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浙江省2025年6月初中学业水平考试浙真组合·钱塘甬真卷·之江卷数学试卷
1．（2025·浙江模拟）在有理数2，-1，-5，0中，最大的数是（　　）
A．2 B．-1 C．-5 D．0
2．（2025·浙江模拟）如图放置的圆柱体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·浙江模拟）将等式a=b-1进行变形，其中变形正确的是（　　）
A．a-1=b B．-a=1-b C．a-3=b-2 D．2a=2b-1
4．（2025·浙江模拟）化简的结果为（　　）
A． B． C．1 D．-1
5．（2025·浙江模拟）将数组：5，8，4，3，10中的每一个数加1，得到一个新数组.将原数组和新数组的平均数分别记为，，方差分别记为，，下列结论中，正确的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2025·浙江模拟）如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示数a，b，c，d.若AB=1，CD=2，a+d=7，则b+c的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2025·浙江模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°.以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB交于点D，连结CD，则∠ACD的度数为（　　）
A．12° B．15° C．18° D．20°
8．（2025·浙江模拟）对一个四边形的特征描述如下：①有一组邻边相等；②对角线互相平分；③对角线互相垂直.选择其中两个特征作为题设，余下的特征作为结论组成三个命题，其中真命题的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（2025·浙江模拟）地震规模大小通常用里氏震级表示，一次地震的里氏震级M与距离震中100km处测得的最大振幅A（单位：μm）之间的关系为10M=kA（k为常数）.若里氏震级M提高2级，则距离震中100km处测得的最大振幅A将增大到原来的（　　）
A．100倍 B．20倍 C．10倍 D．2倍
10．（2025·浙江模拟）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8.在高线AD所在直线上任取一点P（不与点A，D重合），连结PB，PC，则PB2-PC2的值为（　　）
A．6 B．18 C．36 D．72
11．（2025·浙江模拟）因式分解：4x2-9=　 　.
12．（2025·浙江模拟）不等式2x-3<2的解集为　 　.
13．（2025·浙江模拟）小钱、小塘玩“石头、剪刀、布”游戏，若两人同时随机各出一个手势，则两人分出胜负的概率为　 　.
14．（2025·浙江模拟）已知关于的一元二次方程（x+1）（x-5）=k有一个实数根x1=-2，则它的另一个实数根x2=　 　.
15．（2025·浙江模拟）如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于点D.若△ABC的周长为20，CD=6，则AC的长为　 　.
16．（2025·浙江模拟）如图，点A在以BC为直径的⊙O上，点D在CB的延长线上.若∠DAB=30°，DB：BC=4：3，则tan∠ACB=　 　.
17．（2025·浙江模拟）
18．（2025·浙江模拟）解方程组： ．
19．（2025·浙江模拟）小甬按如图方式测量旗杆高度AB，将A处的绳子笔直拉至地面C处，使B，C间距离等于小甬直立时的眼睛离地高度，在C处放置一块直角三角板PMN，使直角顶点P落在C处，边PN与绳子重合，随后小甬后退至D处直立，使眼睛E与点M，P在同一直线上.小甬认为CD的长等于旗杆高度AB，你认同他的观点吗？请说明理由．
20．（2025·浙江模拟）规定乒乓球直径的标准尺寸为40mm，最大可以是40.2mm，最小可以是39.8mm，在此范围内的都是优等品.某车间生产了2000个乒乓球，质检员从中随机抽取100个乒乓球检测直径，数据整理如下表.
直径/mm 39.7 39.8 39.9 40.0 40.1 40.2 40.3 …
频数/个 8 22 11 11 27 8 13 …
（1）被抽查的100个乒乓球的直径数据中，中位数、众数分别是多少？
（2）该车间生产的2000个乒乓球中，优等品大约有多少个？
21．（2025·浙江模拟） “黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次性购买2kg以上的种子，超过2kg的部分打8折.设“黄金1号”玉米种子的一次性购买量为x（单位：kg），相应的付款金额为y（单位：元）.
（1）①完成下表：
购买量x/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …
付款金额y/元 2.5 5 7.5 ▲ ▲ 14 …
②求y关于x（x≥2）的函数解析式；
（2）“黄金2号”玉米种子的价格为a元/kg，且始终不打折.若两种玉米种子的一次性购买量相同，则“黄金1号”玉米种子的付款金额始终要高于“黄金2号”，请直接写出ａ的最大值.
22．（2025·浙江模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，AD平分∠BAC，交BC于点D，交⊙O于点E，DF⊥AC于点F，AF=AB.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CF=AF=6，求弧BE的长度.
23．（2025·浙江模拟）二次函数的图像经过点（0，-3）.
（1）求a的值.
（2）当时，该函数的最大值减去最小值的差为，当时，该函数的最大值减去最小值的差为.
①若，求m的取值范围；
②是否存在？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
24．（2025·浙江模拟）如图1，点O，F分别为凸透镜MN的光心与焦点，直线OF为凸透镜的主光轴，.根据科学原理，若从光源A射出的光线AC与OF平行，其折射光线必过点F；若从光源A射出的光线过点O，则光线不发生偏折，继续沿原方向传播.作于点B，设，（其中）.
（1）如图1，若，判断光线AO，CF的位置关系，并说明理由.
（2）如图2，若，光线AO，CF交于点A'，于点B'，设.
①当n=2时，求p的值；
②求p关于的函数关系式，并在图3坐标系中画出该函数图象；
③比较A'B'与AB的大小.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵2＞0＞-1＞-5，
∴最大的数是2.
故答案为：A.
【分析】利用正数大于0，正数大于负数，可得答案.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：圆柱的主视图是长方形
故答案为：A.
【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形.
3．【答案】B
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：A、∵a=b-1，
∴a-1=b-2，故A不符合题意；
B、∵ a=b-1 ，
∴-a=-b+1，故B符合题意；
C、∵a=b-1，
∴a-3=b-1-3=b-4，故C不符合题意；
D、∵ a=b-1
∴2a=2b-2，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用等式的性质1可对A、B、C作出判断，利用等式的性质2，可对D作出判断.
4．【答案】D
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式=
故答案为：D.
【分析】利用同分母分式的减法法则进行计算可求出结果.
5．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵，
∴ ，
∵
∴=.
故答案为：B.
【分析】利用平均数公式分别求出，， 再利用方差公式分别求出， ，然后比较大小即可.
6．【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：∵ 数轴上的点A，B，C，D分别表示数a，b，c，d.若AB=1，CD=2，
∴b-a=1，d-c=2，
∴b-a-（d-c）=-1，
∴b+c-（a+d）=-1
∴b+c=-1-（-7）=6.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可求出b-a和d-c的值，由此可得到b+c-（a+d）=-1，然后整体代入求值即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=（180°-∠A）=（180°-40°）=70°，
∵以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB交于点D，
∴AD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=（180°-∠B）=（180°-70°）=55°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=70°-55°=15°.
故答案为：B.
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠B，∠ACB的度数；利用作图可证AD=BC，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠BCD的度数；然后根据∠ACD=∠ACB-∠BCD，代入计算求出∠ACD的度数.
8．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：当①②为条件，③结论时，
∵ 四边形的对角线互相平分，
∴此四边形是平行四边形，
∵ 有一组邻边相等 ，
∴此四边形是菱形，
∴此四边形的对角线互相垂直
∴①②为条件，③结论是真命题；
当①③为条件，②结论时，
∵四边形对角线互相垂直和一组邻边相等，不能推出对角线互相平分，
∴①③为条件，②结论是假命题；
当②③为条件，①结论时，
∵∵ 四边形的对角线互相平分，
∴此四边形是平行四边形，
∵对角线互相垂直，
∴此四边形是菱形，
∴一组邻边相等，
∴②③为条件，①结论是真命题；
∴是真命题的个数为2个.
故答案为：C.
【分析】分情况讨论：当①②为条件，③结论时；当①③为条件，②结论时；当②③为条件，①结论时，利用菱形的判定和性质，可得到真命题的个数.
9．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解： ∵一次地震的里氏震级M与距离震中100km处测得的最大振幅A（单位：μm）之间的关系为10M=kA（k为常数），
∴10M=kA1，10M+2=kA2，
∴
∴
∴若里氏震级M提高2级，则距离震中100km处测得的最大振幅A将增大到原来的100倍.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件可知10M=kA1，10M+2=kA2，即可求出A2与A1的比值.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形的高
【解析】【解答】解：∵AD是高线，
∴∠BDP=∠CDP=90°，
∴ PB2-PC2=BD2+DP2-（CD2+DP2）=BD2-CD2，
∵AB2-AC2=BD2+DA2-（CD2+DA2）=BD2-CD2，
∴ PB2-PC2=AB2-AC2=102-82=36.
故答案为：C.
【分析】利用三角形的高线，可证得∠BDP=∠CDP=90°，再利用勾股定理去证明PB2-PC2=AB2-AC2，代入计算可求解.
11．【答案】（2x+3）（2x-3）
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： 4x2-9= （2x+3）（2x-3）
故答案为：（2x+3）（2x-3）.
【分析】观察此多项式的特点：有两项，都能写成平方形式，且两项符号相反，因此利用平方差公式分解因式.
12．【答案】x<2.5
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：2x-3<2
2x＜5，
解之：x＜2.5.
故答案为：x<2.5.
【分析】先移项，合并，再将x的系数化为1即可.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设“石头、剪刀、布”分别A、B、C，
一共有9种结果，两人分出胜负的有6种情况，
∴P（两人分出胜负）=.
故答案为：.
【分析】设“石头、剪刀、布”分别A、B、C，根据题意列出树状图，利用树状图可得到所有等可能的结果数及两人分出胜负的情况数，然后利用概率公式进行计算.
14．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：将原方程转化为x2-4x-5-k=0
∴-2+x2=4，
解之：x2=6.
故答案为：6.
【分析】先将原方程转化为一般形式，再利用一元二次方程根与系数可求出x2的值.
15．【答案】8
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，在CD上取点E使AE=AB，
∴∠B=∠AEB，
∵∠AEB=∠C+∠EAC，∠B=2∠C，
∴∠C=∠EAC，
∴AE=EC=AB，
∵AD⊥BC，
∴BD=DE，
∴CD=DE+CE=BD+AB，
∵△ABC的周长为20，
∴2CD+AC=20
∴2×6+AC=20
解之：AC=8.
故答案为：8.
【分析】在CD上取点E使AE=AB，利用等边对等角可证得∠B=∠AEB，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可推出AE=EC=AB，BD=DE，由此可得到CD=BD+AB，再根据△ABC的周长，可求出AC的长.
16．【答案】
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；求正切值；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长AB到E，使AB，
∵DB：BC=4：3，
∴
∵∠DBE=∠CBA，
∴△DBE∽△CBA，
∴，∠E=∠BAC，
设AC=3x，则DE=4x，
∵BC是直径，
∴∠BAC=∠E=90°，
∵，
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】利用已知条件：DB：BC=4：3，因此延长AB到E，使AB，利用SAS可证得△DBE∽△CBA，利用相似三角形的性质可证得，∠E=∠BAC，设AC=3x，则DE=4x，利用圆周角定理可推出∠BAC=∠E=90°，利用解直角三角形可表示出AE、AB的长，然后利用锐角三角函数的概念可求出tan∠ACB的值.
17．【答案】解：原式=1+2+2-
=3+
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，然后合并即可.
18．【答案】解：由第一个方程得 .代入第二个方程得 . 把 代入 得：∴这个方程组的解是
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据二元一次方程组的解法——代入消元法解之即可.
19．【答案】解：解：认同.
理由： ∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC=∠PDE=90°.
∴∠ACB+∠A=90°.
∵∠ACE=90°，·∠ACB+∠EPD=90°.
∴∠A=∠EPD.
又∵BC=DE，
∴△ABC≌△PDE(AAS).
∴CD=AB
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】利用垂直的概念和余角的性质可证得∠A=∠EPD，再利用AAS可证得△ABC≌△PDE，利用全等三角形的对应边 相等，可证得结论.
20．【答案】（1）解：从小到大排列。处于最中间的数是40.0，40.0，
∴这组数据的中位数是40.0；
这组数据中40.1出现了27次，是这组数据中出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是40.1.
答：中位数为40.0，众数为40.1
（2）解：(22+11+11+27+8)÷100=79%，
用样本估计总体得，
约有优等品2000×79%=1580(个)
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据；然后求出已知数据的中位数和众数.
（2）利用该车间生产的乒乓球的总个数×优等品的百分率，列式计算即可.
21．【答案】（1）①10；12
②y=10+0.8×5(x-2)=4x+2(x≥2)
（2）解：根据题意，当一次性购买不超过2kg的种子，要使“黄金1号”玉米种子的付款金额始终要高于“黄金2号”，只
需0当一次性购买2kg以上的种子，要使“黄金1号”玉米种子的付款金额始终要高于“黄金2号”，只需ax<4x+2恒成立，
∴
∵x＞2，
∴ a的最大值为4.
综上所述，a的最大值为4
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）①当x=2时，y=5×2=10kg；
当x=2.5时，y=2×5+（2.5-2）×5×0.8=10+2=12kg；
故答案为：10；12.
【分析】（1）①利用已知条件：“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次性购买2kg以上的种子，超过2kg的部分打8折，将x=2代入y=5x，可求出对应的y的值；再将x=2.5代入y=10+0.8×5(x-2)进行计算，可求出对应的y的值；②根据题意可得到y与x（x≥2）的函数解析式.
（2）分情况讨论：当一次性购买不超过2kg的种子，可知a的取值范围； 当一次性购买不超过2kg的种子 ，可得到ax<4x+2，即可得到a的取值范围，结合x的取值范围，可得到a的最大值，综上所述，可得答案.
22．【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠FAD.
又∵AF=AB，AD=AD，
∴△ABD≌△AFD.
∴∠ABD=∠AFD=90°.
又∵AB为⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线
（2）解：如图，连结OE.
∵CF=AF=6，DF⊥AC，
∴AB=6，∠C=∠FAD=∠BAD.
∵∠ABD=90°， ∴∠BAD=30°.
∴∠BOE=60°.
∴弧 BE的长为 2π×3×=π
【知识点】圆周角定理；切线的判定；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用角平分线的概念可证得∠BAD=∠FAD，利用SAS可证得△ABD≌△AFD，利用全等三角形的性质可求出∠ABD的度数，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）连结OE，利用角平分线的性质及等腰三角形的性质可求出AB的长，同时可证得∠C=∠FAD=∠BAD，即可求出∠BAD的度数，利用圆周角定理可求出∠BOE的度数，然后利用弧长公式可求出弧BE的长.
23．【答案】（1）解：将 ， 代入 ，
得 ，
解得
（2）解：① 当 时，；
当 时，，
∴当m=1时，恰好有d1=9.
当 时，y 随 x 的增大而增大，且 ，
此时， 的值保持不变，始终等于 9，
∴ m 的取值范围是 .
注：可借助函数图象分析.
② 设 时的函数值为 ， 时的函数值为 ，
当 时，必有 ，此时 ；
当 时，必有 ，此时 ；
当 时，必有 ，此时 ；
当 时，必有 ，此时 ；
当 时，必有 ，且 ，此时 .
综上所述，不存在
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点（0，-3）当然函数解析式可求出a的值.
（2）①分别将x=-2和x=1当然函数解析式，可求出对应的y的值，可得到当m=1时，恰好有d1=9；利用二次函数的性质可得到y的值，同时可得到此时， 的值保持不变及的值，即可动点m的取值范围；② 设 时的函数值为 ， 时的函数值为 ，再分情况讨论：当 时；当 时；当 时；当 时；当 时；分别可得到d1、d2的大小，据此可作出判断.
24．【答案】（1）解：∵，，，
∴四边形ABOC是矩形
∵，∴.
∴四边形AOFC是平行四边形
∴
（2）解：①∵，∴.
又∵，∴.
∴，即.
②∵，∴.
∴，即.
∴，即.
∴.
图象如下：
③由图象可知，当11，即A'B'>AB；
当n=2时，p=1，即A'B'=AB；
当n>2时，O【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；作图-反比例函数图象
【解析】【分析】（1）利用矩形的判定定理可证得四边形ABOC是矩形，由n=1，可证得OF=OB=AC，可证得四边形AOFC是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得结论.
（2） ①利用n的值，可得到AC=OB=2OF，由此可求出p的值；②易证△A'OF∽△A'AC，利用相似三角形的性质可证得，由此可表示出AB的长，可得到 p关于n的关系式，然后画出该函数的图象即可；（3） 观察图象可知当1<2时，p>1，即A'B'>AB；当n=2时，p=1；当n>2时，O1 / 1浙江省2025年6月初中学业水平考试浙真组合·钱塘甬真卷·之江卷数学试卷
1．（2025·浙江模拟）在有理数2，-1，-5，0中，最大的数是（　　）
A．2 B．-1 C．-5 D．0
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵2＞0＞-1＞-5，
∴最大的数是2.
故答案为：A.
【分析】利用正数大于0，正数大于负数，可得答案.
2．（2025·浙江模拟）如图放置的圆柱体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：圆柱的主视图是长方形
故答案为：A.
【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形.
3．（2025·浙江模拟）将等式a=b-1进行变形，其中变形正确的是（　　）
A．a-1=b B．-a=1-b C．a-3=b-2 D．2a=2b-1
【答案】B
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：A、∵a=b-1，
∴a-1=b-2，故A不符合题意；
B、∵ a=b-1 ，
∴-a=-b+1，故B符合题意；
C、∵a=b-1，
∴a-3=b-1-3=b-4，故C不符合题意；
D、∵ a=b-1
∴2a=2b-2，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用等式的性质1可对A、B、C作出判断，利用等式的性质2，可对D作出判断.
4．（2025·浙江模拟）化简的结果为（　　）
A． B． C．1 D．-1
【答案】D
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式=
故答案为：D.
【分析】利用同分母分式的减法法则进行计算可求出结果.
5．（2025·浙江模拟）将数组：5，8，4，3，10中的每一个数加1，得到一个新数组.将原数组和新数组的平均数分别记为，，方差分别记为，，下列结论中，正确的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵，
∴ ，
∵
∴=.
故答案为：B.
【分析】利用平均数公式分别求出，， 再利用方差公式分别求出， ，然后比较大小即可.
6．（2025·浙江模拟）如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示数a，b，c，d.若AB=1，CD=2，a+d=7，则b+c的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：∵ 数轴上的点A，B，C，D分别表示数a，b，c，d.若AB=1，CD=2，
∴b-a=1，d-c=2，
∴b-a-（d-c）=-1，
∴b+c-（a+d）=-1
∴b+c=-1-（-7）=6.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可求出b-a和d-c的值，由此可得到b+c-（a+d）=-1，然后整体代入求值即可.
7．（2025·浙江模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°.以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB交于点D，连结CD，则∠ACD的度数为（　　）
A．12° B．15° C．18° D．20°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=（180°-∠A）=（180°-40°）=70°，
∵以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB交于点D，
∴AD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=（180°-∠B）=（180°-70°）=55°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=70°-55°=15°.
故答案为：B.
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠B，∠ACB的度数；利用作图可证AD=BC，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠BCD的度数；然后根据∠ACD=∠ACB-∠BCD，代入计算求出∠ACD的度数.
8．（2025·浙江模拟）对一个四边形的特征描述如下：①有一组邻边相等；②对角线互相平分；③对角线互相垂直.选择其中两个特征作为题设，余下的特征作为结论组成三个命题，其中真命题的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：当①②为条件，③结论时，
∵ 四边形的对角线互相平分，
∴此四边形是平行四边形，
∵ 有一组邻边相等 ，
∴此四边形是菱形，
∴此四边形的对角线互相垂直
∴①②为条件，③结论是真命题；
当①③为条件，②结论时，
∵四边形对角线互相垂直和一组邻边相等，不能推出对角线互相平分，
∴①③为条件，②结论是假命题；
当②③为条件，①结论时，
∵∵ 四边形的对角线互相平分，
∴此四边形是平行四边形，
∵对角线互相垂直，
∴此四边形是菱形，
∴一组邻边相等，
∴②③为条件，①结论是真命题；
∴是真命题的个数为2个.
故答案为：C.
【分析】分情况讨论：当①②为条件，③结论时；当①③为条件，②结论时；当②③为条件，①结论时，利用菱形的判定和性质，可得到真命题的个数.
9．（2025·浙江模拟）地震规模大小通常用里氏震级表示，一次地震的里氏震级M与距离震中100km处测得的最大振幅A（单位：μm）之间的关系为10M=kA（k为常数）.若里氏震级M提高2级，则距离震中100km处测得的最大振幅A将增大到原来的（　　）
A．100倍 B．20倍 C．10倍 D．2倍
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解： ∵一次地震的里氏震级M与距离震中100km处测得的最大振幅A（单位：μm）之间的关系为10M=kA（k为常数），
∴10M=kA1，10M+2=kA2，
∴
∴
∴若里氏震级M提高2级，则距离震中100km处测得的最大振幅A将增大到原来的100倍.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件可知10M=kA1，10M+2=kA2，即可求出A2与A1的比值.
10．（2025·浙江模拟）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8.在高线AD所在直线上任取一点P（不与点A，D重合），连结PB，PC，则PB2-PC2的值为（　　）
A．6 B．18 C．36 D．72
【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形的高
【解析】【解答】解：∵AD是高线，
∴∠BDP=∠CDP=90°，
∴ PB2-PC2=BD2+DP2-（CD2+DP2）=BD2-CD2，
∵AB2-AC2=BD2+DA2-（CD2+DA2）=BD2-CD2，
∴ PB2-PC2=AB2-AC2=102-82=36.
故答案为：C.
【分析】利用三角形的高线，可证得∠BDP=∠CDP=90°，再利用勾股定理去证明PB2-PC2=AB2-AC2，代入计算可求解.
11．（2025·浙江模拟）因式分解：4x2-9=　 　.
【答案】（2x+3）（2x-3）
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： 4x2-9= （2x+3）（2x-3）
故答案为：（2x+3）（2x-3）.
【分析】观察此多项式的特点：有两项，都能写成平方形式，且两项符号相反，因此利用平方差公式分解因式.
12．（2025·浙江模拟）不等式2x-3<2的解集为　 　.
【答案】x<2.5
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：2x-3<2
2x＜5，
解之：x＜2.5.
故答案为：x<2.5.
【分析】先移项，合并，再将x的系数化为1即可.
13．（2025·浙江模拟）小钱、小塘玩“石头、剪刀、布”游戏，若两人同时随机各出一个手势，则两人分出胜负的概率为　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设“石头、剪刀、布”分别A、B、C，
一共有9种结果，两人分出胜负的有6种情况，
∴P（两人分出胜负）=.
故答案为：.
【分析】设“石头、剪刀、布”分别A、B、C，根据题意列出树状图，利用树状图可得到所有等可能的结果数及两人分出胜负的情况数，然后利用概率公式进行计算.
14．（2025·浙江模拟）已知关于的一元二次方程（x+1）（x-5）=k有一个实数根x1=-2，则它的另一个实数根x2=　 　.
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：将原方程转化为x2-4x-5-k=0
∴-2+x2=4，
解之：x2=6.
故答案为：6.
【分析】先将原方程转化为一般形式，再利用一元二次方程根与系数可求出x2的值.
15．（2025·浙江模拟）如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于点D.若△ABC的周长为20，CD=6，则AC的长为　 　.
【答案】8
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，在CD上取点E使AE=AB，
∴∠B=∠AEB，
∵∠AEB=∠C+∠EAC，∠B=2∠C，
∴∠C=∠EAC，
∴AE=EC=AB，
∵AD⊥BC，
∴BD=DE，
∴CD=DE+CE=BD+AB，
∵△ABC的周长为20，
∴2CD+AC=20
∴2×6+AC=20
解之：AC=8.
故答案为：8.
【分析】在CD上取点E使AE=AB，利用等边对等角可证得∠B=∠AEB，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可推出AE=EC=AB，BD=DE，由此可得到CD=BD+AB，再根据△ABC的周长，可求出AC的长.
16．（2025·浙江模拟）如图，点A在以BC为直径的⊙O上，点D在CB的延长线上.若∠DAB=30°，DB：BC=4：3，则tan∠ACB=　 　.
【答案】
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；求正切值；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长AB到E，使AB，
∵DB：BC=4：3，
∴
∵∠DBE=∠CBA，
∴△DBE∽△CBA，
∴，∠E=∠BAC，
设AC=3x，则DE=4x，
∵BC是直径，
∴∠BAC=∠E=90°，
∵，
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】利用已知条件：DB：BC=4：3，因此延长AB到E，使AB，利用SAS可证得△DBE∽△CBA，利用相似三角形的性质可证得，∠E=∠BAC，设AC=3x，则DE=4x，利用圆周角定理可推出∠BAC=∠E=90°，利用解直角三角形可表示出AE、AB的长，然后利用锐角三角函数的概念可求出tan∠ACB的值.
17．（2025·浙江模拟）
【答案】解：原式=1+2+2-
=3+
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，然后合并即可.
18．（2025·浙江模拟）解方程组： ．
【答案】解：由第一个方程得 .代入第二个方程得 . 把 代入 得：∴这个方程组的解是
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据二元一次方程组的解法——代入消元法解之即可.
19．（2025·浙江模拟）小甬按如图方式测量旗杆高度AB，将A处的绳子笔直拉至地面C处，使B，C间距离等于小甬直立时的眼睛离地高度，在C处放置一块直角三角板PMN，使直角顶点P落在C处，边PN与绳子重合，随后小甬后退至D处直立，使眼睛E与点M，P在同一直线上.小甬认为CD的长等于旗杆高度AB，你认同他的观点吗？请说明理由．
【答案】解：解：认同.
理由： ∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC=∠PDE=90°.
∴∠ACB+∠A=90°.
∵∠ACE=90°，·∠ACB+∠EPD=90°.
∴∠A=∠EPD.
又∵BC=DE，
∴△ABC≌△PDE(AAS).
∴CD=AB
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】利用垂直的概念和余角的性质可证得∠A=∠EPD，再利用AAS可证得△ABC≌△PDE，利用全等三角形的对应边 相等，可证得结论.
20．（2025·浙江模拟）规定乒乓球直径的标准尺寸为40mm，最大可以是40.2mm，最小可以是39.8mm，在此范围内的都是优等品.某车间生产了2000个乒乓球，质检员从中随机抽取100个乒乓球检测直径，数据整理如下表.
直径/mm 39.7 39.8 39.9 40.0 40.1 40.2 40.3 …
频数/个 8 22 11 11 27 8 13 …
（1）被抽查的100个乒乓球的直径数据中，中位数、众数分别是多少？
（2）该车间生产的2000个乒乓球中，优等品大约有多少个？
【答案】（1）解：从小到大排列。处于最中间的数是40.0，40.0，
∴这组数据的中位数是40.0；
这组数据中40.1出现了27次，是这组数据中出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是40.1.
答：中位数为40.0，众数为40.1
（2）解：(22+11+11+27+8)÷100=79%，
用样本估计总体得，
约有优等品2000×79%=1580(个)
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据；然后求出已知数据的中位数和众数.
（2）利用该车间生产的乒乓球的总个数×优等品的百分率，列式计算即可.
21．（2025·浙江模拟） “黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次性购买2kg以上的种子，超过2kg的部分打8折.设“黄金1号”玉米种子的一次性购买量为x（单位：kg），相应的付款金额为y（单位：元）.
（1）①完成下表：
购买量x/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …
付款金额y/元 2.5 5 7.5 ▲ ▲ 14 …
②求y关于x（x≥2）的函数解析式；
（2）“黄金2号”玉米种子的价格为a元/kg，且始终不打折.若两种玉米种子的一次性购买量相同，则“黄金1号”玉米种子的付款金额始终要高于“黄金2号”，请直接写出ａ的最大值.
【答案】（1）①10；12
②y=10+0.8×5(x-2)=4x+2(x≥2)
（2）解：根据题意，当一次性购买不超过2kg的种子，要使“黄金1号”玉米种子的付款金额始终要高于“黄金2号”，只
需0当一次性购买2kg以上的种子，要使“黄金1号”玉米种子的付款金额始终要高于“黄金2号”，只需ax<4x+2恒成立，
∴
∵x＞2，
∴ a的最大值为4.
综上所述，a的最大值为4
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）①当x=2时，y=5×2=10kg；
当x=2.5时，y=2×5+（2.5-2）×5×0.8=10+2=12kg；
故答案为：10；12.
【分析】（1）①利用已知条件：“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次性购买2kg以上的种子，超过2kg的部分打8折，将x=2代入y=5x，可求出对应的y的值；再将x=2.5代入y=10+0.8×5(x-2)进行计算，可求出对应的y的值；②根据题意可得到y与x（x≥2）的函数解析式.
（2）分情况讨论：当一次性购买不超过2kg的种子，可知a的取值范围； 当一次性购买不超过2kg的种子 ，可得到ax<4x+2，即可得到a的取值范围，结合x的取值范围，可得到a的最大值，综上所述，可得答案.
22．（2025·浙江模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，AD平分∠BAC，交BC于点D，交⊙O于点E，DF⊥AC于点F，AF=AB.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CF=AF=6，求弧BE的长度.
【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠FAD.
又∵AF=AB，AD=AD，
∴△ABD≌△AFD.
∴∠ABD=∠AFD=90°.
又∵AB为⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线
（2）解：如图，连结OE.
∵CF=AF=6，DF⊥AC，
∴AB=6，∠C=∠FAD=∠BAD.
∵∠ABD=90°， ∴∠BAD=30°.
∴∠BOE=60°.
∴弧 BE的长为 2π×3×=π
【知识点】圆周角定理；切线的判定；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用角平分线的概念可证得∠BAD=∠FAD，利用SAS可证得△ABD≌△AFD，利用全等三角形的性质可求出∠ABD的度数，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）连结OE，利用角平分线的性质及等腰三角形的性质可求出AB的长，同时可证得∠C=∠FAD=∠BAD，即可求出∠BAD的度数，利用圆周角定理可求出∠BOE的度数，然后利用弧长公式可求出弧BE的长.
23．（2025·浙江模拟）二次函数的图像经过点（0，-3）.
（1）求a的值.
（2）当时，该函数的最大值减去最小值的差为，当时，该函数的最大值减去最小值的差为.
①若，求m的取值范围；
②是否存在？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：将 ， 代入 ，
得 ，
解得
（2）解：① 当 时，；
当 时，，
∴当m=1时，恰好有d1=9.
当 时，y 随 x 的增大而增大，且 ，
此时， 的值保持不变，始终等于 9，
∴ m 的取值范围是 .
注：可借助函数图象分析.
② 设 时的函数值为 ， 时的函数值为 ，
当 时，必有 ，此时 ；
当 时，必有 ，此时 ；
当 时，必有 ，此时 ；
当 时，必有 ，此时 ；
当 时，必有 ，且 ，此时 .
综上所述，不存在
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点（0，-3）当然函数解析式可求出a的值.
（2）①分别将x=-2和x=1当然函数解析式，可求出对应的y的值，可得到当m=1时，恰好有d1=9；利用二次函数的性质可得到y的值，同时可得到此时， 的值保持不变及的值，即可动点m的取值范围；② 设 时的函数值为 ， 时的函数值为 ，再分情况讨论：当 时；当 时；当 时；当 时；当 时；分别可得到d1、d2的大小，据此可作出判断.
24．（2025·浙江模拟）如图1，点O，F分别为凸透镜MN的光心与焦点，直线OF为凸透镜的主光轴，.根据科学原理，若从光源A射出的光线AC与OF平行，其折射光线必过点F；若从光源A射出的光线过点O，则光线不发生偏折，继续沿原方向传播.作于点B，设，（其中）.
（1）如图1，若，判断光线AO，CF的位置关系，并说明理由.
（2）如图2，若，光线AO，CF交于点A'，于点B'，设.
①当n=2时，求p的值；
②求p关于的函数关系式，并在图3坐标系中画出该函数图象；
③比较A'B'与AB的大小.
【答案】（1）解：∵，，，
∴四边形ABOC是矩形
∵，∴.
∴四边形AOFC是平行四边形
∴
（2）解：①∵，∴.
又∵，∴.
∴，即.
②∵，∴.
∴，即.
∴，即.
∴.
图象如下：
③由图象可知，当11，即A'B'>AB；
当n=2时，p=1，即A'B'=AB；
当n>2时，O【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；作图-反比例函数图象
【解析】【分析】（1）利用矩形的判定定理可证得四边形ABOC是矩形，由n=1，可证得OF=OB=AC，可证得四边形AOFC是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得结论.
（2） ①利用n的值，可得到AC=OB=2OF，由此可求出p的值；②易证△A'OF∽△A'AC，利用相似三角形的性质可证得，由此可表示出AB的长，可得到 p关于n的关系式，然后画出该函数的图象即可；（3） 观察图象可知当1<2时，p>1，即A'B'>AB；当n=2时，p=1；当n>2时，O1 / 1

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