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第2课时
椭圆的标准方程及性质的应用
第三章　3.1.2　椭圆的简单几何性质
<<<
1.了解椭圆在实际生活中的应用.
2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系(重点).
3.掌握点差法在中点弦问题的运用.
学习目标
传说，很久以前，在意大利的西西里岛上有一个山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚用这个山洞囚禁犯人.囚犯们多次密谋逃跑，但是每次计划都被杰尼西亚发现.起初，囚犯们怀疑有内奸，但是始终没有发现内奸是谁.后来他们察觉到关押他们的山洞很奇怪，人只要站在山洞入口处的某个地方，就能听到很远处洞底的声音，
导 语
甚至连人的呼吸声都能听到，因此这个山洞被命名为“杰尼西亚的耳朵”.这个山洞的特别之处就在于它呈椭圆形，声音可以从椭圆的一个焦点反射到另一个焦点上，从而可以在洞口清晰地听到洞底的声音.
一、实际生活中的椭圆问题
二、直线与椭圆的位置关系
课时对点练
三、中点弦问题
随堂演练
内容索引
实际生活中的椭圆问题
一
(多选)中国的“嫦娥四号”探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个
例 1
焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是
A.a1+c1=a2+c2 B.a1-c1=a2-c2
C.< D.>
√
√
由图可知，a1>a2，c1>c2，所以a1+c1>a2+c2，所以A错误；
在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1-c1=|PF|，
在椭圆轨道Ⅱ中可得，a2-c2=|PF|，
所以a1-c1=a2-c2，所以B正确；
所以a1+c2=a2+c1，两边同时平方，得++2a1c2=++2a2c1，
所以-+2a1c2=-+2a2c1，
即+2a1c2=+2a2c1，由图可得，>，
所以2a1c2<2a2c1，即<，所以C错误，D正确.
解析
解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)
(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题.
(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解.
(3)用解得的结果说明原来的实际问题.
反
思
感
悟
某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是　　　米.
跟踪训练 1
32
设椭圆方程为+=1(a>0)，
当点(4，4.5)在椭圆上时，+=1，
解得a=16，
∵车辆高度不超过4.5米，
∴a≥16，d=2a≥32，故拱宽至少为32米.
解析
二
直线与椭圆的位置关系
提示　直线与椭圆的位置关系有相离、相交、相切三种.判断方法是联立直线与椭圆方程，转化为关于x(或y)的一元二次方程，利用判别式Δ判断.
类比直线与圆的位置关系，思考直线与椭圆有几种位置关系？怎样判断其位置关系？
问题1
直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系的判断方法：
联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程：
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 解 Δ 0
相切 解 Δ 0
相离 解 Δ 0
两
>
一
=
无
<
设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况.
注 意 点
<<<
提示　不能.因为椭圆不是圆，中心到椭圆上各点的距离不完全相等.
直线与椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断吗？为什么？
问题2
　(课本例7)　如图，已知直线l：4x-5y+m=0和椭圆C：+=1.m为何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个公共点？(2)有且只有一个公共点？
(3)没有公共点？
例 2
由方程组
消去y，得25x2+8mx+m2-225=0. ①
方程①的根的判别式
Δ=64m2-4×25×(m2-225)=36×(252-m2).
由Δ>0，得-25由Δ=0，得m1=25，m2=-25.此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
由Δ<0，得m<-25，或m>25.此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点.
解
　已知直线l：y=2x+m，椭圆C：+=1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点？
例 2
直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组
将①代入②，整理得9x2+8mx+2m2-4=0， ③
关于x的一元二次方程的根的判别式
Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.
由Δ>0，得-3于是当-3解
(2)有且只有一个公共点？
由Δ=0，得m=±3.
也就是当m=±3时，方程③有两个相同的实数根，这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
解
(3)没有公共点？
由Δ<0，得m<-3或m>3.
从而当m<-3或m>3时，方程③没有实数根，这时直线l与椭圆C没有公共点.
解
研究直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题.在求最小距离和最大距离问题时，转化为直线与椭圆的相切问题.此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用.
反
思
感
悟
　若直线y=x-1与椭圆x2+3y2=a有且只有一公共点，那么a的值为
A. B. C. D.1
跟踪训练 2
因为方程x2+3y2=a表示的曲线为椭圆，所以a>0，
将直线y=x-1的方程与椭圆的方程联立可得4x2-6x+3-a=0，
则Δ=36-4×4×(3-a)=16a-12=0，解得a=.
解析
√
中点弦问题
三
提示　将点A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程得
将两式作差并整理得+=0，
又x1≠x2，则=-，即·=-，从而kAB·=-，
即kAB·kOM=-.
已知椭圆的方程为+=1(m>0，n>0，m≠n)，直线与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，弦AB的中点为M(x0，y0)，你能求出kAB·kOM的值吗？
问题3
点差法：设出弦的两端点坐标后，代入椭圆的方程，将两式相减，式中含有x1+x2，y1+y2，三个未知量，这样就联系了中点坐标和直线的斜率.
已知椭圆+=1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，则直线AB的方程为　　　　 .
例 3
x+2y-4=0
方法一　易知直线AB的斜率k存在，
设所求直线的方程为y-1=k(x-2)，
由
得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是上述方程的两根，
于是x1+x2=.
解析
又M为AB的中点，∴==2，
解得k=-.
故所求直线的方程为x+2y-4=0.
经检验，所求直线满足题意.
方法二　设点A(x1，y1)，B(x2，y2).
∵M(2，1)为AB的中点，
∴x1+x2=4，y1+y2=2.
又A，B两点在椭圆上，
解析
则+4=16，+4=16，
两式相减得(-)+4(-)=0，
则(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.
∴=-=-=-，
即kAB=-.
故所求直线的方程为x+2y-4=0.
经检验，所求直线满足题意.
解析
方法三　设A(x，y)，由于AB的中点为M(2，1)，
则B(4-x，2-y).
∵A，B两点都在椭圆上，
∴
①-②，化简得x+2y-4=0.
显然点A的坐标满足这个方程，代入验证可知点B的坐标也满足这个方程，而过点A，B的直线只有一条，故所求直线的方程为x+2y-4=0.
解析
解决椭圆中点弦问题的方法
(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消元后，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
(2)点差法：利用交点在曲线上，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，便可构造出中点坐标和斜率的关系.
反
思
感
悟
过点M(1，1)作斜率为-的直线与椭圆C：+=1(a>b>0)相
交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为　　　.
跟踪训练 3
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
∵M(1，1)是线段AB的中点，
∴=1，=1.
∵直线AB的方程是y=-(x-1)+1，
∴y1-y2=-(x1-x2).
解析
由①②两式相减可得+=0，
即+·=0，
∴a=b.∴c=b，∴e==.
解析
1.知识清单：
(1)实际生活中的椭圆问题.
(2)直线与椭圆的位置关系.
(3)中点弦问题.
2.方法归纳：分类讨论法、点差法.
3.常见误区：忽略直线中斜率不存在的情况.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知直线l：x+y-3=0，椭圆C：+y2=1，则直线l与椭圆C的位置关系是
A.相离 B.相切
C.相交 D.相交或相切
√
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4
把x+y-3=0代入+y2=1，
得+(3-x)2=1，即5x2-24x+32=0.
∵Δ=(-24)2-4×5×32=-64<0，
∴直线l与椭圆C相离.
解析
1
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4
2.直线y=x+1被椭圆+=1所截得弦的中点坐标为
A. B.
C. D.
√
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4
设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，
B(x2，y2)，它们的中点为M(x0，y0)，
则+=1，+=1，
两式相减得到+=0，
故+=0，
解析
1
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4
即x0+2y0=0，
又y0=x0+1，
故x0=-，y0=，
所以中点坐标为.
解析
1
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3
4
3.若直线y=x+2与椭圆+=1有两个公共点，则m的取值范围是
　　　 　　　　　.
(1，3)∪(3，+∞)
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4
∵+=1表示椭圆，∴m>0且m≠3.
由
得(m+3)x2+4mx+m=0，
∴Δ=16m2-4m(m+3)>0，
解得m>1或m<0.
∴m>1且m≠3，
∴m的取值范围是(1，3)∪(3，+∞).
解析
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4.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为　　　　cm.
20
1
2
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4
因为两个椭圆的扁平程度相同，所以这两个椭圆的离心率相同，
所以=，
即=，
所以=，
解得a小=10.
所以小椭圆的长轴长为20 cm.
解析
课时对点练
五
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A B C A B C 2 题号 8 11 12 13 14 15
答案 9x+y-5=0 C C A x+4y=0 ABD
9.
答案
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设与直线x-y+4=0平行且与椭圆相切的直线方程为x-y+a=0(a≠4)，
消x得9y2-2ay+a2-8=0，
由Δ=4a2-36(a2-8)=0，
解得a=3或a=-3，
∴与直线l距离较近的切线为x-y+3=0，
9.
答案
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两条直线之间的距离即为所求最短距离，且直线x-y+3=0与椭圆的切点即为所求点P.
故所求最短距离d==.
P.
10.
答案
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(1)设M(x，y).
因为kAM·kBM=-2，
·=-2(x≠±1)，
化简得2x2+y2=2(x≠±1).
即点M的轨迹方程为2x2+y2=2(x≠±1).
10.
答案
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(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2).
当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=易知此时线段CD的中点不是N，
不符合题意.
当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y-1=k
将点C(x1，y1)，D(x2，y2)的坐标代入2x2+y2=2(x≠±1)，
得2+=2， ①
2+=2， ②
10.
答案
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①-②整理得k==-=-=-1，
故直线l的方程为y-1=-
即所求直线l的方程为2x+2y-3=0.
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(1)由题意知b=15，a+9=34，
解得a=25，b=15.
+=1(x≤0+=1(x≥0).
(2)设P(x0，t)为矩形在第一象限内的顶点，
Q(x1，t+=1+=1，
可得x1=-x0.
16.
答案
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所以内接矩形的面积
S=2t(x0-x1)=2t×x0=15×34×2··≤15×34=510，
=S取最大值510.
所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米.
基础巩固
1.直线y=x+1与椭圆+=1的位置关系是
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法判断
√
答案
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方法一　直线过点(0，1)，而0+<1，即点(0，1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交.
方法二　联立直线与椭圆的方程，得
消去y得9x2+10x-15=0，
Δ=100-4×9×(-15)=640>0，
所以直线与椭圆相交.
解析
2.直线y=kx+2和椭圆+=1有公共点，则k的取值范围是
A.k<-或k> B.k≤-或k≥
C.-√
答案
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将y=kx+2代入椭圆方程+=1，
消去y，可得(2+3k2)x2+12kx+6=0，
∴Δ=144k2-24(2+3k2)=72k2-48，
∵直线和椭圆有公共点，
∴72k2-48≥0，
∴k≤-或k≥.
解析
答案
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3.已知直线l：y=kx+1，椭圆C：+y2=1，则“k=0”是“l与C相切”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
答案
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方法一　当k=0时，直线l的方程为y=1，显然直线l与椭圆C相切，
当l与C相切时，
联立
得(4k2+1)x2+8kx=0；
由Δ=(8k)2-4×(4k2+1)×0=0，得k=0，
所以“k=0”是“l与C相切”的充要条件.
方法二　直线l过定点(0，1)，而(0，1)恰好是椭圆的上顶点，结合图形可知“k=0”是“l与C相切”的充要条件.
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答案
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4.圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.直线l：x+2y-8=0与椭圆C：+=1相切于点P，椭圆C的焦点为F1，F2，由光学性质知直线PF1，PF2与l的夹角相等，则∠F1PF2的平分线所在的直线的方程为
A.2x-y-1=0 B.x-y+1=0
C.2x-y+1=0 D.x-y-1=0
√
答案
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联立解得即点P的坐标为(2，3)，
因为直线l的方程为x+2y-8=0，
所以直线l的斜率为-，
由于直线PF1，PF2与l的夹角相等，则∠F1PF2的平分线与直线l垂直，
所以∠F1PF2的平分线所在的直线的斜率为2，
所以所求直线方程为y-3=2(x-2)，
即2x-y-1=0.
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答案
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5.已知过圆锥曲线+=1上一点P(x0，y0)的切线方程为+=1.过椭圆+=1上的点A(3，-1)作椭圆的切线l，则过点A且与直线l垂直的直线方程为
A.x-y-4=0 B.x+y-2=0
C.2x+3y-3=0 D.3x-y-10=0
√
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过椭圆+=1上的点A(3，-1)的切线l的方程为+=1，即x-y-4=0，切线l的斜率为1.
与直线l垂直的直线的斜率为-1，故过点A且与直线l垂直的直线方程为y+1=-(x-3)，即x+y-2=0.
解析
6.已知直线x-3y+7=0与椭圆+=1(a>)相交于A，B两点，椭圆的左、右两个焦点分别是F1，F2，线段AB的中点为C(-1，2)，则△CF1F2的面积为
A.2 B.4 C.2 D.4
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如图所示，
由直线x-3y+7=0可知，直线AB的斜率k=，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则+=1， ①
+=1， ②
又因为C(-1，2)为线段AB的中点，则x1+x2=-2，y1+y2=4，
解析
答案
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由①②可得=-，
即=-，
又因为a>，解得a=3，
所以椭圆方程为+=1，经检验点C在椭圆内，
所以c2=a2-b2=9-6=3，解得c=，则|F1F2|=2c=2，
所以=|F1F2|×|yC|=×2×2=2.
解析
7.已知以F1(-2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为　　　　.
由题意可设椭圆的方程为+=1(a>2)，
与直线方程x+y+4=0联立，
得4(a2-3)y2+8(a2-4)y+(16-a2)(a2-4)=0，
由Δ=0，得a=，
所以椭圆的长轴长为2.
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答案
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8.已知椭圆C：+x2=1，过点P的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为　　　　　　.
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9x+y-5=0
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设A(x1，y1)，B(x2，y2).
因为点A，B在椭圆上，
所以+=1， ①
+=1. ②
①-②，得+(x1+x2)(x1-x2)=0. ③
因为P是线段AB的中点，
所以x1+x2=1，y1+y2=1，
解析
答案
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代入③得=-9，
即直线AB的斜率为-9.
故直线AB的方程为y-=-9，
整理得9x+y-5=0.
解析
9.已知椭圆x2+8y2=8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x-y+4=0的距离最短，并求出最短距离.
答案
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设与直线x-y+4=0平行且与椭圆相切的直线方程为x-y+a=0(a≠4)，
由
消x得9y2-2ay+a2-8=0，
由Δ=4a2-36(a2-8)=0，解得a=3或a=-3，
∴与直线l距离较近的切线为x-y+3=0，
两条直线之间的距离即为所求最短距离，
且直线x-y+3=0与椭圆的切点即为所求点P.
解
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故所求最短距离d==.
由
得即P.
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10.已知点A，B的坐标分别是(-1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为-2.
(1)求动点M的轨迹方程；
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设M(x，y).
因为kAM·kBM=-2，
所以·=-2(x≠±1)，
化简得2x2+y2=2(x≠±1).
即点M的轨迹方程为2x2+y2=2(x≠±1).
解
(2)若过点N的直线l交动点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程.
答案
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设C(x1，y1)，D(x2，y2).
当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=，易知此时线段CD的中点不是N，不符合题意.
当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y-1=k，将点C(x1，y1)，D(x2，y2)的坐标代入2x2+y2=2(x≠±1)，
得2+=2， ①
2+=2， ②
解
答案
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①-②整理得k==-=-=-1，
故直线l的方程为y-1=-，
即所求直线l的方程为2x+2y-3=0.
解
11.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”
所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为
A. B. C. D.
√
综合运用
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设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，
由“切面”所在平面与底面成60°角，
可得=cos 60°，即a=2b，
所以e===.
解析
12.若动直线mx+ny=2m+n(m，n∈R)始终与椭圆C：+=1(a>0且a≠)有公共点，则C的离心率的取值范围是
A. B.
C. D.
√
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由直线m(x-2)+n(y-1)=0得，直线过定点(2，1)，
由题意得，点(2，1)在椭圆上或椭圆内部，
所以+≤1，则a2≥6，所以椭圆焦点在x轴上，
所以C的离心率e==.
解析
13.已知椭圆+=1，若椭圆上存在两点A，B关于直线y=4x+m对称，则m的取值范围是
A. B.
C. D.
答案
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椭圆+=1，即3x2+4y2-12=0，
设椭圆上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y=4x+m对称，AB的中点为M(x0，y0)，
则3+4-12=0，3+4-12=0，
x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，
∴3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0，
∴=-·=-，
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∴y0=3x0，代入直线方程y=4x+m，得x0=-m，y0=-3m，即M(-m，-3m)，
∵(x0，y0)在椭圆内部，
∴3(-m)2+4·(-3m)2<12，
解得-即m的取值范围是.
解析
14.已知椭圆+y2=1，则所有与椭圆相交且斜率为2的弦的中点的轨迹方
程为　　　　　 　　 　.
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x+4y=0
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设斜率为2的直线与椭圆+y2=1交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
弦AB的中点为M(x，y)，
由点差法可知，k=2==-×=-×，
即x+4y=0.
又椭圆的弦的中点只能在椭圆内，
∴+<1，解得-∴所求的轨迹方程为x+4y=0.
解析
15.(多选)加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆则被称为“蒙日圆”(如图).已知矩形R的四条边均与椭圆C：
+=1相切，则下列说法正确的是
A.椭圆C的离心率为e=
B.椭圆Γ：+=1与椭圆C有相同的焦点
C.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=16
D.矩形R的面积最大值为50
拓广探究
√
√
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√
由椭圆C：+=1，可得a=4，b=3，则c==，
所以椭圆的离心率e==，所以A正确；
由椭圆Γ：+=1，可得a=，b=，则c==，
故椭圆Γ的焦点与椭圆C的焦点相同，所以B正确；
因为矩形R的四条边均与椭圆C：+=1相切，所以点(a，b)，即(4，3)在蒙日圆上，可得半径r==5，可得椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=25，所以C错误；
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设矩形R的边长分别为m和n，则有m2+n2=(2r)2=102=100，
所以矩形R的面积S=mn≤(m2+n2)=50，
当且仅当m=n=5时取等号，所以D正确.
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16.如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个水池，水池边缘由两个半椭圆+=1(x≤0)和+=1(x≥0)组成，其中a>b>9，水池边缘内切于矩形地块(即水池边缘与矩形地块各边均有且只有一个公共点).
(1)求两个半椭圆的方程；
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由题意知b=15，a+9=34，
解得a=25，b=15.
所以两个半椭圆的方程分别为+=1(x≤0)
和+=1(x≥0).
解
(2)在该水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y=t(t∈(0，15))，求该网箱所占水面面积的最大值.
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设P(x0，t)为矩形在第一象限内的顶点，
Q(x1，t)为矩形在第二象限内的顶点，
则+=1，
+=1，
可得x1=-x0.
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所以内接矩形的面积S=2t(x0-x1)=2t×x0
=15×34×2··≤15×34=510，
当且仅当=时，
S取最大值510.
所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米.
解
第三章　3.1.2　椭圆的简单几何性质
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