资源简介

(共80张PPT)
1.1.2
空间向量的数量积运算
第一章　§1.1　空间向量及其运算
<<<
1.了解空间向量的夹角.
2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法(重点).
3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
4.利用向量数量积判断垂直，求空间两点间的距离，计算异面直线所成的角(难点).
学习目标
在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.
导 语
一、空间向量的数量积运算
二、空间向量数量积的性质
课时对点练
随堂演练
内容索引
空间向量的数量积运算
一
1.空间向量的夹角
定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作=a=b，则 叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉
范围 _______________
向量垂直 如果〈a，b〉= 那么向量a，b互相垂直，记作______
∠AOB
0≤〈a，b〉≤π
a⊥b
对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉=〈b，a〉；
②〈-a，b〉=〈a，-b〉=π-〈a，b〉；③〈-a，-b〉=〈a，b〉.
注 意 点
<<<
2.(1)空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b= .零向量与任意向量的数量积为0，即0·a= .
(2)运算律
|a||b|cos〈a，b〉
0
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b= ，λ∈R
交换律 a·b=____
分配律 (a+b)·c=_______
λ(a·b)
b·a
a·c+b·c
3.向量的投影
(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与
向量b共线的向量c，c= 向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②).
|a|cos〈a，b〉
(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定.
①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.
②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.
(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律.即a·b=a·c
b=c，(a·b)·c≠a·(b·c).
注 意 点
<<<
　已知空间向量|a|=|b|=5，且a与b夹角的余弦值为-则a在b上的投影向量为
A.-b B.b
C.b D.-b
√
例 1
a在b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·×·
=-·=-b.
解析
的夹角等于
A.30° B.60°
C.150° D.120°
　如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1.
延伸探究 1
例 2
√
〈〉=180°-〈〉=180°-60°=120°.
解析
　若点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
①·；
延伸探究 2
··
=||||cos〈〉
=×1×1×cos 60°=.
解
②·；
··
=||||cos〈〉
=×1×1×cos 0°=.
解
③·；
··
=||||cos〈〉
=×1×1×cos 120°=-.
解
④·.
·+)·+)
=·(-)+·(-)+·+·]
=[-·-·+(-)·+·]
=×=-.
解
记=a=b=c.若=2a-2b
=b-c，则· =　　　.
延伸探究 3
由题意得a·b=·
=||||cos∠BAC=1×1×cos 60°=
同理b·c=c·a=
所以·=(2a-2b)·(b-c)
=2(a·b-b2-a·c+b·c)=-1.
解析
-1
(1)当两个非零空间向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π.
(2)由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.
反
思
感
悟
二
空间向量数量积的性质
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e=e·a= .
(2)a⊥b .
(3)当a，b同向时，a·b=_______；
当a，b反向时，a·b= .
(4)a·a= 或|a|= .
(5)|a·b|≤ .
(6)cos θ=.
以上性质说明，可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题.
cos θ
a·b=0
-
|a|2
如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1，记=a=b=c.
例 3
(课本例2)　如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA'=45°.求：
(1)·；
延伸探究 4
·=||||cos〈〉=5×3×cos 60°=7.5.
解
(2)AC'的长(精确到0.1).
||2=(++)2=||2+||2+||2+2(·+·+·)
=52+32+72+2(5×3×cos 60°+5×7×cos 45°+3×7×cos 45°)
=98+56
所以AC'≈13.3.
解
　|a-b+2c|等于
A.5 B.6
C. D.
延伸探究 4
√
由题意，得a·b=b·c=a·c=a2=b2=c2=1，
所以|a-b+2c|=
=
=.
解析
若点E，G分别为AB和CD的中点，求E，G间的距离.
延伸探究 5
+++(-)+-)=a+(b-a)+(c-b)
=-a+b+c，
所以a2+b2+c2-a·b-a·c+b·c=
所以||=即E，G间的距离为.
解
在延伸探究5的条件下，求异面直线EG与BD所成的角的余弦值.
延伸探究 6
由延伸探究5知=-a+b+c，||=
又-=c-a，
所以·(-a+b+c)·(c-a)
=(-a·c+b·c+c2+a2-a·b-a·c)
=×
又||=1，则cos〈·〉=.
故异面直线EG与BD所成的角的余弦值为.
解
(课本例3)　如图，m，n是平面α内的两条相交直线.如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.
延伸探究 7
如图，在平面α内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.
因为直线m与n相交，所以向量m，n不平行.
由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，
使g=xm+yn.
将上式两边分别与向量l作数量积运算，得l·g=xl·m+yl·n.
因为l·m=0，l·n=0，所以l·g=0.
所以l⊥g.
这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α.
证明
证明：异面直线AB与CD 垂直.
延伸探究 7
-=c-b，
·=a·(c-b)=a·c-a·b
=-=0，
所以⊥所以AB⊥CD.
证明
1.知识清单：
(1)空间向量的夹角、投影向量.
(2)空间向量数量积的性质及运算律.
(3)空间向量的垂直.
2.方法归纳：化归转化.
3.常见误区：
(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定.
(2)当a≠0时，由a·b=0可得a⊥b或b=0.
随堂演练
三
1
2
3
4
1.(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是
A.与
B.与
C.与
D.与
√
√
1
2
3
4
2.已知向量i， j，k是一组单位向量，且两两垂直.若m=8 j+3k，n=-i+5 j-4k，则m·n的值为
A.7 B.-20 C.28 D.11
√
因为向量i， j，k是一组单位向量，且两两垂直，
所以|i|=| j|=|k|=1且i· j= j·k=i·k=0.
因为m=8 j+3k，n=-i+5 j-4k，
所以m·n=(8 j+3k)·(-i+5 j-4k)
=40| j|2-12|k|2=40-12=28.
解析
1
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4
3.若空间向量a与b不共线，a·b≠0，且c=a-b，则向量a与c的夹角为
A.0 B. C. D.
√
∵a·c=a·=a·a-a·b=a·a-a·a=0，
∴a⊥c，向量a与c的夹角为.
解析
1
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3
4
4.若向量a，b均为单位向量，且向量a，b的夹角为则=　 　.
.
解析
课时对点练
四
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C BC B ABC 22 60°
题号 11 12 13 14 　15 答案 D ABD [0，1] 　D
对一对
答案
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答案
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如图所示，
设=a=b=c，
则|a|=|c|=2，|b|=4，a·b=b·c=c·a=0.
(1·=·+
=·
=b·=|b|2=42=16.
9.
答案
1
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(2·
=+·+
=·+
=·(a+c)
=|c|2-|a|2=22-22=0.
9.
答案
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(3·
=+·+
=·
=·
=-a+b+c)·=-|a|2+|b|2=2.
10.
答案
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(1)∵=+
∴·=+·
=·+·=||||cos 60°+||||cos 120°=a2-a2=0.
∴⊥∴BD⊥PC.
10.
答案
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(2)∵+=++
∴|+|2=||2+||2++2·+2·+2·
=a2+a2+a2+0+2a2cos 60°+2a2cos 60°=5a2，
∴|+|=a.
16.
答案
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(1)=a=b=c.
依题意有|a|=|b|，
=-=a-b.
θ，
·=c·(a-b)=c·a-c·b=|c||a|cos θ-|c||b|cos θ=0，∴CC1⊥BD.
16.
答案
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(2)若A1C⊥平面C1BD，
则A1C⊥DC1，A1C⊥BD.
·=+·-=(a+b+c)·(a-c)=|a|2-a·c+a·b-b·c+c·a-|c|2
=|a|2-|c|2+|b||a|cos θ-|b||c|cos θ=(|a|-|c|)(|a|+|c|+|b|cos θ)=0，
得当|c|=|a|时，A1C⊥DC1.
同理可证，当|a|=|b|时，A1C⊥BD.
∴=1时，A1C⊥平面C1BD.
基础巩固
1.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则(2a-b)·a等于
A.12 B.8+ C.4 D.13
√
(2a-b)·a=2a2-b·a
=2|a|2-|a||b|·cos 120°
=2×4-2×5×=13.
解析
答案
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2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|=|b|=1，a·b=-则两直线的夹角为
A.30° B.60° C.120° D.150°
√
答案
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设向量a，b的夹角为θ，
则cos θ==-所以θ=120°，
则两个方向向量对应的直线的夹角为180°-120°=60°.
解析
3.平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD=∠A1AB=60°，∠DAB=45°，则BD1等于
A.-1 B.-1
C. D.-
√
答案
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如图，因为-+
所以||2=|-+|2
=||2+||2+||2-·-2·+2·
=1+1+1-2×1×1×cos 45°-2×1×1×cos 60°+2×1×1×cos 60°
=3-所以||=.
解析
4.(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是
A.2·
B.2·
C.2·
D.2·
√
答案
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答案
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对于A，2·=2a2cos 120°=-a2，A错误；
对于B，2·=2·=2a2cos 60°=a2，B正确；
对于C，2··=a2，C正确；
对于D，2··=-·=-a2，D错误.
解析
5.在空间四边形ABCD中，∠ABD=∠BDC=90°，AC=2BD，则在上的投影向量为
A. B. C. D.
√
答案
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在空间四边形ABCD中，
因为∠ABD=∠BDC=90°，AC=2BD，
所以··=0，
又++
则·=(++)·=||2，
所以上的投影向量为··.
解析
6.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是
A.(++)2=3
B.·=0
C.与的夹角为60°
D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|·|||
√
√
√
答案
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设正方体的棱长为a，
A选项，(++)2
=+++2(·+·+·)
=3a2=3A选项正确；
B选项·=(-)·(+)=(+-)·(+)=(-)·(+)+·(+)=-+·+·=a2-a2=0，B选项正确；
解析
答案
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C选项，由于△AB1D1是等边三角形，
所以的夹角为60°，C选项正确；
D选项，|·|||=0，所以D选项错误.
解析
7.已知|a|=13，|b|=19，|a+b|=24，则|a-b|=　　　.
|a+b|2=a2+2a·b+b2=132+2a·b+192=242，
∴2a·b=46，|a-b|2=a2-2a·b+b2
=530-46=484，故|a-b|=22.
解析
答案
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8.已知a+3b与7a-5b垂直，且a-4b与7a-2b垂直，则〈a，b〉=　　　.
由条件知(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0，
(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0，两式相减得46a·b=23|b|2，
所以a·b=|b|2，
代入上面两个式子中的任意一个，得|a|=|b|，
所以cos〈a，b〉=
所以〈a，b〉=60°.
解析
答案
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60°
9.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：
(1)·；
答案
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如图所示，设=a=b=c，
则|a|=|c|=2，|b|=4，a·b=b·c=c·a=0.
··(+)=·
=b·=|b|2=42=16.
解
(2)·；
答案
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·=(+)·(+)
=·(+)
=·(a+c)
=|c|2-|a|2=22-22=0.
解
(3)·.
答案
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·=(+)·(+)
=·
=·
=(-a+b+c)·
=-|a|2+|b|2=2.
解
10.如图，正四棱锥P-ABCD的各棱长都为a.
(1)用向量法证明BD⊥PC；
答案
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∵+
∴·=(+)·=·+·
=||||cos 60°+||||cos 120°=a2-a2=0.
∴⊥∴BD⊥PC.
证明
(2)求|+|的值.
答案
1
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∵+++
∴|+|2=||2+||2+||2+2·+2·+2·
=a2+a2+a2+0+2a2cos 60°+2a2cos 60°=5a2，
∴|+|=a.
解
11.已知空间向量a，b，c满足a+b+c=0，|a|=2，|b|=3，|c|=4，则a与b的夹角为
A.30° B.45°
C.60° D.以上都不对
√
综合运用
答案
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设a与b的夹角为θ，
由a+b+c=0，得a+b=-c，
两边平方，得a2+2a·b+b2=c2，
因为|a|=2，|b|=3，|c|=4，
所以4+2×2×3cos θ+9=16，
解得cos θ=
即A，B，C选项均不符合cos θ=.
解析
12.(多选)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长均为3，且两两向量的夹角都是60°，过AC1的平面AEC1F与BB1，DD1分别交于点E，F，DF=2，则
A.截面BDD1B1的面积为9
B.·=11
C.的夹角是60°
D.平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为
√
答案
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答案
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在菱形BDD1B1中·=(-)··-·-=0，
所以⊥菱形BDD1B1为正方形，故面积为DB·BB1=3×3=9，A正确；
解析
易知平面AEC1F与侧面的交线AE，C1F平行，AF，EC1平行，则四边形AEC1F是平行四边形，
答案
1
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·=(+)·(+)=·
=·+·+·+
=+×+×+×9=11，B正确；
因为AC=3
所以·=(+)··+·+=9，
所以cos〈〉=
故的夹角不是60°，C不正确；
解析
答案
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由上知
所以平行六面体的高为||=
则平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为
3×3××D正确.
解析
13.在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=2，
OC=3，G为△ABC的重心，则·(++)=　 　.
答案
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∵OA，OB，OC两两垂直，
∴···=0，且
故·(++)=++)2=(||2+||2+||2)
=×(1+4+9)=.
解析
14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动(含端点)，则·的取值范围是　　 　.
答案
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依题意，设=λ其中λ∈[0，1]，
··(+)=·(+λ)=+λ·
=1+λ×1××=1-λ∈[0，1].
因此·的取值范围是[0，1].
解析
[0，1]
15.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i=1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i=1，2，…，8)的不同值的个数为
A.8 B.4
C.2 D.1
拓广探究
√
答案
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··(+)
=+·
∵AB⊥平面BP2P8P6，∴⊥
∴·=0，∴·=||2=1，
则·(i=1，2，…，8)的不同值的个数为1.
解析
16.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD且为锐角.
(1)求证：CC1⊥BD；
设=a=b=c.依题意有|a|=|b|，
-=a-b.
设两两夹角均为θ，
于是·=c·(a-b)=c·a-c·b=|c||a|cos θ-|c||b|cos θ=0，
∴CC1⊥BD.
证明
答案
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(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.
答案
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若A1C⊥平面C1BD，则A1C⊥DC1，A1C⊥BD.
由·=(+)·(-)=(a+b+c)·(a-c)
=|a|2-a·c+a·b-b·c+c·a-|c|2
=|a|2-|c|2+|b||a|cos θ-|b||c|cos θ
=(|a|-|c|)(|a|+|c|+|b|cos θ)=0，
得当|c|=|a|时，A1C⊥DC1.
同理可证，当|a|=|b|时，A1C⊥BD.
∴当=1时，A1C⊥平面C1BD.
解
第一章　§1.1　空间向量及其运算
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