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(共93张PPT)
第2课时
直线与双曲线的位置关系
第三章　3.2.2　双曲线的简单几何性质
<<<
1.理解直线与双曲线的位置关系.
2.会求解有关弦长的问题(重点).
学习目标
上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质才能解答双曲线基本问题，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题.
导 语
一、直线与双曲线的位置关系
二、弦长公式及中点弦问题
课时对点练
随堂演练
内容索引
直线与双曲线的位置关系
一
提示　有三种位置关系，分别为相交、相切和相离三种情况.
类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？
问题1
提示　不一定.当直线与渐近线平行时，仅有一个交点.
当直线与双曲线仅有一个公共点时，该直线与双曲线一定相切吗？
问题2
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式.
(1)Δ>0时，直线与双曲线有 不同的公共点.
(2)Δ=0时，直线与双曲线只有 切点.
(3)Δ<0时，直线与双曲线 公共点.
当a=0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有 交点.
两个
一个
没有
一个
直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支.
注 意 点
<<<
已知双曲线x2-y2=4，直线l：y=k(x-1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围.
例 1
联立
消去y，得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0. (*)
当1-k2≠0，即k≠±1时，Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2).
由得-此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点.
解
若直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围.
延伸探究
联立消去y，
得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0. (*)
当1-k2≠0，即k≠±1时，
Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2).
由得k=±，
此时方程(*)有两个相等的实数根，
即直线l与双曲线有且只有一个公共点；
解
当1-k2=0，即k=±1时，
直线l与双曲线的渐近线平行，
方程(*)化为2x=5，
故方程(*)只有一个实数解，
即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点.
故当k=±或±1时，
直线l与双曲线有且只有一个公共点.
解
(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.
(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
反
思
感
悟
若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点，则k
的取值范围为　　　　　　　.
跟踪训练 1
将y=kx+2代入双曲线方程整理可得x2-4kx-10=0，
设直线与双曲线右支交于两点，
则
解得-解析
二
弦长公式及中点弦问题
(课本例6)　如图，过双曲线-=1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|.
例 2
由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为F1(-3，0)，F2(3，0).
因为直线AB的倾斜角是30°，且经过右焦点F2，
所以直线AB的方程为y=(x-3). ①
由消去y，
得5x2+6x-27=0.
解方程，得x1=-3，x2=.
解
将x1，x2的值分别代入①，
得y1=-2y2=-.
于是，A，B两点的坐标分别为(-3，-2)
.
所以|AB|===.
解
若直线l：y=kx-1与双曲线C：-y2=1交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为-2，求线段AB的长.
例 2
设A，B，
联立方程组消去y，
得x2+4kx-4=0，
因为l与C有两个交点，所以1-2k2≠0且Δ=16k2+16=16-16k2>0，
解得k2<1且k2≠，
所以-1解
且x1+x2=-，x1x2=，
又因为AB中点的横坐标为-2，
所以-=-4，即2k2+k-1=0，
解得k=-1或k=， ②
结合①②可知k=，
此时l：y=x-1，x1+x2=-=-4，x1x2==-8，
解
所以=
=·
=×=2，
即线段AB的长为2.
解
双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用根与系数关系法和点差法，注意所求参数的取值范围.
反
思
感
悟
已知双曲线的方程为x2-=1.试问：双曲线上是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由.
跟踪训练 2
方法一　假设双曲线上存在被点B(1，1)平分的弦，且此弦所在的直线方程为y=k(x-1)+1，代入双曲线方程x2-=1，得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0，
∴k2-2≠0，且Δ=[-2k(k-1)]2-4(k2-2)(k2-2k+3)>0，
解得k<，且k≠±.
设弦的两端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1+x2=.
解
∵点B(1，1)是弦的中点，
∴=1，∴k=2>.
故双曲线上不存在被点B(1，1)平分的弦.
方法二　假设双曲线上存在被点B(1，1)平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1+x2=2，y1+y2=2，
且
解
由①-②得(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0，∴kMN==2，
∴直线MN的方程为y-1=2(x-1)，
即y=2x-1.
由消去y，得2x2-4x+3=0.
又Δ=-8<0，∴直线MN与双曲线不相交，
故双曲线上不存在被点B(1，1)平分的弦.
解
1.知识清单：
(1)直线与双曲线的位置关系.
(2)弦长公式及中点弦问题.
2.方法归纳：定义法、数形结合法.
3.常见误区：判断直线与双曲线的公共点个数时，方程联立消元后，忽视对二次项系数讨论.代数计算中的运算失误.
随堂演练
三
1
2
3
4
1.直线y=x+3与双曲线-=1(a>0，b>0)的交点个数是
A.1 B.2 C.1或2 D.0
√
由题意，双曲线-=1(a>0，b>0)，
可得其渐近线方程为y=±x，
因为直线y=x+3与双曲线的一条渐近线y=x平行，
所以它与双曲线只有1个交点.
解析
1
2
3
4
2.若直线y=kx与双曲线4x2-y2=16相交，则实数k的取值范围为
A.(-2，2) B.[-2，2)
C.(-2，2] D.[-2，2]
√
易知k≠±2，将y=kx代入4x2-y2=16得关于x的一元二次方程(4-k2)x2-16=0，
由Δ>0可得-2解析
1
2
3
4
3.直线y=x-1被双曲线2x2-y2=3所截得的弦的中点坐标是
A.(1，2) B.(-2，-1)
C.(-1，-2) D.(2，1)
√
1
2
3
4
方法一　将y=x-1代入2x2-y2=3，
得x2+2x-4=0，
由此可得弦的中点的横坐标为==-1，
纵坐标为-1-1=-2，即中点坐标为(-1，-2).
方法二　设直线y=x-1与双曲线2x2-y2=3交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，将A，B代入双曲线方程得
2-=3，2-=3，
解析
1
2
3
4
作差整理得
kAB====1， ①
又M在y=x-1上，则有y0=x0-1， ②
联立①②解得x0=-1，y0=-2，
所以M(-1，-2).
解析
1
2
3
4
4.过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|=　　　　.
由双曲线方程可得右焦点坐标为(2，0)，渐近线方程为y=±x，把x=2代入渐近线方程，
得y=±2，故|AB|=4.
解析
4
课时对点练
四
对一对
答案
1
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B D C AC 2 3x-2y-18=0
题号 11 12 13 14 15 答案 B A D x-=0，x-y- =0，x+y-=0 (任选一个即可). -x2=1　3π
9.
双曲线方程可化为x2-=1，
故a2=1，b2=3，c2=a2+b2=4，
∴c=2.∴F2(2，0)，
又直线l的倾斜角为45°，
∴直线l的斜率k=tan 45°=1，
∴直线l的方程为y=x-2，
代入双曲线方程，得2x2+4x-7=0.
答案
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9.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵x1·x2=-<0，
∴A，B两点不位于双曲线的同一支上.
∵x1+x2=-2，x1·x2=-
∴|AB|=
=·=6.
答案
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10.
(1)显然直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y-2=k(x-1)，
即y=kx+2-k.
消去y，整理得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
答案
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10.
则1==2-k2≠0)，
解得k=1.
当k=1时，满足Δ>0，
∴直线AB的方程为y=x+1.
答案
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10.
(2)由(1)得x1+x2=2，x1x2=-3，
∴|AB|=·
=×=4.
又点O到直线AB的距离d==
∴S△OAB=|AB|·d=×4×=2.
答案
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16.
(1)由题知
∴双曲线C-=1.
答案
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16.
(2)将l：x=my+1代入双曲线C-=1，
得(2m2-1)y2+4my-2=0.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
则2m2-1≠0，Δ=32m2-8>0，
y1+y2=-y1y2=-.
直线AE的方程为y=x-2)+2，
答案
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16.
令x=1，得yM=+2；
直线AF的方程为y=x-2)+2，
令x=1，得yN=+2.
∵+==-4，
∴yM+yN=0，又B(1，0)，
∴|BM|=|BN|，即B是MN的中点.
答案
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基础巩固
1.“直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
直线与双曲线有唯一公共点时，
直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时有唯一公共点)；
直线与双曲线相切时，
直线与双曲线一定有唯一公共点.
解析
答案
1
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2.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2=3，则双曲线的渐近线方程为
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±2x
√
答案
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设点P(x，y)，由题意知k1·k2=·====3，
所以其渐近线方程为y=±x.
解析
答案
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3.经过双曲线x2-y2=8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长为
A. B. C. D.7
√
答案
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双曲线x2-y2=8的右焦点为(4，0)，经过双曲线x2-y2=8的右焦点且斜率为2的直线方程为y=2(x-4)，
代入x2-y2=8并整理得3x2-32x+72=0，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=，x1x2=24，
所以直线被双曲线截得的线段的长为×=.
解析
4.设点F1，F2分别是双曲线C：-=1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点.若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
√
答案
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设F1(-c，0)，A(-c，y0)，
则-=1，∴=-1===，
∴=，∴|AB|=2|y0|=.
又=2，∴·2c· |AB|=·2c·==2，
∴=，∴==.
∴该双曲线的渐近线方程为y=±x.
解析
5.过M(1，1)且斜率为的直线交双曲线C：-=1(a>0，b>0)于A，B两点，弦AB恰好被点M平分，则双曲线C的离心率为
A. B. C. D.
√
答案
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意可得x1+x2=2，y1+y2=2，且=，
又因为
所以(y1+y2)(y1-y2)-(x1+x2)(x1-x2)=0，
即有(y1-y2)=(x1-x2)，所以===，
解析
答案
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所以b2=2a2，所以c2=b2+a2=3a2，
所以e2==3，
所以e=.
解析
6.(多选)已知双曲线C：-=1过点(3，)，则下列结论正确的是
A.C的焦距为4
B.C的离心率为
C.C的渐近线方程为y=±x
D.直线2x-y-1=0与C有两个公共点
√
√
答案
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由双曲线C：-=1过点(3，)，可得m=1，则双曲线C的标准方程为-y2=1.所以a=，b=1，c==2，因为双曲线C的焦距为2c=4，所以选项A正确；
因为双曲线C的离心率为==，所以选项B不正确；
因为双曲线C的渐近线方程为y=±x，所以选项C正确；
解析
答案
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将直线2x-y-1=0与双曲线-y2=1联立，消去y可得3x2-4x+4=0，Δ=-4×3×4=-32<0，所以直线2x-y-1=0与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确.
解析
7.双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a=　　　.
答案
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5
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答案
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设B为双曲线的右焦点，如图所示.
∵四边形OABC为正方形且边长为2，
∴c=|OB|=2.
又∠AOB=，
∴=tan=1，即a=b.
又∵a2+b2=c2=8，∴a=2.
解析
8.双曲线9x2-16y2=144的一条弦的中点为A(8，3)，则此弦所在的直线方程为　　　　　　　.
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3x-2y-18=0
答案
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由双曲线的对称性可得此弦所在直线的斜率存在.
设弦的两端点分别为B(x1，y1)，C(x2，y2)，
则有
两式相减得9(-)-16(-)=0，
所以9(x1+x2)(x1-x2)-16(y1+y2)(y1-y2)=0，
又因为弦的中点为A(8，3)，所以
解析
答案
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故直线斜率k===，
则所求直线方程为y-3=(x-8)，
整理得3x-2y-18=0，
由
得y2-6y-15=0，
Δ=(-6)2-4×1×(-15)=96>0，故该直线满足题意.
解析
9.已知双曲线3x2-y2=3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长.
答案
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双曲线方程可化为x2-=1，
故a2=1，b2=3，c2=a2+b2=4，
∴c=2.∴F2(2，0)，
又直线l的倾斜角为45°，
∴直线l的斜率k=tan 45°=1，
∴直线l的方程为y=x-2，
代入双曲线方程，得2x2+4x-7=0.
解
答案
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵x1·x2=-<0，
∴A，B两点不位于双曲线的同一支上.
∵x1+x2=-2，x1·x2=-，
∴|AB|=
=·=6.
解
答案
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10.设A，B为双曲线x2-=1上的两点，线段AB的中点为M(1，2).求：
(1)直线AB的方程；
答案
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显然直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y-2=k(x-1)，即y=kx+2-k.
由
消去y，整理得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则1==(2-k2≠0)，解得k=1.
当k=1时，满足Δ>0，∴直线AB的方程为y=x+1.
解
(2)△OAB的面积(O为坐标原点).
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由(1)得x1+x2=2，x1x2=-3，
∴|AB|=·
=×=4.
又点O到直线AB的距离d==，
∴S△OAB=|AB|·d=×4×=2.
解
11.已知双曲线E的中心在原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(-12，-15)，则E的方程为
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
√
综合运用
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由已知条件易得直线l的斜率
k==1，
设双曲线E的方程为-=1(a>0，b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则-=1， ①
-=1， ②
x1+x2=-24，y1+y2=-30，
解析
答案
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由①②得=，
从而=1，又因为a2+b2=c2=9，
故a2=4，b2=5，所以E的方程为-=1.
解析
12.已知点P(1，2)和双曲线C：x2-=1，过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线l有
A.2条 B.3条 C.4条 D.无数条
√
答案
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由题意可得，双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±2x，点(1，0)是双曲线的顶点.
①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x=1，此时，直线l与双曲线C只有一个公共点，符合题意；
②若直线l的斜率存在，则当直线平行于渐近线y=-2x时，直线l与双曲线只有一个公共点.
若直线l的斜率为2，则直线l的方程为y=2x，此时直线l为双曲线C的一条渐近线，不符合题意.
综上所述，过点P(1，2)与双曲线只有一个公共点的直线l共有2条.
解析
13.(2023·天津)双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，已知|PF2|=2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
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不妨设过F2(c，0)作一条渐近线y=x的垂线，垂足为P，
则|PF2|==b，
所以b=2， ①
联立可得x=，y=，
即P，因为直线PF1的斜率为=，
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整理得(a2+c2)=4ab， ②
a2+b2=c2， ③
①②③联立得，a=，b=2，
故双曲线的方程为-=1.
解析
14.过双曲线x2-=1的右焦点作直线交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这条直线可以是　　　　　　　　　 .(写出一个即可)
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x-=0，x-y-=0，x+y-=0
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设直线方程为x=my+，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立y2+2my+2=0，
因为直线交双曲线于A，B两点，所以m2-≠0，
所以y1+y2=，y1y2=，
所以|AB|=·==4，
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即m2+1=|2m2-1|，解得m=0或m=或m=-，
所以这条直线为x=，x=y+，x=-y+.
即x-=0，x-y-=0，x+y-=0(任选一个即可).
解析
15.祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家.他提出了体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.
拓广探究
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已知双曲线C的焦点在y轴上，离心率为，且过点，则双曲线的方程为　　　　 ；若直线x=0，x=1在第一象限内与C及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则阴影图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积为　　　.
-x2=1
3π
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∵双曲线C的离心率e==，
∴c=a，∴c2=a2+b2=a2，∴b2=a2，
∵双曲线的方程为-=1过点(，2)，
即-=1，a2=3，b2=1，
∴双曲线方程为-x2=1，则渐近线方程为y=±x，
取直线x=m(0≤m≤1)，
解析
答案
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代入-x2=1，得y=，
代入y=x，得y=m，
∴直线x=m在阴影部分内的线段旋转一周所得
圆环的面积S=(3+3m2)π-3m2π=3π.
又高度为1，
故根据祖暅原理，该图形绕x轴旋转一周所得几何体与底面半径为，高为1的圆柱“幂势相同”，故它绕x轴旋转一圈所得几何体的体积
为3π.
解析
16.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A(2，2)，且△AF1F2的面积为2.
(1)求双曲线C的标准方程；
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由题知
解得
∴双曲线C的标准方程为-=1.
解
(2)直线l：x=my+1交x轴于点B，与双曲线C的左、右两支分别交于点E，F(不同于点A)，记直线AE，AF分别与直线x=1交于点M，N，证明：B是MN的中点.
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将l：x=my+1代入双曲线C：-=1，
得(2m2-1)y2+4my-2=0.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
则2m2-1≠0，
Δ=32m2-8>0，
y1+y2=-，y1y2=-.
直线AE的方程为y=(x-2)+2，
证明
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令x=1，得yM=+2；
直线AF的方程为y=(x-2)+2，
令x=1，得yN=+2.
∵+==-4，
∴yM+yN=0，又B(1，0)，
∴|BM|=|BN|，即B是MN的中点.
证明
第三章　3.2.2　双曲线的简单几何性质
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