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(共86张PPT)
第2课时
第一章　1.1.1　空间向量及其线性运算
<<<
共线向量与共面向量
1.理解向量共线、向量共面的定义.
2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件(重点).
3.会证明空间三点共线、四点共面(难点).
学习目标
我们知道向量是既有大小又有方向的量，它可以平行移动，平面内两个向量若方向相同或相反，就说它们是共线的，那么在空间内向量共线又是怎么回事呢？今天我们就来探究一下.
导 语
一、空间向量共线的充要条件
二、空间向量共面的充要条件
课时对点练
随堂演练
内容索引
空间向量共线的充要条件
一
提示　对平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量.
平面向量a，b(b≠0)共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？
问题1
1.对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使_______.
2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得=λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的 ，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示.
a=λb
方向向量
(1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
(2)非零向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上.
注 意 点
<<<
　(1)若P，A，B，C为空间不重合的四点，且有=α+β则α+β=1是A，B，C三点共线的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
例 1
充分性：若α+β=1，
则-=β(-)，
即=β显然，A，B，C三点共线；
必要性：若A，B，C三点共线，则有=λ
故-=λ(-)，
整理得=(1+λ)-λ
令α=1+λ，β=-λ，则α+β=1.
故α+β=1是A，B，C三点共线的充要条件.
解析
(2)如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？
方法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴-
=+)-+)
=-)=-)=.
∴∥即共线.
解
方法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，
且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴++
=++. ①
又∵+++
=-+-- ②
①+②得2
∴∥即共线.
解
向量共线的判定及应用
(1)判定或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a=λb成立.
(2)判定或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：
①=λ(λ∈R)；
②对空间任一点O+λ(λ∈R)；
③对空间任一点O=x+y(x+y=1).
反
思
感
悟
满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是
A.+ B.-
C. D.||=||
跟踪训练 1
√
对于空间中的任意向量，根据向量加法运算法则，
都有+选项A错误；
若-则+
而+据此可知
即B，C两点重合，这与已知条件矛盾，选项B错误；
若则A，B，C三点共线，选项C正确；
若||=||，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D错误.
解析
二
空间向量共面的充要条件
提示　不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面.
空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？
问题2
提示　如果p=xa+yb，那么向量p与向量a，b共面.反过来，向量p与向量a，b共面时，p=xa+yb.
对两个不共线的空间向量a，b，如果p=xa+yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p=xa+yb？
问题3
1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA______
______或 ，那么称向量a平行于平面α.
2.共面向量
平行于
平面α
在平面α内
定义 平行于同一个平面的向量
三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在______
的有序实数对(x，y)，使_________
唯一
p=xa+yb
共面向量中，向量a，b不共线.
注 意 点
<<<
(课本例1)　如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使====k.求证：E，F，G，H 四点共面.
例 2
因为====k，
所以=k=k=k=k.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以=+
因此=-=k-k=k=k(+)=k(-+-)
=-+-=+.
由向量共面的充要条件可知共面，
又过同一点E，从而E，F，G，H四点共面.
证明
　(1)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC=2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面.
例 2
设=a=b=c，
则=b-a，
∵M为线段DD1的中点，
∴=c-a，
又∵AN∶NC=2∶1，
∴(b+c)，
证明
∴-(b+c)-a
=(b-a)+
=+
∴为共面向量.
又∵三向量有相同的起点A1，
∴A1，B，N，M四点共面.
证明
(2)对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式=x+y+z求证：点P在平面ABC内的充要条件是x+y+z=1.
①充分性
∵=x+y+z
可变形为=(1-y-z)+y+z
∴-=y(-)+z(-)，
∴=y+z∴点P与A，B，C共面.
②必要性
∵点P在平面ABC内，A，B，C三点不共线，
证明
∴存在有序实数对(m，n)使=m+n
-=m(-)+n(-)，
∴=(1-m-n)+m+n
∵=x+y+z
∴x=1-m-n，y=m，z=n，
∴x+y+z=1.
证明
向量共面的判定及应用
(1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明.
①=x+y；
②对于空间任意一点O=x+y+z(x+y+z=1).
(2)若已知点P在平面ABC内，则有=x+y=x+y+z(x+y+z=1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.
反
思
感
悟
(1)已知O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且=m++则m的值为
A.-1 B.2 C.-2 D.-3
跟踪训练 2
由-=m++
得=m+2+
∵O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，
∴m+2+1=1，∴m=-2.
解析
√
(2)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证：向量共面.
因为M在BD上，且BM=BD，
所以+.
同理+.
所以++
=++
=++.
又共面.
证明
1.知识清单：
(1)直线的方向向量.
(2)空间向量共线的充要条件.
(3)空间向量共面的充要条件.
(4)三点共线、四点共面的证明方法.
2.方法归纳：转化化归、类比.
3.常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线.
随堂演练
三
1
2
3
4
1.对于空间的任意三个向量a，b，2a-b，它们一定是
A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
D.既不共线也不共面的向量
√
由向量共面定理可知，三个向量a，b，2a-b为共面向量.
解析
1
2
3
4
2.(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是
A.=3-- B.++
C.++=0 D.+++=0
√
A选项中，3-1-1=1，四点共面；
C选项中=--
∴点M，A，B，C共面.
解析
√
1
2
3
4
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有=x+ +则x的值为
A.1 B.0 C. D.
√
1
2
3
4
∵=x++
=x+-)+
=++
且M，A，B，C四点共面，
∴++=1，∴x=.
解析
1
2
3
4
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面
CC1D1D的中心，若+λ=0(λ∈R)，则λ=　 　.
-
如图，连接A1C1，C1D，
则点E在A1C1上，点F在C1D上，易知EF∥A1D，
且EF=A1D，
∴即-=0，∴λ=-.
解析
课时对点练
四
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C A A C BCD -8 2
题号 11 12 13 14 　15 答案 B B C B 　9
对一对
答案
1
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9.
答案
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=a=b=c.
=2=
==
==b，
=-=+-=a+b-c，
9.
答案
1
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=-=a-b-c=.
=++=-b-c+a=a-b-c，
=∥.
E，
所以E，F，B三点共线.
10.
答案
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=a，=b=c.
因为M，N，P，Q均为所在棱的中点，
=-=b-a，
=+=a+c，
=++=-a+b+c.
=λ+μ
10.
答案
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则-a+b+c=λ+μ=μ-λ)a+λb+μc，
=2+
10.
答案
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16
.
M，
所以M，N，P，Q四点共面.
16.
答案
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如图，连接BG.
=-=
=-.
=+
=+-=-++.
==
16.
答案
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16
=-++
=-++.
=-
=-++.=m，
=m=-++.
16.
答案
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=-+=-+
=++.
又因为G，B，P，D四点共面，
所以1-=0，m=
即m.
基础巩固
1.已知非零向量a，b，且=a+2b=-5a+6b=7a-2b，则一定共线的三点是
A.A，B，D B.A，B，C
C.B，C，D D.A，C，D
√
∵+=2a+4b=2
∴A，B，D三点共线.
解析
答案
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2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量共面的是
A. B.
C. D.
√
答案
1
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16
由正方体的性质可得由图形(图略)易知共面.
解析
3.若空间中任意四点O，A，B，P满足=m+n其中m+n=1，则
A.P∈直线AB
B.P 直线AB
C.点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D.以上都不对
√
答案
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因为m+n=1，所以m=1-n，
所以=(1-n)+n
即-=n(-)，
即=n
所以共线.
又有公共起点A，
所以P，A，B三点在同一直线上，
即P∈直线AB.
解析
答案
1
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4.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且-x+则实数x的值为
A. B.- C. D.-
√
答案
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-x+
=-x+-)
=-x-.
又∵P是空间中任意一点，
A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，
∴-x-=1，解得x=.
解析
5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是棱CC1上靠近点C的三等分点，点N满足=t若N为AM与平面BDA1的交点，则t等于
A. B. C. D.
√
答案
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在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
由点M是棱CC1上靠近点C的三等分点，
得++++
即=t=t+t+
由N为AM与平面BDA1的交点，
则N，B，D，A1四点共面，
则t+t+=1，所以t=.
解析
6.(多选)下列命题中为真命题的有
A.向量a，b，c共面即它们所在直线共面
B.若∥则A，B，C三点共线
C.若a∥b，b∥c，则a与c所在直线不一定平行
D.若e1，e2为不共线的非零向量，a=4e1-e2，b=-e1+e2，则a∥b
√
√
√
答案
1
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向量a，b，c共面，它们所在直线可能共面，也可能两两平行但不共面，故A错误；
因为∥且有公共点A，所以A，B，C三点共线，故B正确；
若a∥b，b∥c，当b=0时，a与c所在直线不一定平行，故C正确；
由于a=4e1-e2=-4=-4b，所以a∥b，故D正确.
解析
7.设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知=2e1+ke2=e1+3e2=2e1-e2，且A，B，D三点共线，则k=　　 .
答案
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-8
答案
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由已知得-
=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2，
∵A，B，D三点共线，
∴共线，即存在λ∈R，
使得=λ.
∴2e1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2，
∵e1，e2不共线，∴∴k=-8.
解析
8.已知A，B，C，D四点在平面α内，且任意三点都不共线，点P为平面α外的一点，满足+-4+λ=0，则λ=　　 .
因为A，B，C，D四点在平面α内，
且点P为平面α外的一点，
则+-4+λ=0，
即=-+4-λ
所以-1+4-λ=1，
解得λ=2.
解析
答案
1
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2
9.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且= 2点F在A1C上，且.求证：E，F，B三点共线.
答案
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设=a=b=c.
因为=2
所以
所以b，
-)=+-)=a+b-c，
所以-a-b-c=.
证明
答案
1
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又++=-b-c+a=a-b-c，
所以所以∥.
又有公共点E，
所以E，F，B三点共线.
证明
10.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1D1，D1C1，AA1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面.
答案
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答案
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令=a=b=c.
因为M，N，P，Q均为所在棱的中点，
所以-b-a，
+a+c，
++=-a+b+c.
设=λ+μ
则-a+b+c=λ+μ=(μ-λ)a+λb+μc，
证明
答案
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所以
所以=2+
所以向量共面.
又向量过同一点M，
所以M，N，P，Q四点共面.
证明
11.已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①=2+μ；②存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=0，那么使①②成立的μ与λ+m+n的值分别为
A.1，-1 B.-1，0 C.0，1 D.0，0
√
综合运用
答案
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∵A，B，C三点共线=2+μ
∴2+μ=1，∴μ=-1，
又由λ+m+n=0，
得=--
由A，B，C三点共线知，--=1，
则λ+m+n=0.
解析
12.平面α内有五点A，B，C，D，E，其中任意三点不共线，O为空间一点，满足+x+y=2x++y则x+3y等于
A. B. C. D.
√
答案
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由点A，B，C，D四点共面得x+y= ①
又由点B，C，D，E四点共面得2x+y= ②
联立①②，解得x=y=
所以x+3y=.
解析
13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有+7+6-4那么点M必
A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内
C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内
答案
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答案
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+7+6-4
=++6-4
=++6-4
=+6(-)-4(-)
=11-6-4又11-6-4=1，
于是M，B，A1，D1四点共面，
所以点M必在平面BA1D1内.
解析
14.已知O-ABC为空间四面体，P为底面ABC上一点，且满足2= x+y+z则以下等式一定成立的是
A.x+y+z=1 B.x+y+z=0
C.x+y+z=-1 D.x+y+z=
答案
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√
答案
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因为P∈平面ABC，
设=m+n(m，n∈R)，
则=m(-)+n(-)
=(-m-n)+m+n
所以2=(-2m-2n)+2m+2n=x+y+z
则x=-2m-2n，y=2m，z=2n，
因此x+y+z=0.
解析
15.已知三棱锥P-ABC的体积为15，M是空间中一点=-++ 则三棱锥A-MBC的体积是　　　.
拓广探究
答案
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因为=-++
则15=-+3+4
即15=--+3+3+4+4
即9=-+3+4
所以=-++
因为-++=1，
则在平面ABC内存在一点D，
解析
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使得=-++成立，
即所以
即则
又三棱锥P-ABC的体积为15，
则VA-MBC=VP-ABC=×15=9.
解析
16.如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且点G在AH上，且=m，若G，B，P，D四点共面，求m的值.
答案
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如图，连接BG.
因为-
所以-.
因为+
所以+-
=-++.
因为所以
解
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所以(-++)
=-++.
又因为-
所以=-++.
因为=m，
所以=m=-++.
解
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因为=-+-+
所以++.
又因为G，B，P，D四点共面，
所以1-=0，m=
即m的值是.
解
第一章　1.1.1　空间向量及其线性运算
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