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广东省中山市华侨中学2025年中考数学第三次模测试
1．（2025·中山模拟）某工厂加工一种精密零件，图纸上对其直径的要求标注为“”，则下列零件不合格的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·中山模拟）北斗卫星导航系统是我国自主研发的一款导航系统，北斗卫星导航系统服务性能优异，提供定位导航时授时精度最高可达0.000000005秒．数据0.000000005用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．（2025·中山模拟）在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·中山模拟）下列各式运算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·中山模拟）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·中山模拟）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（　　）
A． B． C．20 D．
7．（2025·中山模拟）《九章算术》中有一道“甲乙持钱”问题，大意如下：甲、乙两人各有钱，但数目未知．若甲得到乙钱的一半，则甲有50钱；若乙得到甲钱的三分之二，则乙也有50钱，问甲、乙原有多少钱？设甲原有钱，乙原有钱，则（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·中山模拟）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·中山模拟）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·中山模拟）在一次1000米长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程y（米）随所用时间x（秒）变化的图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（　　）
A．乙比甲先到达终点
B．两人相遇前，甲的速度小于乙的速度
C．甲的速度随着时间的增加而变快
D．出发后120秒，两人行程均为500米
11．（2025·中山模拟）若，为实数，且，则的值为　 　.
12．（2025·中山模拟）不等式组的解集是　 　．
13．（2025·中山模拟）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　 　．
14．（2025·中山模拟）如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则　 　．
15．（2025·中山模拟）一无盖纸杯如图1所示，经测量：杯口直径，杯底直径，杯壁．纸杯的侧面展开示意图为环形的一部分（如图2所示，忽略拼接部分），则它所对的圆心角的度数　 　．
16．（2025·中山模拟）计算：
17．（2025·中山模拟）先化简，再求值：的值，其中．
18．（2025·中山模拟）如图，在中，．
（1）用直尺和圆规在的内部作射线，使（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）若（1）中的射线交于D，，，求长．
19．（2025·中山模拟）为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）：
甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5．
（1）根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表：
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 a 6 2.6
乙组 7 7 b c
（1）在以上成绩统计表中，____，____，_____．
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因．
（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
20．（2025·中山模拟）综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下：
【进位制的认识】
①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．
②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数．
③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；．
【解决问题】
（1）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天
（2）类比十进制加减法计算（结果保留二进制）
例如；
写出________________
（3）小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）．
21．（2025·中山模拟）如图，内接于，为的直径，点D为上一点，，延长至E，使得．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
22．（2025·中山模拟）如图1，点P是对角线上的一点（），且使得，连接并延长，交于点E．
（1）若，求的值．
（2）如图2，将沿方向平移到，求证：．
（3）如图3，连接，取的中点M，连接交于点F，若，求的值．
23．（2025·中山模拟）学习了二次函数后，我们发现抛物线的形状由二次函数的二次项系数决定．已知抛物线．
（1）如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值；
（2）如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点B；过点B的直线与（1）中的图象“W” 交于P，C两点，与图象“G”交于点D．
①当时，求证：；
②当时，请用合适的式子表示（直接写结果）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：，
、，所以该零件合格，故本选项不合题意；
、，所以该零件合格，故本选项不合题意；
、，所以该零件不合格，故本选项符合题意；
、，所以该零件合格，故本选项不合题意；
故答案为：．
【分析】抓住关键已知条件：“图纸上对其直径的要求标注为“””，利用正负数的意义，求得合格零件的直径的范围，再进一步分析．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据0.000000005用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，故该选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
D.不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故选项A错误；
B、，故选项B正确；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D错误.
故答案为：B.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
5．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵两个平面镜平行放置，
∴经过两次反射后的光线与入射光线平行，
∴；
故答案为：C．
【分析】利用平角的定义可求出∠4的度数，再根据经过两次反射后的光线与入射光线平行，可内错角相等，即可动点∠3的度数.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：连接，
由已知得：，，，
∴，
在中，，
∴（），
故答案为：D
【分析】连接，利用方位角的概念可求出∠ABC、∠A的度数及BC的长，再利用勾股定理求出AC的长.
7．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲原有钱，乙原有钱，根据题意，得
．
故答案为：A.
【分析】设甲原有钱，乙原有钱，根据“甲钱加乙钱的一半等于50钱”，“乙钱加甲钱的三分之二等于50钱”，据此列出方程组．
8．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
解： 甲、乙两位同学各自任选其中一项参加的树状图如下：
甲、乙两位同学各自任选其中一项参加的所有情况共9种，其中选择同一项活动的情况有3种， 则他们选择同一项活动的概率是
故答案为：C
【分析】本题考查概率的计算，列出所有的结果，找出符合要求的结果，结合概率公式计算即可，注意化简。
9．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴
∴
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故答案为：B
【分析】连接，利用直径所对圆周角是直角，可证得，利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠CAB的度数，即可动点∠ABC的度数，然后利用圆内接四边形的性质可求出∠ADC的度数.
10．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据图象可得甲比乙先到达终点，故A错误；
根据图象可得甲的速度一直是米/秒，故C错误；
两人相遇前，乙的速度先是米/秒，后变为米/秒，故两人相遇前，甲的速度不一定小于乙的速度，故B错误；
出发后120秒，甲的行程为米，乙的行程为米，故D正确．
故答案为：D．
【分析】观察函数图象，可对A作出判断；甲走1000米用了240秒，可求出甲的速度，可对C作出判断；再分别求出两人相遇前、后乙速度，可对B作出判断；然后求出出发后120秒后甲的行程和乙的行程，可对D作出判断.
11．【答案】1
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴m+4=0，n-5=0，
∴m=-4，n=5，
∴(m+n)2=(-4+5)2=1.
故答案为：1.
【分析】由偶数次幂及算术平方根的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出m、n得值，进而再代入待求式子计算可得答案.
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①可得：，
由②可得：，
∴原不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
13．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为N，根据题意，得
（N－2） 180＝3×360，
解得N＝8．
则这个多边形的边数是8．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．N边形的内角和是（N－2） 180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
14．【答案】1
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵点，分别是，的中点
∴为的中位线
∴
又∵
∴
又∵
∴在
点是的中点
∴
又∵
∴
又∵
∴
故答案为：．
【分析】利用已知条件可得到为的中位线，利用三角形中位线的性质可求出DE的长；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出DF的长，根据EF=DE-DF，代入计算求出EF的长.
15．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得
故答案为： ．
【分析】根据题意可得弧和弧的长分别是直径为的圆的周长，据此根据弧长公式可得的长，再根据即可建立方程求解．
16．【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，当然特殊角的三角函数值，再算乘法运算，然后合并即可.
17．【答案】解：
，
原式
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先将括号里的分式减法通分计算，同时将分式除法转化为乘法运算，约分化简，然后整体代入求值.
18．【答案】（1）解：如图，射线即为所作；
（2）解：∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据尺规作图的方法，以为一边，在的内部作即可；
（2）利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的对应边成比例可求出AD的长，然后求出CD的长.
（1）解：如图，射线即为所作；
（2）解：∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴．
19．【答案】（1），，
（2）解：小明可能是甲组的学生，理由如下：∵甲组的中位数是6分，而小明得了7分，
∴在小组中属中游略偏上
（3）解：选乙组参加决赛，理由如下：
，
甲、乙两组学生平均数相同，而，
乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛
【知识点】中位数；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】（1）解：∵甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
∴中间两个数的平均数是，则中位数；
∵乙组学生成绩中，数据出现了四次，次数最多，
∴众数；
；
故答案为：6；7；2.
【分析】（1）根据方差、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
（2）根据中位数的意义即可得出答案；
（3）根据平均数与方差的意义即可得出答案．
（1）解：∵甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
∴中间两个数的平均数是，则中位数；
∵乙组学生成绩中，数据出现了四次，次数最多，
∴众数；
；
（2）解：小明可能是甲组的学生，理由如下：
∵甲组的中位数是6分，而小明得了7分，
∴在小组中属中游略偏上，
（3）解：选乙组参加决赛，理由如下：
，
甲、乙两组学生平均数相同，而，
乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
20．【答案】（1）510
（2）
（3）解：由题意，得：，
解得：或（舍去）；
故
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；一元二次方程的应用-数字问题；进位制的认识与探究
【解析】【解答】（1）解：（天）；
故答案为：510；
（2）解：；
故答案为：观察利用图1，根据图2，列出算式进行计算即可；
（2）类比十进制的加减运算，进行计算即可；
（3）根据进制之间的换算关系，可得到关于n的方程，解方程求出符合题意的n的值.
（1）解：（天）；
故答案为：510；
（2）；
故答案为：
（3）由题意，得：，
解得：或（舍去）；
故．
21．【答案】（1）证明：连接，则：，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
由（1）知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，即：，
解得：（舍去）或，
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接OD，由等边对等角得∠ODB=∠OBD，由直径所对的圆周角是直角得ADB=∠ACB=90°，然后利用HL判断出Rt△ADB≌Rt△ACB，由全等三角形的对应角相等得∠ABC=∠ABD=∠ODB，结合已知推出∠ADE=∠ODB，进而根据角的和差及等量代换得出∠ODE=90°，从而根据垂直半径外端点的直线是圆的切线得出结论；
（2）等角的同名三角函数相等及正切函数定义，得到，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△EDA∽△EBD，由相似三角形对应边成比例可得DE=2AE，DE2=AE×BE，从而整体代入得到关于AE的方程，求解得出AE的长，即可得到DE的长.
（1）解：连接，则：，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
由（1）知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，即：，
解得：（舍去）或，
∴
22．【答案】（1）解：∵，∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
，
又，
，
（2）证明：，，
∵将沿方向平移到，
，，
，
，，
，
，
（3）解：如图，取的中点G，连接．
设 ，则．
∵，
，
，．
∵M点是的中点，G点是的中点，
∴是的中位线，
，
∴．
延长至Q点，使，连接，，
又，
∴四边形是平行四边形，
，．
又∵四边形是平行四边形，
，，
，，
，
又，
，，
，，
又，
，
．
，，
，
【知识点】平行四边形的性质；平移的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用已知条件可求出的值，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的对应边成比例，可求出ED与CD的比值，然后求出DE与DE的比值即可.
（2）利用等角对等边可证得，根据平移的性质可得，，可推出，，再利用证明，利用全等三角形的性质可证得结论.
（3）取的中点G，连接，则可得是的中位线，则．根据平行线分线段成比例定理可得的值．延长至Q点，使，连接，，则可得四边形是平行四边形，则，．再结合可得，，利用SAS可知，利用全等三角形的性质可证得AD=QD，然后求出DF与AD的比值.
（1）解：∵，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
，
又，
，
．
（2）证明：，
，
∵将沿方向平移到，
，，
，
，，
，
，
．
（3）解：如图，取的中点G，连接．
设 ，则．
∵，
，
，．
∵M点是的中点，G点是的中点，
∴是的中位线，
，
∴．
延长至Q点，使，连接，，
又，
∴四边形是平行四边形，
，．
又∵四边形是平行四边形，
，，
，，
，
又，
，，
，，
又，
，
．
，，
，
．
23．【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线：，即为．
根据翻折可知点A的纵坐标为，即点A的坐标为．
将点A的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
即抛物线的对称轴为直线，；
（2）解：由（1）知，当时，A（2，-8）、A`（2，0）
∴图象“W”的解析式为；
①证明：当 时，图象“G”的解析式为．
设直线的解析式为．
当时，
解得或，
∴点C的横坐标为．
当时，
解得或，
∴点P的横坐标为．
当 时，
解得或，
∴点D的横坐标为．
如图1，分别过点P、C作轴、过点C、D作轴，使CM交PM于点M、DN交CN于点N．
，，
∴．
∵轴，轴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
②当且时，图象“G”的解析式为且．
由①可知点P的横坐标为，点C的横坐标为．
当且时，解得：．
∴点D的横坐标为．
分别过点C、D作轴，过点P作轴分别交CQ于点Q，交DT于点T．
由各点的横坐标可知，．
∵，
∴．
∴．
则
【知识点】翻折变换（折叠问题）；二次函数与分段函数的综合应用；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）对于二次函数，其对称轴为直线，顶点坐标为，由于本题中，所以对称轴为，由折叠的性质知AA`=8，即顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可；
（2）①如图1所示，设直线BD的解析式为，则分别联立直线BD与抛物线“W ”和"G"的解析式得议程组可分别求出点P、C、D的横坐标，再分别过点P、C作轴、过点C、D作轴，使CM交PM于点M、DN交CN于点N，则利用三点的横坐标可证明PM=CN，再由平行线的性质可证明即可；
②先联立直线BD与抛物线“G”的解析式可点D的横坐标，则PQ、PT均可表示，再分别过点C、D作轴，过点P作轴分别交CQ于点Q，交DT于点T，当且时，显然可证明，则由相似比可得即可．
（1）解：抛物线的对称轴为直线：，即为．
根据翻折可知点A的纵坐标为，即点A的坐标为．
将点A的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
即抛物线的对称轴为直线，；
（2）解：∵，
∴图象“W”的解析式为；
①证明：当 时，图象“C”的解析式为．
设直线的解析式为．
当时，
解得或，
∴点C的横坐标为．
当时，
解得（舍去）或，
∴点P的横坐标为．
当 时，
解得或，
∴点D的横坐标为．
如图1，作轴，过点C作轴交于点M，
作轴，过点D作交于点N．
由各点横坐标可得：，，
∴．
∵轴，轴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
②当且时，图象“G”的解析式为且．
由①可知点P的横坐标为，点C的横坐标为．
当且时，解得：．
∴．点D的横坐标为．
当时，如图2，作轴，过点C作轴，交于点Q，过点D作轴交于点T．
由各点的横坐标可知，．
∵，
∴．
∴．
则．
当时，如图3，作轴，过点C作轴，交于点Q，过点D作轴交于点T．
由各点的横坐标可知，，
∵，
∴，
∴．
则．
综上所述，用含a的式子表示 为
1 / 1广东省中山市华侨中学2025年中考数学第三次模测试
1．（2025·中山模拟）某工厂加工一种精密零件，图纸上对其直径的要求标注为“”，则下列零件不合格的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：，
、，所以该零件合格，故本选项不合题意；
、，所以该零件合格，故本选项不合题意；
、，所以该零件不合格，故本选项符合题意；
、，所以该零件合格，故本选项不合题意；
故答案为：．
【分析】抓住关键已知条件：“图纸上对其直径的要求标注为“””，利用正负数的意义，求得合格零件的直径的范围，再进一步分析．
2．（2025·中山模拟）北斗卫星导航系统是我国自主研发的一款导航系统，北斗卫星导航系统服务性能优异，提供定位导航时授时精度最高可达0.000000005秒．数据0.000000005用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据0.000000005用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．（2025·中山模拟）在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，故该选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
D.不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025·中山模拟）下列各式运算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故选项A错误；
B、，故选项B正确；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D错误.
故答案为：B.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
5．（2025·中山模拟）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵两个平面镜平行放置，
∴经过两次反射后的光线与入射光线平行，
∴；
故答案为：C．
【分析】利用平角的定义可求出∠4的度数，再根据经过两次反射后的光线与入射光线平行，可内错角相等，即可动点∠3的度数.
6．（2025·中山模拟）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（　　）
A． B． C．20 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：连接，
由已知得：，，，
∴，
在中，，
∴（），
故答案为：D
【分析】连接，利用方位角的概念可求出∠ABC、∠A的度数及BC的长，再利用勾股定理求出AC的长.
7．（2025·中山模拟）《九章算术》中有一道“甲乙持钱”问题，大意如下：甲、乙两人各有钱，但数目未知．若甲得到乙钱的一半，则甲有50钱；若乙得到甲钱的三分之二，则乙也有50钱，问甲、乙原有多少钱？设甲原有钱，乙原有钱，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲原有钱，乙原有钱，根据题意，得
．
故答案为：A.
【分析】设甲原有钱，乙原有钱，根据“甲钱加乙钱的一半等于50钱”，“乙钱加甲钱的三分之二等于50钱”，据此列出方程组．
8．（2025·中山模拟）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
解： 甲、乙两位同学各自任选其中一项参加的树状图如下：
甲、乙两位同学各自任选其中一项参加的所有情况共9种，其中选择同一项活动的情况有3种， 则他们选择同一项活动的概率是
故答案为：C
【分析】本题考查概率的计算，列出所有的结果，找出符合要求的结果，结合概率公式计算即可，注意化简。
9．（2025·中山模拟）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴
∴
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故答案为：B
【分析】连接，利用直径所对圆周角是直角，可证得，利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠CAB的度数，即可动点∠ABC的度数，然后利用圆内接四边形的性质可求出∠ADC的度数.
10．（2025·中山模拟）在一次1000米长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程y（米）随所用时间x（秒）变化的图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（　　）
A．乙比甲先到达终点
B．两人相遇前，甲的速度小于乙的速度
C．甲的速度随着时间的增加而变快
D．出发后120秒，两人行程均为500米
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据图象可得甲比乙先到达终点，故A错误；
根据图象可得甲的速度一直是米/秒，故C错误；
两人相遇前，乙的速度先是米/秒，后变为米/秒，故两人相遇前，甲的速度不一定小于乙的速度，故B错误；
出发后120秒，甲的行程为米，乙的行程为米，故D正确．
故答案为：D．
【分析】观察函数图象，可对A作出判断；甲走1000米用了240秒，可求出甲的速度，可对C作出判断；再分别求出两人相遇前、后乙速度，可对B作出判断；然后求出出发后120秒后甲的行程和乙的行程，可对D作出判断.
11．（2025·中山模拟）若，为实数，且，则的值为　 　.
【答案】1
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴m+4=0，n-5=0，
∴m=-4，n=5，
∴(m+n)2=(-4+5)2=1.
故答案为：1.
【分析】由偶数次幂及算术平方根的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出m、n得值，进而再代入待求式子计算可得答案.
12．（2025·中山模拟）不等式组的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①可得：，
由②可得：，
∴原不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
13．（2025·中山模拟）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　 　．
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为N，根据题意，得
（N－2） 180＝3×360，
解得N＝8．
则这个多边形的边数是8．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．N边形的内角和是（N－2） 180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
14．（2025·中山模拟）如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则　 　．
【答案】1
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵点，分别是，的中点
∴为的中位线
∴
又∵
∴
又∵
∴在
点是的中点
∴
又∵
∴
又∵
∴
故答案为：．
【分析】利用已知条件可得到为的中位线，利用三角形中位线的性质可求出DE的长；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出DF的长，根据EF=DE-DF，代入计算求出EF的长.
15．（2025·中山模拟）一无盖纸杯如图1所示，经测量：杯口直径，杯底直径，杯壁．纸杯的侧面展开示意图为环形的一部分（如图2所示，忽略拼接部分），则它所对的圆心角的度数　 　．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得
故答案为： ．
【分析】根据题意可得弧和弧的长分别是直径为的圆的周长，据此根据弧长公式可得的长，再根据即可建立方程求解．
16．（2025·中山模拟）计算：
【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，当然特殊角的三角函数值，再算乘法运算，然后合并即可.
17．（2025·中山模拟）先化简，再求值：的值，其中．
【答案】解：
，
原式
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先将括号里的分式减法通分计算，同时将分式除法转化为乘法运算，约分化简，然后整体代入求值.
18．（2025·中山模拟）如图，在中，．
（1）用直尺和圆规在的内部作射线，使（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）若（1）中的射线交于D，，，求长．
【答案】（1）解：如图，射线即为所作；
（2）解：∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据尺规作图的方法，以为一边，在的内部作即可；
（2）利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的对应边成比例可求出AD的长，然后求出CD的长.
（1）解：如图，射线即为所作；
（2）解：∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴．
19．（2025·中山模拟）为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）：
甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5．
（1）根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表：
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 a 6 2.6
乙组 7 7 b c
（1）在以上成绩统计表中，____，____，_____．
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因．
（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
【答案】（1），，
（2）解：小明可能是甲组的学生，理由如下：∵甲组的中位数是6分，而小明得了7分，
∴在小组中属中游略偏上
（3）解：选乙组参加决赛，理由如下：
，
甲、乙两组学生平均数相同，而，
乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛
【知识点】中位数；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】（1）解：∵甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
∴中间两个数的平均数是，则中位数；
∵乙组学生成绩中，数据出现了四次，次数最多，
∴众数；
；
故答案为：6；7；2.
【分析】（1）根据方差、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
（2）根据中位数的意义即可得出答案；
（3）根据平均数与方差的意义即可得出答案．
（1）解：∵甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
∴中间两个数的平均数是，则中位数；
∵乙组学生成绩中，数据出现了四次，次数最多，
∴众数；
；
（2）解：小明可能是甲组的学生，理由如下：
∵甲组的中位数是6分，而小明得了7分，
∴在小组中属中游略偏上，
（3）解：选乙组参加决赛，理由如下：
，
甲、乙两组学生平均数相同，而，
乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
20．（2025·中山模拟）综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下：
【进位制的认识】
①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．
②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数．
③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；．
【解决问题】
（1）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天
（2）类比十进制加减法计算（结果保留二进制）
例如；
写出________________
（3）小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）．
【答案】（1）510
（2）
（3）解：由题意，得：，
解得：或（舍去）；
故
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；一元二次方程的应用-数字问题；进位制的认识与探究
【解析】【解答】（1）解：（天）；
故答案为：510；
（2）解：；
故答案为：观察利用图1，根据图2，列出算式进行计算即可；
（2）类比十进制的加减运算，进行计算即可；
（3）根据进制之间的换算关系，可得到关于n的方程，解方程求出符合题意的n的值.
（1）解：（天）；
故答案为：510；
（2）；
故答案为：
（3）由题意，得：，
解得：或（舍去）；
故．
21．（2025·中山模拟）如图，内接于，为的直径，点D为上一点，，延长至E，使得．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：连接，则：，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
由（1）知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，即：，
解得：（舍去）或，
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接OD，由等边对等角得∠ODB=∠OBD，由直径所对的圆周角是直角得ADB=∠ACB=90°，然后利用HL判断出Rt△ADB≌Rt△ACB，由全等三角形的对应角相等得∠ABC=∠ABD=∠ODB，结合已知推出∠ADE=∠ODB，进而根据角的和差及等量代换得出∠ODE=90°，从而根据垂直半径外端点的直线是圆的切线得出结论；
（2）等角的同名三角函数相等及正切函数定义，得到，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△EDA∽△EBD，由相似三角形对应边成比例可得DE=2AE，DE2=AE×BE，从而整体代入得到关于AE的方程，求解得出AE的长，即可得到DE的长.
（1）解：连接，则：，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
由（1）知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，即：，
解得：（舍去）或，
∴
22．（2025·中山模拟）如图1，点P是对角线上的一点（），且使得，连接并延长，交于点E．
（1）若，求的值．
（2）如图2，将沿方向平移到，求证：．
（3）如图3，连接，取的中点M，连接交于点F，若，求的值．
【答案】（1）解：∵，∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
，
又，
，
（2）证明：，，
∵将沿方向平移到，
，，
，
，，
，
，
（3）解：如图，取的中点G，连接．
设 ，则．
∵，
，
，．
∵M点是的中点，G点是的中点，
∴是的中位线，
，
∴．
延长至Q点，使，连接，，
又，
∴四边形是平行四边形，
，．
又∵四边形是平行四边形，
，，
，，
，
又，
，，
，，
又，
，
．
，，
，
【知识点】平行四边形的性质；平移的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用已知条件可求出的值，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的对应边成比例，可求出ED与CD的比值，然后求出DE与DE的比值即可.
（2）利用等角对等边可证得，根据平移的性质可得，，可推出，，再利用证明，利用全等三角形的性质可证得结论.
（3）取的中点G，连接，则可得是的中位线，则．根据平行线分线段成比例定理可得的值．延长至Q点，使，连接，，则可得四边形是平行四边形，则，．再结合可得，，利用SAS可知，利用全等三角形的性质可证得AD=QD，然后求出DF与AD的比值.
（1）解：∵，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
，
又，
，
．
（2）证明：，
，
∵将沿方向平移到，
，，
，
，，
，
，
．
（3）解：如图，取的中点G，连接．
设 ，则．
∵，
，
，．
∵M点是的中点，G点是的中点，
∴是的中位线，
，
∴．
延长至Q点，使，连接，，
又，
∴四边形是平行四边形，
，．
又∵四边形是平行四边形，
，，
，，
，
又，
，，
，，
又，
，
．
，，
，
．
23．（2025·中山模拟）学习了二次函数后，我们发现抛物线的形状由二次函数的二次项系数决定．已知抛物线．
（1）如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值；
（2）如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点B；过点B的直线与（1）中的图象“W” 交于P，C两点，与图象“G”交于点D．
①当时，求证：；
②当时，请用合适的式子表示（直接写结果）．
【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线：，即为．
根据翻折可知点A的纵坐标为，即点A的坐标为．
将点A的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
即抛物线的对称轴为直线，；
（2）解：由（1）知，当时，A（2，-8）、A`（2，0）
∴图象“W”的解析式为；
①证明：当 时，图象“G”的解析式为．
设直线的解析式为．
当时，
解得或，
∴点C的横坐标为．
当时，
解得或，
∴点P的横坐标为．
当 时，
解得或，
∴点D的横坐标为．
如图1，分别过点P、C作轴、过点C、D作轴，使CM交PM于点M、DN交CN于点N．
，，
∴．
∵轴，轴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
②当且时，图象“G”的解析式为且．
由①可知点P的横坐标为，点C的横坐标为．
当且时，解得：．
∴点D的横坐标为．
分别过点C、D作轴，过点P作轴分别交CQ于点Q，交DT于点T．
由各点的横坐标可知，．
∵，
∴．
∴．
则
【知识点】翻折变换（折叠问题）；二次函数与分段函数的综合应用；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）对于二次函数，其对称轴为直线，顶点坐标为，由于本题中，所以对称轴为，由折叠的性质知AA`=8，即顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可；
（2）①如图1所示，设直线BD的解析式为，则分别联立直线BD与抛物线“W ”和"G"的解析式得议程组可分别求出点P、C、D的横坐标，再分别过点P、C作轴、过点C、D作轴，使CM交PM于点M、DN交CN于点N，则利用三点的横坐标可证明PM=CN，再由平行线的性质可证明即可；
②先联立直线BD与抛物线“G”的解析式可点D的横坐标，则PQ、PT均可表示，再分别过点C、D作轴，过点P作轴分别交CQ于点Q，交DT于点T，当且时，显然可证明，则由相似比可得即可．
（1）解：抛物线的对称轴为直线：，即为．
根据翻折可知点A的纵坐标为，即点A的坐标为．
将点A的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
即抛物线的对称轴为直线，；
（2）解：∵，
∴图象“W”的解析式为；
①证明：当 时，图象“C”的解析式为．
设直线的解析式为．
当时，
解得或，
∴点C的横坐标为．
当时，
解得（舍去）或，
∴点P的横坐标为．
当 时，
解得或，
∴点D的横坐标为．
如图1，作轴，过点C作轴交于点M，
作轴，过点D作交于点N．
由各点横坐标可得：，，
∴．
∵轴，轴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
②当且时，图象“G”的解析式为且．
由①可知点P的横坐标为，点C的横坐标为．
当且时，解得：．
∴．点D的横坐标为．
当时，如图2，作轴，过点C作轴，交于点Q，过点D作轴交于点T．
由各点的横坐标可知，．
∵，
∴．
∴．
则．
当时，如图3，作轴，过点C作轴，交于点Q，过点D作轴交于点T．
由各点的横坐标可知，，
∵，
∴，
∴．
则．
综上所述，用含a的式子表示 为
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