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【单元学习指导与练习】知识巩固 第28讲 图形的平移（同步练习）
1．将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：根据平移不改变图形的形状、大小和方向，将题中图形平移后得到的图案是A，
故答案为：A.
【分析】根据平移的特征分析各图特点，只要符合“图形的形状、大小和方向都不改变”即为答案
2． 如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做“平移重合图形”.下列图形中，属于“平移重合图形”的是（　　）
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆
【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E， F， 连接EF.
则
∵四边形ABEF向右平移可以与四边形FECD重合，
∴平行四边形ABCD是平移重合图形，
故答案为：A.
【分析】根据平移重合图形的定义逐项判断解答即可.
3． 如图所示，点A 的坐标为（1，4），点B 在x轴上，把△AOB沿x轴向右平移到△CED，若四边形ABDC 的面积为8，则点 C 的坐标为（　　）
A．（2，4） B．（3，4） C．（3，3） D．（4，3）
【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵把 沿x轴向右平移到
∴四边形ABDC是平行四边形，
A和C的纵坐标相同，
∵四边形ABDC的面积为8， 点A的坐标为(1，4)，
∴C(3，4)，
故答案为：B.
【分析】根据平移的性质得出四边形ABDC是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形ABDC的面积求得AC的长，即可求得C的坐标.
4．如图所示，矩形ABCD 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC，BD 相交于点 E，反比例函数 的图象经过点A.将矩形 ABCD 向左平移，当点 E 落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为　 　.
【答案】
【知识点】平移的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A(3，2)，
将A(3，2)代入得解析式得
∴这个反比例函数的表达式为
由题意可知C(9，6)， 四边形ABCD为矩形，
∴E(6，4)，
当 时，
解得：
∴平移的距离为：
故答案为：
【分析】先求解反比例函数为 结合矩形的性质求解E(6，4)，再结合平移的性质可得答案.
5． 如图所示，在△ABC中，BC=3，将△ABC平移5个单位得到△A'B'C'，P，Q 分别是AB，A'C'的中点，PQ 长的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】平移的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取 的中点N， 连接NQ， PN，
平移5个单位长度得到
∵点P、Q分别是AB、 的中点，
即
∴PQ的最小值为
【分析】取AC的中点M， 的中点N， 连接PM， MQ，NQ，PN，根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论.
6． 如图所示，正比例函数y=kx 与反比例函数 的图象有一个交点A（2，m），AB⊥x轴于点B.若平移直线y=kx，使其经过点 B，得到直线l，则直线l 对应的函数表达式为　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵正比例函数 与反比例函数 的图象有一个交点A (2， m) ，
解得：
故A (2， 3) ，
则
解得：
故正比例函数解析式为：
轴于点B，平移直线 使其经过点B，
∴B (2， 0) ，
∴设平移后的解析式为：
则
解得：
故直线l对应的函数表达式是：
故答案为：
【分析】首先利用图象上点的坐标特征得出A点坐标，进而得出正比例函数解析式，再利用平移的性质得出答案.
7．平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于 0的点称为“和点”.将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位.
例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点 ，其平移过程如下： P（2，1）-右，P1（3，1）上，P 水6
若“和点”Q按上述规则连续平移16 次后，到达点 则点 Q 的坐标为（　　）
A．（6，1）或（7，1） B．（15，-7）或（8，0）
C．（6，0）或（8，0） D．（5，1）或（7，1）
【答案】D
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：发现规律为：若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移；
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点 则按照“和点 反向运动16次即可，可以分为两种情况：
先向右1个单位得到 此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是 向右平移1个单位得到 故矛盾，不成立；
先向下1个单位得到 此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到 故符合题意，
∴点 先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为 即(6，1)，
∴最后一次若向右平移则为(7，1)，若向左平移则为(5，1)，
故答案为： D.
【分析】先分别计算余0，1，2的平移，得出规律点Q先向右平移1个单位，再按照向上、向左， 向上、向左不断重复的规律平移，由此计算即可得解.
8． 如图所示，△AOB 的顶点A，B 分别在x轴、y 轴上，∠BAO=45°，且△AOB的面积为8.
（1）请直接写出A，B两点的坐标.
（2）过点A，B的抛物线G与x轴的另一个交点为C.
①若△ABC 是以BC 为腰的等腰三角形，求此时抛物线的函数表达式.
②将抛物线G 向下平移4个单位后，恰好与直线AB只有一个交点N，求点 N 的坐标.
【答案】（1）解：在中，
∴A(4，0)， B(0，4)
（2）解：
①当点C在点A的左侧时，易知 B(0，4)， A(4，0)，
顶点为B(0，4)，时抛物线解析式为 (4，0)代入得到
∴抛物线的解析式为
当C与O重合时， 是等腰三角形，但此时不存在过A，B， C三点的抛物线.
当点C在点A的右侧时， 是以BC为腰的等腰三角形，这个显然不可能，此种情形不存在，综上所述，抛物线的解析式为
②抛物线G向下平移4个单位后，经过原点(0，0)和
设抛物线的解析式为 把 代入得到
∴抛物线的解析式为
由
消去y得到
由题意
∴抛物线的解析式为
由 解得
∴N(2，2)
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)首先证明 ，利用三角形的面积公式，列出方程即可求出OA、OB， 由此即可解决问题；
(2)①首先确定A、B、C的坐标，再利用的待定系数法即可解决问题；
②抛物线G向下平移4个单位后，经过原点(0，0)和 ，设抛物线的解析式为 把 代入得到 可得抛物线的解析式为 联立两解析式消去y得到 由题意可得 ， 求出m的值即可解决问题.
9．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点 B（4，0），等边三角形OAB 的顶点A 在反比例函数 的图象上.
（1）求反比例函数的表达式.
（2）把△OAB 向右平移a个单位，对应得到△O'A'B'，当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时，求a的值.
【答案】（1）解：如图甲所示，过点A作AC⊥OB于点C，
∵△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵B(4，0)，∴OB=OA=4，∴OC=2，AC=2把点A(2，2)代入
得k=4.∴反比例函数的表达式为
（2）解：分两种情况讨论：①如图乙所示，点D是A'B'的中点，过点D作DE⊥x轴于点E.
由题意得.，在Rt△DEB'中，B'D=2，DE=，B'E=1.∴O'E=3，把.代入得x=4，∴OE=4，∴a=OO'=1；②如图丙所示，点F是A'O'的中点，过点F作FH⊥x轴于点H.
由题意得，在Rt△FO'H中，.把代入得x=4，∴OH=4，∴a=OO'=3，综上所述，a的值为1或3
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【分析】(1) 过点A作 于点C，根据等边三角形的性质得出点A坐标，用待定系数法求得反比例函数的解析式即可；
(2)分两种情况讨论：①反比例函数图象过AB的中点；②反比例函数图象过AO的中点.分别过中点作x轴的垂线，再根据 角所对的直角边是斜边的一半得出中点的纵坐标，代入反比例函数的解析式得出中点坐标，再根据平移的法则得出a的值即可.
10． 如图所示，在菱形ABCD中，AB=10cm，∠ABC=60°，E为对角线AC上一动点，以 DE 为一边作∠DEF=60°，EF 交射线BC 于点F，连接BE，DF.点E 从点C 出发，沿CA 方向以每秒2cm的速度运动至点A 处停止.设△BEF 的面积为ycm2，点E 的运动时间为x 秒.
（1）求证：BE=EF.
（2）求y与x的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围.
（3）求x 为何值时，线段 DF 的长度最短.
【答案】（1）证明：设CD与EF相交于点M，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=DC，∠BCE=∠DCE，AB∥CD，
∵∠ABC=60°，
∴∠DCF=60°，
在△BCE和△DCE中，
∴△BCE≌△DCE(SAS)，
∴∠CBE =∠CDE， BE= DE，
∵∠DMF=∠DEF+∠CDE=∠DCF+∠CFE，
又∵∠DEF =∠DCF =60°，
∴∠CDE=∠CFE，
∴∠CBE=∠CFE，
∴BE=EF
（2）解：过点E作EN⊥BC于N，
则∠ENC=90°，
∵BE= EF，
∴BF=2BN，
∵四边形ABCD为菱形， ∠ABC = 60°，
∴BC=AB=10cm， ∠ACB=∠BCD=60°，即∠ECN = 60°，
∵CE=2xcm，
∴ BN =BC-CN =10-x(cm)，
∴BF=2(10-x) cm，
∵0<2x≤10，
∴0（3）解：∵ BE= DE， BE= EF，
∴DE=EF，
∵∠DEF =60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴DE=DF-EF，
∴BE=DF，
∴线段DF的长度最短，即BE的长度最短，当BE⊥AC时， BE取最短， 如图，
∵四边形ABCD是菱形，
，
为等边三角形，
∴当 时，线段DF的长度最短
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)设CD与EF相交于点M， 证明△BCE≌△DCE(SAS)， 可得∠CBE=∠CDE， BE=DE， 利用三角形外角性质可得∠CDE=∠CFE，即得∠CBE=∠CFE， 即可求证；
(2)过点E作EN⊥BC于N， 解直角三角形得到EN=CE·sin60°，CN=CE·cos60°，可得BN=BC-CN，由等腰三角形三线合一可得BF，即可由三角形面积公式得到y与x的函数表达式，最后由0<2x≤10，可得自变量x的取值范围；
(3)证明△DEF为等边三角形， 可得BE= DF，可知线段DF的长度最短，即BE的长度最短，当BE⊥AC时，BE取最短，又由菱形的性质可得△ABC为等边三角形，利用三线合一求出CE即可求解；
1 / 1【单元学习指导与练习】知识巩固 第28讲 图形的平移（同步练习）
1．将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（　　）
A． B．
C． D．
2． 如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做“平移重合图形”.下列图形中，属于“平移重合图形”的是（　　）
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆
3． 如图所示，点A 的坐标为（1，4），点B 在x轴上，把△AOB沿x轴向右平移到△CED，若四边形ABDC 的面积为8，则点 C 的坐标为（　　）
A．（2，4） B．（3，4） C．（3，3） D．（4，3）
4．如图所示，矩形ABCD 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC，BD 相交于点 E，反比例函数 的图象经过点A.将矩形 ABCD 向左平移，当点 E 落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为　 　.
5． 如图所示，在△ABC中，BC=3，将△ABC平移5个单位得到△A'B'C'，P，Q 分别是AB，A'C'的中点，PQ 长的最小值为　 　.
6． 如图所示，正比例函数y=kx 与反比例函数 的图象有一个交点A（2，m），AB⊥x轴于点B.若平移直线y=kx，使其经过点 B，得到直线l，则直线l 对应的函数表达式为　 　.
7．平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于 0的点称为“和点”.将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位.
例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点 ，其平移过程如下： P（2，1）-右，P1（3，1）上，P 水6
若“和点”Q按上述规则连续平移16 次后，到达点 则点 Q 的坐标为（　　）
A．（6，1）或（7，1） B．（15，-7）或（8，0）
C．（6，0）或（8，0） D．（5，1）或（7，1）
8． 如图所示，△AOB 的顶点A，B 分别在x轴、y 轴上，∠BAO=45°，且△AOB的面积为8.
（1）请直接写出A，B两点的坐标.
（2）过点A，B的抛物线G与x轴的另一个交点为C.
①若△ABC 是以BC 为腰的等腰三角形，求此时抛物线的函数表达式.
②将抛物线G 向下平移4个单位后，恰好与直线AB只有一个交点N，求点 N 的坐标.
9．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点 B（4，0），等边三角形OAB 的顶点A 在反比例函数 的图象上.
（1）求反比例函数的表达式.
（2）把△OAB 向右平移a个单位，对应得到△O'A'B'，当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时，求a的值.
10． 如图所示，在菱形ABCD中，AB=10cm，∠ABC=60°，E为对角线AC上一动点，以 DE 为一边作∠DEF=60°，EF 交射线BC 于点F，连接BE，DF.点E 从点C 出发，沿CA 方向以每秒2cm的速度运动至点A 处停止.设△BEF 的面积为ycm2，点E 的运动时间为x 秒.
（1）求证：BE=EF.
（2）求y与x的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围.
（3）求x 为何值时，线段 DF 的长度最短.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：根据平移不改变图形的形状、大小和方向，将题中图形平移后得到的图案是A，
故答案为：A.
【分析】根据平移的特征分析各图特点，只要符合“图形的形状、大小和方向都不改变”即为答案
2．【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E， F， 连接EF.
则
∵四边形ABEF向右平移可以与四边形FECD重合，
∴平行四边形ABCD是平移重合图形，
故答案为：A.
【分析】根据平移重合图形的定义逐项判断解答即可.
3．【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵把 沿x轴向右平移到
∴四边形ABDC是平行四边形，
A和C的纵坐标相同，
∵四边形ABDC的面积为8， 点A的坐标为(1，4)，
∴C(3，4)，
故答案为：B.
【分析】根据平移的性质得出四边形ABDC是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形ABDC的面积求得AC的长，即可求得C的坐标.
4．【答案】
【知识点】平移的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A(3，2)，
将A(3，2)代入得解析式得
∴这个反比例函数的表达式为
由题意可知C(9，6)， 四边形ABCD为矩形，
∴E(6，4)，
当 时，
解得：
∴平移的距离为：
故答案为：
【分析】先求解反比例函数为 结合矩形的性质求解E(6，4)，再结合平移的性质可得答案.
5．【答案】
【知识点】平移的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取 的中点N， 连接NQ， PN，
平移5个单位长度得到
∵点P、Q分别是AB、 的中点，
即
∴PQ的最小值为
【分析】取AC的中点M， 的中点N， 连接PM， MQ，NQ，PN，根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论.
6．【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵正比例函数 与反比例函数 的图象有一个交点A (2， m) ，
解得：
故A (2， 3) ，
则
解得：
故正比例函数解析式为：
轴于点B，平移直线 使其经过点B，
∴B (2， 0) ，
∴设平移后的解析式为：
则
解得：
故直线l对应的函数表达式是：
故答案为：
【分析】首先利用图象上点的坐标特征得出A点坐标，进而得出正比例函数解析式，再利用平移的性质得出答案.
7．【答案】D
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：发现规律为：若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移；
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点 则按照“和点 反向运动16次即可，可以分为两种情况：
先向右1个单位得到 此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是 向右平移1个单位得到 故矛盾，不成立；
先向下1个单位得到 此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到 故符合题意，
∴点 先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为 即(6，1)，
∴最后一次若向右平移则为(7，1)，若向左平移则为(5，1)，
故答案为： D.
【分析】先分别计算余0，1，2的平移，得出规律点Q先向右平移1个单位，再按照向上、向左， 向上、向左不断重复的规律平移，由此计算即可得解.
8．【答案】（1）解：在中，
∴A(4，0)， B(0，4)
（2）解：
①当点C在点A的左侧时，易知 B(0，4)， A(4，0)，
顶点为B(0，4)，时抛物线解析式为 (4，0)代入得到
∴抛物线的解析式为
当C与O重合时， 是等腰三角形，但此时不存在过A，B， C三点的抛物线.
当点C在点A的右侧时， 是以BC为腰的等腰三角形，这个显然不可能，此种情形不存在，综上所述，抛物线的解析式为
②抛物线G向下平移4个单位后，经过原点(0，0)和
设抛物线的解析式为 把 代入得到
∴抛物线的解析式为
由
消去y得到
由题意
∴抛物线的解析式为
由 解得
∴N(2，2)
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)首先证明 ，利用三角形的面积公式，列出方程即可求出OA、OB， 由此即可解决问题；
(2)①首先确定A、B、C的坐标，再利用的待定系数法即可解决问题；
②抛物线G向下平移4个单位后，经过原点(0，0)和 ，设抛物线的解析式为 把 代入得到 可得抛物线的解析式为 联立两解析式消去y得到 由题意可得 ， 求出m的值即可解决问题.
9．【答案】（1）解：如图甲所示，过点A作AC⊥OB于点C，
∵△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵B(4，0)，∴OB=OA=4，∴OC=2，AC=2把点A(2，2)代入
得k=4.∴反比例函数的表达式为
（2）解：分两种情况讨论：①如图乙所示，点D是A'B'的中点，过点D作DE⊥x轴于点E.
由题意得.，在Rt△DEB'中，B'D=2，DE=，B'E=1.∴O'E=3，把.代入得x=4，∴OE=4，∴a=OO'=1；②如图丙所示，点F是A'O'的中点，过点F作FH⊥x轴于点H.
由题意得，在Rt△FO'H中，.把代入得x=4，∴OH=4，∴a=OO'=3，综上所述，a的值为1或3
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【分析】(1) 过点A作 于点C，根据等边三角形的性质得出点A坐标，用待定系数法求得反比例函数的解析式即可；
(2)分两种情况讨论：①反比例函数图象过AB的中点；②反比例函数图象过AO的中点.分别过中点作x轴的垂线，再根据 角所对的直角边是斜边的一半得出中点的纵坐标，代入反比例函数的解析式得出中点坐标，再根据平移的法则得出a的值即可.
10．【答案】（1）证明：设CD与EF相交于点M，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=DC，∠BCE=∠DCE，AB∥CD，
∵∠ABC=60°，
∴∠DCF=60°，
在△BCE和△DCE中，
∴△BCE≌△DCE(SAS)，
∴∠CBE =∠CDE， BE= DE，
∵∠DMF=∠DEF+∠CDE=∠DCF+∠CFE，
又∵∠DEF =∠DCF =60°，
∴∠CDE=∠CFE，
∴∠CBE=∠CFE，
∴BE=EF
（2）解：过点E作EN⊥BC于N，
则∠ENC=90°，
∵BE= EF，
∴BF=2BN，
∵四边形ABCD为菱形， ∠ABC = 60°，
∴BC=AB=10cm， ∠ACB=∠BCD=60°，即∠ECN = 60°，
∵CE=2xcm，
∴ BN =BC-CN =10-x(cm)，
∴BF=2(10-x) cm，
∵0<2x≤10，
∴0（3）解：∵ BE= DE， BE= EF，
∴DE=EF，
∵∠DEF =60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴DE=DF-EF，
∴BE=DF，
∴线段DF的长度最短，即BE的长度最短，当BE⊥AC时， BE取最短， 如图，
∵四边形ABCD是菱形，
，
为等边三角形，
∴当 时，线段DF的长度最短
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)设CD与EF相交于点M， 证明△BCE≌△DCE(SAS)， 可得∠CBE=∠CDE， BE=DE， 利用三角形外角性质可得∠CDE=∠CFE，即得∠CBE=∠CFE， 即可求证；
(2)过点E作EN⊥BC于N， 解直角三角形得到EN=CE·sin60°，CN=CE·cos60°，可得BN=BC-CN，由等腰三角形三线合一可得BF，即可由三角形面积公式得到y与x的函数表达式，最后由0<2x≤10，可得自变量x的取值范围；
(3)证明△DEF为等边三角形， 可得BE= DF，可知线段DF的长度最短，即BE的长度最短，当BE⊥AC时，BE取最短，又由菱形的性质可得△ABC为等边三角形，利用三线合一求出CE即可求解；
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