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第2课时
直线与抛物线的位置关系
第三章　3.3.2　抛物线的简单几何性质
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1.了解抛物线的简单应用.
2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题(难点).
学习目标
上节课我们研究了抛物线的简单几何性质，这节课我们继续探究直线与抛物线的位置关系及弦长问题.
导 语
一、直线与抛物线的位置关系
二、弦长问题
课时对点练
三、与抛物线有关的轨迹问题
随堂演练
内容索引
直线与抛物线的位置关系
一
提示　如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：相离、相切、相交.
类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系.
问题1
设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.
(1)若k≠0，当 时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当 时，直线与抛物线相切，有一个公共点；
当 时，直线与抛物线相离，没有公共点.
(2)若k=0，直线与抛物线有 公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
Δ>0
Δ=0
Δ<0
一个
(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
(2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况.
注 意 点
<<<
已知直线l：y=kx+1，抛物线C：y2=4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？
例 1
联立消去y，
得k2x2+(2k-4)x+1=0. (*)
当k=0时，(*)式只有一个解x=，
此时l与C只有一个公共点.
当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，
Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k).
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点；
解
②当Δ=0，即k=1时，l与C有一个公共点；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点.
综上所述，当k=1或0时，l与C只有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点.
解
判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于零时，直线与抛物线相交于一点.
反
思
感
悟
过点(2，-1)且与抛物线y=x2只有一个公共点的直线共有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
跟踪训练 1
√
(1)当过点(2，-1)的直线斜率不存在时，显然直线x=2与抛物线y=x2有且只有一个公共点；
(2)当直线过点(2，-1)且斜率存在，且与抛物线相切时，
直线与抛物线只有一个公共点，
设直线方程为y+1=k(x-2)，
代入到抛物线方程 y=x2，
消去y得x2-kx+2k+1=0，
解析
则Δ=k2-4(2k+1)=0，解得k=4±2，
即过点(2，-1)的切线有2条，
综上可得，过点(2，-1)且与抛物线y=x2有且只有一个公共点的直线共有3条.
解析
二
弦长问题
提示　1.利用弦长公式.
2.根据抛物线的定义|AB|=x1+x2+p.
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图.如何求弦AB的长度？
问题2
(课本例4)　斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.
例 2
由题意可知，p=2=1，焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x=-1.如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B两点到准线的距离分别为dA，dB.
由抛物线的定义，可知|AF|=dA=x1+1，|BF|=dB=x2+1，
于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2.
因为直线l的斜率为1，且过焦点F(1，0)，
所以直线l的方程为y=x-1. ①
将①代入方程y2=4x，得(x-1)2=4x，化简，
得x2-6x+1=0.
所以x1+x2=6，|AB|=x1+x2+2=8.所以，线段AB的长是8.
解
过点P(4，1)作抛物线y2=8x的弦AB，弦AB恰好被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度.
例 2
方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有=8x1，=8x2，
两式相减，得(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2).
∵P是AB的中点，∴x1+x2=8，y1+y2=2，
则直线AB的斜率k===4，
∴所求直线AB的方程为y-1=4(x-4)，即4x-y-15=0.
由
解
消去x并整理得y2-2y-30=0，
则y1+y2=2，y1y2=-30.
由弦长公式得|AB|=·|y1-y2|=·=.
方法二　由题意知AB所在直线的斜率存在且不为0.
设AB所在直线的方程为y=k(x-4)+1(k≠0)，
由
消去x并整理得ky2-8y-32k+8=0.
解
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=，
∵P是AB的中点，∴=1，∴=2，∴k=4.
∴所求直线AB的方程为4x-y-15=0.
由消去x并整理得y2-2y-30=0，
则y1+y2=2，y1y2=-30，
由弦长公式得|AB|=·|y1-y2|=·=.
解
求抛物线弦长的方法
(1)统一弦长公式：|AB|=|x1-x2|或|AB|=|y1-y2|.
(2)焦点弦长：在抛物线y2=2px(p>0)中，设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=x1+x2+p.
反
思
感
悟
　 (1)若抛物线y2=12x与直线2x+y-4=0交于A，B两点，则|AB|
等于
A.2 B.12 C. D.13
跟踪训练 2
√
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2-7x+4=0，
∴x1+x2=7，x1x2=4，
∴|AB|=|x1-x2|=×=.
解析
(2)若直线y=k(x-2)与抛物线y2=8x交于A，B两点，|AB|=10，则k=　　　.
±2
抛物线y2=8x的焦点坐标为(2，0)，则直线y=k(x-2)恒过焦点，若k=0，此时直线与抛物线只有一个交点，不符合题意，故k≠0，
联立消去y，整理得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0，
Δ=(4k2+8)2-16k4=64k2+64>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=，因为|AB|=x1+x2+4=10，
故=6，解得k=±2.
解析
与抛物线有关的轨迹问题
三
　(课本例6)　如图，已知定点B(a，-h)，BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程.
例 3
设点P(x，y)，M(x，m)，其中0≤x≤a，则点E的坐标为(a，m).
由题意，直线OB的方程为y=-x. ①
因为点M在OB上，将点M的坐标代入①，
得m=-x， ②
所以点P的横坐标x满足②.
直线OE的方程为y=x， ③
因为点P在OE上，所以点P的坐标(x，y)满足③.
将②代入③，消去m，得x2=-y(0≤x≤a)，即点P的轨迹方程.
解
设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系Oxy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.
(1)求点P的轨迹方程；
例 3
过点P作x轴的垂线且垂足为点N(图略)，
则|PN|=y，由题意知|PM|-|PN|=，
∴ =y+，化简得x2=2y.故点P的轨迹方程为x2=2y.
解
(2)若直线l：y=kx+1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|=2，求实数k的值.
由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
消去y并化简得x2-2kx-2=0，
∴x1+x2=2k，x1x2=-2.
∵|AB|=·=·=2，
∴k4+3k2-4=0，又k2≥0，∴k2=1，∴k=±1.
解
求轨迹问题的两种方法
(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程.
(2)定义法：若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程.
反
思
感
悟
若动点P(x，y)满足=，则点P的轨迹应为
A.椭圆 B.抛物线
C.双曲线 D.圆
跟踪训练 3　
√
动点P=，
所以动点Px-y-1=0的距离相等，其中定点不在定直线上.因此点P的轨迹应为抛物线.
解析
1.知识清单：
(1)直线和抛物线的位置关系.
(2)抛物线的弦长问题.
(3)抛物线的轨迹问题.
2.方法归纳：直接法、定义法、代数法.
3.常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是
A.相交 B.相切
C.相离 D.相交或相切
√
当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个交点，此时直线l与抛物线相交.当直线l的斜率存在，且直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切.
解析
1
2
3
4
2.动点P(x，y)到点F(3，0)的距离比它到直线x+2=0的距离大1，则动点的轨迹是
A.椭圆 B.双曲线
C.双曲线的一支 D.抛物线
√
依题意可知动点P(x，y)在直线x+2=0的右侧，
设P到直线x+2=0的距离为d，
则|PF|=d+1，
所以动点P到F(3，0)的距离与到x+3=0的距离相等，其轨迹为抛物线.
解析
1
2
3
4
3.过点(1，0)作斜率为-2的直线，与抛物线y2=8x交于A，B两点，则弦AB的长为
A.2 B.2 C.2 D.2
√
1
2
3
4
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由直线AB的斜率为-2，且过点(1，0)得，
直线AB的方程为y=-2(x-1)，
代入抛物线方程y2=8x，得4(x-1)2=8x，
整理得x2-4x+1=0，
则x1+x2=4，x1x2=1，由弦长公式得，
|AB|=·
=×=2.
解析
1
2
3
4
4.若直线x-y=2与抛物线y2=4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是　　　　.
由
得x2-8x+4=0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=8，y1+y2=x1+x2-4=4，
故线段AB的中点坐标为(4，2).
解析
(4，2)
课时对点练
五
对一对
答案
1
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3
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14
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16
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B A B ACD 4 2
题号 11 12 13 14 　15 答案 A D B 10 　y2=3x
9.
答案
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得x2+(2m-8)x+m2=0.
由Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0，得m<2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=8-2m，x1x2=m2，
y1y2=m(x1+x2)+x1x2+m2=8m.
9.
答案
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(1)因为|AB|=
=·=10，
所以m=经检验符合题意.
(2)因为OA⊥OB，
所以x1x2+y1y2=m2+8m=0，
解得m=-8或m=0(舍去).
所以m=-8，经检验符合题意.
10.
答案
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(1)由题意知，以M(1，1)为中点的弦所在的直线斜率存在.
设所求直线交抛物线于
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
=4x1=4x2，
kPQ===2，
∴所求直线方程为2x-y-1=0.
10.
答案
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(2)依题意知，直线m，n的斜率存在且均不为0，设直线m的方程为
y=k(x-1)，与抛物线方程联立，
消去y，整理得
k2x2-(2k2+4)x+k2=0，
设其两根为x3，x4，则x3+x4=+2.
10.
答案
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由抛物线的定义可知，
|AB|=2+x3+x4=+4，
同理可得|CD|=4k2+4，
∴四边形ACBD的面积S=4k2+4)·=8≥32，当且仅当k=±1时等号成立，此时所求四边形ACBD面积的最小值为32.
16.
答案
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(1)由题意可知F则该直线方程为y=x-
代入y2=2px(p>0)，得x2-3px+=0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1+x2=3p.
∵|MN|=8，∴x1+x2+p=8，
即3p+p=8，解得p=2，
∴抛物线C的方程为y2=4x.
16.
答案
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(2)设直线l的方程为y=x+b，代入y2=4x，得x2+(2b-4)x+b2=0.
∵直线l为抛物线C的切线，∴Δ=0，解得b=1.
∴直线l的方程为y=x+1.
由(1)可知x1+x2=6，x1x2=1，直线MN的方程为y=x-1，
则y1+y2=x1-1+x2-1=4，
y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=-4，设P(m，m+1)，
=(x1-m，y1-(m+1))，
16.
答案
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=(x2-m，y2-(m+1))，
∴·=(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)]·[y2-(m+1)]
=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2
=1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2=2(m2-4m-3)=2[(m-2)2-7]≥-14，当且仅当m=2，即点P的坐标为(2，3)时·-14.
基础巩固
1.过抛物线C：y2=12x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1+x2=6，则|AB|等于
A.16 B.12 C.10 D.8
√
由题意得p=6，
∴|AB|=x1+x2+p=6+6=12.
解析
答案
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2.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，若直线x=4与C交于A，B两点，且|AB|=8，则|AF|等于
A.4 B.5 C.6 D.7
√
答案
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令x=4，则y2=8p，
故y=±2，
所以|AB|=4=8，
所以p=2，故准线方程为x=-1，
则|AF|=4-(-1)=5.
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答案
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3.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C： y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的标准方程为
A.y2=8x B.y2=2x
C.y2=x D.y2=x
√
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抛物线C：y2=2px(p>0)，
令x=2得y2=4p，
解得y=±2，
不妨设D(2，2)，E(2，-2)，
因为OD⊥OE，
所以·=2×2-4p=0，
解得p=1，故C的标准方程为y2=2x.
解析
4.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是
A. B. C. D.3
√
答案
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方法一　设与抛物线相切，
且与直线4x+3y-8=0平行的直线方程为4x+3y+m=0.
与抛物线y=-x2联立，
消去y可得3x2-4x-m=0，
由题意知，Δ=16+12m=0，
∴m=-.
∴最小值为两平行线之间的距离d==.
解析
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方法二　设抛物线y=-x2上一点为(m，-m2)，
该点到直线4x+3y-8=0的距离为，当m=.
解析
5.已知抛物线y2=6x，直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，若弦AB的长为8，则直线l的方程为
A.y=x-或y=-x+
B.y=或y=-
C.y=x-或y=-x+
D.y=2x-3或y=-2x+3
√
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由抛物线的方程y2=6x，知焦点F.
当直线l的斜率不存在时，可得|AB|=6，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
y=k(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).
由
消去y并整理得k2x2-(3k2+6)x+k2=0，
解析
答案
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可得Δ>0，x1+x2=.
因为|AB|=x1+x2+p=+3=8，
解得k2=3，则k=±，
所以直线l的方程为y=或y=-.
解析
6.(多选)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，则
A.焦点F的坐标为(1，0)
B.过点A(-1，0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点
C.直线x+y-1=0与抛物线C相交所得弦长为8
D.若抛物线C与圆x2+y2=5交于M，N两点，则|MN|=4
√
√
√
答案
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由题可知抛物线C的方程为y2=4x.对于A，焦点F的坐标为(1，0)，故A正确；
对于B，过点A(-1，0)可作抛物线的2条切线，且直线y=0与抛物线C有且只有一个公共点，故过点A(-1，0)共有3条直线与抛物线C有且只有一个公共点，故B错误；
对于C，由得y2+4y-4=0，
设弦的两个端点分别为D(x1，y1)，E(x2，y2)，
解析
答案
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则y1+y2=-4，y1y2=-4，
所以弦长|DE|=|y1-y2|=·
=×=8，故C正确；
对于D，由得x2+4x-5=0，
解得x=1或x=-5(舍去)，
将x=1代入y2=4x，得y=±2，
故交点为(1，±2)，所以|MN|=4，故D正确.
解析
7.已知抛物线C：x2=4y，F为其焦点，若直线l：y=x+1与抛物线C在第一象限交于点M，则|MF|=　　　.
答案
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由题意得F(0，1)，p=2，
准线方程为y=-1，
对于直线l：y=x+1，当x=0时，y=1，
即直线l过点F(0，1)，
联立得3y2-10y+3=0，
解得y=3或y=，
解析
答案
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由于M在第一象限，
且l：y=x+1的斜率大于0，
故M的纵坐标为3，则|MF|=yM+=3+1=4.
解析
8.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|·|BF|=16，则p=　　　　.
答案
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抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，
准线方程为x=-，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴直线AB的方程为y=x-，
代入y2=2px可得x2-3px+=0，
∴x1+x2=3p，x1x2=，
由抛物线的定义可知，|AF|=x1+，|BF|=x2+，
解析
答案
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∴|AF|·|BF|=
=x1x2+(x1+x2)+
=+p2+
=2p2=16，
解得p=2.
解析
9.已知y=x+m与抛物线y2=8x交于A，B两点.
(1)若|AB|=10，求实数m的值；
答案
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由得x2+(2m-8)x+m2=0.
由Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0，得m<2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=8-2m，x1x2=m2，
y1y2=m(x1+x2)+x1x2+m2=8m.
因为|AB|==·=10，
所以m=，经检验符合题意.
解
(2)若OA⊥OB，求实数m的值.
答案
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因为OA⊥OB，
所以x1x2+y1y2=m2+8m=0，
解得m=-8或m=0(舍去).
所以m=-8，经检验符合题意.
解
10.如图，已知抛物线y2=4x，其焦点为F.
(1)求以M(1，1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
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由题意知，以M(1，1)为中点的弦所在的直线斜率存在.
设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则=4x1，=4x2，kPQ===2，
∴所求直线方程为2x-y-1=0.
解
(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.
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依题意知，直线m，n的斜率存在且均不为0，设直线m的方程为y=k(x-1)，
与抛物线方程联立，得
消去y，整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，
设其两根为x3，x4，则x3+x4=+2.
由抛物线的定义可知，|AB|=2+x3+x4=+4，
同理可得|CD|=4k2+4，
解
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∴四边形ACBD的面积S=(4k2+4)·
=8≥32，
当且仅当k=±1时等号成立，
此时所求四边形ACBD面积的最小值为32.
解
11.设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离为d1，到直线l：3x+4y+12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为
A.2 B. C. D.3
√
综合运用
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由
得3y2+16y+48=0，Δ=256-4×3×48<0，故方程无解，
∴直线3x+4y+12=0与抛物线相离.
又d1+d2=d1+1+d2-1，
而d1+1为P到准线x=-1的距离，
故d1+1为P到焦点F(1，0)的距离，
从而d1+1+d2的最小值为点F到直线3x+4y+12=0的距离，
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即=3，
故d1+d2的最小值为2.
解析
12.已知直线l交抛物线C：y2=4x于x轴异侧两点A，B，且·=12，则直线l一定过点
A.(-2，0) B.(1，0)
C.(4，0) D.(6，0)
√
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易知直线l的斜率不为0，
因而可设直线l的方程为x=my+t，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得y2-4my-4t=0，
则Δ=16m2+16t，y1y2=-4t，
所以·=x1x2+y1y2=+y1y2=t2-4t=12，
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解得t=6或t=-2，
当t=-2时，A，B位于x轴同侧，故舍去，
当t=6时，A，B位于x轴异侧，符合题意，所以直线经过定点(6，0).
解析
13.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为30°的直线m与抛物线C的一个交点为M(M位于y轴的右侧)，过点M作MN⊥l，垂足为N，连接NF，交抛物线C于点Q，则等于
A. B. C. D.
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如图，由抛物线x2=4y，得F(0，1)，
设直线MF与l的交点为P，则∠FPN=30°，
则m的方程为y=x+1，
代入抛物线x2=4y，
得3x2-4x-12=0，
解得x1=-，x2=2，
因为M位于y轴的右侧，所以xM=2，
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因为MN⊥l，∠MPN=30°，所以∠NMF=60°，
又因为|MN|=|MF|，所以△MNF为等边三角形，
所以∠MNF=60°，则∠PNF=30°，
所以△PNF为等腰三角形，所以|PF|=|NF|，
所以由抛物线的对称性可得xQ=-x1，
所以===.
解析
14.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，y轴被以AB为直径的圆所截得的弦长为6，则|AB|=　　　.
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抛物线C：y2=4x的焦点为F(1，0)，
易知当直线l的斜率不存在时不满足题意，
故设直线AB的方程为y=k(x-1)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则即k2x2-(2k2+4)x+k2=0，
故x1+x2=，
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故AB中点的横坐标为==1+，
|AB|=x1+x2+p=+2.
故=32+，解得k2=，
故|AB|=+2=10.
解析
15.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线y2=2px(p>0)，如图，一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于x轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为　　　　.
拓广探究
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y2=3x
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由抛物线的光学性质可得，PQ必过抛物线的焦点F.
当直线PQ的斜率不存在时，易得|PQ|=2p；
当直线PQ的斜率存在时，
设PQ的方程为y=k，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立得k2=2px，
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整理得4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0，
所以x1+x2=p+，x1x2=.
所以|PQ|=x1+x2+p=2p>2p.
综上，当直线PQ与x轴垂直时，弦长最短，
又因为两平行光线间的最小距离为3，故2p=3，
所以抛物线的方程为y2=3x.
解析
16.如图，已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8.
(1)求抛物线C的方程；
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由题意可知F，
则该直线方程为y=x-，
代入y2=2px(p>0)，得x2-3px+=0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1+x2=3p.
∵|MN|=8，∴x1+x2+p=8，
即3p+p=8，解得p=2，
∴抛物线C的方程为y2=4x.
解
(2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求·的最小值.
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设直线l的方程为y=x+b，代入y2=4x，
得x2+(2b-4)x+b2=0.
∵直线l为抛物线C的切线，
∴Δ=0，解得b=1.
∴直线l的方程为y=x+1.
由(1)可知x1+x2=6，x1x2=1，直线MN的方程为y=x-1，
则y1+y2=x1-1+x2-1=4，
y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=-4，
解
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设P(m，m+1)，
则=(x1-m，y1-(m+1))，
=(x2-m，y2-(m+1))，
∴·=(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)]·[y2-(m+1)]
=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2
=1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2=2(m2-4m-3)=2[(m-2)2-7]≥-14，当且仅当m= 2，即点P的坐标为(2，3)时，·取得最小值，最小值为-14.
解
第三章　3.3.2　抛物线的简单几何性质
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