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广东省佛山市华英学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·禅城期中）同学们利用图形变化设计图案，下列设计的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·禅城期中）下列生活现象中，属于平移的是（　　）
A．汽车轮胎在地上滚动 B．对折一张纸
C．拉开抽屉 D．时钟上分针的运动
3．（2024八下·禅城期中）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024八下·禅城期中）要使分式 有意义，则x应满足的条件是(　　)
A． B． C． D．
5．（2024八下·禅城期中）已知，下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·禅城期中）已知点在第四象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·禅城期中）如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·禅城期中）下列四个分式中，为最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八下·禅城期中）如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
10．（2024八下·禅城期中）某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打几折？若设该商品打折销售，则可列不等式为（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024八下·禅城期中）因式分解：　 　．
12．（2024八下·禅城期中）在平面直角坐标系中，把点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后点的坐标为　 　．
13．（2024八下·禅城期中）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是　 　，它是　 　（填真/假）命题．
14．（2024八下·禅城期中）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为　 　．
15．（2024八下·禅城期中）如图，在第1个三角形中，，，在边上任取一点D，延长到，便，得到第2个三角形；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个三角形；…；按此作法继续下去，则第2024个三角形的底角的度数是　 　．
16．（2024八下·禅城期中）解不等式组，请结合题填空，完成本题的解答：
（1）解不等式①，得__________；
（2）解不等式②，得__________；
（3）在同一条数轴上表示不符式①和②的解集，如图：
（4）原不等式组的解集为____________________．
17．（2024八下·禅城期中）分解因式：
（1）；
（2）．
18．（2024八下·禅城期中）如图所示，在中，平分，
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的度数．
19．（2024八下·禅城期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）分别画出下列图形；
将先向左平移1个单位，再向下平移6个单位后得到；
和关于原点O成中心对称图形；
将绕着点O按顺时针方向旋转得到．
（2）经过一次平移到，平移的距离是__________．
20．（2024八下·禅城期中）如图，在中，，．
（1）用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，求的长．
21．（2024八下·禅城期中）为了开展足球赛，学校计划购买A、B两个品牌的足球，A品牌比B品牌每个多6元；买A品牌10个，B品牌15个共用去1560元．
（1）求A、B两种品牌的足球的单价；
（2）学校准备用不超过2500元的资金购进A、B两种品牌的足球共40个，问最多能购进A品牌足球多少个？
22．（2024八下·禅城期中）阅读材料：
配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例：分解因式．
解：，
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法分解因式：；
（2）已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围；
（3）已知，，试比较P，Q的大小．
23．（2024八下·禅城期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于，B两点．
（1）k的值为__________；
（2）如图，点A关于y轴的对称点，
①求证是等边三角形；
②作平分交于C，点P在x轴上，为等腰三角形，直接写出点P的坐标__________．
24．（2024八下·禅城期中）综合与实践
如图1是实验室中的一种机械装置，在地面上，所在等腰直角三角形是固定支架，机械臂可以绕点A旋转，同时机械臂可以绕点D旋转，已知，，．
（1）如图2，把机械臂顺时针旋转，点D旋转到点E处，连结，当，
①连接，探究与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②当时，求的长
（2）如图3，机械臂A、D、M三点共线，，此时机械臂顺时针旋转，机械臂一端恰好落在边上，标记为点N，求支架的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，∴A不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，∴B符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，∴C不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：A、∵汽车轮胎在地上滚动，方向发生变化，∴A不是平移运动；
B、∵对折一张纸，方向发生变化，∴B不是平移运动；
C、∵拉开抽屉，∴C是平移运动；
D、∵时钟上分针的运动，方向发生变化，∴D不是平移运动；
故答案为：C．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动 ）逐项分析判断即可.
3．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、∵，是整式的乘法，∴A不符合题意；
B、∵不是多项式不能因式分解，∴B不符合题意；
C、∵，等号的右边不是积的形式，∴C不符合题意；
D、∵，∴D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用因式分解的定义（因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式）逐个分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵x+1≠0，
∴x≠-1.
故答案为：B.
【分析】根据分式有意义的条件：分母不能为0，可得x+1≠0，求解可得x的范围.
5．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵x＞y，
∴-3x＜-3y，故A不符合题意；
B、∵x＞y，
∴x-a＞y-a，故B不符合题意；
C、∵x＞y，
∴，故C不符合题意；
D、∵x＞y，
∴2x＞2y，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用不等式的性质3（不等号的方向改变），可对A作出判断；利用不等式的性质1，可对B作出判断；利用不等式的性质2，可对C、D作出判断.
6．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在第四象限，
，
解得：
故答案为：．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-），可得，再求解即可.
7．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：A、 当 时，可利用AAS证全等，故A不符合题意；
B、当 时，不能证明全等，故B不符合题意；
C、当 时，可利用AAS证全等，故C不符合题意；．
D、当 时，可利用HL证全等，故D符合题意；．
故答案为：D．
【分析】HL定理：在两个直角三角形中，如果其中一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，根据HL定理的条件逐一进行判断即可.
8．【答案】D
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A．，不是最简分式，故此选项不符合题意；
B．，不是最简分式，故此选项不符合题意；
C．，不是最简分式，故此选项不符合题意；
D．是最简分式，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个判断即可．
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵由三条公路连接的A，B，C三个村庄所构成的三角形区域内修建一个集贸市场，且使集贸市场到三个村庄的距离相等，
∴到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，
∴这个集贸市场应建在三角形三边垂直平分线的交点处．
故答案为：D．
【分析】利用垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）分析求解即可.
10．【答案】D
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设该商品打折销售，
依题意得：．
故答案为：D．
【分析】设该商品打折销售，根据“ 保证利润率不低于 ”列出不等式即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】利用完全平方公式的定义及计算方法（运用完全平方公式将某些多项式分解因式，其结构特征是：等式的左边是两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差，右边是这两个数和或差的平方）分析求解即可.
12．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，可得点的坐标，即，
故答案为：．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
13．【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形；真
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：逆命题为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形．
因为符合三角形内角和定理，故是真命题.
故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．真.
【分析】原命题的条件为：三角形为直角三角形，结论为三角形有两个角互余，将条件与结论互换可得逆命题，然后结合内角和定理进行判断.
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由图象可知，当时，
，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
15．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
，
，
第2个三角形的底角是，
，
，
，
，
第3个三角形的底角是，
按此作法继续下去，第2024个三角形的底角的度数是．
故答案为：．
【分析】先求出第2个三角形的底角是，第3个三角形的底角是，可得规律，再求出第2024个三角形的底角的度数是即可．
16．【答案】（1）
（2）
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：解不等式①，得；
故答案为：；
（2）解不等式②，得；
故答案为：；
（4）原不等式组的解集为：，
故答案为：.
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
（1）解：解不等式①，得；
（2）解不等式②，得；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为．
17．【答案】（1）解：

（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式x，再利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式2（m-2），再利用平方差公式进行因式分解即可.
（1）解：
（2）
．
18．【答案】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
是等腰三角形.
（2）解：，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义及平行线的定义和等量代换可得，利用等角对等边的性质可得DB=DE，从而可证出是等腰三角形；
（2）先利用三角形的内角和求出∠ABC=75°，再利用平行线的性质求出即可．
19．【答案】（1）解：如图，即为所求作．
如图，即为所求作．
如图，即为所求作．
（2）
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2）根据题意可得：
∴平移的距离是，
故答案为：.
【分析】（1）先利用点平移的特征和点旋转的特征以及点关于原点对称的点坐标的特征分别求出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用两点之间的距离公式列出算式求解即可.
（1）解如图，即为所求作．
如图，即为所求作．
如图，即为所求作．
（2）故平移的距离是
20．【答案】（1）解：如图，、为所作；
（2）解：垂直平分，
，
，
，
在中，，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的作图方法和步骤作出点AB的垂直平分线即可；
（2）先求出，再利用含30°角的直角三角形的性质求出，最后利用勾股定理求出BC的长即可.
（1）解：如图，、为所作；
（2）垂直平分，
，
，
，
在中，，
．
21．【答案】（1）解：设、两种品牌的足球单价为，元，
由题意可知：，
解得：，
答：、两种品牌的足球单价为66，60元.
（2）解：设能购进品牌的足球为个，
，
解得：，
是整数，
，
答：最多能购进品牌足球16个.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设、两种品牌的足球单价为，元，根据“ A品牌比B品牌每个多6元；买A品牌10个，B品牌15个共用去1560元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设能购进品牌的足球为个，根据“ 学校准备用不超过2500元的资金购进A、B两种品牌的足球共40个 ”列出不等式，再求解即可.
（1）解：设、两种品牌的足球单价为，元，
由题意可知：，
解得：，
答：、两种品牌的足球单价为66，60元；
（2）设能购进品牌的足球为个，
，
解得：，
是整数，
，
答：最多能购进品牌足球16个
22．【答案】（1）解：
.
（2）解：，
，，
，，
，
边的取值范围为；
（3）解：
，
.

【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法利用分组分解因式的计算方法分析求解即可；
（2）先利用配方法将原式变形为，再利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，最后利用三角形三边的关系分析求解即可；
（3）利用作差法求出，从而得解.
（1）解：
；
（2），
，，
，，
，
边的取值范围为；
（3）
，
．
23．【答案】（1）
（2）证明：①点关于轴的对称点，，
，
一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，
点坐标为；
，
∴
∴是等边三角形
②，或，或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：一次函数的图象与轴交于，
，
解得：，
故答案为：；
（2）②存在点，使为等腰三角形，
设，
由①得是等边三角形
∴
平分交于C，
∴
，
∵，
∴
当时，
，解得，
点的坐标为，或，；
当时，
，解得，
点的坐标为；
当时，
，解得，
点的坐标为；
综上所述：点的坐标为，或，或或．
【分析】（1）将点代入解析式求出k的值即可；
（2）①先求出点A'和点B的坐标，再求出A'B和AB的长，可得，从而可证出是等边三角形；
②分类讨论：当时，当时；当时，再分别列出方程求解即可.
24．【答案】（1）解：①连接，
由旋转可知，，，
是等腰三角形，，
，
，
，
，
∵
②，，
，
，
，，
，
．
（2）解：过点N作 ，如图所示：
∵顺时针旋转
，
∵
∵
∵
∴，
∴
∴
∴，
∴.

【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）①连接CD，先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得，从而可证出；
②先利用角的运算求出，利用勾股定理求出CD的长，再利用全等三角形的性质可得；
（2）过点N作 ，先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用线段的和差求出AB的长即可.
1 / 1广东省佛山市华英学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·禅城期中）同学们利用图形变化设计图案，下列设计的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，∴A不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，∴B符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，∴C不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．（2024八下·禅城期中）下列生活现象中，属于平移的是（　　）
A．汽车轮胎在地上滚动 B．对折一张纸
C．拉开抽屉 D．时钟上分针的运动
【答案】C
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：A、∵汽车轮胎在地上滚动，方向发生变化，∴A不是平移运动；
B、∵对折一张纸，方向发生变化，∴B不是平移运动；
C、∵拉开抽屉，∴C是平移运动；
D、∵时钟上分针的运动，方向发生变化，∴D不是平移运动；
故答案为：C．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动 ）逐项分析判断即可.
3．（2024八下·禅城期中）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、∵，是整式的乘法，∴A不符合题意；
B、∵不是多项式不能因式分解，∴B不符合题意；
C、∵，等号的右边不是积的形式，∴C不符合题意；
D、∵，∴D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用因式分解的定义（因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式）逐个分析求解即可.
4．（2024八下·禅城期中）要使分式 有意义，则x应满足的条件是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵x+1≠0，
∴x≠-1.
故答案为：B.
【分析】根据分式有意义的条件：分母不能为0，可得x+1≠0，求解可得x的范围.
5．（2024八下·禅城期中）已知，下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵x＞y，
∴-3x＜-3y，故A不符合题意；
B、∵x＞y，
∴x-a＞y-a，故B不符合题意；
C、∵x＞y，
∴，故C不符合题意；
D、∵x＞y，
∴2x＞2y，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用不等式的性质3（不等号的方向改变），可对A作出判断；利用不等式的性质1，可对B作出判断；利用不等式的性质2，可对C、D作出判断.
6．（2024八下·禅城期中）已知点在第四象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在第四象限，
，
解得：
故答案为：．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-），可得，再求解即可.
7．（2024八下·禅城期中）如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：A、 当 时，可利用AAS证全等，故A不符合题意；
B、当 时，不能证明全等，故B不符合题意；
C、当 时，可利用AAS证全等，故C不符合题意；．
D、当 时，可利用HL证全等，故D符合题意；．
故答案为：D．
【分析】HL定理：在两个直角三角形中，如果其中一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，根据HL定理的条件逐一进行判断即可.
8．（2024八下·禅城期中）下列四个分式中，为最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A．，不是最简分式，故此选项不符合题意；
B．，不是最简分式，故此选项不符合题意；
C．，不是最简分式，故此选项不符合题意；
D．是最简分式，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个判断即可．
9．（2024八下·禅城期中）如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵由三条公路连接的A，B，C三个村庄所构成的三角形区域内修建一个集贸市场，且使集贸市场到三个村庄的距离相等，
∴到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，
∴这个集贸市场应建在三角形三边垂直平分线的交点处．
故答案为：D．
【分析】利用垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）分析求解即可.
10．（2024八下·禅城期中）某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打几折？若设该商品打折销售，则可列不等式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设该商品打折销售，
依题意得：．
故答案为：D．
【分析】设该商品打折销售，根据“ 保证利润率不低于 ”列出不等式即可.
11．（2024八下·禅城期中）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】利用完全平方公式的定义及计算方法（运用完全平方公式将某些多项式分解因式，其结构特征是：等式的左边是两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差，右边是这两个数和或差的平方）分析求解即可.
12．（2024八下·禅城期中）在平面直角坐标系中，把点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，可得点的坐标，即，
故答案为：．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
13．（2024八下·禅城期中）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是　 　，它是　 　（填真/假）命题．
【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形；真
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：逆命题为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形．
因为符合三角形内角和定理，故是真命题.
故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．真.
【分析】原命题的条件为：三角形为直角三角形，结论为三角形有两个角互余，将条件与结论互换可得逆命题，然后结合内角和定理进行判断.
14．（2024八下·禅城期中）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由图象可知，当时，
，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
15．（2024八下·禅城期中）如图，在第1个三角形中，，，在边上任取一点D，延长到，便，得到第2个三角形；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个三角形；…；按此作法继续下去，则第2024个三角形的底角的度数是　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
，
，
第2个三角形的底角是，
，
，
，
，
第3个三角形的底角是，
按此作法继续下去，第2024个三角形的底角的度数是．
故答案为：．
【分析】先求出第2个三角形的底角是，第3个三角形的底角是，可得规律，再求出第2024个三角形的底角的度数是即可．
16．（2024八下·禅城期中）解不等式组，请结合题填空，完成本题的解答：
（1）解不等式①，得__________；
（2）解不等式②，得__________；
（3）在同一条数轴上表示不符式①和②的解集，如图：
（4）原不等式组的解集为____________________．
【答案】（1）
（2）
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：解不等式①，得；
故答案为：；
（2）解不等式②，得；
故答案为：；
（4）原不等式组的解集为：，
故答案为：.
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
（1）解：解不等式①，得；
（2）解不等式②，得；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为．
17．（2024八下·禅城期中）分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：

（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式x，再利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式2（m-2），再利用平方差公式进行因式分解即可.
（1）解：
（2）
．
18．（2024八下·禅城期中）如图所示，在中，平分，
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
是等腰三角形.
（2）解：，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义及平行线的定义和等量代换可得，利用等角对等边的性质可得DB=DE，从而可证出是等腰三角形；
（2）先利用三角形的内角和求出∠ABC=75°，再利用平行线的性质求出即可．
19．（2024八下·禅城期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）分别画出下列图形；
将先向左平移1个单位，再向下平移6个单位后得到；
和关于原点O成中心对称图形；
将绕着点O按顺时针方向旋转得到．
（2）经过一次平移到，平移的距离是__________．
【答案】（1）解：如图，即为所求作．
如图，即为所求作．
如图，即为所求作．
（2）
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2）根据题意可得：
∴平移的距离是，
故答案为：.
【分析】（1）先利用点平移的特征和点旋转的特征以及点关于原点对称的点坐标的特征分别求出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用两点之间的距离公式列出算式求解即可.
（1）解如图，即为所求作．
如图，即为所求作．
如图，即为所求作．
（2）故平移的距离是
20．（2024八下·禅城期中）如图，在中，，．
（1）用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，求的长．
【答案】（1）解：如图，、为所作；
（2）解：垂直平分，
，
，
，
在中，，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的作图方法和步骤作出点AB的垂直平分线即可；
（2）先求出，再利用含30°角的直角三角形的性质求出，最后利用勾股定理求出BC的长即可.
（1）解：如图，、为所作；
（2）垂直平分，
，
，
，
在中，，
．
21．（2024八下·禅城期中）为了开展足球赛，学校计划购买A、B两个品牌的足球，A品牌比B品牌每个多6元；买A品牌10个，B品牌15个共用去1560元．
（1）求A、B两种品牌的足球的单价；
（2）学校准备用不超过2500元的资金购进A、B两种品牌的足球共40个，问最多能购进A品牌足球多少个？
【答案】（1）解：设、两种品牌的足球单价为，元，
由题意可知：，
解得：，
答：、两种品牌的足球单价为66，60元.
（2）解：设能购进品牌的足球为个，
，
解得：，
是整数，
，
答：最多能购进品牌足球16个.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设、两种品牌的足球单价为，元，根据“ A品牌比B品牌每个多6元；买A品牌10个，B品牌15个共用去1560元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设能购进品牌的足球为个，根据“ 学校准备用不超过2500元的资金购进A、B两种品牌的足球共40个 ”列出不等式，再求解即可.
（1）解：设、两种品牌的足球单价为，元，
由题意可知：，
解得：，
答：、两种品牌的足球单价为66，60元；
（2）设能购进品牌的足球为个，
，
解得：，
是整数，
，
答：最多能购进品牌足球16个
22．（2024八下·禅城期中）阅读材料：
配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例：分解因式．
解：，
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法分解因式：；
（2）已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围；
（3）已知，，试比较P，Q的大小．
【答案】（1）解：
.
（2）解：，
，，
，，
，
边的取值范围为；
（3）解：
，
.

【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法利用分组分解因式的计算方法分析求解即可；
（2）先利用配方法将原式变形为，再利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，最后利用三角形三边的关系分析求解即可；
（3）利用作差法求出，从而得解.
（1）解：
；
（2），
，，
，，
，
边的取值范围为；
（3）
，
．
23．（2024八下·禅城期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于，B两点．
（1）k的值为__________；
（2）如图，点A关于y轴的对称点，
①求证是等边三角形；
②作平分交于C，点P在x轴上，为等腰三角形，直接写出点P的坐标__________．
【答案】（1）
（2）证明：①点关于轴的对称点，，
，
一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，
点坐标为；
，
∴
∴是等边三角形
②，或，或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：一次函数的图象与轴交于，
，
解得：，
故答案为：；
（2）②存在点，使为等腰三角形，
设，
由①得是等边三角形
∴
平分交于C，
∴
，
∵，
∴
当时，
，解得，
点的坐标为，或，；
当时，
，解得，
点的坐标为；
当时，
，解得，
点的坐标为；
综上所述：点的坐标为，或，或或．
【分析】（1）将点代入解析式求出k的值即可；
（2）①先求出点A'和点B的坐标，再求出A'B和AB的长，可得，从而可证出是等边三角形；
②分类讨论：当时，当时；当时，再分别列出方程求解即可.
24．（2024八下·禅城期中）综合与实践
如图1是实验室中的一种机械装置，在地面上，所在等腰直角三角形是固定支架，机械臂可以绕点A旋转，同时机械臂可以绕点D旋转，已知，，．
（1）如图2，把机械臂顺时针旋转，点D旋转到点E处，连结，当，
①连接，探究与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②当时，求的长
（2）如图3，机械臂A、D、M三点共线，，此时机械臂顺时针旋转，机械臂一端恰好落在边上，标记为点N，求支架的长．
【答案】（1）解：①连接，
由旋转可知，，，
是等腰三角形，，
，
，
，
，
∵
②，，
，
，
，，
，
．
（2）解：过点N作 ，如图所示：
∵顺时针旋转
，
∵
∵
∵
∴，
∴
∴
∴，
∴.

【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）①连接CD，先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得，从而可证出；
②先利用角的运算求出，利用勾股定理求出CD的长，再利用全等三角形的性质可得；
（2）过点N作 ，先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用线段的和差求出AB的长即可.
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