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(共86张PPT)
3.3.1
抛物线及其标准方程
第三章　§3.3　抛物线
<<<
1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念(重点).
2.会求简单的抛物线方程.
学习目标
同学们，数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学”，比如篮球投篮时那条美丽的弧线，天空中那一道道美丽的彩虹，广场上那五彩斑斓的喷泉，运动场上那些跳跃的运动，哪怕是一个小朋友轻轻投掷一块石子，都会产生一道与众不同的弧线，所以我们说生活中充满了数学，数学就在我们周围.
导 语
一、抛物线的定义及其标准方程
二、抛物线定义的应用
课时对点练
三、抛物线在生活中的应用
随堂演练
内容索引
抛物线的定义及其标准方程
一
提示　在点M随着点H运动的过程中，始终有|MF|=|MH|，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似.
利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之
问题1
运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .
相等
焦点
准线
(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1).
(2)若点F在直线l上，则到定点F和定直线l距离相等的点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.
注 意 点
<<<
比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，才能使所求抛物线的方程形式简单？
问题2
提示　我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.
设|KF|=p(p>0)，
那么焦点F的坐标为，
准线l的方程为x=-.
设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P={M||MF|=d}.
因为|MF|=，d=，
所以=，
将上式两边平方并化简，得y2=2px(p>0).
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
____________ ________ ______
_____________ __________ _____
y2=2px(p>0)
x=-
y2=-2px(p>0)
x=
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
___________ ________ ______
____________ __________ ______
x2=2py(p>0)
y=-
x2=-2py(p>0)
y=
(1)p的几何意义是焦点到准线的距离.
(2)标准方程的结构特征：焦点在坐标轴上，准线与焦点所在的坐标轴垂直，坐标原点与焦点的距离等于其到准线的距离.
(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项变量(x或y)及其系数的正负.
(4)抛物线y2=2px(p>0)上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离为x0+(焦半径公式).
注 意 点
<<<
(课本例1)　(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；
例 1
因为p=3，抛物线的焦点在x轴正半轴上，
所以它的焦点坐标是
准线方程是x=-.
解
(2)已知抛物线的焦点是F(0，-2)，求它的标准方程.
因为抛物线的焦点在y轴负半轴上，且=2，p=4，
所以抛物线的标准方程是x2=-8y.
解
(课本例2)　一种卫星接收天线如图1所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处(如图2所示)，已知接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为1 m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.
例 1
如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合，焦点在x轴上.
设抛物线的标准方程是y2=2px(p>0)，由已知条件得，点A的坐标是(1，2.4)，代入方程，
得2.42=2p×1，即p=2.88.
解
所以，所求抛物线的标准方程是y2=5.76x，焦点坐标是(1.44，0).
(1)分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.
①经过点(-3，-1)；
例 1
因为点(-3，-1)在第三象限，
所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0).
若抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)，
则由(-1)2=-2p×(-3)，解得p=；
若抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0)，
则由(-3)2=-2p×(-1)，解得p=.
故所求抛物线的标准方程为y2=-x或x2=-9y.
解
②焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.
对于直线方程3x-4y-12=0，
令x=0，得y=-3；令y=0，得x=4，
所以抛物线的焦点为(0，-3)或(4，0).
当焦点为(0，-3)时，=3，所以p=6，
此时抛物线的标准方程为x2=-12y；
当焦点为(4，0)时，=4，所以p=8，
此时抛物线的标准方程为y2=16x.
故所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.
解
(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
①y2=x；
对于y2=x，焦点在x轴正半轴上，
焦点坐标为，准线方程为x=-.
解
②x2=-y；
对于x2=-y，焦点在y轴负半轴上，
焦点坐标为，准线方程为y=.
解
③x2+12y=0.
对于x2+12y=0，即x2=-12y，
焦点在y轴负半轴上，焦点坐标为(0，-3)，准线方程为y=3.
解
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
反
思
感
悟
注意：当抛物线的焦点位置没有确定时，可设方程为y2=mx (m≠0)或x2=ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数.
(1)焦点在y轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程是
A.x2=4y B.y2=8x
C.x2=8y D.y2=4x
跟踪训练 1
√
由题意可设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)，且p=2，则抛物线的标准方程为x2=4y.
解析
(2)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，则p=　 　，准线方程为
　　　　.
因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以=1，解得p=2，则准线方程为x=-=-1.
解析
2
x=-1
二
抛物线定义的应用
已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值.
例 2
由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知，点P，点(0，2)和抛物线的焦点F三点共线时，距离之和最小，
解
所以距离之和的最小值为d= =.
若将本例中的点(0，2)改为点A(3，2)，求点P到A与点P到该抛物线焦点的距离之和的最小值.
延伸探究 1
将x=3代入y2=2x，得y=±.
所以点A在抛物线内部.
设点P到准线(设为l)x=-的距离为d，
则|PA|+|PF|=|PA|+d.
由图可知，当PA⊥l时，|PA|+d最小，最小值是
.
解
若将本例中的点(0，2)换为直线l1：3x-4y+=0，求点P到直线l1的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值.
延伸探究 2
如图，作PQ垂直于准线l于点Q，作PA1⊥l1于点A1，
|PA1|+|PQ|=|PA1|+|PF|.
|A1F|的最小值为点F到直线l1：
3x-4y+=0的距离d==1，
即所求距离之和的最小值为1.
解
抛物线定义的应用
根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.
反
思
感
悟
已知抛物线y=x2的焦点为F，A(1，1)，设B为该抛物线上一点，则△ABF周长的最小值为　　　.
跟踪训练 2
抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，其焦点为F(0，1)，准线方程为y=-1.过B作直线BD垂直于准线，垂足为D(图略)，设|AM|为A到准线的距离(M为垂足)，由抛物线的定义得|AB|+|BF|+|AF|=|AB|+|BD|+|AF|≥ |AM|+|AF|=2+1=3(当且仅当B，A，M三点共线时，取等号).
解析
3
抛物线在生活中的应用
三
河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少米时，载货小船开始不能通航？
例 3
如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.
设拱桥所在的抛物线方程为x2=-2py(p>0)，由题意可知，点B(4，-5)在抛物线上，故p=，得x2=-y.
解
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为|AA'|=4 m，则A(2，yA)，由22=-yA，得yA=-.
又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，|yA|+0.75=2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.
涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.
反
思
感
悟
如图，某桥的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为
A. B.
C. D.
跟踪训练 3
√
如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立平面直角坐标系Oxy.
解析
设抛物线的方程为x2=-2py(p>0)，结合题意可知，
该抛物线经过点=2ph，解得p=，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p=.
1.知识清单：
(1)抛物线的定义及其标准方程.
(2)抛物线定义的应用.
(3)抛物线在生活中的应用.
2.方法归纳：待定系数法、定义法、转化与化归.
3.常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知抛物线y=2px2过点(1，4)，则该抛物线的焦点坐标为
A.(1，0) B.
C. D.(0，1)
√
由抛物线y=2px2过点(1，4)，可得p=2，
∴抛物线的标准方程为x2=y，
则焦点坐标为.
解析
1
2
3
4
2.已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|=x0，则x0等于
A.1 B.2 C.4 D.8
√
∵+x0=x0，∴x0=1.
解析
1
2
3
4
3.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是
A.2 B.3 C. D.
√
1
2
3
4
易知直线l2：x=-1恰为抛物线y2=4x的准线，
如图所示，动点P到l2：x=-1的距离可转化为PF的长度，其中F(1，0)为抛物线y2=4x的焦点.
由图可知，距离之和的最小值即F到直线l1的距离
d==2.
解析
1
2
3
4
4.如图是抛物线形拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽4米，则水位下降1米后，水面宽　　　米.
2
建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2=-2py(p>0)，则点(2，-2)在抛物线上，代入可得p=1，所以抛物线的方程为x2=-2y，水位下降1米后，y=-3，代入得x2=6，所以此时水面宽为2 米.
解析
课时对点练
五
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
14
15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B BD C B 8
题号 11 12 13 14 　15 答案 C C C 2 　2　(4，6)
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
12
13
14
15
16
(1-=1，
左顶点为(-3，0)，
由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0=-3，
∴p=6，
∴抛物线的标准方程为y2=-12x.
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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14
15
16
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2=2px(p≠0)，A(m，-3)，
由抛物线定义得5=|AF|=.
又(-3)2=2pm，
∴p=±1或p=±9，
∴抛物线的标准方程为y2=±2x或y2=±18x.
10.
答案
1
2
3
4
5
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14
15
16
如图所示，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2=-2py(p>0)，
依题意有P(-1，-1)在抛物线上，代入得p=
故得抛物线方程为x2=-y.
设点A(x，-2)在抛物线上，将A(x，-2)代入抛物线方程得x=
则|O'A|=+1)m，
因此，所求水池的直径至少为2(1+m，约为5 m，即水池的直径至少应设计为5 m.
16.
答案
1
2
3
4
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15
16
(1)以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2=my，
根据题意知点B(5，-4)在抛物线上，
∴25=-4m，∴m=-∴x2=-y，
可设C(3，-4)，过点C作AB的垂线，交抛物线于点D(3，y0)，
则9=-y0，∴y0=-∵=--(-4)=>∴船只能顺利通过该桥.
16.
答案
1
2
3
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6
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16
(2)由(1×100=106(cm)，
每增加一层，
则船体连货物高度整体上升3-1=2(cm)，
∵货物上方与桥壁需留下2 cm间隙，
∴=52.
即船只需增加52层货箱恰好能从桥下中央通过.
基础巩固
1.过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为
A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线
√
由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义.
解析
答案
1
2
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6
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9
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15
16
2.若P为抛物线y2=4x上一点，且P到焦点F的距离为9，则P到y轴的距离为
A.7 B.10 C.8 D.9
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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14
15
16
根据抛物线的定义可得P到焦点F的距离等于P到准线x=-1的距离，所以P到y轴的距离为9-1=8.
解析
3.抛物线y=x2的焦点坐标为
A. B.
C. D.
√
抛物线y=x2的标准形式为x2=y，
所以抛物线的焦点在y轴的正半轴上，
由2p=，得p==，
所以焦点坐标为.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
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15
16
4.(多选)关于抛物线y2=10x，下列说法正确的是
A.焦点在y轴上
B.焦点在x轴上
C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D.存在过原点的一条直线，过焦点作该直线的垂线，垂足坐标为(2，1)
√
答案
1
2
3
4
5
6
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15
16
√
答案
1
2
3
4
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12
13
14
15
16
抛物线y2=10x的焦点在x轴上，所以B正确，A错误；
设M(1，y0)是y2=10x上一点，则|MF|=1+=1+=≠6，所以C错误；
由于抛物线y2=10x的焦点为，
由题意知过原点的直线方程为y=x，
设过焦点的直线的斜率存在，
方程为y=k，直线过点(2，1)，
则k=-2，因为×(-2)=-1，所以D正确.
解析
5.已知P为抛物线y=x2上的动点，A，B(1，2)，则|PA|+|PB|的最小值为
A. B. C. D.
√
答案
1
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3
4
5
6
7
8
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16
答案
1
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16
由题意知，A为抛物线的焦点.
设点P到准线y=-的距离为d，
则|PA|+|PB|=d+|PB|，
d+|PB|的最小值为B到准线的距离，
所以当PB垂直于准线时取最小值.
故最小值为2+=.
解析
6.为响应“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个可以利用太阳光能源的太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果(容器灶圈在抛物面对应轴截面的抛物线焦点处)，容器灶圈应距离集光板顶点
A.0.5 m B.1 m
C.1.5 m D.2 m
√
答案
1
2
3
4
5
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答案
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若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，
如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，
设抛物线方程为x2=2py(p>0)，集光板端点A(1，0.25)，
代入抛物线方程可得2×0.25p=1，解得p=2，
所以抛物线方程为x2=4y，故焦点坐标是F(0，1).
所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.
解析
7.设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，若点A(，2)在C上，则|AF|=
　　　.
因为点A(，2)在C上，所以()2=2p·2，得p=，
所以抛物线的准线方程为y=-.
由抛物线的定义知，|AF|等于点A到准线的距离，
即|AF|=2+=.
解析
答案
1
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8.设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为-，那么|PF|=　　　.
答案
1
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16
8
如图，设准线l与x轴交于点E，∠AFE=60°，
因为F(2，0)，所以E(-2，0)，
则=tan 60°，即|AE|=4，
所以点P的坐标为(6，4)，
故|PF|=|PA|=6+2=8.
解析
9.根据下列条件分别求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点；
双曲线方程可化为-=1，
左顶点为(-3，0)，
由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)且=-3，∴p=6，
∴抛物线的标准方程为y2=-12x.
解
答案
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(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5.
设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2=2px(p≠0)，A(m，-3)，
由抛物线定义得5=|AF|=.
又(-3)2=2pm，∴p=±1或p=±9，
∴抛物线的标准方程为y2=±2x或y2=±18x.
解
答案
1
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10.花坛水池中央有一喷泉，水管|O'P|=1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，点P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少m？(精确到1 m).
答案
1
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4
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答案
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如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2=-2py(p>0)，
依题意有P(-1，-1)在抛物线上，代入得p=，故得
抛物线方程为x2=-y.
解
设点A(x，-2)在抛物线上，将A(x，-2)代入抛物线方程得x=，则|O'A|=(+1)m，
因此，所求水池的直径至少为2(1+)m，约为5 m，即水池的直径至少应设计为5 m.
11.已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是
A.5 B. C.-1 D.+1
√
综合运用
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点P到抛物线的准线的距离等于点P到抛物线焦点F(1，0)的距离.圆心坐标是(0，4)，圆心到抛物线焦点的距离为，即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是-1，这个值即为所求.
解析
12.设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，点P在C上，|PF|=，若以线段PF为直径的圆与x轴切于(-1，0)，则抛物线C的方程为
A.x2=4y或x2=8y
B.x2=2y或x2=4y
C.x2=2y或x2=8y
D.x2=4y或x2=16y
√
答案
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设P(x，y)，
F，
由条件可知y+=，
即y=-，
并且线段PF的中点纵坐标是=，
因为以线段PF为直径的圆与x轴切于(-1，0)，
解析
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所以x=-2，即P，
代入抛物线方程得4=2p，
整理得p2-5p+4=0，
解得p=1或p=4，
即抛物线C的方程是x2=2y或x2=8y.
解析
13.已知抛物线y=x2的焦点为F，P为抛物线上一动点，点Q，记点P到x轴的距离为d，则d+|PQ|的最小值为
A. B. C. D.
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如图，记l：y=-是抛物线的准线，过P作PH⊥l，
垂足为H，连接FQ，则|PF|=|PH|，F.
因为点P到x轴的距离比点P到l的距离少，
所以d+|PQ|=|PH|-+|PQ|=|PF|+|PQ|-，
所以当Q，P，F三点共线，且点P在线段FQ上时，d+|PQ|最小，且最小
值为|FQ|-=-=2-=.
解析
14.若抛物线y2=2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点的横坐标是　　　.
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由抛物线方程y2=2x可知，=，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线的定义知点A到焦点F的距离等于点A到准线的距离，
即|AF|=x1+=x1+.
同理|BF|=x2+=x2+.
故|AF|+|BF|=x1+x2+1=5，即x1+x2=4，得=2.
故线段AB的中点的横坐标是2.
解析
15.已知抛物线Z：x2=4y的焦点为F，圆F：x2+(y-1)2=4与抛物线Z在第一象限的交点为P，直线l：x=t(01)，则m=　　；△FAB周长的取值范围为　　　　.
拓广探究
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(4，6)
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如图所示，设直线l与抛物线Z的准线交于点C，
由
解得所以m=2.
由所以A，
解析
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由
所以B(t，1+)，
由抛物线的定义得|AF|=|AC|，
所以△FAB的周长=|AF|+|BF|+|AB|
=|AC|+|AB|+|BF|=|BC|+2=+4.
因为t∈(0，2)，所以+4∈(4，6).
解析
16.如图，一抛物线形拱桥的拱顶O距离水面4 m，水面宽度|AB|=10 m.现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6 m，高 m，货箱最底面与水面持平.
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(1)船只能否顺利通过该桥？
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以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2=my，根据题意知点B(5，-4)在抛物线上，
∴25=-4m，∴m=-，∴x2=-y，
解
可设C(3，-4)，过点C作AB的垂线，交抛物线于点D(3，y0)，
则9=-y0，∴y0=-，∵=--(-4)=>，∴船只能顺利通过该桥.
(2)若每加一层货箱，船只吃水深度增加1 cm；每减一层货箱，船只吃水深度减少1 cm.若每层小货箱高3 cm，且货物上方与桥壁需留2 cm间隙才可通过，问船只需增加或减少几层货箱恰好能从桥下中央通过？
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由(1)知，拱桥超出高度为×100=106(cm)，
每增加一层，
则船体连货物高度整体上升3-1=2(cm)，
∵货物上方与桥壁需留下2 cm间隙，
∴需要增加的层数为=52.
即船只需增加52层货箱恰好能从桥下中央通过.
解
第三章　§3.3　抛物线
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