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1.3.1　空间直角坐标系
1.3.2　空间向量运算的坐标表示
第一章　§1.3　空间向量及其运算的坐标表示
<<<
1.了解空间直角坐标系，能写出所给定点、向量的坐标.
2.掌握空间向量运算的坐标表示.(重点)
3.会用空间向量的坐标解决一些简单的几何问题.(难点)
学习目标
在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i， j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？下面我们就来研究这个问题.
导 语
一、空间直角坐标系及点的坐标
二、空间向量的坐标及坐标运算
课时对点练
三、空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
随堂演练
内容索引
四、夹角和距离的计算
空间直角坐标系及点的坐标
一
提示　在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i， j}，以O为原点，分别以i， j的方向为正方向、以它们的长度为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系.类似地，我们也可以建立一个空间直角坐标系.
利用单位正交基底的概念，我们如何理解平面直角坐标系呢？
问题1
1.空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i， j，k}，以点O为原点，分别以i， j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： ，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个 .
2.相关概念： 叫做原点，i， j，k都叫做坐标向量，通过____________的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面，它们把空间分成八个部分.
x轴、y轴、z轴
空间直角坐标系Oxyz
O
每两条坐标轴
Oxy
Oyz
Ozx
3.在空间直角坐标系Oxyz中，i， j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使= .在单位正交基底{i， j，k}下与向量对应的有序实数组 ，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的 ，y叫做点A的 ，z叫做点A的 .
xi+y j+zk
(x，y，z)
横坐标
纵坐标
竖坐标
4.空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z)
点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z)
(1)基向量：|i|=| j|=|k|=1，i· j=i·k= j·k=0.
(2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°.
(3)让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，建立的坐标系一般为右手直角坐标系.
注 意 点
<<<
　(课本例1)　如图，在长方体OABC-D'A'B'C'中，OA=3，OC=4，OD'=2，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
例 1
(1)写出D'，C，A'，B'四点的坐标；
点D'在z轴上，且OD'=2，所以=0i+0j+2k.
所以点D'的坐标是(0，0，2).
同理，点C的坐标是(0，4，0).
点A'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，D'，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，
所以点A'的坐标是(3，0，2).
点B'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，D'，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，
所以点B'的坐标是(3，4，2).
解
(2)写出向量的坐标.
==0i+4j+0k=(0，4，0)；
=-=0i+0j-2k=(0，0，-2)；
=+=-3i+4j+0k=(-3，4，0)；
=++=-3i+4j+2k=(-3，4，2).
解
已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
例 1
∵正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，
∴正四棱锥的高为2.
以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则正四棱锥各顶点的坐标分别为
A(2，-2，0)，B(2，2，0)，C(-2，2，0)，
D(-2，-2，0)，P(0，0，2).
答案不唯一.
解
试写出例1中点A分别关于Ozx平面、y轴、坐标原点的对称点.
延伸探究
建立同例1的空间直角坐标系(图略).
点A关于Ozx平面的对称点为(2，2，0)，
点A关于y轴的对称点为(-2，-2，0)，
点A关于坐标原点的对称点为(-2，2，0).
答案不唯一.
解
(1)建立空间直角坐标系的原则
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.
②充分利用几何图形的对称性.
③一般用右手直角坐标系.
(2)求某点M的坐标的方法
作MM'垂直于平面Oxy，垂足为M'，求M'的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z).
(3)空间坐标系中求已知点的对称点，一般遵循“谁不存在谁变号”原则.
反
思
感
悟
已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，试建立适当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标.
跟踪训练 1
如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，OO1⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
∵三棱柱各棱长均为1，
∴OA=OC=O1A1=O1C1=OB=.
∵A，B，C均在坐标轴上，
∴ABC.
∵点A1与C1在Oyz平面内，
∴A1C1.
解
∵点B1在Oxy平面内的射影为B，且BB1=1，
∴B1即该三棱锥各顶点的坐标为
ABC
A1B1C1.
答案不唯一.
解
二
空间向量的坐标及坐标运算
1.向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作=a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a=xi+y j+zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a=
.
(x，y，z)
2.设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，λ∈R，那么
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a+b ____________________
减法 a-b ___________________
数乘 λa ______________
数量积 a·b ______________
(a1+b1，a2+b2，a3+b3)
(a1-b1，a2-b2，a3-b3)
(λa1，λa2，λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
3.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则= .即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标 起点坐标.
(x2-x1，y2-y1，z2-z1)
减去
(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示相比，只是多出了竖坐标的运算，横纵坐标的运算规则一致.
(2)向量线性运算的结果仍是向量，可以用坐标表示；数量积的结果为数量.
注 意 点
<<<
在△ABC中，A(2，-5，3)=(4，1，2)=(3，-2，5).
(1)求顶点B，C的坐标；
例 2
设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以=(x-2，y+5，z-3)，=(x1-x，y1-y，z1-z).
因为=(4，1，2)，所以
所以点B的坐标为(6，-4，5).
因为=(3，-2，5)，所以
所以点C的坐标为(9，-6，10).
解
(2)求·；
因为=(-7，1，-7)，
所以·=-21-2-35=-58.
解
(3)若点P在AC上，且=求点P的坐标.
设P(x2，y2，z2)，则=(x2-2，y2+5，z2-3)，=(9-x2，-6-y2，10-z2)，
于是有(x2-2，y2+5，z2-3)=(9-x2，-6-y2，10-z2)，
所以
故点P的坐标为.
解
空间向量坐标运算的规律
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定(终点坐标减去起点坐标).
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算.
(3)由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标.
反
思
感
悟
　(1)如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4，3，2)，则C1的坐标是
A.(0，3，2) B.(0，4，2)
C.(4，0，2) D.(2，3，4)
跟踪训练 2
∵的坐标为(4，3，2)，D为坐标原点，
∴B1的坐标为(4，3，2)，∴BC=4，DC=3，CC1=2，
∴C1的坐标为(0，3，2).
解析
√
(2)已知a+b=(22)，a-b=(00)，则a=　　　　　 ，b=　　　 　　，a·b=　 　.
a+b=(22)，a-b=(00)，
∴a=(1)，b=(1，0)，
∴a·b=1+0+3=4.
解析
(1)
(1，0)
4
空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
三
设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则有
(1)平行关系：当b≠0时，a∥b a=λb ， ，________
(λ∈R)；
(2)垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b a·b=0 .
a1=λb1
a2=λb2
a3=λb3
a1b1+a2b2+a3b3=0
(1)要证明a⊥b，就是证明a·b=0；要证明a∥b，就是证明a=λb(b≠0).
(2)若a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，当b1b2b3≠0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b ==.
注 意 点
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(课本例2)　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证EF⊥DA1.
例 3
不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则EF
所以=.
又A1(1，0，1)，D(0，0，0)，
所以=(1，0，1).
所以·=·(1，0，1)=0.
所以⊥即EF⊥DA1.
证明
　已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设=a=b.
(1)设向量c=试判断2a-b与c是否平行？
例 3
因为a==(1，1，0)，b==(-1，0，2)，
所以2a-b=(3，2，-2)，
又c=
所以2a-b=-2c，所以(2a-b)∥c.
解
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k的值.
由(1)知ka+b=(k-1，k，2)，
ka-2b=(k+2，k，-4).
又因为(ka+b)⊥(ka-2b)，
所以(ka+b)·(ka-2b)=0，
即(k-1，k，2)·(k+2，k，-4)=2k2+k-10=0.
解得k=2或-.
解
(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解.
(2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
反
思
感
悟
已知a=(x，1，-1)，b=(-2，y，1)，c=(2，-3，z)，若a∥b，b⊥c，求a，b，c.
跟踪训练 3
因为a∥b，所以设a=λb，λ∈R，则(x，1，-1)=λ(-2，y，1)，
即
所以a=(2，1，-1)，b=(-2，-1，1)，
又b⊥c，所以b·c=-4+3+z=0，
解得z=1，所以c=(2，-3，1).
所以a=(2，1，-1)，b=(-2，-1，1)，c=(2，-3，1).
解
夹角和距离的计算
四
提示　如图，建立空间直角坐标系Oxyz，
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
则=-=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)，
于是||==.
所以P1P2=||=
这就是空间两点间的距离公式.
你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？
问题2
1.空间两点间的距离公式：
(1)设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，
P1P2=||=.
(2)若O(0，0，0)，P(x，y，z)，则||=.
2.空间向量的夹角公式：
设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，
则cos〈a，b〉== .
　(课本例3)　如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，B1E1=A1B1，D1F1=C1D1.
(1)求AM的长；
例 4
建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为.
于是AM==.
解
(2)求BE1与DF1所成角的余弦值.
由已知，得B(1，1，0)，E1D(0，0，0)，F1
所以=-(1，1，0)=
=-(0，0，0)=||=||=.
所以·=0×0++1×1=.
所以cos〈〉===.
所以，BE1与DF1所成角的余弦值是.
解
　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别是AA1，CB1的中点.
(1)求BM，BN的长；
例 4
以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，
则B(0，1，0)，M(1，0，1)，N.
∵=(1，-1，1)，=
∴||==
||==
故BM的长为BN的长为.
解
(2)求△BMN的面积.
∵cos∠MBN=cos〈===
∴sin∠MBN==
故S△BMN=·||·||·sin∠MBN
=×××=.
即△BMN的面积为.
解
利用空间向量的坐标运算求夹角和距离的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；
②写出向量的坐标.
(3)代入公式进行计算.
(4)写出答案.
反
思
感
悟
如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG=CD，H为C1G的中点.
(1)求证：EF⊥B1C；
跟踪训练 4
如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，
则EF
C(0，1，0)，B1(1，1，1)，
=-=
=(0，1，0)-(1，1，1)=(-1，0，-1).
∴·=×(-1)+×0+×(-1)=0，
∴⊥即EF⊥B1C.
证明
(2)求FH的长；
∵FH∴=
∴||==.
∴FH的长为.
解
(3)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值.
∵C1(0，1，1)，G
∴=-(0，1，1)=.
∴||=.
由(1)得·=×0+×+×(-1)=||=
∴|cos〈|〉==.
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.
解
1.知识清单：
(1)空间直角坐标系及空间点的坐标.
(2)空间向量的坐标表示及坐标运算.
(3)空间向量的坐标表示及应用.
2.方法归纳：数形结合、类比联想.
3.常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念；求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.已知M(5，-1，2)，A(4，2，-1)，O为坐标原点，若=则点B的坐标应为
A.(-1，3，-3) B.(9，1，1)
C.(1，-3，3) D.(-9，-1，-1)
√
==-=+=(9，1，1).
解析
1
2
3
4
2.设向量a=(1，2，m)，b=(2，0，-1)，若a⊥b，则m等于
A.-2 B.-1 C.1 D.2
√
由a⊥b，得a·b=1×2+2×0+m×(-1)=0，解得m=2.
解析
1
2
3
4
3.已知点P(2，3，-1)关于Oxy平面的对称点为P1，点P1关于Oyz平面的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则P1，P3的距离为　　　.
点P(2，3，-1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于Oyz平面的对称点P2的坐标为(-2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标为(2，-3，1)，故P1P3=6.
解析
6
1
2
3
4
4.已知A(2，-5，1)，B(2，-2，4)，C(1，-4，1)，则向量与的夹角
为　　　.
∵=(0，3，3)=(-1，1，0)，∴||=3||=
·=0×(-1)+3×1+3×0=3，
∴cos〈==
又∵〈〉∈[0，π]，∴〈=.
解析
课时对点练
六
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 BCD A C D A ABD
题号 8 11 12 13 14 15
答案 - A C BC ∪
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
以Cx，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，B(0，1，0)，
A1(1，0，2)，N(1，0，1)，
=(0，1，0)，
=(1，0，1)-(0，1，0)=(1，-1，1).
=(1，0，2)-(0，1，0)=(1，-1，2).
答案不唯一.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)如图，以C为原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，依题意得N(1，0，1)，
M
∴=
∴||==.∴M，N.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)依题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，
C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
∴=(1，-1，2)=(0，1，2)，
·=3，||=||=
∴cos〈〉==.
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
由题意知A(0，0，0)，B11，2)，C(0，2，0)，B1，0)，
M.
又点N在棱CC1上，可设N(0，2，m)(0≤m≤2)，
=1，2)，
=
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以||=2
||=·=2m-1.
若异面直线AB1和MN所成的角等于45°，
则cos 45°=|cos〉|==
=使上式成立的m不存在，
所以在棱CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.
基础巩固
1.(多选)下列命题中正确的是
A.在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)
B.在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)
C.在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0，0，c)
D.在空间直角坐标系中，在Ozx平面上的点的坐标是(a，0，c)
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a，0，0)，故A错误，B，C，D正确.
解析
√
√
2.在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，-2，4)关于y轴对称的点为
A.(-1，-2，-4) B.(-1，-2，4)
C.(1，2，-4) D.(1，2，4)
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
关于y 轴对称，则y的值不变，x和z的值变为原来的相反数，故所求的点的坐标为(-1，-2，-4).
解析
3.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，B1E=A1B1，则等于
A. B.
C. D.
√
=+=(0，0，1)+=.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.已知向量a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是
A.1 B. C. D.
√
依题意得(ka+b)·(2a-b)=0，
所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0，
而|a|2=2，|b|2=5，a·b=-1，
所以4k+k-2-5=0，解得k=.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.已知a=(1，0，1)，b=(-2，-1，1)，c=(3，1，0)，则|a-b+2c|等于
A.3 B.2 C. D.5
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵a-b+2c=(9，3，0)，
∴|a-b+2c|==3.
解析
6.(多选)已知空间向量m=(-1，2，5)，n=(2，-4，x)，则下列选项中正确的是
A.当m⊥n时，x=2
B.当m∥n时，x=-10
C.当|m+n|=时，x=-4
D.当x=时，cos〈m，n〉=
√
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
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因为m⊥n，m=(-1，2，5)，n=(2，-4，x)，所以m·n=(-1)×2+2×(-4) +5x=-10+5x=0，解得x=2，故A正确；
因为m∥n，所以存在λ∈R，使得m=λn，则(-1，2，5)=λ(2，-4，x)=
(2λ，-4λ，λx)，即故B正确；
因为m+n=(-1+2，2-4，5+x)=(1，-2，5+x)，
所以|m+n|= ==解得x=-5，故C错误；
解析
答案
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因为x=则m=(-1，2，5)，n=(2，-4)，所以cos〈m，n〉===故D正确.
解析
7.如图是一个正方体截下的一角P-ABC，其中PA=a，PB=b，PC=c.建立如图所示的空间直角坐标系，则
△ABC的重心G的坐标是　　 　　 .
由题意知A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c).
由重心坐标公式得点G的坐标为.
解析
答案
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8.已知向量a=(2，-3，0)，b=(k，0，3)，若a与b的夹角为120°，则实数k的值为　　　　.
由题意知，cos 120°===-
即=k2=39，
显然k<0，所以k=-.
解析
答案
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-
9.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，N是A1A的中点，试建立恰当的空间直角坐标系求向量的坐标.
答案
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以C为坐标原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0，0，0)，B(0，1，0)，
A1(1，0，2)，N(1，0，1)，
则=(0，1，0)，
=(1，0，1)-(0，1，0)=(1，-1，1).
=(1，0，2)-(0，1，0)=(1，-1，2).
答案不唯一.
解
10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M，N分别是B1C1，A1A的中点.
(1)求M，N的距离；
答案
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如图，以C为原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，依题意得N(1，0，1)，M
∴=
∴||==.
∴M，N的距离为.
解
(2)求cos〈 〉的值.
答案
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依题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，
C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
∴=(1，-1，2)=(0，1，2)，
·=3，||=||=
∴cos〈 〉==.
解
11.在空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为
A. B.3 C. D.
√
综合运用
答案
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空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为=.
解析
12.已知点A(1-t，1-t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点的距离的最小值为
A. B. C. D.
√
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因为点A(1-t，1-t，t)，B(2，t，t)，所以=(1+t，2t-1，0)，
所以||2=(1+t)2+(2t-1)2+0=5t2-2t+2，
易知当t=时，||2取得最小值 ，
即A，B两点的距离的最小值为 .
解析
13.(多选)已知在空间直角坐标系Oxyz中，A(1，t-4，3)，B(2，4，t)，则
A.若向量的夹角是锐角，则t的取值范围是(2，+∞)
B.若向量的夹角是钝角，则t的取值范围是(-∞，2)
C.存在t∈R，使得||=2||
D.存在t∈R，使得||=2
答案
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√
√
对于A=(1，t-4，3)=(2，4，t)，向量的夹角是锐角，
则·0且不共线，
又·=1×2+4(t-4)+3t=7t-14>0，解得t>2，
若=λ(λ>0)，
即
所以≠λt≠6，综上所述，若向量的夹角是锐角，则t的取值范围是(2，6)∪(6，+∞)，故A错误；
解析
答案
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对于B，若向量·<0且不共线，即7t-14<0且≠λ (λ∈R)，根据A中结果，有t<2，所以若向量的夹角是钝角，则t的取值范围是(-∞，2)，故B正确；
对于C，||=||=因为||=2||，所以=2整理得3t2-32t+84=0，Δ=(-32)2-4×3×84= 16>0，所以存在t∈R，使得||=2||，故C正确；
解析
答案
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对于D=(1，8-t，t-3)，
因为||=2，即||= =2，
整理得t2-11t+35=0，Δ=(-11)2-4×1×35=-19<0，所以不存在t∈R，使得||=2，故D错误.
解析
答案
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14.已知向量a=(5，3，1)，b=若a与b的夹角为钝角，则
实数t的取值范围为　　　　　　 　　　.
答案
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∪
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由已知得a·b=5×(-2)+3t+1×=3t-
因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，即3t-<0，所以t<.
若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a=λb，
即(5，3，1)=λ
所以
故t的取值范围是∪.
解析
15.已知向量a=(-2，1，1)，点A(-3，-1，4)，B(-2，-2，2).在直线AB上，存在一点E，使得⊥a，其中O为坐标原点，则点E的坐标为
　　　　 　.
拓广探究
答案
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设=λλ∈R，
因为A(-3，-1，4)，B(-2，-2，2)，
所以=(1，-1，-2)=(λ，-λ，-2λ)，=(3，1，-4)，
=-=(λ-3，-λ-1，-2λ+4)，
因为⊥a，所以-2(λ-3)+(-λ-1)+(-2λ+4)=0，解得λ=
所以=
所以点E的坐标为.
解析
16.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是棱BC的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？
答案
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答案
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以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
由题意知A(0，0，0)，B1(1，2)，C(0，2，0)，B(1，0)，
M.
又点N在棱CC1上，可设N(0，2，m)(0≤m≤2)，
则=(1，2)=
所以||=2||=·=2m-1.
解
答案
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若异面直线AB1和MN所成的角等于45°，
则cos 45°=|cos 〈|〉==
即=
使上式成立的m不存在，
所以在棱CC1上不存在点N，
使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.
解
第一章　§1.3　空间向量及其运算的坐标表示
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