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湖南省永州市2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷
注意事项：
1.本试卷共150分，考试时量120分钟.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
3.考试结束后，只交答题卡.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（i是虚数单位），则（ ）
A. 1 B. C. D. 2
2. 某学校高一年级有1100名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有900名学生，为了解不同年级学生运动的情况，通过分层随机抽样的方法，从全体学生中抽取一个容量为300的样本，那么从高一年级抽取的学生人数为（ ）
A. 110 B. 100 C. 90 D. 80
3. 已知，，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知平面，直线，，如果，且，那么与的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 或 C. D.
5. 在中，，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 一个袋子中有2个红球，4个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.记事件A：第一次取到红球，事件B：第二次取到绿球，事件C：两次取到同色球，事件D：两次取到异色球，则（ ）
A. A与B互斥 B. A与C相互独立
C. C与D互为对立事件 D. B与D相等
7. 如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
8. 在锐角中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的可能取值为（ ）
A. B. 3 C. 4 D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 有一组样本数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，若去除首末两个数，得到一组新的样本数据，则这两组数据的（ ）
A. 极差相等 B. 中位数相等 C. 方差相等 D. 平均数相等
10. 已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则是锐角三角形
11. 如图，在四棱锥中，，平面平面是棱的中点，且∥平面，则（ ）
A. 平面
B. 异面直线与所成角的正切值为2
C. 三棱锥的外接球的表面积为
D. 底面四边形内（包含边界）有一动点Q，，则动点Q的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆锥的底面周长为，高为5，则该圆锥的体积为_______.
13. 如图，在正八边形上有A，B，C，D，E，F，G，H八个顶点，每个相邻的两顶点间称为1步（例如：A到B为1步）.现有一小球起始位置在点A处，并按规则沿八边形的边进行移动，移动规则为：抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为，则小球按顺时针方向前进i步到达另一个顶点.若抛掷两次骰子，则小球回到顶点A处的概率为_______.
14. 已知中，，，，，则的最小值为_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，，.
（1）若，求λ的值；
（2）当k为何值时，？
16. 某校进行“AI知识”讲座，讲座之后对所有参加学习的学生进行学习效果测评，通过简单随机抽样，获得了100名学生的测评成绩作为样本数据，分成，，，，，六组，整理得到如下频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图求a的值，并估计众数和中位数；
（2）在抽取的100名学生中，选取2名测评成绩在的学生作为座谈代表，求这两名学生的测评成绩恰好在同一组的概率.
17. 在锐角中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，.
（1）求A；
（2）若，求的取值范围.
18. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点在线段上.
（1）当时，
（ⅰ）求证：平面；
（ⅱ）求点P到平面的距离；
（2）当时，求二面角的余弦值.（不允许用空间向量法求解）
19. 数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字.发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为；发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为.假设每次数字的传输相互独立，且.
（1）若发送的数据为“01”，且，，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率；
（2）用X表示收到的数字串，将X中数字0的个数记为，如“001”，则，对应的概率记为.
（ⅰ）若发送的数据为：“011”，且，求；
（ⅱ）若发送的数据为“0101”，求的最大值.
参考答案
1-8
【答案】B
【答案】A
【答案】C
【答案】B
【答案】B
【答案】C
【答案】D
【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】ABC
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【小问1】
由题可知，，
，
解得
【小问2】
由，得
， ，
16.【小问1】
因为
所以
参加这次测评学生成绩的众数为75分
由所给频率分布直方图知
100名学生成绩在的频率为0.4，在的频率为0.65，
所以参加这次问卷调查学生成绩的中位数在内
设中位数，则，
解得
所以参加这次问卷调查学生成绩的中位数为64.
【小问2】
在抽查的100名学生中，成绩在中的学生有人，
成绩在中的学生有人，
记［80,90）中的3人为，
记［90,100］中的2人为
所有基本事件有：
共10种，
来自同一组的有：，共4种情况，
故恰好来自同一组的概率.
17.【答案】（1）
（2）
18【小问1】
（ⅰ）连接交于点，连接，
因为底面为正方形，所以点为的中点，
当时，为中点，所以
因为平面平面
平面
（ⅱ）由（ⅰ）知平面，
所以点到平面的距离即为点到平面的距离.
底面，
底面，，
因为底面为正方形，所以，
又因为平面平面，，所以平面，
所以即为点到平面的距离，
所以点到平面的距离为，
【小问2】
当时，点为上靠近于C的三等分点，
因为平面，平面，
所以，
连接，，
又，点在公共边上.
，又
为二面角的平面角
在中，，
在中，在由余弦定理得：
.
.
所以二面角的余弦值为.
19.【小问1】
记“接收到的两个数字中有且只有一个正确”为事件A，由已知，
事件包含两种情况：
第一种数字0接收正确数字1错误，概率为：，
第二种数字0接收错误数字1正确，概率为：，
所以；
【小问2】
（i）由发送的数据为“011“可知，事件表示接收到的数据中含两个0，
包含两种情况：①数字0接收正确，数字1有一个正确一个错误，
②数学0错误，数字1都错误，
所以，
事件表示接收到的数据中含三个0，
只有1种情况：数字0接收正确数字1都错误，
所以，
由得：
，
化简得，
又，上式可化为：
或（舍去）；
（ⅱ）当发送的数据为“0101”，事件包含以下三种情况：
①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，其概率为，
②有且只有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确，
其概率为，
③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，其概率为
，
，
令，则，
又且，，
，
，
记，
由二次函数的性质可知，在单调递减，
得最大值为，
即的最大值为.

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