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(共74张PPT)
第1课时
抛物线的简单几何性质
第三章　3.3.2　抛物线的简单几何性质
<<<
1.掌握抛物线的几何性质(重点).
2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题(难点).
学习目标
一只很小的灯泡发出的光会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这主要应用了抛物线的几何性质.
导 语
一、抛物线的简单几何性质
二、抛物线的简单几何性质的应用
课时对点练
随堂演练
内容索引
抛物线的简单几何性质
一
提示　应研究范围、对称性、顶点、离心率等性质，可通过图形进行研究.
类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2=2px(p>0)的哪些几何性质？如何研究这些性质？
问题
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 轴 轴 轴 轴
x
x
y
y
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
焦点坐标 F_______ F_________ F________ F__________
准线方程 x=___ x=___ y=___ y=___
顶点坐标 O(0，0) 离心率 e==1(其中M是抛物线上一点，d表示M到准线的距离)
-
-
(1)抛物线与双曲线不同，抛物线没有渐近线；
(2)抛物线只有一条对称轴、一个顶点、一个焦点、一条准线；
(3)所有抛物线的离心率均为1.
注 意 点
<<<
(课本例3)　已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2，-2)，求它的标准方程.
例 1
因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2，-2)，所以可设它的标准方程为y2=2px(p>0).
因为点M在抛物线上，所以(-2)2=2p×2，解得p=2.
因此，所求抛物线的标准方程是y2=4x.
解
已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线，焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.
例 1
椭圆的方程可化为+=1，
其短轴在x轴上，
∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
即=3，∴p=6，
∴抛物线的标准方程及其准线方程为y2=12x，x=-3或y2=-12x，x=3.
解
掌握抛物线的性质需注意把握三个要点
(1)开口方向：由抛物线的标准方程看图象开口方向，关键是看一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.
(2)关系：准线垂直于对称轴，垂足与焦点关于顶点对称，它们与顶点的距离都等于标准方程中一次项系数的绝对值的.
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
反
思
感
悟
边长为1的等边△AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过点A，B的抛物线方程是
A.y2=x B.y2=-x
C.y2=±x D.y2=±x
跟踪训练 1
√
设抛物线方程为y2=ax(a≠0).
又A(取点A在x轴上方)，
则有=±a，解得a=±，
所以抛物线方程为y2=±x.
解析
二
抛物线的简单几何性质的应用
(1)已知等边△AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2=2px(p>0)上，则这个三角形的边长为　　　　.
例 2
4p
如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则=2px1，=2px2.
又|OA|=|OB|，
所以+=+，
即-+2px1-2px2=0，
整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.
因为x1>0，x2>0，2p>0，
所以x1=x2，由此可得|y1|=|y2|，
解析
即线段AB关于x轴对称，
由此得∠AOx=30°，
所以y1=x1，与=2px1联立，
解得y1=2p.
所以|AB|=2y1=4p，
即这个三角形的边长为4p.
解析
(2)抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO= 120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是　　　.
4
由抛物线方程可知F(1，0)，准线l的方程为x=-1.
如图，不妨设A(x0，y0)在x轴上方，
过点A作AH⊥x轴于点H，
在Rt△AFH中，|FH|=x0-1，
由∠AFO=120°得∠AFH=60°，
故y0=|AH|=(x0-1)，
所以点A的坐标为(x0，(x0-1))，将点A的坐标代入抛物线方程可得3-10x0+3=0，
解析
解得x0=3或x0=(舍)，
所以点A的坐标为(3，2)，
故S△AKF=×(3+1)×2=4.
解析
利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题.
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题.
(4)焦点弦：解决焦点弦问题.
反
思
感
悟
(1)(多选)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|=5，若y轴上存在点A(0，2)，使得·=0，则p的值可以为
A.2 B.4 C.6 D.8
跟踪训练 2
√
√
由题意可得，以MF为直径的圆过点A(0，2)，
设点M(x，y)，以MF为直径的圆为圆D，由抛物线定义知|MF|=x+=5，可得x=5-.
因为圆心D是MF的中点，
所以根据中点坐标公式可得，
圆心横坐标为=，
由已知可得圆的半径也为，
解析
据此可知该圆与y轴相切于点A(0，2)，
故圆心纵坐标为2，则点M纵坐标为4，
即点M，
代入抛物线方程整理得p2-10p+16=0，
解得p=2或p=8.
解析
(2)已知A，B是抛物线y2=2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|，
且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为　　　　.
x=
如图，设点A(x0，y0)，由题意可知点B(x0，-y0)，
∵F是△AOB的垂心，
∴AF⊥OB，∴kAF·kOB=-1，
即·=-1.
∴=x0，
又=2px0，∴x0=2p+=.
∴直线AB的方程为x=.
解析
1.知识清单：
(1)抛物线的简单几何性质.
(2)抛物线的简单几何性质的应用.
2.方法归纳：待定系数法、数形结合法.
3.常见误区：求抛物线方程时焦点的位置易判断失误.
随堂演练
三
1
2
3
4
1.对抛物线y=4x2，下列描述正确的是
A.开口向上，焦点为(0，1)
B.开口向上，焦点为
C.开口向右，焦点为(1，0)
D.开口向右，焦点为
√
1
2
3
4
由抛物线y=4x2，
得抛物线的标准方程为x2=y，2p=，
故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为.
解析
1
2
3
4
2.已知点P(6，y0)在抛物线y2=2px上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于
A.2 B.1 C.4 D.8
√
由抛物线定义可知，点P到焦点F的距离即为点P到抛物线准线x=-的距离，
即6+=8，解得p=4，又焦点F到抛物线准线的距离为p，所以所求距离为4.
解析
1
2
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4
3.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为
A. B.
C. D.
√
设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|=|PO|，又F，所以x0==，所以y0=±.
解析
1
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4
4.已知抛物线y2=2px(p>0)，直线x=m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1+y2=　　　.
因为抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称，x=m与x轴垂直，故y1=-y2，
即y1+y2=0.
解析
0
课时对点练
四
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A B A AB B - 6
题号 11 12 13 14 　15 答案 B B D 6 　C
9.
答案
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设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)，
设A(x0，y0)，由题意知M.
因为|AF|=3，所以y0+=3，
因为|AM|=
+=17，
9.
答案
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=8=2py0得，
8=2p
解得p=2或p=4.
所以所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.
10.
答案
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设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，
则其准线方程为x=-.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵|AF|+|BF|=8，
∴x1++x2+=8，
即x1+x2=8-p.
∵Q(6，0)在线段AB的垂直平分线上，∴|QA|=|QB|，
10.
答案
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=
=2px1=2px2，
∴(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.
∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.
故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0，即p=4.
从而抛物线方程为y2=8x.
16.
答案
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(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x=-2，x轴，x≥0.
(2)如图所示，由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，
则|OF|=|OM|.
因为F(2，0)，
所以|OM|=|OF|=3，所以M(3，0).
16.
答案
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故设A(3，m)，
代入y2=8x得m2=24，
所以m=2m=-2
所以A(3，2B(3，-2
所以|OA|=|OB|=
所以△OAB的周长为2+4.
基础巩固
1.若抛物线y2=2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|=2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为
A. B. C. D.
√
由题意知，线段AB所在的直线方程为x=1，
抛物线的焦点坐标为，
则焦点到直线AB的距离为1-=.
解析
答案
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2.在同一坐标系中，方程+=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是
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√
由a>b>0，则方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，方程ax+by2=0可化为y2=-x，由于-<0，则方程表示焦点在x轴上开口向左的抛物线.
解析
3.已知点(x，y)在抛物线y2=4x上，则z=x2+y2+3的最小值是
A.2 B.3 C.4 D.0
√
因为点(x，y)在抛物线y2=4x上，所以x≥0，
因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2，
所以当x=0时，z最小，最小值为3.
解析
答案
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4.若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为
A.4 B.5 C.6 D.7
√
由题意，知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，
∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2， 则P(3，±2)，
∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4，
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.
解析
答案
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5.(多选)点M(1，1)到抛物线y=ax2(a≠0)的准线的距离为2，则a的值可
以为
A. B.- C. D.-
√
答案
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√
抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程为y=-，
因为点M(1，1)到抛物线y=ax2的准线的距离为2，
所以=2，解得a=或a=-.
解析
6.已知抛物线C：y2=2px过点A(1，2)，F为抛物线C的焦点，点P为C上一点，O为坐标原点，则
A.C的准线方程为x=-2
B.△AFO的面积为1
C.不存在点P，使得点P到C的焦点的距离为2
D.存在点P，使得△POF为等边三角形
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答案
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由题意抛物线C：y2=2px过点A(1，2)，可得p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x，所以准线方程为x=-1，A错误；
可以计算S△AFO=×1×2=1，B正确；
解析
当P的坐标为(1，2)时，点P到C的焦点的距离为2，C错误；
若△POF为等边三角形，则点P的横坐标为，当x=时，纵坐标为±，则△POF为等腰三角形，不是等边三角形，故使△POF为等边三角形的点P不存在，D错误.
7.已知点A(-2，3)在抛物线C：y2=2px(p>0)的准线上，记抛物线C的焦点
为F，则直线AF的斜率为　　　.
∵点A(-2，3)在抛物线C的准线上，
∴=2，∴p=4.∴抛物线的方程为y2=8x，
则焦点F的坐标为(2，0).又A(-2，3)，
根据斜率公式得kAF==-.
解析
答案
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8.已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|=　　 .
答案
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如图，过点M作MM'⊥y轴，垂足为M'，|OF|=2，
∵M为FN的中点，
∴|MM'|=1，
∴M到准线的距离d=|MM'|+=3，∴|MF|=3，∴|FN|=6.
解析
9.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|=，|AF|=3，求此抛物线的标准方程.
答案
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设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)，
设A(x0，y0)，由题意知M.
因为|AF|=3，所以y0+=3，
因为|AM|=+=17，
所以=8，代入方程=2py0得，
8=2p，解得p=2或p=4.
所以所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.
解
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10.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|+|BF|=8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6，0)，求抛物线的方程.
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设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，
则其准线方程为x=-.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵|AF|+|BF|=8，
∴x1++x2+=8，即x1+x2=8-p.
∵Q(6，0)在线段AB的垂直平分线上，
∴|QA|=|QB|，即=，
解
答案
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又=2px1，=2px2，
∴(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.
∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.
故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0，即p=4.
从而抛物线方程为y2=8x.
解
11.设O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，若·=-4，则点A的坐标是
A.(2，±2) B.(1，±2)
C.(1，2) D.(2，2)
√
综合运用
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由题意知F(1，0)，设A，
则==，
由·=-4得y0=±2，
∴点A的坐标为(1，±2).
解析
12.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|=4|OF|，△OMF的面积为4，则抛物线的方程为
A.y2=6x B.y2=8x
C.y2=16x D.y2=x
√
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设M(x1，y1)，
则由|MF|=4|OF|得x1+=4×，
即x1=p，则=3p2，
则|y1|=p，则S△OMF=××p=4，
解得p=4，即抛物线的方程为y2=8x.
解析
13.如图所示，点F是抛物线y2=4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2=4x及圆(x-1)2+y2=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是
A.[8，10] B.(5，8)
C.(10，12) D.(8，10)
答案
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过点A作准线x=-1的垂线，垂足为E，
则△FAB的周长为++=++4=+4=xB+5，
由
可得
故3解析
14.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线-=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=　　　.
答案
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抛物线的焦点坐标为F，
准线方程为y=-.
将y=--=1得|x|=.
要使△ABF为等边三角形，
则tan ===，
解得p2=36，p=6.
解析
15.定义平面内任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的距离d(P，Q)=
+，称为P，Q之间的曼哈顿距离.若点A在直线y=x-2上，点B为抛物线y=x2+2x上一点，则A，B之间的曼哈顿距离的最小值为
A. B.
C. D.
拓广探究
√
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由题意，设A，B(b，b2+2b)，
所以d(A，B)=|a-b|+，
如图所示，过A，B分别作x轴、y轴的平行线交于点P，
延长BP交直线y=x-2于点M，则M，
则|PM|≤|PA|，所以d(A，B)=|PA|+|PB|≥|PM|+|PB|=|BM|，
所以d(A，B)≥==，
所以d(A，B)的最小值为.
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16.已知抛物线y2=8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；
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抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为
(0，0)，(2，0)，x=-2，
x轴，x≥0.
解
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰△OAB，|OA|=|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长.
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如图所示，由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，
又焦点F是△OAB的重心，
则|OF|=|OM|.
因为F(2，0)，
所以|OM|=|OF|=3，
所以M(3，0).
故设A(3，m)，
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代入y2=8x得m2=24，
所以m=2或m=-2，
所以A(3，2)，B(3，-2)，
所以|OA|=|OB|=，
所以△OAB的周长为2+4.
解
第三章　3.3.2　抛物线的简单几何性质
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