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第1课时
椭圆的简单几何性质
第三章　3.1.2　椭圆的简单几何性质
<<<
1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.
2.会用椭圆的几何意义解决相关问题(重点).
学习目标
与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.
导 语
一、椭圆的简单几何性质
二、由椭圆的几何性质求标准方程
课时对点练
三、求椭圆的离心率
随堂演练
内容索引
椭圆的简单几何性质
一
提示　范围：-a≤x≤a，-b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点；
顶点：A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b).
观察椭圆+=1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
问题1
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
范围 ___________________ ___________________
顶点 ____________________ ____________________ ____________________
____________________
-a≤x≤a，-b≤y≤b
-b≤x≤b，-a≤y≤a
A1(-a，0)，A2(a，0)，
B1(0，-b)，B2(0，b)
A1(0，-a)，A2(0，a)，
B1(-b，0)，B2(b，0)
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
轴长 短轴长等于 ，长轴长等于____ 焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F1F2|=2 对称性 对称轴： ，对称中心：_____ 2b
2a
x轴、y轴
原点
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a+c，最小值为a-c.
注 意 点
<<<
提示　题干图中，保持长半轴长a不变，随着短半轴长b的增大，即离心率e==减小，椭圆越圆；随着短半轴长b的减小，即离心率e= =增大，椭圆越扁平.
扁平程度是椭圆的重要形状特征，观察图象，我们可以发现，不同椭圆的扁平程度不同，我们常用离心率e=来刻画椭圆的扁平程度.请说明一下这个定量对椭圆的形状有何影响？
问题2
椭圆的离心率：e= ∈(0，1).
(1)e=.
(2)离心率的范围为(0，1).
(3)e越接近于1，椭圆越扁平；e越接近于0，椭圆越接近于圆.(可以结合数字的特点来帮助记忆，“1”很扁平，“0”很圆)
注 意 点
<<<
　(课本例4)　求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
例 1
把原方程化成标准方程，得+=1，
于是a=5，b=4，c==3.
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8，离心率e==两个焦点坐标分别是F1(-3，0)和F2(3，0)，四个顶点坐标分别是A1(-5，0)，A2(5，0)，B1(0，-4)和B2(0，4).
解
求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标：
(1)+=1；
例 1
由椭圆方程知，a=，b=，c==1，
所以椭圆的长轴长为2，短轴长为2，
顶点坐标为(-，0)，(，0)，(0，-)，(0，)，焦点坐标为(-1，0)，
(1，0).
解
(2)4x2+y2=16.
椭圆方程可变形为+=1，
所以a=4，b=2，c==2，
所以椭圆的长轴长为8，短轴长为4，离心率为，
顶点坐标为(-2，0)，(2，0)，(0，-4)，(0，4)，焦点坐标为(0，-2)，(0，2).
解
用椭圆的标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式.
(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质.
反
思
感
悟
　已知椭圆C1：+=1.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
跟踪训练 1
由椭圆C1：+=1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，
焦点坐标为(6，0)，(-6，0)，离心率e=.
解
(2)设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质.
椭圆C2：+=1.
几何性质如下：
①范围：-8≤x≤8，-10≤y≤10；
②对称性：对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点；
③顶点：长轴端点为(0，10)，(0，-10)，短轴端点为(-8，0)，(8，0)；
④焦点：(0，6)，(0，-6)，焦距为12；
⑤离心率：e=.
解
二
由椭圆的几何性质求标准方程
分别求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；
例 2
依题意可设椭圆方程为+=1(a>b>0).
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，
所以c=b=3，
所以a2=b2+c2=18，
故所求椭圆的标准方程为+=1.
解
(2)过点(3，0)，离心率e=.
当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)，
由题意，得a=3，
因为e=，所以c=，从而b2=a2-c2=3，所以椭圆的标准方程为+=1；
当椭圆的焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)，
由题意，得b=3，
解
因为e=，
所以=，
把b=3代入，得a2=27，
所以椭圆的标准方程为+=1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
解
利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定焦点位置.
(2)设出相应椭圆的标准方程.
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数.
(4)写出椭圆的标准方程.
反
思
感
悟
(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一
个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为　　　　　.
跟踪训练 2
可设椭圆方程为+=1(a>b>0)，
由题意，得解得
所以椭圆的标准方程为+=1.
解析
+=1
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个
顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA=，则椭圆的标准方程是
　　　　 　.
因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA=，
所以点A是短轴的端点.
所以|OF|=c，|AF|=a=3，
所以=，所以c=2，b2=32-22=5，
所以椭圆的标准方程是+=1或+=1.
解析
+=1或+=1
求椭圆的离心率
三
设椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C
上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为　　　.
例 3
方法一　由题意可设|PF2|=m，结合条件可知|PF1|=2m，|F1F2|=m，故离心率e=====.
方法二　由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x=c代入椭圆方程可得y=±，所以|PF2|=.又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=|PF2|，故2c=·(a2-c2)=2ac，等式两边同除以a2，得(1-e2)=2e，解得e=或e=-(舍去).
解析
若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°”改为“∠PF2F1 =75°，∠PF1F2=45°”，求椭圆C的离心率.
延伸探究 1
在△PF1F2中，
∵∠PF1F2=45°，∠PF2F1=75°，
∴∠F1PF2=60°，
设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，则m+n=2a，
则在△PF1F2中，有==，
∴=，
∴e====.
解
若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°”改为“椭圆C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求椭圆C的离心率的取值范围.
延伸探究 2
设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=2a，
∴mn≤=a2，
当且仅当m=n时取等号.
由余弦定理知cos∠F1PF2==
==-1≥-1，
当且仅当m=n时取等号，即P为短轴端点时，cos∠F1PF2最小，此时∠F1PF2最大.
解
椭圆C上存在点P，使∠F1PF2为钝角，
只需当点P位于短轴端点时，∠F1PF2为钝角，
则c>b，∴c2>b2.
又b2=a2-c2，
∴c2>a2-c2，即2c2>a2，∴e2=>，
∴e>，又0∴椭圆C的离心率的取值范围为.
解
求椭圆的离心率及离心率的取值范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e=求解.若已知a，b或b，c可借助于a2=b2+c2求出c或a，再代入公式e=求解.
(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2=b2+c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.
反
思
感
悟
椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作与x轴垂直的直线，交椭圆于M，N两点，MN的长为，若△MF2N的周长为20，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
跟踪训练 3
√
设椭圆的方程为+=1(a>b>0)，
则由椭圆的定义，可得|MF1|+|MF2|=|NF1|+|NF2|=2a.
由△MF2N的周长为20，可得4a=20，即a=5.
令x=-c，代入椭圆的方程，
可得y=±，
则|MN|==，解得b2=9，
所以c==4，
所以椭圆的离心率e==.
解析
1.知识清单：
(1)椭圆的简单几何性质.
(2)由椭圆的几何性质求标准方程.
(3)求椭圆的离心率.
2.方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法).
3.常见误区：忽略椭圆离心率的取值范围及长轴长与a的关系.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知椭圆的离心率为，焦点是(-3，0)和(3，0)，则该椭圆的方程为
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
√
1
2
3
4
由题意知c=3，=，
则a=6，
∴b2=a2-c2=27，
∴椭圆的方程为+=1.
解析
1
2
3
4
2.(多选)已知椭圆C：16x2+4y2=1，则下列结论正确的是
A.长轴长为
B.焦距为
C.焦点坐标为
D.离心率为
√
√
1
2
3
4
由椭圆方程16x2+4y2=1化为标准方程可得+=1，
所以a=，b=，c= ，
所以长轴长2a=1，
焦距2c=，
离心率e==.
解析
1
2
3
4
3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为
A. B. C. D.
√
1
2
3
4
如图，不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点.
依题意可知，△BF1F2是正三角形.
∵在Rt△OBF2中，
|OF2|=c，|BF2|=a，
∠OF2B=60°，
∴cos 60°==，
即椭圆的离心率e=.
解析
1
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3
4
4.若椭圆C：+=1的一个焦点坐标为(0，1)，则C的长轴长为　　　.
2
∵椭圆的一个焦点坐标为(0，1)，
∴m2-1-m=1，即m2-m-2=0，解得m=2或m=-1，
由于+=1表示的是椭圆，
则m>1，∴m=2，
则椭圆方程为+=1，
∴a=，2a=2.
解析
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B A A D CD (2，4] 题号 8 11 12 13 14 15
答案 +=1 AC C A +=1 C
对一对
答案
1
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9.
答案
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由F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|，
==
=整理得a2=3c2.
故离心率e==.
10.
答案
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16
(1)若∠F1AB=90°，
则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有|OA|=|OF2|，即b=c.
所以a=c，e==.
(2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)，
设B(x，y=2
10.
答案
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16
解得x=y=-.
+=1+=1，
+=1，解得a2=3，
又c2=1，所以b2=2，
+=1.
16.
答案
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16
(1)由|AF1|=3|F1B|，
|AB|=4，得|AF1|=3，|F1B|=1.
因为△ABF2的周长为16，
所以由椭圆定义可得4a=16，
|AF1|+|AF2|=2a=8，
故|AF2|=8-3=5.
16.
答案
1
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(2)设|F1B|=k，k>0，
则|AF1|=3k，|AB|=4k.
由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k.
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，
即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-2a-3k)(2a-k)，
化简可得(a+k)(a-3k)=0，
16.
答案
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16
而a+k>0，故a=3k.
于是有|AF2|=3k=|AF1|，|BF2|=5k.
因此|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，
可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形.
从而c=a，所以椭圆E的离心率e==.
基础巩固
1.已知椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为
A. B.2 C. D.4
√
由题意，椭圆x2+my2=1的标准形式为+x2=1.
因为长轴长是短轴长的2倍，
所以=2，所以m=.
解析
答案
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16
2.曲线+=1与+=1(0A.有相等的焦距，相同的焦点
B.有相等的焦距，不同的焦点
C.有不等的焦距，不同的焦点
D.以上都不对
√
答案
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曲线+=1的焦距为2c=8，而曲线+=1(0解析
3.(2023·新高考全国Ⅰ)设椭圆C1：+y2=1(a>1)，C2：+y2=1的离心率分别为e1，e2.若e2=e1，则a等于
A. B. C. D.
√
由e2=e1，得=3，
因此=3×，
而a>1，所以a=.
解析
答案
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4.已知椭圆+=1(a>b>0)有两个顶点在直线x+2y=2上，则此椭圆的焦点坐标是
A.(±，0) B.(0，±)
C.(±，0) D.(0，±)
√
答案
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在x+2y=2中，由y=0得x=2，由x=0得y=1，则该直线交x轴于点(2，0)，
交y轴于点(0，1)，
依题意得a=2，b=1，则c==，
显然，椭圆焦点在x轴上，
所以椭圆的焦点坐标是(±，0).
解析
5.如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条PAB的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证PA与PB的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E.已知|PA|=2|AB|，且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为
A. B.
C. D.
√
答案
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已知|PA|=2|AB|，设|AB|=x，
则|PA|=2x，
当A滑动到O位置处时，P点在上顶点或下顶点，
则短半轴长b=2x，
当P在右顶点时，B恰好在O点，
则长半轴长a=3x，
故离心率为==.
解析
6.(多选)为使椭圆+=1的离心率为，正数m的值可以是
A.1 B. C. D.
√
答案
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当0此时a2=2，b2=m，
所以c2=a2-b2=2-m，
所以e2===，
解得m=，符合题意；
当m>2时，焦点在y轴上，此时a2=m，b2=2，所以c2=a2-b2=m-2，
解析
答案
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所以e2===，
解得m=，符合题意.
故正数m的值可以是.
解析
7.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0　　　　.
∵e=，b=1，0∴≤，则1即长轴长的取值范围是(2，4].
解析
答案
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(2，4]
8.我们把焦点在同一条坐标轴上，且离心率相同的椭圆叫做“相似椭圆”.若椭圆E：+=1，则以椭圆E的焦点为顶点的相似椭圆F的标准方
程为　　　　　　.
答案
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+=1
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椭圆E的离心率为e==，
设椭圆F的标准方程为+=1(a>b>0)，
则a==2，
∴椭圆F的半焦距c=1，b2=a2-c2=3，
即椭圆F的标准方程为+=1.
解析
9.已知椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)(c>0)，过点E的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|= 2|F2B|，求椭圆的离心率.
答案
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由F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|，
得==，
从而=，
整理得a2=3c2.
故离心率e==.
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10.如图，已知椭圆+=1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；
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若∠F1AB=90°，
则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有|OA|=|OF2|，
即b=c.
所以a=c，e==.
解
(2)若椭圆的焦距为2，且=2，求椭圆的标准方程.
答案
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由题意知A(0，b)，F2(1，0)，
设B(x，y)，由=2，
解得x=，y=-.
代入+=1，得+=1，即+=1，
解得a2=3，
又c2=1，所以b2=2，
所以椭圆的标准方程为+=1.
解
11.(多选)若椭圆绕其对称中心旋转90°，所得新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，就称该椭圆为“对称椭圆”.下列方程所表示的椭圆是“对称椭圆”的有
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
√
√
综合运用
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因为新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，
所以2b=2c，即b=c，
对于A，a2=6，b2=3，则c2=a2-b2=3，所以b=c，所以A正确；
对于B，a2=12，b2=8，则c2=a2-b2=4，所以b≠c，所以B错误；
对于C，a2=10，b2=5，则c2=a2-b2=5，所以b=c，所以C正确；
对于D，a2=5，b2=3，则c2=a2-b2=2，所以b≠c，所以D错误.
解析
12.椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|= 5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是
A. B.
C. D.
√
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由题意可知|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|=5|PF2|，
则|PF1|=，|PF2|=，
∵|PF1|-|PF2|≤|F1F2|，
∴≤2c，e≥.
又e<1，
∴椭圆离心率的取值范围是.
解析
13.椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=(x+c)与椭圆C的一个交点M在x轴上方，满足∠F1MF2=∠MF2F1，则该椭圆的离心率为
A.-1 B.
C.-2 D.
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直线y=(x+c)过定点F1(-c，0)，斜率k=，所以∠MF1F2=30°，
由解得
又因为|F1F2|=2c，可得|MF2|=c，|MF1|=c，
结合椭圆的定义可得2a=|MF1|+|MF2|=c+c，整理得e===-1.
解析
14.焦点在y轴上且中心为原点的椭圆C2与椭圆C1：+y2=1的离心率相同，
且C1，C2在第一象限内公共点的横坐标为1，则C2的方程为　　 　　　.
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椭圆C1中，a=，c==1，
故椭圆C1的离心率为=，
在+y2=1中，令x=1，得y=±，
故C1，C2在第一象限内公共点的坐标为，
设C2：+=1(a1>b1>0)，
解析
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将+=1，
又===，
故C2的方程为+=1.
解析
15.关于椭圆mx2+ny2=1，有如下四个论断：①焦点在x轴上；②过点(2，1)；③过点()；④短轴长为2.若有且仅有三个论断是正确的，则椭圆的长轴长为
A.2 B.3 C.2 D.6
拓广探究
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若②③正确，则4m+n=1，3m+3n=1，解得m=，n=，
此时椭圆的焦点不在x轴上，短轴长为3，此时①④均不正确，不符合题意，因此①④正确，
故可设椭圆方程为+=1，a2>3，
显然不过点()，故过点(2，1)，
从而+=1，解得a2=6，
故椭圆的长轴长为2.
解析
16.设F1，F2分别是椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1B|.
(1)若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
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由|AF1|=3|F1B|，|AB|=4，
得|AF1|=3，|F1B|=1.
因为△ABF2的周长为16，
所以由椭圆定义可得4a=16，
|AF1|+|AF2|=2a=8，故|AF2|=8-3=5.
解
(2)若cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率.
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设|F1B|=k，k>0，则|AF1|=3k，|AB|=4k.
由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k.
在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，
即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(2a-k)，
化简可得(a+k)(a-3k)=0，而a+k>0，
故a=3k.
于是有|AF2|=3k=|AF1|，|BF2|=5k.
解
因此|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，
可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形.
从而c=a，所以椭圆E的离心率e==.
解
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第三章　3.1.2　椭圆的简单几何性质
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