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第2课时
双曲线及其标准方程的应用
第三章　3.2.1　双曲线及其标准方程
<<<
1.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题(重点).
2.双曲线在实际生活中的应用(难点).
学习目标
双曲线是我们在平时生活中经常见到的图形，这节课一起来研究双曲线在实际生活中的应用.
导 语
一、双曲线定义的应用
二、双曲线方程的设法
课时对点练
三、双曲线在实际生活中的应用
随堂演练
内容索引
双曲线定义的应用
一
(1)已知A(-4，0)，B是圆(x-1)2+(y-4)2=1上的点，点P在双曲线-=1的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为
A.9 B.2+6 C.10 D.12
√
例 1
设点C(1，4)，圆的半径为r，点B在圆上，
则|PB|≥|PC|-r=|PC|-1，
由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点，
设A'为双曲线右焦点，
所以由双曲线定义知
|PA|=|PA'|+2a=|PA'|+6，
所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|+6≥|PA'|+|PC|+6-1≥|A'C|+5=5+5=10.
解析
(2)已知双曲线-=1的左、右焦点分别是F1，F2.若双曲线上一点P满足∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积.
由-=1得，a=3，b=4，c=5.
由双曲线的定义和余弦定理得
|PF1|-|PF2|=±6，
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°，
所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|=64，
所以=|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=×64×=16.
解
双曲线的定义的应用
(1)求解与双曲线有关的长度和最值问题，都可以通过相应的双曲线的定义去解决.
(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用.
反
思
感
悟
已知定点A(3，1)，F是双曲线-=1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|+|PF|的最小值为
A. B.5+4
C.5-4 D.+4
跟踪训练 1
√
如图，设F1是双曲线的左焦点，则F1(-4，0)，
根据双曲线的定义及P是双曲线右支上的动点可得|PF1|-|PF|=2a，
所以|PF|=|PF1|-2a，
所以|PA|+|PF|=|PA|+|PF1|-2a=|PA|+|PF1|-4，
结合图形可得|PA|+|PF1|≥|AF1|
==5，
当且仅当P，A，F1三点共线时等号成立，
所以|PA|+|PF1|-4≥5-4，
所以|PA|+|PF|的最小值为5-4.
解析
二
双曲线方程的设法
(1)求经过点P，Q的双曲线的标准方程；
例 2
方法一　若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，
由于点P和Q在双曲线上，
所以(舍去).
若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，
解
将P，Q两点坐标代入可得解得
所以双曲线的标准方程为-=1.
综上，双曲线的标准方程为-=1.
解
方法二　设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0)，
因为P，Q两点在双曲线上，
所以
所以所求双曲线的标准方程为-=1.
解
(2)若双曲线C与已知双曲线-=1有相同的焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程.
设所求双曲线C的方程为-=1(-4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3，2)，所以-=1，
解得λ=4或λ=-14(舍去)，
所以所求双曲线C的方程为-=1.
解
(1)若双曲线过两定点，可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论.
(2)与双曲线-=1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为-=1(-a2<λ0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为-=1(-a2<λ反
思
感
悟
已知双曲线中，c=，且经过点(-5，2)，焦点在x轴上，求该双曲线的标准方程.
跟踪训练 2
方法一　依题意可设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，
则有
故所求双曲线的标准方程为-y2=1.
解
方法二　∵焦点在x轴上，c=，
∴设所求双曲线方程为-=1(其中0<λ<6).
∵双曲线经过点(-5，2)，∴-=1，
解得λ=5或λ=30(舍去).
∴所求双曲线的标准方程是-y2=1.
解
双曲线在实际生活中的应用
三
(课本例2)　已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程.
例 3
如图，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B两点在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合.
设炮弹爆炸点P的坐标为(x，y)，
则|PA|-|PB|=340×2=680，
即2a=680，a=340.
又|AB|=800，所以2c=800，c=400，b2=c2-a2=44 400.
因为|PA|-|PB|=680>0，所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x≥340.
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为-=1(x≥340).
解
单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称“小蛮腰”的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为100 m，楼底的直径为50 m，楼顶直径为50 m，最细处距楼底300 m，则该地标建筑的高为
A.350 m B.375 m
C.400 m D.450 m
例 3
√
建立平面直角坐标系如图所示.由题意可得A(50，0)，C(25，-300)，
设B(25，y0)(y0>0)，
双曲线的方程是-=1(a>0，b>0)，
则
所以双曲线的方程是-=1，
将点B(25，y0)代入，得-=1，
解得y0=100，所以该地标建筑的高为300+100=400(m).
解
利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系.
(2)求出双曲线的标准方程.
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).
反
思
感
悟
如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是　 　　km.
跟踪训练 3
2-2
如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
则A(-2，0)，B(2，0)，|DA|-|DB|=2，根据双曲线定义知，点D的轨迹(即曲线PQ)为双曲线的右支.
故2c=4，c=2，2a=2，a=1，
b2=c2-a2=4-1=3，
故轨迹方程为x2-=1(x≥1).
解析
根据题意知C(3，)，
|MB|+|MC|=|MA|+|MC|-2≥|AC|-2=2-2.
当且仅当A，M，C三点共线时，等号成立，
故两条公路MB，MC的路程之和最短是(2-2)km.
解析
1.知识清单：
(1)双曲线定义的应用.
(2)双曲线方程的设法.
(3)双曲线在实际生活中的应用.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速为k千米/秒，则炮弹爆炸点P的轨迹是
A.双曲线的一支 B.双曲线
C.椭圆 D.圆
√
由已知可得||PA|-|PB||=2k<4k=|AB|，根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上，
则炮弹爆炸点P的轨迹是双曲线.
解析
1
2
3
4
2.某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，且过A(-2，1)和B两点，则曲
线C的标准方程为　　　　　.
设曲线C的方程为mx2+ny2=1，代入点A(-2，1)，点B，
得
所以曲线C为双曲线，其标准方程为-y2=1.
解析
-y2=1
3.已知F1，F2分别为双曲线C：-=1的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=
2|PF2|，则cos∠F1PF2=　　　.
由题意可得，
解得|PF1|=4，|PF2|=2，
因为|F1F2|=2=4，
所以cos∠F1PF2===.
解析
1
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4
1
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4
4.已知F是双曲线-=1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为　　　.
9
1
2
3
4
对于双曲线-=1，则a=2，b=2，c=4，
如图所示，设双曲线的右焦点为M，则M(4，0)，
由双曲线的定义可得|PF|-|PM|=4，
则|PF|=4+|PM|，
所以|PF|+|PA|=|PM|+|PA|+4≥|AM|+4=+4=9，
当且仅当A，P，M三点共线时，等号成立.
因此，|PF|+|PA|的最小值为9.
解析
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A B B A A B -=1
题号 8 11 12 13 14 15
答案 或9 B B C D -y2=1
对一对
答案
1
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9.
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16
当双曲线的焦点在x轴上时，设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，
由△AF1B的周长等于26，
得|AF1|+|AB|+|BF1|=26，
由双曲线的定义可知
|AF1|-|AF2|=2a，|BF1|-|BF2|=2a，两式相加得，
|AF1|-|AF2|+|BF1|-|BF2|=4a，即|AF1|-|AB|+|BF1|=4a，
而|AB|=5，
因此可得5-(-5)=26-4a a=4，因为|F1F2|=10，所以c=5，
9.
答案
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于是b===3，
-=1；
当双曲线的焦点在y-=1，
-=1-=1.
10.
答案
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(1)F1，F2-=1的两个焦点，
则a=3，b=4，c=5，
设点M到另一个焦点的距离为m，
由双曲线定义可知|m-16|=2a=6，
解得m=10或m=22，即点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)P是双曲线左支上的点，
|PF2|-|PF1|=2a=6，
10.
答案
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则|PF2|2-2|PF1|·|PF2|+|PF1|2=36，代入|PF1|·|PF2|=32，
可得|PF1|2+|PF2|2=36+2×32=100，
即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100，
所以△F1PF2为直角三角形，
=|PF1|·|PF2|=×32=16.
16.
(1)如图，以O为原点，OB所在直线为x轴，
OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.
设敌舰艇的位置为P(x，y)，
由题意可知|PB|-|PA|=v0·=4.
由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且2a=4，c=3，所以b=
答案
1
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16
16.
-=1，令y=0，得x=±2，
又轨迹为双曲线的左支，所以x≤-2，
所以敌舰艇的轨迹方程为-=1(x≤-2).
答案
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16.
(2)设敌舰艇所在位置为M(x0，y0)，
-=1(x0≤-2)，=4+又C(0，3)，
所以|MC|==
==
所以当y0=|MC|min=2
即无人机飞行的最小距离是2.
答案
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基础巩固
1.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.若双曲线上存在点A使得∠F1AF2=90°，且|AF1|=2|AF2|=4，则双曲线的方程为
A.x2-=1 B.-y2=1
C.-=1 D.-=1
√
答案
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由题意，根据双曲线的定义及|AF1|=2|AF2|=4，可得|AF1|-|AF2|=2=2a，
解得a=1，因为∠F1AF2=90°，
所以|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2=20，
即(2c)2=20，即c2=5，
又b2+a2=c2，则b2=c2-a2=4，
所以双曲线的方程为x2-=1.
解析
2.若双曲线C与双曲线-x2=1有相同的焦点，且双曲线C过点(2，-2)，则双曲线C的标准方程为
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
√
答案
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设双曲线C的方程为-=1(-5<λ<1)，
由于双曲线C过点(2，-2)，
则-=1，
解得λ=-1或λ=13(舍去)，
所以双曲线C的标准方程为-=1.
解析
答案
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3.已知双曲线-=1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则△APF周长的最小值为
A.4+ B.4(1+)
C.2(+) D.+3
√
答案
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设双曲线的左焦点为F'，
则|PF|-|PF'|=2a=4，所以|PF|=4+|PF'|，
所以△APF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=4+|PF'|+|PA|+2≥4+2+|AF'| =4+4，
当且仅当P在线段AF'与双曲线左支的交点处时取等号，所以△APF周长的最小值为4+4.
解析
4.地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10 km.根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6 km.据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为
A.8 km B.6 km C.4 km D.2 km
√
答案
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设震中为P，依题意有|PB|-|PA|=6<|AB|=10，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线靠近A的一支，
因为|PA|+|PB|≥|AB|=10，
当且仅当A，P，B三点共线时取等号，
所以|PB|-6+|PB|≥10，所以|PB|≥8，
所以震中到地震台B站的距离至少为8 km.
解析
5.已知双曲线的两个焦点为F1(-，0)，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足·=0，||·||=2，则该双曲线的方程是
A.-y2=1 B.x2-=1
C.-=1 D.-=1
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答案
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∵·=0，
∴⊥，即MF1⊥MF2，
∴|MF1|2+|MF2|2=40.
则(|MF1|-|MF2|)2=|MF1|2-2|MF1|·|MF2|+|MF2|2=40-2×2=36.
∴||MF1|-|MF2||=6=2a，即a=3.
∵c=，∴b2=c2-a2=1.
则该双曲线的方程是-y2=1.
解析
6.已知点P是双曲线-=1右支上的一点，点A，B分别是圆(x+6)2+y2=4和圆(x-6)2+y2=1上的点.则|PA|-|PB|的最小值为
A.3 B.5 C.7 D.9
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答案
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由双曲线-=1可知a=4，b=2，
c==6，
且圆(x+6)2+y2=4的圆心为F1(-6，0)，半径r1=2，
圆(x-6)2+y2=1的圆心为F2(6，0)，半径r2=1，
由圆的性质可知，|PA|≥|PF1|-r1=|PF1|-2，|PB|≤|PF2|+r2=|PF2|+1，
可得|PA|-|PB|≥(|PF1|-2)-(|PF2|+1)=|PF1|-|PF2|-3，
解析
答案
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可知F1(-6，0)，F2(6，0)为双曲线的焦点，
则|PF1|-|PF2|=2a=8，
可得|PA|-|PB|≥|PF1|-|PF2|-3=5，
所以|PA|-|PB|的最小值为5.
解析
7.已知双曲线E：-=1(a>0，b>0)，矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|=6，则双曲线E的标准方程是
　　　　　.
答案
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-=1
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由题意得|AB|=3，|BC|=2.
如图所示，设AB，CD的中点分别为M，N，
在Rt△BMN中，|MN|=2c=2，
故|BN|===.
由双曲线的定义可得2a=|BN|-|BM|=-=1，
则a=，又2c=2，所以c=1，b2=c2-a2=.
所以双曲线E的标准方程是-=1.
解析
8.已知F1，F2分别是双曲线C：-=1的左、右焦点，P为双曲线C上的
一点.若△PF1F2为直角三角形，则△PF1F2的面积等于　　　　.
答案
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或9
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不妨设点P在双曲线的右支上，当∠PF2F1=90°时，令x=5，得y=±=，所以△PF1F2的面积为×10×=；当∠F1PF2=90°时，则+==100，又-=2a=8，可得 =18，所以△PF1F2的面积为=×18=9，综上所述，△PF1F2的面积为或9.
解析
9.已知F1，F2是双曲线的两个焦点，且|F1F2|=10，过F2的直线交双曲线的一支于A，B两点，当|AB|=5，△AF1B的周长等于26时，求此双曲线的标准方程.
答案
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当双曲线的焦点在x轴上时，设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，
由△AF1B的周长等于26，得|AF1|+|AB|+|BF1|=26，
由双曲线的定义可知|AF1|-|AF2|=2a，|BF1|-|BF2|=2a，两式相加得，
|AF1|-|AF2|+|BF1|-|BF2|=4a，即|AF1|-|AB|+|BF1|=4a，而|AB|=5，
因此可得5-(-5)=26-4a a=4，因为|F1F2|=10，所以c=5，
于是b===3，
所以双曲线方程为-=1；
解
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当双曲线的焦点在y轴上时，同理可得双曲线方程为-=1，
综上所述，双曲线方程为-=1或-=1.
解
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10.设F1，F2分别是双曲线-=1的左、右焦点.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
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F1，F2是双曲线-=1的两个焦点，
则a=3，b=4，c=5，
设点M到另一个焦点的距离为m，
由双曲线定义可知|m-16|=2a=6，
解得m=10或m=22，
即点M到另一个焦点的距离为10或22.
解
(2)若P是双曲线左支上一点，且|PF1|·|PF2|=32，试求△F1PF2的面积.
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P是双曲线左支上的点，|PF2|-|PF1|=2a=6，
则|PF2|2-2|PF1|·|PF2|+|PF1|2=36，
代入|PF1|·|PF2|=32，
可得|PF1|2+|PF2|2=36+2×32=100，
即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100，
所以△F1PF2为直角三角形，
所以=|PF1|·|PF2|=×32=16.
解
11.设椭圆+=1和双曲线-y2=1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于
A. B. C. D.
√
综合运用
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设|PF1|=d1，|PF2|=d2，
则d1+d2=2， ①
|d1-d2|=2， ②
①2+②2，得+=18.
①2-②2，得2d1d2=6.
而c=2，
∴cos∠F1PF2=.
解析
12.双曲线x2-y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|等于
A.1 B.4 C.7 D.9
√
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在双曲线x2-y2=1中，
a=b=1，c=，
设P在右支上，则|PF1|-|PF2|=2a=2，
∵∠F1PF2=60°，
在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2
-2|PF1||PF2|cos 60°=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|-|PF1|·|PF2|，
即4c2=4a2+|PF1|·|PF2|，
即|PF1|·|PF2|=4c2-4a2=4b2=4.
解析
13.双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线C：-=1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P(8，y0)后，被C反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是
A. B.- C. D.-
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设P(8，y0)在第一象限，
-=1 y0=3，
|PF2|==6，
|PF1|=6+8=14，|F1F2|=10，
cos∠F1PF2==.
解析
14.3D打印是一种快速成型技术，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6 cm，下底直径为9 cm，喉部(中间最细处)的直径为8 cm，上底与喉部的距离为2 cm，则该塔筒的高为
A. cm B.18 cm
C. cm D.9 cm
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该塔筒的轴截面如图所示，以喉部(中间最细处)的中点O为原点，建立平面直角坐标系，
设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，A与B分别为上、下底面对应点，C为双曲线与x轴正半轴的交点，
由题意得A(3，2)，
由喉部(中间最细处)的直径为8 cm，得2a=8，a=4，
将点A代入得-=1，则b=8，
解析
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所以双曲线的方程为-=1，
设点B(xB，yB)，由xB=，得yB=-7，
所以该塔筒的高为2+7=9(cm).
解析
15.已知双曲线Γ：-=1(a>0，b>0)，四点A(6，)，B，
C(5，2)，D(-5，-2)中恰有三点在Γ上，则双曲线Γ的标准方程为
　 　　　.
拓广探究
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-y2=1
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将点C，D的坐标代入双曲线中，可得点C，D都在双曲线Γ上，对于点A，><->-=1，
即点A不在双曲线Γ上，所以点B，C，D都在双曲线Γ上，
所以解得
因此，双曲线Γ的标准方程为-y2=1.
解析
16.在一次赛艇比赛中，某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点)，如图中的点A，B，C，且|OA|=|OB|=|OC|=3，假设敌舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早 秒(注：v0为信号传播速度)，C处舰艇保持静默.
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(1)建立适当的坐标系，并求敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程；
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如图，以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面
直角坐标系.设敌舰艇的位置为P(x，y)，由题意可知|PB|-|PA|=v0·=4.
由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且2a=4，c=3，所以b=，
所以轨迹方程为-=1，
令y=0，得x=±2，
又轨迹为双曲线的左支，所以x≤-2，
所以敌舰艇的轨迹方程为-=1(x≤-2).
解
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(2)在A，B两处的舰艇对敌舰艇攻击后，C处舰艇派出无人机到敌舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的最小距离是多少？
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设敌舰艇所在位置为M(x0，y0)，
由题意知-=1(x0≤-2)，即=4+，
又C(0，3)，
所以|MC|==
==，
所以当y0=时，|MC|min=2，即无人机飞行的最小距离是2.
解
第三章　3.2.1　双曲线及其标准方程
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