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第1课时
双曲线及其标准方程
第三章　3.2.1　双曲线及其标准方程
<<<
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程(难点).
2.掌握双曲线的标准方程及其求法(重点).
学习目标
同学们，有没有听过《悲伤的双曲线》这首歌？这首歌的创作灵感来源于一堂解析几何课，当时老师正在论证讲解“双曲线与渐近线只能无限接近，但不能相交”，而正是这点给作者带来了创作动机，并在笔记本上把歌词一挥而就.课后，他在家中，拨动着吉他，旋律顺着六弦琴的和弦转换畅然而出，《悲伤的双曲线》就此诞生.
导 语
一、双曲线的定义
二、双曲线的标准方程及其推导过程
课时对点练
三、求简单的双曲线方程
随堂演练
内容索引
双曲线的定义
一
如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.
问题1
我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果||PA|-|PB||≤|F1F2| <|AB|，那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆.
如图，在|AB|<|F1F2|≤|PA|+|PB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？
提示　如题图，曲线上的点满足条件=常数.
一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 .
差的绝对值
双曲线
焦点
焦距
(1)常数要小于两个定点的距离.
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.
(3)当常数大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在.
注 意 点
<<<
已知A(0，-5)，B(0，5)，|PA|-|PB|=2a，当a=3或5时，P点的轨迹为
A.双曲线或一条直线
B.双曲线或两条直线
C.双曲线一支或一条直线
D.双曲线一支或一条射线
√
例 1
|AB|=10，当a=3时，2a=6，此时2a<|AB|，
∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).
当a=5时，2a=10，此时2a=|AB|=10，
∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.
解析
判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件来判断.
反
思
感
悟
已知F1(3，3)，F2(-3，3)，动点P满足|PF1|-|PF2|=4，则P点的轨迹是
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.不存在 D.一条射线
跟踪训练 1
√
因为|PF1|-|PF2|=4，|F1F2|=6，
由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支.
解析
二
双曲线的标准方程及其推导过程
类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程呢？
问题2
提示　观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，
此时双曲线的焦点分别为F1(-c，0)，F2 (c，0)，焦距为2c，c>0.
设P(x，y)是双曲线上任意一点，则||PF1|-|PF2||=2a(0因为|PF1|=，
|PF2|=，
所以-=±2a， ①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)，两边同除以a2(c2-a2)，得-=1.
由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2-a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2=c2-a2，其中b>0，代入上式，得-=1(a>0，b>0).
设双曲线的焦点为 F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|-|PF2||=2a，其中c>a>0 ，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
问题3
提示　-=1(a>0，b>0).
双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 __________________
__________________
焦点 __________________ ___________________
a，b，c的关系 b2=______ -=1(a>0，b>0)
-=1(a>0，b>0)
F1(-c，0)，F2(c，0)
F1(0，-c)，F2(0，c)
c2-a2
(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上.记忆口诀：“焦点跟着正项走”.
(2)a与b没有大小关系.
(3)a，b，c的关系满足c2=a2+b2.
注 意 点
<<<
(课本例1)　已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
例 2
因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为-=1(a>0，b>0).
由2c=10，2a=6，得c=5，a=3，
因此b2=52-32=16.
所以，双曲线的标准方程为-=1.
解
焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点M(2，3)的双曲线的标
准方程为　　　　 .
例 2
x2-=1
所求双曲线焦点在x轴上，
且c=2，2a=||MF1|-|MF2||=|-|=2，
∴a=1，∴b2=c2-a2=3.
∴双曲线的标准方程为x2-=1.
解析
利用定义求双曲线标准方程时，应先确定焦点的位置，再确定a，b，c的值，即先定位，后定量.
反
思
感
悟
满足a=3，c=4，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为
　 　　.
跟踪训练 2
由题设知，a=3，c=4，由c2=a2+b2 得b2=c2-a2=42-32=7.
因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为-=1.
解析
-=1
求简单的双曲线方程
三
求以椭圆+=1长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程.
例 3
由题意得，双曲线的焦点在x 轴上，且c=2，
设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，
则
故所求双曲线的标准方程为-=1.
解
用待定系数法求双曲线方程的步骤
(1)根据条件确定焦点在哪个坐标轴上.
(2)设方程-=1或-=1(a>0，b>0).
(3)列出关于a，b的方程(组).
(4)解方程(组)，得所求双曲线方程.
反
思
感
悟
已知双曲线的一个焦点为F(-，0)，点P在该双曲线上，线段PF的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的标准方程是
A.-y2=1 B.x2-=1
C.-=1 D.-=1
跟踪训练 3
√
由线段PF的中点坐标为(0，2)知P(，4)，
设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，
则
所以该双曲线的标准方程为x2-=1.
解析
1.知识清单：
(1)双曲线的定义.
(2)双曲线的标准方程及其推导过程.
(3)求简单的双曲线方程.
2.方法归纳：待定系数法、分类讨论.
3.常见误区：双曲线焦点位置的判断，忽略双曲线成立的必要条件.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知点P(x，y)的坐标满足-=±，则动点P的轨迹是
A.椭圆 B.双曲线
C.两条射线 D.双曲线的一支
√
设A(1，0)，B(-1，0)，
则由已知得||PA|-|PB||=，即动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值等于常数，又|AB|=2，且<2，所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是双曲线.
解析
1
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2.若方程-=1表示双曲线，则m的取值范围是
A.-20
C.m≥0 D.|m|≥2
√
∵已知方程表示双曲线，
∴(2+m)(2-m)>0.
解得-2解析
1
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3.若椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点，则a的值为
A.1 B.1或-2
C.1或 D.
√
由题意知解得a=1.
解析
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4.与椭圆+=1有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程
为　　　　 .
-=1
1
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4
由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上.
设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0).
根据题意得解得
所以双曲线的标准方程为-=1.
解析
课时对点练
五
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A B B D AB B 9
题号 8 11 12 13 14 15
答案 -=1 B A AB x2-=1
9.
答案
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(1)∵a=2且双曲线的焦点在x轴上，
∴可设双曲线的标准方程为-=1(b>0)，
将点A代入双曲线的方程得-=1，
解得b2=16，
∴-=1.
9.
答案
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(2)∵双曲线焦点在y轴上，
∴设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，
由其焦距为10，得2c=10，c=5，
又该双曲线过点(0，4)，则a=4，
∴b2=c2-a2=25-16=9，
∴-=1.
10.
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因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN=
所以设|PN|=3k，|PM|=4k，
则|MN|=5k.
由3k+4k+5k=48，得k=4.
所以|PN|=12，|PM|=16，|MN|=20.
若MN所在直线为x轴，如图所示.
设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0).
10.
答案
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由|PM|-|PN|=4，得2a=4，a=2，a2=4.
由|MN|=20，得2c=20，c=10，c2=100，
所以b2=c2-a2=100-4=96，
-=1；
若MN所在直线为y轴，
同理可得双曲线的标准方程为-=1.
16.
答案
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(1)因为
所以tan θ=
即tan θ的取值范围为(1，4).
16.
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(2)设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，Q(x1，y1
=(x1-c，y1)，
所以S△OFQ=||·|y1|=2则y1=±·=m，
即(c，0)·(x1-c，y1)=c2，解得x1=c，
所以||==≥=2
16.
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当且仅当c=4时取等号，||最小，
此时Q-.
所以双曲线的标准方程为-=1.
基础巩固
1.已知定点F1(-2，0)，F2(2，0)，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是
A.|PF1|-|PF2|=±3 B.|PF1|-|PF2|=±4
C.|PF1|-|PF2|=±5 D.|PF1|2-|PF2|2=±4
√
答案
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当|PF1|-|PF2|=±3时，
||PF1|-|PF2||=3<|F1F2|=4，
满足双曲线的定义，
所以选项A中P点的轨迹是双曲线.
解析
2.若双曲线方程为x2-2y2=1，则它的右焦点坐标为
A. B.
C. D.(，0)
√
答案
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将双曲线方程化为标准方程为x2-=1，
∴a2=1，b2=，
∴c2=a2+b2=，
∴c=.
解析
答案
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3.双曲线C的两焦点分别为(-6，0)，(6，0)，且经过点(-5，2)，则双曲线的标准方程为
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
√
答案
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2a=|-|=4，
所以a=2，
又c=6，
所以b2=c2-a2=36-20=16.
所以双曲线的标准方程为-=1.
解析
4.已知动点P到A(-5，0)的距离与它到B(5，0)的距离之差等于6，则点P的轨迹方程为
A.-=1 B.-=1
C.-=1(x≤3) D.-=1(x≥3)
√
动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，又c=5，a=3，∴b2=16，∴点P的轨迹方程为-=1(x≥3).
解析
答案
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5.(多选)已知曲线C：mx2-ny2=1，下列说法正确的是
A.若mn>0，则C为双曲线
B.若m>0且m+n<0，则C为焦点在x轴上的椭圆
C.若m>0，n<0，则C不可能表示圆
D.若m>0，n>0，则C为两条直线
√
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若mn>0，则C为双曲线，所以A正确；
若m>0且m+n<0，则n<0，|n|>m>0，所以C为焦点在x轴上的椭圆，所以B正确；
若m>0，n<0，当m=1，n=-1时，C是单位圆，所以C不正确；
若m>0，n>0，则C为双曲线，所以D不正确.
解析
6.已知双曲线过点(-2，0)，且与椭圆4x2+9y2=36有公共的焦点，则双曲线的标准方程是
A.-x2=1 B.-y2=1
C.x2-=1 D.y2-=1
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由椭圆4x2+9y2=36，可化为标准方程+=1，可得焦点坐标为(-，0)，(，0)，
因为双曲线与椭圆有公共的焦点，设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，所以c=，
又因为双曲线过点(-2，0)，可得a=2，则b2=c2-a2=1，
所以双曲线的标准方程为-y2=1.
解析
7.双曲线-=1(a>0)的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8，M是双曲线上的一点，且|MF1|=5，则|MF2|=　　　.
由题意得，2c=8，可得c=4，
所以a2=c2-b2=16-12=4，解得a=2，
又||MF1|-|MF2||=2a=4，所以|5-|MF2||=4，
解得|MF2|=1或|MF2|=9，
当|MF2|=1时，|MF1|+|MF2|=6<8，不满足题意，故舍去；
当|MF2|=9时，|MF1|+|MF2|=14>8，满足题意，所以|MF2|=9.
解析
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8.焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，-3)，且Q(0，5)与两焦点的连线互
相垂直，则此双曲线的标准方程为　　　 　.
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-=1
设焦点为F1(-c，0)，F2(c，0)(c>0)，则由QF1⊥QF2，
得·=-1，
∴·=-1，∴c=5.
设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，
∵双曲线过点P(4，-3)，∴-=1，
又∵c2=a2+b2=25，∴a2=16，b2=9.
∴双曲线的标准方程为-=1.
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9.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，a=2，经过点A(-5，2)；
∵a=2，且双曲线的焦点在x轴上，
∴可设双曲线的标准方程为-=1(b>0)，
将点A代入双曲线的方程得-=1，
解得b2=16，
∴双曲线的标准方程为-=1.
解
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(2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点(0，4).
∵双曲线焦点在y轴上，
∴设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，
由其焦距为10，得2c=10，c=5，
又该双曲线过点(0，4)，则a=4，
∴b2=c2-a2=25-16=9，
∴双曲线的标准方程为-=1.
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10.在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN=90°，tan∠PMN=，以MN的中点为坐标原点，MN所在直线为坐标轴，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线的标准方程.
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因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN=，
所以设|PN|=3k，|PM|=4k，则|MN|=5k.
由3k+4k+5k=48，得k=4.
所以|PN|=12，|PM|=16，|MN|=20.
若MN所在直线为x轴，如图所示.
设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0).
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由|PM|-|PN|=4，得2a=4，a=2，a2=4.
由|MN|=20，
得2c=20，c=10，c2=100，
所以b2=c2-a2=100-4=96，
故所求方程为-=1；
若MN所在直线为y轴，
同理可得双曲线的标准方程为-=1.
解
11.已知方程-=1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是
A.(5，+∞)
B.(-2，2)∪(5，+∞)
C.(-2，2)
D.(-∞，-2)∪(2，+∞)
√
综合运用
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因为方程对应的图形是双曲线，
所以(k-5)(|k|-2)>0.
即
解得k>5或-2解析
12.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹是
A.双曲线的一支 B.圆
C.椭圆 D.双曲线
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圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1(0，0)和O2(4，0)，半径分别为1和2，设动圆的圆心为M，半径为r，
由两圆外切的充要条件，得|MO1|=r+1，|MO2|=r+2.
∴|MO2|-|MO1|=1，
又|O1O2|=4，
∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).
解析
13.(多选)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)上的两点A1(-a，0)，A2(a，0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，-b)，且四边形A1PA2Q的面积为2，四边形A1PA2Q内切圆的周长为，则双曲线C的方程可以为
A.-y2=1 B.x2-=1
C.-=1 D.-=1
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√
√
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∵四边形A1PA2Q的面积为2，∴×2a×2b=2，
得ab=.
记四边形A1PA2Q内切圆的半径为r，则2πr=，解得r=，
又4×cr=2，∴c=.
又∵c2=a2+b2=3，得
∴双曲线C的方程为-y2=1或x2-=1.
解析
14.已知双曲线Γ：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与Γ的右支交于A，B两点，若|AF1|=8，|BF1|=5，∠AF1B=60°，
则a=　　　.
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依题意知过点F2的直线与Γ的右支交于A，B两点，
且|AF1|=8，|BF1|=5，∠AF1B=60°，
则|AF2|=8-2a，|BF2|=5-2a，0所以|AB|=|AF2|+|BF2|=13-4a，
可得(13-4a)2=82+52-2×5×8cos 60°，
解得a=或a=5(舍去).
解析
15.从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓形状为圆O，将篮球表面的黏合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且|AB|=|BC|=|CD|=2，视AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程为
　 　　.
拓广探究
答案
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x2-=1
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设所求双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，因为|AB|=|BC|=|CD|=2，
则点C的坐标为(1，0)，
将其代入双曲线方程，得a=1，又坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，
所以点在双曲线上，
得-=1，则b2=，
故所求双曲线的标准方程为x2-=1.
解析
16.已知△OFQ的面积为2，且·=m，其中O为坐标原点.
(1)设答案
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因为
所以tan θ=，
又所以1即tan θ的取值范围为(1，4).
解
(2)若以F(c，0)为其右焦点的双曲线经过点Q，如图所示，m=c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程.
答案
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设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，Q(x1，y1)，则=(x1-c，y1)，
所以S△OFQ=||·|y1|=2，则y1=±·=m，
即(c，0)·(x1-c，y1)=c2，解得x1=c，
所以||==≥=2，
当且仅当c=4时取等号，||最小，
此时Q的坐标为(，-).
解
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因此
所以双曲线的标准方程为-=1.
解
第三章　3.2.1　双曲线及其标准方程
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