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第1课时
第一章　1.1.1　空间向量及其线性运算
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空间向量及其线性运算
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.
2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.
3.掌握空间向量的线性运算(重点).
学习目标
你见过做滑翔伞运动的场景吗？可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平面内.联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？
导 语
一、空间向量的有关概念
二、空间向量的加减运算
课时对点练
三、空间向量的数乘运算
随堂演练
内容索引
空间向量的有关概念
一
提示　平面内既有大小又有方向的量叫做平面向量，类比平面向量的定义，我们可以得到，空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致.
平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？
问题1
1.在空间，把具有 和 的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的 或 .
空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的____表示空间向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作其模记为 或 .
大小
方向
长度
模
长度
|a|
||
2.几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫做 ，记为0
单位向量 的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度 而方向 的向量，叫做a的相反向量，记为___
共线(平 行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量_____，即对于任意向量a，都有0 a
相等向量 方向 且模 的向量叫做相等向量.在空间， 且_____的有向线段表示同一向量或相等向量
零向量
模为1
相等
-a
互相平行或重合
平行
∥
相同
相等
同向
等长
相反
(1)平面向量是一种特殊的空间向量.
(2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同.
(3)空间向量不能比较大小.
(4)已知向量a，b，c，其中b≠0，若a∥b，b∥c，则a∥c.
注 意 点
<<<
　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是
A.单位向量都相等
B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C.若向量满足||>||，则>
D.相等向量其方向必相同
√
例 1
A中，单位向量长度相等，方向不确定；
B中，|a|=|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；
C中，向量不能比较大小.
解析
(2)(多选)下列命题为真命题的是
A.若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b
B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有
C.若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p
D.空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c
√
√
A为假命题，根据向量相等的定义知，
两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，
而A中向量a与b的方向不一定相同；
B为真命题，在正方体ABCD-A1B1C1D1中的方向相同，模也相等，；
C为真命题，向量的相等满足传递性；
D为假命题，向量平行不一定具有传递性，当b=0时，a与c不一定平行.
解析
空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.
反
思
感
悟
　(多选)下列说法错误的是
A.空间任意两个向量的模能比较大小
B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C.空间向量就是空间中的一条有向线段
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
跟踪训练 1
√
√
√
对于选项A，向量的模即向量的长度，是一个实数，所以任意两个向量的模可以比较大小；
对于选项B，其终点构成一个球面；
对于选项C，空间向量可以用有向线段表示，但空间向量不是有向线段；
对于选项D，两个向量不相等，
它们的模可能相等.
解析
二
空间向量的加减运算
提示　共面，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致.
空间中的任意两个向量是否共面？为什么？由此，对空间向量的运算有什么启发呢？
问题2
空间向量的加法、减法运算及运算律
加法 运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接， 为和
图形叙述
平行 四边形 法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，________
_____为和
图形叙述
首指向尾
共起点对
角线
减法 运算 几何意义 语言叙述 共起点，连终点，方向指向 向量
图形叙述
运算律 交换律 a+b=____ 结合律 (a+b)+c=________ 被减
a+(b+c)
b+a
(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，必须共起点.
(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即+++…+.
(3)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即+++…+=0.
(4)一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.
注 意 点
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　(1)(多选)如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是
A.-- B.+-
C.-- D.-+
√
例 2
√
A中---；
B中+-+；
C中----=≠；
D中-+++=+≠.
解析
(2)对于空间中的非零向量其中一定不成立的是
A.+
B.-
C.||+||=||
D.||-||=||
√
根据空间向量的加减法运算，
对于A+恒成立；
对于C，当方向相同时，有||+||=||；
对于D，当方向相同且||≥||时，有||-||=||；
对于B，由向量减法可知-又为非零向量，所以B一定不成立.
解析
空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
反
思
感
悟
如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.
(1)+-；
跟踪训练 2
+-+++如图中向量.
解
(2)--.
如图，连接GF，
因为E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，
所以
所以--++++如图中向量.
解
空间向量的数乘运算
三
空间向量的数乘运算及运算律
定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 (a≠0) λ>0 λa与向量a的方向_____ λa的长度是a的长度的 倍
λ<0 λa与向量a的方向_____ λ=0 λa=0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)=______ 分配律 (λ+μ)a= ，λ(a+b)=_______ 相同
相反
|λ|
(λμ)a
λa+μa
λa+λb
(1)当λ=0或a=0时，λa=0，反之，当λa=0时，λ=0或a=0.
(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度.
(3)向量λa与向量a一定是共线向量.
注 意 点
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(1)(多选)已知m，n是实数，a，b是空间任意向量，下列命题正确的是
A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb，则a=b D.若ma=na，则m=n
√
例 3
m(a-b)=ma-mb，A对；
(m-n)a=ma-na，B对；
若m=0，则a，b不一定相等，C错；
若a=0，则m，n不一定相等，D错.
解析
√
(2)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a=b=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
①；
∵P是C1D1的中点，
∴++=a++=a+c+=a+b+c.
解
②；
∵N是BC的中点，
∴++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.
解
③.
∵M是AA1的中点，
∴++=-a+a+b+c.
解
本例(2)的条件不变，试用a，b，c表示向量.
延伸探究 1
因为P，N分别是C1D1，BC的中点，
所以++
=+(-)+
=-a+b-c.
解
若把本例(2)中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且”，其他条件不变，如何表示？
延伸探究 2
+++=a+b+c.
解
在本例(2)的条件下，化简a-b-c，并将化简得到的向量用图形中的点来表示.
延伸探究 3
a-b-c=--
=-
=-(+)=-.
解
利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点或其他分点的性质.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)向量的相关概念.
(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘).
(3)向量的线性运算的运算律.
2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想.
3.常见误区：非零向量共线具有传递性，但当出现零向量时，向量共线不一定能传递，因为零向量与任意向量都是共线向量.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)下列命题中，真命题是
A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
√
√
√
容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.
解析
1
2
3
4
2.化简-+所得的结果是
A. B. C.0 D.
√
-++
=-=0.
解析
1
2
3
4
3.已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则-+等于
A. B.3
C.3 D.2
√
-+-(-)=-++2=3.
解析
1
2
3
4
4.已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，若
+x+y则x=　　　，y=　　　.
-
-
由图可知-=-+)
=--
所以x=y=-.
解析
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D C C A A ABC 相等　相反 题号 8 11 12 13 14 15
答案 -a-b+c BCD C a-b+c AD
对一对
答案
1
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9.
答案
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16
(1)由题意知，AA1=1共8个向量，都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个.
(2)易知A1D==
.
(3.
10.
答案
1
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∵=++=-+--=-+=-++
=-++=-++-=+-
=+x+y
∴x=y=-.
16.
答案
1
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16
在空间四边形ABCD中，E，Fλ，
==λ，
=+.证明如下：
=++=++=++++
=++++=+.
16.
答案
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16
(2)由(1)的结论可得
=+
=+.
基础巩固
1.向量a，b互为相反向量，已知|b|=3，则下列结论正确的是
A.a=b B.a+b为实数0
C.a与b方向相同 D.|a|=3
√
向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反.
解析
答案
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16
2.下列说法中正确的是
A.空间中共线的向量必在同一条直线上
B.的充要条件是A与C重合，B与D重合
C.数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向
D.在四边形ABCD中，一定有+
√
答案
1
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对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误；
对于B的充要条件是||=||，且同向，但A与C，B与D不一定重合，所以B错误；
对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确；
对于D，满足+的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，所以D错误.
解析
答案
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16
3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若=a=b=c，则等于
A.a+b-c B.a-b+c
C.b-a-c D.b-a+c
√
---
∵=c，
∴=b-a-c.
解析
答案
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4.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且++则四边形ABCD是
A.平行四边形 B.空间四边形
C.等腰梯形 D.矩形
√
∵++∴.
∴∥且||=||.
∴四边形ABCD为平行四边形.
解析
答案
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5.在空间四边形OABC中，若E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上的点，且记=x+y+z则(x，y，z)等于
A. B.
C. D.
√
答案
1
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答案
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连接OE，OF(图略)，
因为E，F分别是AB，BC的中点，
所以++
=+-)=+
=×+)+×+)=++
故(x，y，z)=.
解析
6.(多选)已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，则下列选项中正确的有
A.-
B.++
C.
D.+++
√
√
√
答案
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作出平行六面体ABCD-A'B'C'D'的图象如图，可得-+故A正确；
++++故B正确；
C显然正确；
++++
故D不正确.
解析
7.如图所示，在三棱柱ABC-A'B'C'中与是　　　向量与是　　　向量.(用“相等”或“相反”填空)
由相等向量与相反向量的定义知是相等向量是相反向量.
解析
相等
相反
答案
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8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是AA1的中点，已知=a=b=c，用a，b，c表示则=　　　　 .
∵++=--+
又∵M是AA1的中点，∴
∴=--+
∵=a=b=c，
∴=-a-b+c.
解析
-a-b+c
答案
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9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，AA1=1.则在以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中.
(1)单位向量共有多少个？
由题意知，AA1=1，所以向量共8个向量，都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个.
解
答案
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(2)写出模为 的所有向量；
易知A1D=
所以模为.
解
答案
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(3)试写出的所有相反向量.
根据相反向量的定义，可得向量.
解
答案
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10.如图，设O为 ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若+x+y求x，y的值.
答案
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∵++=-+--
=-+=-++)=-++)
=-++-)
=+-
又+x+y
∴x=y=-.
解
11.(多选)已知正方体ABCD-A'B'C'D'的中心为O，则在下列各结论中正确的有
A.+与+是一对相等向量
B.-与-是一对相等向量
C.+++与+++是一对相反向量
D.-与-是一对相反向量
√
√
√
综合运用
答案
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如图所示，=-=-
所以+=-(+)，是一对相反向量，A错误；
--而
故是一对相等向量，B正确；
又=-=-
所以+++=-(+++)，
是一对相反向量，C正确；
--=-所以是一对相反向量，D正确.
解析
12.如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AC与BD的交点为O，点M在BC'上，且BM=2MC'，则等于
A.-++
B.-++
C.++
D.-+
√
答案
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答案
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因为BM=2MC'，所以
在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，
++
=++)
=-)++)
=++.
解析
13.如图，在三棱锥S-ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G满足若=a=b=c，则=　　　 　.(用a，b，c表示)
a-b+c
答案
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答案
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++
=-)+-)
=-)+×
=-+
=a-b+c.
解析
14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC1与A1C的交点，且++
)=λ则λ=　　　.
答案
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如图，因为O为AC1与A1C的交点，所以O为AC1的中点，
所以=2
则++)
=
故λ=.
解析
15.(多选)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，P是CA1的中点，点Q在CA1上，且CQ∶QA1=4∶1，设=a=b=c，则下列选项正确的为
A.(a+b+c) B.(a+2b+c)
C.a+b+c D.a+b+c
拓广探究
√
√
答案
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因为P是CA1的中点，所以+) =++)=(a+b+c)，故A正确，B错误；
因为点Q在CA1上，且CQ∶QA1=4∶1，
解析
所以+++-)=++)+a+b+c，故C错误，D正确.
16.在平面四边形ABCD中，E，F分所成的比为λ，即=λ，则有+.
(1)拓展到空间，写出空间四边形ABCD类似的命题，并加以证明；
答案
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在空间四边形ABCD中，E，F分所成的比为λ，即=λ，
则有+.证明如下：
++++
=+)+++)
=++++
=+.
解
(2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，利用(1)的结论表示.
由(1)的结论可得+=+.
解
答案
1
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第一章　1.1.1　空间向量及其线性运算
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