
∴∠AFD=180°-∠FAD-∠FDA=135°，∠DFE=180°-∠FED-∠FDE=135°，
∴∠AFE=360°-∠DFA-∠DFE=90°
∴△AEF的形状是等腰直角三角形
（3）解：①在点E的运动过程中，当AE=2OF时，如图，
设OM=MF=a，则，，
∵OD=OB=6，M为线段ED的中点，
∴DM=EM=6-a，
∴OE=EM-OM=6-2a，
∵AC⊥BD，
∴OA2+OE2=AE2，
∴，
∴(负数不合题意，舍去)
∴，
∴.
②在点E的运动过程中，当AE=2OF时，如图，
设OM=MF=a，则，，
∵OD=OB=6，M为线段ED的中点，
∴DM=EM=6+a，
∴OE=EM+OM=6+2a，
∵AC⊥BD，
∴OA2+OE2=AE2，
∴
∴(负数不合题意，舍去)
∴，
∴.
综上，线段BE的长为或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】(1)利用正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=90°，，AC⊥BD，利用等腰直角三角形的性质得到OD=OB=6，利用线段的中点的意义，等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可得出结论；
(2)连接FD，利用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质得到FA=FD，利用线段的垂直平分线的性质得到FE=FD，则FE=FA；利用正方形的性质和角形的内角和定理求得∠AFE=360°-∠DFA-∠DFE=90°，则结论可得；
(3)利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点E在线段OB上时，设OM=MF=a，则，，利用勾股定理列出方程解答即可；②当点E在线段OB的延长线上时，设OM=ME=a，则，，利用勾股定理列出方程解答即可.
1 / 1浙江省金华市2024-2025学年八年级下学期期末教学质量评价卷数学试题
1．（2025八下·金华月考） 下列属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·金华月考） 下列图标中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·金华月考） 若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·金华月考） 下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·金华月考） 已知样本数据 2，3，3，5，7，下列说法不正确的是（　　）
A．平均数是4 B．众数是3 C．中位数是3 D．方差是3
6．（2025八下·金华月考） 用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·金华月考） 据统计，2022年中国人新汽车销售量约688万辆，2024年中国人新汽车销售量约1286万辆. 设从2022年至2024年的年平均增长率为x，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八下·金华月考） 如图，已知点O是两条对角线AC、BD的交点，，，，则的周长为（　　）
A．29 B．33 C．34 D．43
9．（2025八下·金华月考） 已知反比例函数 () 的图象上有 ， 两点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2025八下·金华月考） 如图，已知菱形ABCD的边长为，，延长BC至点E，射线CF在的内部且满足，过点D作交CF于点G，过点G作交CE于点H. 若，则线段BD的长为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025八下·金华月考） 当 时，二次根式 的值为　 　.
12．（2025八下·金华月考） 已知某兴趣小组6名同学的一次“人工智能编程”培训成绩（单位：分）依次为：88，92，89，95，91，86，则这组数据的中位数为　 　.
13．（2025八下·金华月考） 已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则m的值为　 　.
14．（2025八下·金华月考） 若平行四边形的两邻边长分别为4和5，两条较短边之间的距离为3，则两条较长边之间的距离为　 　.
15．（2025八下·金华月考） 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，点E为BC边上一点，连结AE，将沿AE翻折，使点B恰好与点O重合，则BE的长为　 　.
16．（2025八下·金华月考） 在平面直角坐标系中，反比例函数和的图象如图所示.已知矩形OABC的边OA，OC分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，分别交BC，AB于点D，E，分别交BC，AB于点F，G，直线FG与y轴交于点P，连结PD.若，，则的面积为　 　.
17．（2025八下·金华月考）计算：
（1）；
（2）.
18．（2025八下·金华月考）解方程：
（1）；
（2） .
19．（2025八下·金华月考） 如图，已知四边形ABCD为平行四边形，过点A作交BD于点E，过点C作交BD于点F.
（1） 证明：.
（2） 若，，，求EF的长.
20．（2025八下·金华月考） 浙江新能源汽车数量不断上升，据相关信息，2025年全省将建成公共充电桩超230万个. 某小区为优化公共充电桩管理，随机记录了某日50辆新能源汽车的充电情况.
时间段 6点—10点 10点—14点 14点—18点 18点—22点 22点—6点
数量(辆) 4 20 a 10 12
价格(元/度) 1.15 0.60 1.20 0.90 0.55
（1） 填空：=　 　.
（2） 本次调查的50辆新能源汽车用电价格的众数为　 　元/度，中位数为　 　元/度.
（3） 若该地区每天需要充电的新能源汽车数量约为10万辆，请估计在6点至10点时间段内进行充电的新能源汽车数量.
21．（2025八下·金华月考） 如图，已知点 A 为反比例函数 图象上的一点，过点 A 作 轴交 y 轴于点 B 且 ，连结 OA.
（1） 求点 A 的坐标.
（2） 将 沿 x 轴正方向平移得到 ，记线段 A' O' 的中点为 C，若反比例函数 的图象恰好经过点 B' 和点 C，求 k 的值.
22．（2025八下·金华月考） 根据以下素材，探索完成任务.
智能农业种植基地设计
背景 随着科技的日益更新，利用智能化设备和技术，可以有效提高农业种植的生产效率，提升农产品的质量.
素材1 如图，某智能农业种植基地计划搭建一座矩形温室大棚用于高效种植作物.已知大棚的种植面积为1200平方米，且矩形的长 AD比宽AB多10米.
素材2 基地想在矩形中心引入智能光照控制系统P（视为一个点），当系统P到矩形内任意一点（包括边上）的距离不超过28米时视为达标，以确保光照均匀覆盖；否则视为不达标并需要重新改进系统.
素材3 为了更智能地对农作物浇水，在基地内部安装了一个矩形智能灌注设备，要求设备四周预留相同宽度的空间，已知该矩形灌注设备的面积为24平方米.
⑴任务1 设矩形大棚的宽为x米，则长为 ▲ 米，根据素材1的信息可列方程：▲.
⑵任务2 根据素材2的要求，请问：该设计是否达标？如果达标，请给出改进方案.
⑶任务3 设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，求a的值.
23．（2025八下·金华月考）如图，正方形 ABCD 中，已知 ，对角线 AC与 BD交于点 O，点 E为射线 OB上的一个动点（不与点 B重合），点 M为线段 ED的中点.现将线段 OM绕点 M顺时针旋转 得到线段 MF，连结 AE，EF，AF，OF.
（1） 若点 M 在线段 OD上且 ，求线段 OF及 EF 的长.
（2） 当点 E在 线段 OB上运动时，请判断 的形状，并说明理由.
（3） 在点 E的运动过程中，当 时，求线段 BE的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是二元一次方程，故此选项不符合题意；
B、是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程定义：一个未知数”，“未知数的最高次数是2”，“二次项的系数不等于0”，“整式方程”进行解答即可.
2．【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形.选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形.
故答案为：A.
【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形，逐项判断即可得.
3．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x+1≥0，
解得x≥-1，
故答案为：B .
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，即对于，需要满足a≥0.
4．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：2与不是同类二次根式，无法合并，则A不符合题意；
，则B符合题意；
，则C不符合题意；
与不是同类二次根式，无法合并，则D不符合题意；
故答案为：B .
【分析】二次根式的加减法规则：只有同类二次根式(被开方数相同且根指数相同)才能合并，合并时系数相加减，根式部分不变.
5．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A.平均数是(2+3+3+5+7)÷5=4，故本选项说法正确，不符合题意；
B.3出现了2次，出现的次数最多，则众数是3，故本选项说法正确，不符合题意；
C.把这组数据从小到大排列为：2，3，3，5，7，最中间的数是3，则中位数是3，故本选项说法正确，不符合题意；
D.这组数据的方差是：[(2-4)2+(3-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]÷5=3.2，故本选项说法错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和计算公式分别进行分析即可.
6．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“在△ABC中，若AB=AC，则∠B<90°时，应先假设∠B≥90°，
故答案为：C.
【分析】使用反证法证明命题时，首先需要假设原命题的结论不成立，然后推导出矛盾.
7．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：688(1+x)2=1256.
故答案为：A.
【分析】利用预计2024年新能源汽车年销售量=2022年新能源汽车年销售量×(1+这两年新能源汽车销售量年平均增长率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=AO=8，，BC=AD=15，
∴△OBC的周长=BO+OC+BC=10+8+15=33，
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，找到三角形OBC各边的长度即可求解.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当n< 0时，
此时n-1<0-1=-1<0，即k=n-1<0，
反比例函数的图象在二、四象限，
∵n<0，
∴点A、点B在第二象限，
又∵n-2∴y2当0n-1<1-1=0，即k=n-1<0，
反比例函数图象在二、四象限，
∴点A、点B在第二象限，
∵n-2∴y2当n>2时，
n-1>2-1-1>0，即k=n-1>0，
反比例函数图象在一、三象限，
∴点A、点B在第一象限，
∵n-2∴y1当1n-1>1-1=0，即k=n-1>0，
反比例函数图象在一、三象限，
∴点A在第一象限，点B在第三象限，
∴y1>0，y2<0，则y1>y2，D选项正确；
故答案为：D.
【分析】反比例函数为(n≠1)，其k=n-1，根据n的不同取值范围，判断k的正负，进而确定函数图象所在象限以及y1与y2的大小关系.
10．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AO，交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=80°，
∴BO=DO，AC⊥BD，∠BCD=100°，∠BDC=40°，
∵∠DCF=50°
∴∠GCH=30°，
∵GH⊥CE，
∴CG=2GH=2，
∵DG⊥CF，∠DCF=50°
∴∠CDG=40°=∠BDC
∴OD平分∠BDG，
又∵AC⊥BD，DG⊥CG，
∴OC=CG=2，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】由菱形的性质可得BO=DO，AC⊥BD，∠BCD=100°，∠BDC=40°，由直角三角形的性质可得CG=2GH=2，由角平分线的性质可得OC=CG=2，由勾股定理可求OD的长，即可求解.
11．【答案】1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当a=-1时，二次根式，
故答案为：1.
【分析】直接把a的值代入进而得出答案.
12．【答案】90
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：按从小到大排列：86，88，89，91，92，95，
中间两个数为89和91，中位数为：
故答案为：90.
【分析】先将数据按大小顺序排列，再根据数据个数的奇偶性确定中位数.
13．【答案】4
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把x=2代入方程x2-2mx+3m=0，
得4-4m+3m=0，
解得m=4.
故答案为：4.
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得4-4m+3m=0，然后解关于m的一次方程即可.
14．【答案】
【知识点】平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图
由题意得，CD=4，BC=5，AE=3，
由题意得，CD×AE=BC×AF
∴
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的面积等于底×高，可得出两长边的距离.
15．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴O为AC的中点，
由折叠的性质可得：∠ABE=∠AOE=90°，BE=OE，∠AEB=∠AEO
∴OE垂直平分AC，
∴AE=EC，
∴，
设BE=x，则AE=2x，
由勾股定理得，
x2+(2x)2=62，
∴
故答案为：.
【分析】由题意可得，OE垂直平分AC，可得AE=EC，∠AEB=∠AEO=∠CEO=60°，设BE=x，则AE=2x，根据勾股定理求解即可.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，AB=a，OA=b，
∴A(b，0)，B(b，a)，C(0，a)，
∵AB//y轴，BC//x轴，
∴点E，G的横坐标为b，点D，F的纵坐标为a，
∵点F，G在反比例函数的图象上，
∴，G(b，1)，
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，
如下图：过点G作GH⊥y轴于点H，
则FC//GH，点H坐标为(0，1)，
∴△PCF∽△PHG，CH=a-1，GH=b，
∴
即
解得：PC=1
∴△PFD的面积为
故答案为：.
【分析】根据AB=a，OA=6可得点A，B的坐标，再由BC//x轴，AB//y轴，结合反比例函数和的表达式可求出点D，E，F，G的坐标(用含a，b的代数式表示)，进而可得线段FC，FD的长，过点G作GH⊥y轴于点H，可得GH=b，由点C，G坐标可得点H坐标，进而可求出线段CH的长，设PC长为m，由△PCF∽△PHG可求出线段PC的长，进而可得△PFD的面积.
17．【答案】（1）解： 原式=
= .
（2）解：原式=
=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)直接应用平方根相乘的法则；
(2)需先处理乘法再处理加法，注意负号的处理和平方根的简化.
18．【答案】（1）解：3x2-x=0
x(3x-1)=0
∴，
（2）解：a=2，b=-3，c=-5
Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×(-5)=49>0
∴，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)通过因式分解即可求解；
(2)通过公式法即可求解.
19．【答案】（1）证明：
且
在和中，
∴
∴
（2）解：∵∠AEB=90°，∠ABD=30°，AB=4，
∴，
∴，
∵∠BFC=90°，BC=6，AE=CF=2，
∴，
∴，
∴EF的长是
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得AB//CD，AB=CD，再根据“AAS”证明△ABE≌△CDF，进而即可得出结论；
(2)由∠AEB=90°，∠ABD=30°，AB=4，得，再根据勾股定理即可求解.
20．【答案】（1）4
（2）0.6；0.6
（3）解：（辆）
答：估计在6点至10点时间段内进行充电的新能源汽车有8000辆
【知识点】用样本估计总体；中位数；众数
【解析】【解答】解：(1)a=50-4-20-10-12=4(辆)，
故答案为：4.
(2)根据表格数据可知，50辆新能源汽车用电价格的众数为0.6元/度，
中位数为(元/度)，
故答案为：0.6，0.6.
【分析】(1)用50-4-20-10-12计算即可；
(2)用众数，中位数的定义计算即可；
(3)用100000乘以样本中6点至10点时间段内进行充电的新能源汽车所占百分比即可.
21．【答案】（1）解：将y=4代入可得x=3，
∴A(3， 4)
（2）解： 设△ABO平移距离为m，则B'(m，4)，O'(m，0)，A'(3+m，4)，
∵A'O'的中点为C，
∴，
∵反比例函数图象过点B'和点C
∴4m=3+2m，
解得
∴，
∴k=6
【知识点】平移的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)将y=4代入解析式求出点A的横坐标即可；
(2)设△ABO平移距离为m，根据平移性质得到B'(m，4)，O'(m，0)，A(3+m，4)，利用中点坐标公式得到，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于m的方程求出m值即可得到点B'坐标，继而求出k值即可.
22．【答案】解：任务1：由题意，∵矩形大棚的宽为x米，则长为(x+10)米，
∴x(x+10)=1200.
故答案为：x(x+10)=1200.
任务2：该设计达标.
理由如下：
由题意，结合任务1，x(x+10)=1200，
∴x2+10x-1200=0.
∴x=-40(不合题意，舍去)或x=30
∴AD=40m，AB=30m.
∴对角线BD=50m.
∴AP=BP=CP=DP=25m.
∵当系统P到矩形内任意一点(包括边上)的距离不超过28米时视为达标，
∴该设计达标.
任务3：由题意，设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，
∴(30-2a)(40-2a)=24.
∴a=14或a=21(此时30-2a<0，不合题意，舍去)
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务1：依据题意，由矩形大棚的宽为x米，则长为(x+10)米，则x(x+10)= 1200，进而可以判断得解；
任务2：依据题意，结合任务1，x(x+10)=1200，进而计算可得AD=40m，AB=30m，则对角线BD=50m，故AP=BP=CP=DP=25m，再根据当系统P到矩形内任意一点(包括边上)的距离不超过28米时视为达标，进而可以判断得解；
任务3：依据题意，设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，则(30-2a)(40-2a)=24，进而计算可以得解.
23．【答案】（1）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，，AC⊥BD，
∴，
∴OD=OB=6，
∵点M为线段ED的中点，
∴EM=MD=4，
∴OM=OD-MD=2，
∴OM=MF=2，OE=2，
∵MF⊥OM，
∴，
∴
（2）解：是等腰直角三角形
理由：连接FD，如图，
∵△OMF为等腰直角三角形，
∴∠MOF=45°
∵AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∴∠AOF=∠MOF=45°
在△AOF和△DOF中，
∴△AOF≌△DOF(SAS)，
∴FA=FD，
∴∠FAD=∠FDA，
∵点M为线段ED的中点，MF⊥OM，
∴MF为线段DE的垂直平分线，
∴FE=FD，
∴FE=FA，∠FED=∠FDE.
∵∠FDA+∠FDE=∠ADB=45°，
∴∠AFD=180°-∠FAD-∠FDA=135°，∠DFE=180°-∠FED-∠FDE=135°，
∴∠AFE=360°-∠DFA-∠DFE=90°
∴△AEF的形状是等腰直角三角形
（3）解：①在点E的运动过程中，当AE=2OF时，如图，
设OM=MF=a，则，，
∵OD=OB=6，M为线段ED的中点，
∴DM=EM=6-a，
∴OE=EM-OM=6-2a，
∵AC⊥BD，
∴OA2+OE2=AE2，
∴，
∴(负数不合题意，舍去)
∴，
∴.
②在点E的运动过程中，当AE=2OF时，如图，
设OM=MF=a，则，，
∵OD=OB=6，M为线段ED的中点，
∴DM=EM=6+a，
∴OE=EM+OM=6+2a，
∵AC⊥BD，
∴OA2+OE2=AE2，
∴
∴(负数不合题意，舍去)
∴，
∴.
综上，线段BE的长为或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】(1)利用正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=90°，，AC⊥BD，利用等腰直角三角形的性质得到OD=OB=6，利用线段的中点的意义，等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可得出结论；
(2)连接FD，利用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质得到FA=FD，利用线段的垂直平分线的性质得到FE=FD，则FE=FA；利用正方形的性质和角形的内角和定理求得∠AFE=360°-∠DFA-∠DFE=90°，则结论可得；
(3)利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点E在线段OB上时，设OM=MF=a，则，，利用勾股定理列出方程解答即可；②当点E在线段OB的延长线上时，设OM=ME=a，则，，利用勾股定理列出方程解答即可.
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