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广东省深圳市龙岗区宏扬学校2025年九年级中考模拟考试（二）数学试题
1．（2025·龙岗模拟）下列各数中，最大的数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·龙岗模拟）如下列各图片所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图一样的是（不考虑瓷器花纹等因素）（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·龙岗模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·龙岗模拟）化简：（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·龙岗模拟）如图，含角的直角三角尺的斜边与矩形直尺的边在同一直线上，此时直尺的另一边与直角三角尺的直角边的交点D恰好是的中点，若，则的长为（　　）
A．4 B． C． D．
6．（2025·龙岗模拟）如图，每个小方格均为边长为1的正方形，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有m条，再将剩余的五个小正方形中的一个涂色，若由这五个涂色的小正方形组成的新图形的对称轴的条数也为m，则涂色的正方形是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
7．（2025·龙岗模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BC的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知，，则CF的长是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·龙岗模拟）如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，线段的延长线与x轴正半轴交于点C．若点B是线段的中点，的面积是6，则k的值为（　　）
A．8 B． C．16 D．
9．（2025·龙岗模拟）“植”此青绿，共建美丽中国向“新”而行．今年，“加强生态文明建设，推进绿色低碳发展”被写进了2024年政府工作报告．今年全国计划完成国土绿化任务1亿亩，其中，造林5400万亩．数据5400万用科学记数法表示为　 　．
10．（2025·龙岗模拟）如图，这是在数轴上表示的一个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是　 　．
11．（2025·龙岗模拟）对于实数a、b定义新运算：．若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为　 　．
12．（2025·龙岗模拟）如图，用三根长为的火柴棒围成一个等边三角形，将它的两边按图中方式向外等距离平移，再另外添加三根长为的火柴棒（虚线部分），得到一个正六边形，则x的值为　 　．
13．（2025·龙岗模拟）如图，菱形的边长为4，，P是边上的一动点，以P为圆心，线段的长为半径画圆，当与边所在的直线相切时，的半径为　 　．
14．（2025·龙岗模拟）下面是小华同学计算多项式乘以多项式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
（1）计算：． 解：原式． （2）计算：． 解：原式．
任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的________．（填“完全平方公式”或“平方差公式”）
任务二：请判断小华（2）的解答是否正确，若错误，请直接写出（2）中计算的正确答案．
任务三：计算：．
15．（2025·龙岗模拟）如图，这是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作，使得，且点A在上；
（2）在图2中作，使得，且．
16．（2025·龙岗模拟）光纤通信是利用光在纤维材料中多次全反射传输信息的，光纤通信的主要部件是光导纤维．如图，光导纤维是由纤芯和包层组成的．光导纤维按原材料主要分为石英光纤，塑料光纤，多组分玻璃光纤，复合材料光纤，氟化物光纤，现准备了石英光纤，塑料光纤，复合材料光纤各一份，多组分玻璃光纤两份给某大学的甲同学进行研究，甲同学决定用随机选取的方式确定研究哪种光导纤维．
（1）“若甲同学从准备好的光导纤维中随机抽取一份，则氟化物光纤恰好被抽中”是 事件；（填“必然”“随机”或“不可能”）
（2）若甲同学从准备好的光导纤维中一次性抽取两份，请用画树状图法或列表法，求石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率．
17．（2025·龙岗模拟）课本再现
推论 直径所对的圆周角是________．
（1）补全课本再现中横线上的内容．
知识应用
（2）如图，内接于，是的直径的延长线上一点，．
①求证：是的切线；
②过圆心作的平行线交的延长线于点，若，求的长．
18．（2025·龙岗模拟）眼睛是心灵的窗户，每年的6月6日是“全国爱眼日”，某校开展了“科学用眼知多少”的答题竞赛，测试结果显示所有学生的成绩都不低于80分（满分100分）．
收集数据
现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩，经过数据的整理和分析，绘制成了如下的图表，其中学生的成绩得分用x（x都是整数）表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．．
整理描述
七年级学生成绩的扇形统计图
八年级学生成绩频数分布统计表
分组 A B C D
频数 3 b 7 4
七、八年级学生成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 89.95 90.5 85
八年级 91.4 c 86
八年级学生成绩在C组的数据从高到低排列如下：95，95，94，93，92，91，91
（1）填空：________，________，________．
分析处理
（2）你认为哪个年级的学生用眼知识的掌握程度更好？请判断并说明理由．（写出一条理由即可）
（3）已知该校七、八年级各有500名学生，请分别估计这两个年级学生成绩在90分以上的人数．
（4）你对同学们科学用眼有什么建议？请提出一条．
19．（2025·龙岗模拟）如图，在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，则称为抛物线P的“交轴三角形”．
（1）若抛物线存在“交轴三角形”．
①k的取值范围为________；
②若，则该三角形是________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
（2）若抛物线的“交轴三角形”是一个等边三角形，求a，c之间的数量关系．
20．（2025·龙岗模拟）【发现问题】
在数学活动课上，同学们研究两个等边三角形的位置关系时，发现某些连线之间总存在某种特定的关系．
【问题探究】
如图（a），在等边三角形和等边三角形中，点A和点E重合，点C与点F重合，所以，．
【类比分析】
（1）如图（b），点在上，点与点重合，求证：，；
【学以致用】
（2）点在上，连接，以为边向上作等边三角形，．
①如图（c），点在上，当点，在的异侧，，求的值；
②点在上，当点，在的同侧，，请利用备用图，画出图形，求的值；
【拓展应用】
（3）如图（d），点在上，点在上，连接，以为边向右作等边三角形．若，，请直接写出的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，
最大的数是，
故选：C．
【分析】根据“正数大于0，负数小于0；负数的绝对值大的反而小”解答即可．
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A选项的几何体的主视图和左视图是一样的，故符合题意；
B、C、D选项的几何体的主视图和左视图是不一样的，故都不符合题意，
故选：A．
【分析】根据从正面和左面看到几何体的图形解答即可．
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的乘除混合运算；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，不能合并，计算错误；
B、，计算错误；
C、，计算正确；
D、，计算错误；
故选：C．
【分析】利用合并同类项、二次根式的除法、同底数幂相乘、幂的乘方运算法则逐项判断解答即可．
4．【答案】A
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：
，
故选：A．
【分析】先运算括号内的分式，然后将除法化为乘法，约分化简解题．
5．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
由题意可知，，，
，
四边形是矩形，，
，
，
在中，，
，
是的中点
，
在中，，
，
故选：D．
【分析】过点作于点，即可得到，根据正弦的定义求出BD长，进而得到BC长，然后利用30度角的直角三角形的性质求出AB长解答即可．
6．【答案】C
【知识点】平面图形的对称轴
【解析】【解答】解：由题意可知，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有条，即，
A、涂色的正方形是①，组成的图形的对称轴有条，不符合题意；
B、涂色的正方形是②，组成的图形的对称轴有条，不符合题意；
C、涂色的正方形是③，组成的图形的对称轴有条，符合题意；
D、涂色的正方形是④，组成的图形的对称轴有条，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据对称轴的定义“将一个图形沿着一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形，这条直线是对称轴”逐项判断即可．
7．【答案】D
【知识点】菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作OGCD交BC于点G，
∵四边形ABCD是菱形，且AB＝5，
∴BC＝CD＝AB＝5，OB＝OD，
∴ ，
∴BG＝CG＝ ，
∴GO是△BCD的中位线
∴GO＝CD＝，GOCD
∵CE＝1，
∴GE＝CG+CE＝+1＝，
∵CFGO，
∴∠ECF=∠EGO
∵∠E=∠E
∴△ECF∽△EGO，
∴ ，
∴CF＝，
∴CF的长为，
故选：D．
【分析】作OGCD交BC于点G，根据菱形性质可得BC＝CD＝AB＝5，OB＝OD，再根据平行线分线段定理可得 ，则BG＝CG＝ ，再根据三角形中位线定理可得GO＝CD＝，GOCD，再根据边之间的关系可得GE，根据直线平行性质可得∠ECF=∠EGO，再根据相似三角形判定定理可得△ECF∽△EGO，则 ，代值计算即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：设点的坐标为，
∵是的中点，
，
，
代入中，
，
，
，
代入中，
，
，
∵是的中点，
即，
，
，
故选：A．
【分析】设点的坐标为，根据三角形的面积得到点B的纵坐标，进而根据中点求出点A的纵坐标，根据反比例函数解析式得到点A和B的横坐标，根据中点坐标公式得到，求出值即可．
9．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：5400万，
故答案为：.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为所有整数位的个数减1．
10．【答案】
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由数轴表示不等式解集的方法可得这个不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】观察数轴，可得不等式组的解集（注意实心点和空心圆圈）.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
，
，
关于x的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据新定义的运算法则，得到方程，即可得到，求出k值即可．
12．【答案】
【知识点】平移的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】如图所示，令等边三角形为，将平移得，将平移得，
，
又六边形是正六边形，
，
故答案为：．
【分析】 根据正六边形的性质可得x的值解题．
13．【答案】或或
【知识点】菱形的性质；切线的性质；解直角三角形—边角关系；分类讨论
【解析】【解答】解：∵菱形，，
∴，，
如图，当与直线相切时，切点为，连接，则，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得；
如图，当与直线相切时，切点为，连接，则，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得；
如图，当与直线相切时，切点为，连接，作于点，则，四边形是矩形，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得；
综上，的半径为或或．
故答案为：或或．
【分析】分为与直线相切 、与直线相切、与直线相切三种情况，利用切线的性质，根据解直角三角形求出半径长即可．
14．【答案】任务一：平方差公式；
任务二：小华（2）的解答是不正确，
；
任务三：
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的平方差公式；
故答案为：平方差公式；
【分析】任务一：根据所给运算过程判断①中运用的是的平方差公式；
任务二：根据平方差公式的特征判断，并运用多项式乘多项式计算解题；
任务三：根据完全平方公式计算解答即可．
15．【答案】（1）解：如图，即为所作；
（2）解：如图，即为所作；
∵，，，，，
∴，
∴，且．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）取格点，使，，利用SAS得到解答即可；
（2）取两个小正方形的中心，根据三边对应成比例得到，且满足相似比即可解答．
（1）解：如图，即为所作；
；
（2）解：如图，即为所作；
．
∵，，，，，
∴，
∴，且．
16．【答案】（1）不可能
（2）解：用A，B，C分别表示石英光纤，塑料光纤，复合材料光纤，用D，E表示两份多组分玻璃光纤，画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的情况有AD，AE，DA，EA，即结果数为4，
∴石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率．
【知识点】事件的分类；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：“若甲同学从准备好的光导纤维中随机抽取一份，则氟化物光纤恰好被抽中”是不可能事件；
故答案为：不可能；
【分析】（1）根据事件的分类解答即可；
（2）利用树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算解答即可．
（1）解：“若甲同学从准备好的光导纤维中随机抽取一份，则氟化物光纤恰好被抽中”是不可能事件；
故答案为：不可能；
（2）解：用A，B，C分别表示石英光纤，塑料光纤，复合材料光纤，用D，E表示两份多组分玻璃光纤，
画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的情况有AD，AE，DA，EA，即结果数为4，
∴石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率．
17．【答案】（1）直角；
（2）①证明：，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
即，
，
是的半径，
是的切线；
②解：，
，
，，
，
设，则，，
，
是直角三角形，
在中，，
，
解得，（舍去），或，
．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】（1）解：直径所对的圆周角是直角；
故答案为：直角；
【分析】（1）利用圆周角定理解答；
（2）①根据等边对等角和等量代换得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，即可得到，证明结论；
②根据平行线分线段成比例可得，设，则，，然后在中，根据勾股定理求出x的值解答即可．
18．【答案】（1）15；6；91；
（2）解：因为八年级学生成绩的平均数、众数和中位数都高于七年级学生成绩，
所以八年级的学生用眼知识的掌握程度更好；
（3）解：，
，
答：七年级学生成绩在90分以上的人数约有225人；八年级学生成绩在90分以上的人数约有275人；
（4）解：要进一步采取措施科学防控近视，关注用眼健康．
【知识点】中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1），
∴，
，
八年级名学生成绩，排在第10和11位的两个数都是91，则，
故答案为：15；6；91；
【分析】（1）利用整体1减去凄然组的占比可求得的值，利用考查人数减去其它组人数求得的值，利用中位数的定义得到的值；
（2）比较七，八年级的平均数、众数和中位数，作出判断解答即可；
（3）运用500乘以两个年级90分以上的学生占比和解答即可；
（4）提出合理建议即可．
19．【答案】（1）①；②钝角
（2）当时，，，当时，，
，，，
∴，，，
∵，
∴，
化简得：．
∴a，c之间的数量关系是：．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等边三角形的性质；勾股定理；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】（1）①∵抛物线存在“交轴三角形”，
∴，
即，
解得，；
故答案为：；
②当时，
，
令，得，
解得，，
∴，，
当时，，
∴，
∴，
，
，
∵，
，
∴，
∴是钝角三角形；
故答案为：钝角；
【分析】（1）①令，根据一元二次方程的求出k的取值范围即可；
②把代入，得到点、、的坐标，进而求出出、、的长，根据三边的平方关系得到三角形的形状．
（2）用、表示出、、三点的坐标，即可得到、、三边的长，根据等边三角形的性质解答即可．
（1）①∵抛物线存在“交轴三角形”，
∴，
即，
解得，；
②当时，
，
令，得，
解得，，
∴，，
当时，，
∴，
∴，
，
，
∵，
，
∴，
∴是钝角三角形；
（2）当时，，，
当时，，
，，，
∴，，，
∵，
∴，
化简得：．
∴a，c之间的数量关系是：．
20．【答案】（1）证明：和是等边三角形，
，，，
，
，
，，
．
（2）解：①如图，过点作，交于，
，
为等边三角形．
同（1）可证．
，，
．
，
，
；
②如图所示，过点作交于点，
，
为等边三角形．同（1）可证．
，，
．
，
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（3）解：如图，在上截取，连接，，过点作，交的延长线于，
设与的交点为．
，，
，．
，，
是等边三角形，
，．
是等边三角形，
，．
，
，
，
，
，
点在射线上运动，
当时，有最小值，即最小值是的长．
，
，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
的最小值为．
【分析】（1）利用等边三角形的性质去证明CA=CB，EC=DC，同时可证得∠BCE=∠DCA，利用SAS可证得△BEC≌△ADC，利用全等三角形的性质及平行线的判定可证得结论.
（2）①过点作，交于，易证 为等边三角形．利用等边三角形的性质可推出．利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△AQF∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例可求出结果；②过点作交于点，易证为等边三角形．同（1）可证．利用等边三角形的性质可推出．利用相似三角形的判定和性质可求出结果.
（3）在上截取，连接，，过点作，交的延长线于，设与的交点为．证明，推出，得出点在射线上运动，当时，有最小值，即最小值是的长．据此解答即可．
1 / 1广东省深圳市龙岗区宏扬学校2025年九年级中考模拟考试（二）数学试题
1．（2025·龙岗模拟）下列各数中，最大的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，
最大的数是，
故选：C．
【分析】根据“正数大于0，负数小于0；负数的绝对值大的反而小”解答即可．
2．（2025·龙岗模拟）如下列各图片所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图一样的是（不考虑瓷器花纹等因素）（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A选项的几何体的主视图和左视图是一样的，故符合题意；
B、C、D选项的几何体的主视图和左视图是不一样的，故都不符合题意，
故选：A．
【分析】根据从正面和左面看到几何体的图形解答即可．
3．（2025·龙岗模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的乘除混合运算；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，不能合并，计算错误；
B、，计算错误；
C、，计算正确；
D、，计算错误；
故选：C．
【分析】利用合并同类项、二次根式的除法、同底数幂相乘、幂的乘方运算法则逐项判断解答即可．
4．（2025·龙岗模拟）化简：（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：
，
故选：A．
【分析】先运算括号内的分式，然后将除法化为乘法，约分化简解题．
5．（2025·龙岗模拟）如图，含角的直角三角尺的斜边与矩形直尺的边在同一直线上，此时直尺的另一边与直角三角尺的直角边的交点D恰好是的中点，若，则的长为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
由题意可知，，，
，
四边形是矩形，，
，
，
在中，，
，
是的中点
，
在中，，
，
故选：D．
【分析】过点作于点，即可得到，根据正弦的定义求出BD长，进而得到BC长，然后利用30度角的直角三角形的性质求出AB长解答即可．
6．（2025·龙岗模拟）如图，每个小方格均为边长为1的正方形，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有m条，再将剩余的五个小正方形中的一个涂色，若由这五个涂色的小正方形组成的新图形的对称轴的条数也为m，则涂色的正方形是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】平面图形的对称轴
【解析】【解答】解：由题意可知，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有条，即，
A、涂色的正方形是①，组成的图形的对称轴有条，不符合题意；
B、涂色的正方形是②，组成的图形的对称轴有条，不符合题意；
C、涂色的正方形是③，组成的图形的对称轴有条，符合题意；
D、涂色的正方形是④，组成的图形的对称轴有条，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据对称轴的定义“将一个图形沿着一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形，这条直线是对称轴”逐项判断即可．
7．（2025·龙岗模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BC的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知，，则CF的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作OGCD交BC于点G，
∵四边形ABCD是菱形，且AB＝5，
∴BC＝CD＝AB＝5，OB＝OD，
∴ ，
∴BG＝CG＝ ，
∴GO是△BCD的中位线
∴GO＝CD＝，GOCD
∵CE＝1，
∴GE＝CG+CE＝+1＝，
∵CFGO，
∴∠ECF=∠EGO
∵∠E=∠E
∴△ECF∽△EGO，
∴ ，
∴CF＝，
∴CF的长为，
故选：D．
【分析】作OGCD交BC于点G，根据菱形性质可得BC＝CD＝AB＝5，OB＝OD，再根据平行线分线段定理可得 ，则BG＝CG＝ ，再根据三角形中位线定理可得GO＝CD＝，GOCD，再根据边之间的关系可得GE，根据直线平行性质可得∠ECF=∠EGO，再根据相似三角形判定定理可得△ECF∽△EGO，则 ，代值计算即可求出答案.
8．（2025·龙岗模拟）如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，线段的延长线与x轴正半轴交于点C．若点B是线段的中点，的面积是6，则k的值为（　　）
A．8 B． C．16 D．
【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：设点的坐标为，
∵是的中点，
，
，
代入中，
，
，
，
代入中，
，
，
∵是的中点，
即，
，
，
故选：A．
【分析】设点的坐标为，根据三角形的面积得到点B的纵坐标，进而根据中点求出点A的纵坐标，根据反比例函数解析式得到点A和B的横坐标，根据中点坐标公式得到，求出值即可．
9．（2025·龙岗模拟）“植”此青绿，共建美丽中国向“新”而行．今年，“加强生态文明建设，推进绿色低碳发展”被写进了2024年政府工作报告．今年全国计划完成国土绿化任务1亿亩，其中，造林5400万亩．数据5400万用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：5400万，
故答案为：.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为所有整数位的个数减1．
10．（2025·龙岗模拟）如图，这是在数轴上表示的一个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是　 　．
【答案】
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由数轴表示不等式解集的方法可得这个不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】观察数轴，可得不等式组的解集（注意实心点和空心圆圈）.
11．（2025·龙岗模拟）对于实数a、b定义新运算：．若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
，
，
关于x的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据新定义的运算法则，得到方程，即可得到，求出k值即可．
12．（2025·龙岗模拟）如图，用三根长为的火柴棒围成一个等边三角形，将它的两边按图中方式向外等距离平移，再另外添加三根长为的火柴棒（虚线部分），得到一个正六边形，则x的值为　 　．
【答案】
【知识点】平移的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】如图所示，令等边三角形为，将平移得，将平移得，
，
又六边形是正六边形，
，
故答案为：．
【分析】 根据正六边形的性质可得x的值解题．
13．（2025·龙岗模拟）如图，菱形的边长为4，，P是边上的一动点，以P为圆心，线段的长为半径画圆，当与边所在的直线相切时，的半径为　 　．
【答案】或或
【知识点】菱形的性质；切线的性质；解直角三角形—边角关系；分类讨论
【解析】【解答】解：∵菱形，，
∴，，
如图，当与直线相切时，切点为，连接，则，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得；
如图，当与直线相切时，切点为，连接，则，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得；
如图，当与直线相切时，切点为，连接，作于点，则，四边形是矩形，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得；
综上，的半径为或或．
故答案为：或或．
【分析】分为与直线相切 、与直线相切、与直线相切三种情况，利用切线的性质，根据解直角三角形求出半径长即可．
14．（2025·龙岗模拟）下面是小华同学计算多项式乘以多项式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
（1）计算：． 解：原式． （2）计算：． 解：原式．
任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的________．（填“完全平方公式”或“平方差公式”）
任务二：请判断小华（2）的解答是否正确，若错误，请直接写出（2）中计算的正确答案．
任务三：计算：．
【答案】任务一：平方差公式；
任务二：小华（2）的解答是不正确，
；
任务三：
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的平方差公式；
故答案为：平方差公式；
【分析】任务一：根据所给运算过程判断①中运用的是的平方差公式；
任务二：根据平方差公式的特征判断，并运用多项式乘多项式计算解题；
任务三：根据完全平方公式计算解答即可．
15．（2025·龙岗模拟）如图，这是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作，使得，且点A在上；
（2）在图2中作，使得，且．
【答案】（1）解：如图，即为所作；
（2）解：如图，即为所作；
∵，，，，，
∴，
∴，且．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）取格点，使，，利用SAS得到解答即可；
（2）取两个小正方形的中心，根据三边对应成比例得到，且满足相似比即可解答．
（1）解：如图，即为所作；
；
（2）解：如图，即为所作；
．
∵，，，，，
∴，
∴，且．
16．（2025·龙岗模拟）光纤通信是利用光在纤维材料中多次全反射传输信息的，光纤通信的主要部件是光导纤维．如图，光导纤维是由纤芯和包层组成的．光导纤维按原材料主要分为石英光纤，塑料光纤，多组分玻璃光纤，复合材料光纤，氟化物光纤，现准备了石英光纤，塑料光纤，复合材料光纤各一份，多组分玻璃光纤两份给某大学的甲同学进行研究，甲同学决定用随机选取的方式确定研究哪种光导纤维．
（1）“若甲同学从准备好的光导纤维中随机抽取一份，则氟化物光纤恰好被抽中”是 事件；（填“必然”“随机”或“不可能”）
（2）若甲同学从准备好的光导纤维中一次性抽取两份，请用画树状图法或列表法，求石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率．
【答案】（1）不可能
（2）解：用A，B，C分别表示石英光纤，塑料光纤，复合材料光纤，用D，E表示两份多组分玻璃光纤，画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的情况有AD，AE，DA，EA，即结果数为4，
∴石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率．
【知识点】事件的分类；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：“若甲同学从准备好的光导纤维中随机抽取一份，则氟化物光纤恰好被抽中”是不可能事件；
故答案为：不可能；
【分析】（1）根据事件的分类解答即可；
（2）利用树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算解答即可．
（1）解：“若甲同学从准备好的光导纤维中随机抽取一份，则氟化物光纤恰好被抽中”是不可能事件；
故答案为：不可能；
（2）解：用A，B，C分别表示石英光纤，塑料光纤，复合材料光纤，用D，E表示两份多组分玻璃光纤，
画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的情况有AD，AE，DA，EA，即结果数为4，
∴石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率．
17．（2025·龙岗模拟）课本再现
推论 直径所对的圆周角是________．
（1）补全课本再现中横线上的内容．
知识应用
（2）如图，内接于，是的直径的延长线上一点，．
①求证：是的切线；
②过圆心作的平行线交的延长线于点，若，求的长．
【答案】（1）直角；
（2）①证明：，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
即，
，
是的半径，
是的切线；
②解：，
，
，，
，
设，则，，
，
是直角三角形，
在中，，
，
解得，（舍去），或，
．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】（1）解：直径所对的圆周角是直角；
故答案为：直角；
【分析】（1）利用圆周角定理解答；
（2）①根据等边对等角和等量代换得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，即可得到，证明结论；
②根据平行线分线段成比例可得，设，则，，然后在中，根据勾股定理求出x的值解答即可．
18．（2025·龙岗模拟）眼睛是心灵的窗户，每年的6月6日是“全国爱眼日”，某校开展了“科学用眼知多少”的答题竞赛，测试结果显示所有学生的成绩都不低于80分（满分100分）．
收集数据
现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩，经过数据的整理和分析，绘制成了如下的图表，其中学生的成绩得分用x（x都是整数）表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．．
整理描述
七年级学生成绩的扇形统计图
八年级学生成绩频数分布统计表
分组 A B C D
频数 3 b 7 4
七、八年级学生成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 89.95 90.5 85
八年级 91.4 c 86
八年级学生成绩在C组的数据从高到低排列如下：95，95，94，93，92，91，91
（1）填空：________，________，________．
分析处理
（2）你认为哪个年级的学生用眼知识的掌握程度更好？请判断并说明理由．（写出一条理由即可）
（3）已知该校七、八年级各有500名学生，请分别估计这两个年级学生成绩在90分以上的人数．
（4）你对同学们科学用眼有什么建议？请提出一条．
【答案】（1）15；6；91；
（2）解：因为八年级学生成绩的平均数、众数和中位数都高于七年级学生成绩，
所以八年级的学生用眼知识的掌握程度更好；
（3）解：，
，
答：七年级学生成绩在90分以上的人数约有225人；八年级学生成绩在90分以上的人数约有275人；
（4）解：要进一步采取措施科学防控近视，关注用眼健康．
【知识点】中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1），
∴，
，
八年级名学生成绩，排在第10和11位的两个数都是91，则，
故答案为：15；6；91；
【分析】（1）利用整体1减去凄然组的占比可求得的值，利用考查人数减去其它组人数求得的值，利用中位数的定义得到的值；
（2）比较七，八年级的平均数、众数和中位数，作出判断解答即可；
（3）运用500乘以两个年级90分以上的学生占比和解答即可；
（4）提出合理建议即可．
19．（2025·龙岗模拟）如图，在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，则称为抛物线P的“交轴三角形”．
（1）若抛物线存在“交轴三角形”．
①k的取值范围为________；
②若，则该三角形是________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
（2）若抛物线的“交轴三角形”是一个等边三角形，求a，c之间的数量关系．
【答案】（1）①；②钝角
（2）当时，，，当时，，
，，，
∴，，，
∵，
∴，
化简得：．
∴a，c之间的数量关系是：．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等边三角形的性质；勾股定理；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】（1）①∵抛物线存在“交轴三角形”，
∴，
即，
解得，；
故答案为：；
②当时，
，
令，得，
解得，，
∴，，
当时，，
∴，
∴，
，
，
∵，
，
∴，
∴是钝角三角形；
故答案为：钝角；
【分析】（1）①令，根据一元二次方程的求出k的取值范围即可；
②把代入，得到点、、的坐标，进而求出出、、的长，根据三边的平方关系得到三角形的形状．
（2）用、表示出、、三点的坐标，即可得到、、三边的长，根据等边三角形的性质解答即可．
（1）①∵抛物线存在“交轴三角形”，
∴，
即，
解得，；
②当时，
，
令，得，
解得，，
∴，，
当时，，
∴，
∴，
，
，
∵，
，
∴，
∴是钝角三角形；
（2）当时，，，
当时，，
，，，
∴，，，
∵，
∴，
化简得：．
∴a，c之间的数量关系是：．
20．（2025·龙岗模拟）【发现问题】
在数学活动课上，同学们研究两个等边三角形的位置关系时，发现某些连线之间总存在某种特定的关系．
【问题探究】
如图（a），在等边三角形和等边三角形中，点A和点E重合，点C与点F重合，所以，．
【类比分析】
（1）如图（b），点在上，点与点重合，求证：，；
【学以致用】
（2）点在上，连接，以为边向上作等边三角形，．
①如图（c），点在上，当点，在的异侧，，求的值；
②点在上，当点，在的同侧，，请利用备用图，画出图形，求的值；
【拓展应用】
（3）如图（d），点在上，点在上，连接，以为边向右作等边三角形．若，，请直接写出的最小值．
【答案】（1）证明：和是等边三角形，
，，，
，
，
，，
．
（2）解：①如图，过点作，交于，
，
为等边三角形．
同（1）可证．
，，
．
，
，
；
②如图所示，过点作交于点，
，
为等边三角形．同（1）可证．
，，
．
，
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（3）解：如图，在上截取，连接，，过点作，交的延长线于，
设与的交点为．
，，
，．
，，
是等边三角形，
，．
是等边三角形，
，．
，
，
，
，
，
点在射线上运动，
当时，有最小值，即最小值是的长．
，
，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
的最小值为．
【分析】（1）利用等边三角形的性质去证明CA=CB，EC=DC，同时可证得∠BCE=∠DCA，利用SAS可证得△BEC≌△ADC，利用全等三角形的性质及平行线的判定可证得结论.
（2）①过点作，交于，易证 为等边三角形．利用等边三角形的性质可推出．利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△AQF∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例可求出结果；②过点作交于点，易证为等边三角形．同（1）可证．利用等边三角形的性质可推出．利用相似三角形的判定和性质可求出结果.
（3）在上截取，连接，，过点作，交的延长线于，设与的交点为．证明，推出，得出点在射线上运动，当时，有最小值，即最小值是的长．据此解答即可．
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