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(共95张PPT)
第1课时
双曲线的简单几何性质
第三章　3.2.2　双曲线的简单几何性质
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1.掌握双曲线的简单几何性质(重点).
2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程(难点).
学习目标
在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质.
导 语
一、双曲线的简单几何性质
二、由双曲线的简单几何性质求标准方程
课时对点练
三、求双曲线的离心率
随堂演练
内容索引
双曲线的简单几何性质
一
类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线-=1(a>0，b>0)的几何性质.
问题
提示　1.范围
利用双曲线的方程求出它的范围，由方程-=1可得=1+≥1，
于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，即x2≥a2，y∈R.
所以x≤-a，或x≥a；y∈R.
2.对称性
双曲线-=1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
3.顶点
(1)双曲线-=1(a>0，b>0)与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点.
顶点是A1(-a，0)，A2(a，0)，只有两个.
(2)如图，线段A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长.
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
方程为x2-y2=m(m≠0).
4.渐近线
双曲线-=1(a>0，b>0)在第一象限内的方程为y=(x>0)，
它与y=x的位置关系：在y=x的下方.
它与y=x的位置的变化趋势：慢慢靠近，如图所示.
(1)双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x.
(2)利用渐近线可以较准确地画出双曲线的草图.
5.离心率
(1)定义：e=.
(2)e的范围：e>1.
(3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到== =，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄.
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 __________________
__________________
图形
-=1(a>0，b>0)
-=1(a>0，b>0)
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
性 质 范围 ；y∈R x∈R；____________
对称性 对称轴： ；对称中心：_____ 顶点坐标 ___________________ __________________
渐近线 ________ ________
离心率 e=，e∈ ，其中c= a，b，c间的关系 c2= (c>a>0，c>b>0) x≤-a或x≥a
y≤-a或y≥a
坐标轴
原点
A1(-a，0)，A2(a，0)
A1(0，-a)，A2(0，a)
y=±x
y=±x
(1，+∞)
a2+b2
(1)B1(0，-b)，B2(0，b)不是双曲线上的点，不能称为顶点.
(2)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大.
(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置.
(4)焦点到渐近线的距离为b.
(5)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.为了便于研究，方程一般写为x2-y2=m(m≠0).
注 意 点
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　(课本例3)　求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
例 1
把双曲线的方程9y2-16x2=144化为标准方程-=1.
由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3；
c===5，
焦点坐标是(0，-5)，(0，5)；
离心率e==；渐近线方程为y=±x.
解
求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
例 1
将9y2-4x2=-36化为标准方程为-=1，即-=1，
所以a=3，b=2，c=.
因此顶点坐标为A1(-3，0)，A2(3，0)，
焦点坐标为F1(-，0)，F2(，0)，
实轴长2a=6，虚轴长2b=4，
离心率e==，
渐近线方程为y=±x=±x.
解
若将双曲线的方程变为nx2-my2=mn(m>0，n>0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程.
延伸探究
把方程nx2-my2=mn(m>0，n>0)化为标准方程为-=1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长a=，
虚半轴长b=，顶点坐标为(-，0)，(，0)，c=，
焦点坐标为(，0)，(-，0)，
离心率e===，
所以渐近线方程为y=±x，
即y=±x.
解
由双曲线的方程研究几何性质
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
(3)由c2=a2+b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
反
思
感
悟
(多选)已知双曲线-=1，对于 k∈R且k≠0，下列四个选项中因k改变而变化的是
A.焦距 B.离心率
C.顶点坐标 D.渐近线方程
跟踪训练 1
√
√
∵双曲线-=1， k∈R且k≠0，
∴a2=2k2，b2=k2，c2=3k2，
焦距为2c=2|k|，离心率e===，
顶点坐标(±|k|，0)，渐近线方程为y=±x，
即y=±x.
∴因k改变而变化的是焦距和顶点坐标.
解析
二
由双曲线的简单几何性质求标准方程
(课本例4)　双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(如图).它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高为55 m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m).
例 2
根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的直角坐标系Oxy，使小圆的直径AA'在x轴上，圆心与原点重合.这时，上、下口的直径CC'，BB'都平行于x轴，且|CC'|=13×2，|BB'|=25×2.
设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，
点C的坐标为(13，y)，则点B的坐标为(25，y-55).
因为直径AA'是实轴，
所以a=12.又B，C两点都在双曲线上，
解
所以
由方程②，得y=(负值舍去).代入方程①，
得-=1.
化简得19b2+275b-18 150=0. ③
解方程③，得b≈25(负值舍去).
因此所求双曲线的方程为-=1.
解
求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(-3，2)；
例 2
设所求双曲线方程为-=1(a>0，b>0).
∵e=，
∴e2===1+=，
∴=.
由题意得
∴所求双曲线的标准方程为-=1.
解
(2)渐近线方程为y=±x，且经过点A(2，-3).
方法一　∵双曲线的渐近线方程为y=±x.
当焦点在x轴上时，
设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，
则=. ①
∵点A(2，-3)在双曲线上，∴-=1. ②
①②联立，无解.
解
当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，
则=. ③
∵点A(2，-3)在双曲线上，∴-=1. ④
联立③④，解得a2=8，b2=32.
∴所求双曲线的标准方程为-=1.
解
方法二　由双曲线的渐近线方程为y=±x，可设双曲线方程为-y2=λ(λ≠0)，
∵A(2，-3)在双曲线上，
∴-(-3)2=λ，即λ=-8.
∴所求双曲线的标准方程为-=1.
解
由双曲线的性质求双曲线的标准方程
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.
(2)巧设双曲线方程的技巧
①与双曲线-=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0).
②渐近线方程为Ax±By=0的双曲线方程可设为A2x2-B2y2=λ (λ≠0).
反
思
感
悟
求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
跟踪训练 2
设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，
由题意知2b=8，e==，
从而b=4，c=a，
代入c2=a2+b2，得a2=9，
故双曲线的标准方程为-=1.
解
(2)过点(2，0)，与双曲线-=1的离心率相等.
当所求双曲线的焦点在x轴上时，
可设其方程为-=λ(λ>0)，
将点(2，0)的坐标代入方程得λ=，
故所求双曲线的标准方程为-y2=1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，
可设其方程为-=λ(λ>0)，
解
将点(2，0)的坐标代入方程得λ=-<0(舍去).
综上可知，
所求双曲线的标准方程为-y2=1.
解
求双曲线的离心率
三
已知圆C：x2+y2-10y+21=0与双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是
A. B. C. D.
例 3
√
由双曲线-=1(a>0，b>0)，
可得其一条渐近线的方程为y=x，
即bx-ay=0，
又由圆C：x2+y2-10y+21=0，
可得圆心为C(0，5)，
半径r=2，
则圆心到渐近线的距离为d===2，
可得e==.
解析
求双曲线离心率的方法
(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e=得解.
(2)齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2+qac+ra2 =0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解.
反
思
感
悟
已知F1，F2是双曲线-=1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q=90°，求双曲线的离心率.
跟踪训练 3
设F1(c，0)，
将x=c代入双曲线的方程得-=1，
那么y=±.
由|PF2|=|QF2|，
∠PF2Q=90°，
知|PF1|=|F1F2|，
所以=2c，
所以b2=2ac，
解
所以c2-2ac-a2=0，
所以-2×-1=0，
即e2-2e-1=0，
所以e=1+或e=1-(舍去)，
所以双曲线的离心率为1+.
解
1.知识清单：
(1)双曲线的简单几何性质.
(2)由双曲线的简单几何性质求标准方程.
(3)求双曲线的离心率.
2.方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法.
3.常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.双曲线-=1的左焦点与右顶点之间的距离等于
A.6 B.8 C.9 D.10
√
由已知得左焦点的坐标为(-5，0)，
右顶点的坐标为(3，0)，
所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
解析
1
2
3
4
2. (多选)已知双曲线方程为x2-8y2=32，则
A.实轴长为8 B.虚轴长为4
C.焦距为6 D.离心率为
√
√
√
1
2
3
4
双曲线方程x2-8y2=32化为标准方程为-=1，
可得a=4，
b=2，c=6，
所以双曲线的实轴长为8，
虚轴长为4，
焦距为12，
离心率为.
解析
1
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3
4
3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是
A.x2-y2=8 B.x2-y2=4
C.y2-x2=8 D.y2-x2=4
√
由直线3x-4y+12=0，令y=0，得x=-4，
∴等轴双曲线的一个焦点为(-4，0)，
∴c=4，a2=b2=c2=×16=8，
即双曲线方程为x2-y2=8.
解析
1
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4.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线
方程为　　 　　.
y=±x
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4
∵=，∴==，
∴=，∴=，∴=.
又∵双曲线的焦点在y轴上，
设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y=±x，
∴所求双曲线的渐近线方程为y=±x.
解析
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C D B C AD D 题号 8 11 12 13 14 15
答案 -=1 B C A y=±2x -1　2
对一对
答案
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(1)由两顶点间的距离是6，得2a=6，即a=3.
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12，即c=6，
于是有b2=c2-a2=62-32=27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，
故所求双曲线的标准方程为-=1-=1.
9.
答案
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(2)设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0)，
-=1(λ≠0)，
由题意得a=3.
当λ>0时=9，λ=36，
-=1；
9.
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当λ<0时=9，λ=-81，
-=1.
故所求双曲线的标准方程为-=1-=1.
10.
答案
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直线l+=1，
即bx+ay-ab=0.
=c，
所以ab=c2，两边平方，
得a2b2=c4.
又b2=c2-a2，所以16a2(c2-a2)=3c4，
10.
答案
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两边同时除以a4，
得3e4-16e2+16=0，
解得e2=4或e2=.
又b>a，
所以e2==1+>2，则e=2.
于是双曲线的离心率为2.
16.
答案
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-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，
所以|PF1|-|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|，
==+4a+|PF2|≥8a，
=|PF2|，即|PF2|=2a时取等号，
16.
答案
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所以|PF1|=2a+|PF2|=4a，
因为|PF1|-|PF2|=2a<2c，
|PF1|+|PF2|=6a≥2c e=≤3，
所以e的取值范围为(1，3].
基础巩固
1.已知双曲线-=1(a>0)的右焦点为(3，0)，则双曲线的离心率等于
A. B. C. D.
√
由题意知a2+5=9，解得a=2，e==.
解析
答案
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2.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
√
答案
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由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2-y2=λ(λ≠0)，将点
(5，3)代入方程，可得λ=52-32=16，所以双曲线方程为x2-y2=16，即-=1.
解析
3.若双曲线-=1的离心率为，则其渐近线方程为
A.y=±2x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
√
∵e=，∴==3，
∴b2=2a2，∴双曲线方程为-=1，
∴渐近线方程为y=±x.
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答案
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4.设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为
A.4 B.3 C.2 D.1
√
由双曲线的几何性质可得，双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为y=±x，又因为渐近线方程为3x±2y=0，即y=±x，故a=2.
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5.(多选)若双曲线C的一个焦点为F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y=±x，则下列结论正确的是
A.C的方程为-=1
B.C的离心率为
C.焦点到渐近线的距离为3
D.|PF|的最小值为2
√
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由双曲线C的一个焦点为F(5，0)，且渐近线方程为y=±x，可得c=5，焦点在x轴上，所以=，因为c=5，所以b=4，a=3，所以C的方程为-=1，A正确；
离心率为e=，B不正确；
焦点到渐近线的距离为d==4，C不正确；
|PF|的最小值为c-a=2，D正确.
解析
6.已知双曲线C：x2-2y2=λ(λ≠0)，则其离心率为
A. B. C. D.或
√
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当λ>0时，原方程化为-=1，此时a2=λ，b2=，c2=a2+b2=，
由e2==，可得e=；
当λ<0时，原方程化为-=1，
此时a2=-，b2=-λ，c2=a2+b2=-，e2==3，可得e=.
∴其离心率为.
解析
7.已知双曲线C：-=1的离心率是，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，则
tan∠MF1F2的值为　　　.
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由题意得，e==，
点M的横坐标为c，
将x=c代入双曲线C的方程，
得-=1，所以y=±，
又y>0，所以M，
所以tan∠MF1F2======.
解析
8.若一双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，
则该双曲线的方程为　　　　　　.
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椭圆4x2+y2=64可变形为+=1，
a2=64，c2=64-16=48，
∴焦点为(0，4)，(0，-4)，离心率e=，
则双曲线的焦点在y轴上，
c'=4，e'==，从而a'=6，b'2=12，
故所求双曲线的方程为-=1.
解析
9.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；
由两顶点间的距离是6，得2a=6，即a=3.
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12，即c=6，
于是有b2=c2-a2=62-32=27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为-=1或-=1.
解
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(2)渐近线方程为2x±3y=0，且两顶点间的距离是6.
设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0)，
即-=1(λ≠0)，由题意得a=3.
当λ>0时，=9，λ=36，双曲线方程为-=1；
当λ<0时，=9，λ=-81，双曲线方程为-=1.
故所求双曲线的标准方程为-=1或-=1.
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10.设双曲线-=1(0答案
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直线l的方程为+=1，
即bx+ay-ab=0.
于是有=c，
所以ab=c2，两边平方，得a2b2=c4.
又b2=c2-a2，所以16a2(c2-a2)=3c4，
两边同时除以a4，得3e4-16e2+16=0，
解得e2=4或e2=.
解
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又b>a，所以e2==1+>2，则e=2.
于是双曲线的离心率为2.
解
11.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2+6x+5=0相切，且圆C的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的标准方程为
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
√
综合运用
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因为圆C：x2+y2+6x+5=0的圆心为C(-3，0)，半径r=2，所以c=3，
又双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，即bx±ay=0，
由题意知=2，
整理得到a2=b2，
又a2+b2=9，所以b2=4，a2=5，
则双曲线的方程为-=1.
解析
12.已知P为双曲线-x2=1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|·|PB|的值为
A.4 B.5
C. D.与点P的位置有关
√
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设点P(x0，y0)，则有-=1，
所以-4=4.
易知双曲线-x2=1的渐近线方程为2x±y=0，
所以|PA|·|PB|=·==.
解析
13.已知F1，F2分别为双曲线E：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点(点A在第一象限)，连接AF2并延长交E于点C，若|BF2|=|AC|，∠F1BF2=，则双曲线E的离心率为
A. B.2 C. D.
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结合双曲线的对称性可知，∠F1AF2=，
|AF1|=|AC|，
所以△ACF1为等边三角形，则|AF1|=|CF1|，AC⊥F1F2.
由双曲线的定义，得|AF1|-|AF2|=2a，
所以|AF1|=4a，|AF2|=2a，
则==tan =，则e==.
解析
14.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作渐近线的垂线交双曲线的左支于点P，已知=，则双曲线的渐近线方程为　　　　　.
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y=±2x
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依题意，=，|PF2|-|PF1|=2a，
则|PF2|=4a，|PF1|=2a，
双曲线-=1的渐近线方程为bx±ay=0，
则点F2(c，0)到渐近线的距离d==b，
则cos∠PF2F1=，
在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2+|PF2|2-2|F1F2||PF2|cos∠PF2F1=|PF1|2，
解析
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得(2c)2+(4a)2-2·2c·4a·=(2a)2，
整理得c2+3a2-4ab=0，
即4a2-4ab+b2=0，解得b=2a，
所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.
解析
15.已知椭圆M：+=1(a>b>0)，双曲线N：-=1(m>0，n>0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆M的离心率为　　　　；双曲线N的离心率为　　　.
拓广探究
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-1
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椭圆、双曲线都关于x轴、y轴对称，所以只需考虑第一象限内的情况.
记双曲线N的一条渐近线与椭圆M在第一象限的交点为P，椭圆M的左焦点为Q，右焦点为F，连接PQ，如图.
由题意知，△OPF为正三角形，边长设为2，
则高为，
所以椭圆M的半焦距为2，2a=|PQ|+|PF|=2+2，
a=+1，椭圆M的离心率为=-1.
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双曲线N的一条渐近线斜率为=tan 60°=，
e2==1+=4，
所以双曲线N的离心率为2.
解析
16.已知F1，F2分别为双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围.
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因为双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，
所以|PF1|-|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|，
所以==+4a+|PF2|≥8a，当且仅当=|PF2|，
即|PF2|=2a时取等号，
所以|PF1|=2a+|PF2|=4a，
解
因为|PF1|-|PF2|=2a<2c，
|PF1|+|PF2|=6a≥2c e=≤3，
所以e的取值范围为(1，3].
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第三章　3.2.2　双曲线的简单几何性质
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