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(共76张PPT)
第1课时
第一章　1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
<<<
空间中点、直线和
平面的向量表示
1.会用向量语言描述直线和平面.
2.理解直线的方向向量和平面的法向量.
3.会求直线的方向向量和平面的法向量.(重点)
学习目标
我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.本节我们就来研究如何用空间向量表示空间中的点、直线和平面.
导 语
一、空间中点的向量和直线的向量表示
二、空间中平面的向量表示
课时对点练
随堂演练
内容索引
空间中点的向量和直线的向量表示
一
提示　在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量.
在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？
问题1
空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l？
问题2
提示　如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得=ta，即=t.如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+ta， ①
将=a代入①式，得=+t. ②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
1.设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上任意一点，
(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得= ，即= .
(2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+ ，即=+ .
2.空间任意直线都可以由直线上一点及直线的 唯一确定.
ta
ta
方向向量
t
t
(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合.
(2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个.
注 意 点
<<<
(1)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为　　　 　，直线BC1的一个方向向量为　　 　　.
例 1
(0，0，1)
(0，1，1)(答案不唯一)
因为DD1∥AA1=(0，0，1)，
故直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)；
因为BC1∥AD1=(0，1，1)，
故直线BC1的一个方向向量为(0，1，1).
解析
(2)已知直线l的一个方向向量m=(2，-1，3)，且直线 l 过 A(0，y，3)和
B(-1，2，z)两点，则y-z等于
A.0 B.1 C. D.3
√
∵A(0，y，3)，B(-1，2，z)，
∴=(-1，2-y，z-3)，
∵直线l的一个方向向量为m=(2，-1，3)，
故设=km.
∴
∴y-z=0.
解析
理解直线方向向量的概念
(1)直线上任意两个不同的点确定的向量都可以作为直线的方向向量.
(2)直线的方向向量不唯一.
反
思
感
悟
　(1)(多选)若M(1，0，-1)，N(2，1，2)在直线l上，则下列可作为直线l方向向量的是
A.(2，2，6) B.(1，1，3)
C.(3，1，1) D.(-3，0，1)
跟踪训练 1
√
√
∵=(1，1，3)，M，N在直线l上，∴向量(1，1，3)，(2，2，6)都可作为直线l的方向向量.
解析
(2)已知向量a=(2，-1，3)，b=(-4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是
A.-1 B.1或-1 C.-3 D.1
√
由题意知a∥b，则设b=λa，λ∈R，
即(-4，2x2，6x)=λ(2，-1，3)=(2λ，-λ，3λ)，
所以解得x=-1.
解析
二
空间中平面的向量表示
1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，两条直线确定的平面为α，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得= .
2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使=+ + .我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.
xa+yb
x
y
3.空间中任意平面由空间一点及两个 向量唯一确定.如图，直线l⊥ α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的 .给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·=0}.
不共线
法向量
(1)平面α的法向量垂直于平面α内的所有向量.
(2)一个平面的法向量有无限多个，它们都是平行向量.
注 意 点
<<<
　(课本例1)　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求平面BCC1B1的法向量；
例 2
因为y轴垂直于平面BCC1B1，
所以n1=(0，1，0)是平面BCC1B1的一个法向量.
解
(2)求平面MCA1的法向量.
因为AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点，所以M，C，A1的坐标分别为(3，2，0)，(0，4，0)，(3，0，2).
因此=(-3，2，0)=(0，-2，2).
设n2=(x，y，z)是平面MCA1的法向量，
则n2⊥n2⊥.
所以所以
取z=3，则x=2，y=3.
于是n2=(2，3，3)是平面MCA1的一个法向量.
解
　已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量.
例 2
答案不唯一(只要垂直于所求平面的非零向量即为该平面的法向量).
∵D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)，
∴=(1，2，0)=(-1，0，2)，
设平面SCD的法向量为n=(x，y，z)，
则
令x=1，则y=-z=∴n=
即平面SCD的一个法向量为n=
∵x轴⊥平面SAB，∴m=(1，0，0)即为平面SAB的一个法向量.
解
求平面法向量的步骤
(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如.
(2)设平面的法向量为n=(x，y，z).
(3)联立方程组并求解.
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.
反
思
感
悟
　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1， A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1)平面BDD1B1的一个法向量；
跟踪训练 2
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，E(1，0，2).
设平面BDD1B1的法向量为n=(x1，y1，z1)，
∵=(2，2，0)=(0，0，2)，
∴
令x1=1，则y1=-1，z1=0，
∴平面BDD1B1的一个法向量为n=(1，-1，0).(答案不唯一)
解
(2)平面BDEF的一个法向量.
设平面BDEF的法向量为m=(x2，y2，z2).
∵=(2，2，0)=(1，0，2)，
∴
令x2=2，则y2=-2，z2=-1，
∴平面BDEF的一个法向量为m=(2，-2，-1).(答案不唯一)
解
1.知识清单：
(1)空间中点、直线、平面的向量表示.
(2)直线的方向向量.
(3)平面的法向量.
2.方法归纳：待定系数法、赋值法.
3.常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性.
随堂演练
三
1
2
3
4
1.(多选)下列各式中，k为实数，可以判定点P在直线AB上的是
A.=+k B.=+k
C.=+k D.=+k
√
√
由点P在直线上的充要条件可得，A，B符合题意.
解析
1
2
3
4
2.在空间直角坐标系中，直线l过点A(1，0，-1)且以μ=(3，2，4)为方向向量，M(x，y，z)为直线l上的任意一点，则点M的坐标满足的关系式是
A.== B.==
C.== D.==
√
由题意得=(x-1，y，z+1)∥μ，
则==.
解析
1
2
3
4
3.若n=(2，-3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的一个法向量的是
A.(0，-3，1) B.(2，0，1)
C.(-2，-3，1) D.(-2，3，-1)
√
由题意可得要求平面α的一个法向量，
即求与n共线的一个向量.
易知(2，-3，1)=-(-2，3，-1).
解析
1
2
3
4
4.已知平面α经过点O(0，0，0)，且e=(1，2，-3)是α的一个法向量，
M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是　　　　　　.
由题意得e⊥
则·e=(x，y，z)·(1，2，-3)=0，
故x+2y-3z=0.
解析
x+2y-3z=0
课时对点练
四
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D A C AC B BCD
(答案不唯一)
题号 8 11 12 13 14 15
答案 -1 A AD A 2∶3∶(-4)
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)∵B(2，0，0)，C(0，2，-2)，∴=(-2，2，-2)，
即(-2，2，-2)为直线BC的一个方向向量.(答案不唯一)
(2)由题意得=(x-2，y-2，z-2)，
∵α的法向量，·=0，
即(-2，2，-2)·(x-2，y-2，z-2)=0.
∴-2(x-2)+2(y-2)-2(z-2)=0.
化简得x-y+z-2=0.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
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11
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13
14
15
16
(1)以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(6，0，0)，C(0，2，0)，
D1(0，0，3)，A1(6，0，3)，=(0，0，3)，
因为DD1⊥平面ABCD，
ABCD的一个法向量，
所以平面ABCD的一个法向量为
=(0，0，3).(答案不唯一)
10.
答案
1
2
3
4
5
6
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16
(2)设平面ACC1A1的法向量为m=(x，y，z)，
=(-6，2，0)，=(0，0，3)，
令x=1，则m=(1，3，0)，
所以平面ACC1A1的一个法向量为m=(1，3，0).(答案不唯一)
16.
答案
1
2
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4
5
6
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16
(1)·=(-1，2，-1)·(2，-1，-4)=0
·=(-1，2，-1)·(4，2，0)=0，
所以AP⊥AB，AP⊥AD.
又AB∩AD=A，
所以AP⊥平面ABCD.
ABCD的法向量.
16.
答案
1
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16
(2)因为||==
||==2
·=(2，-1，-4)·(4，2，0)=6，
所以cos〈〉==故sin〈〉=
S ABCD=||·||sin〈 〉=8.
基础巩固
1.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为
A.(1，1，0) B.(1，0，1)
C.(0，0，1) D.(1，1，1)
√
由题意知D(0，0，0)，B1(1，1，1)，所以=(1，1，1)，即直线DB1的一个方向向量是(1，1，1).
解析
答案
1
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3
4
5
6
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16
2.已知直线l的一个方向向量m=(3，-2，1)，且直线l经过A(a，2，-1)和
B(-2，3，b)两点，则a+b等于
A.-2 B.-1 C.1 D.2
√
答案
1
2
3
4
5
6
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16
因为=(-2-a，1，b+1)，直线l的一个方向向量为m=(3，-2，1)，所以与m共线，所以==解得a=-b=-所以a+b=-2.
解析
3.已知平面α内有两点M(-2，3，1)，N(2，4，1)，若平面α的一个法向量为n=(6，a，6)，则a等于
A.- B. C.-24 D.24
√
由题可得=(4，1，0)，因为平面α的一个法向量为n=(6，a，6)，
所以n⊥
所以n·=(6，a，6)·(4，1，0)=6×4+a×1+6×0=0，解得a=-24.
解析
答案
1
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16
4.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论中正确的是
A.直线BD1的一个方向向量为(-2，2，2)
B.直线BD1的一个方向向量为(2，2，2)
C.平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1)
D.平面B1CD的一个法向量为(1，-1，-1)
√
答案
1
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16
√
由题意，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C(1，1，0)，
D(0，1，0)，D1(0，1，1).
对于A，B项，可知=(-1，1，1)，
所以向量(-2，2，2)为直线BD1的一个方向向量，故A正确，B不正确；
对于C项，设平面B1CD1的法向量为n=(x，y，z)，则
又=(0，-1，1)=(-1，0，1)，所以
令x=1，可得n=(1，1，1)，故C正确；
解析
答案
1
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4
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对于D项，设平面B1CD的法向量为m=(a，b，c)，则
又=(0，-1，1)=(-1，0，0)，
所以
令b=1，得m=(0，1，1)，故D不正确.
解析
答案
1
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5.已知平面α内有一个点A(2，-1，2)，它的一个法向量为n=(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是
A.(1，-1，1) B.
C. D.
√
答案
1
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16
答案
1
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3
4
5
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16
对于选项A=(1，0，1)，
则·n=(1，0，1)·(3，1，2)=5≠0，故排除A；
对于选项B=
则·n=·(3，1，2)=0，故B正确；
同理可排除C，D.
解析
6.(多选)已知空间中A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(-1，2，1)三点，则下列说法正确的是
A.与是共线向量
B.与同向的单位向量是
C.在方向上的投影向量是(-2，-1，0)
D.平面ABC的一个法向量是(1，-2，5)
√
√
√
答案
1
2
3
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答案
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15
16
=(2，1，0)=(-1，2，1)，
=(-3，1，1)，
若共线，
设=λ则
方程无解，故不共线，A错误；
与==B正确；
解析
答案
1
2
3
4
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6
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15
16
·=·=(-2，-1，0)，C正确；
设平面ABC的法向量是n=(x，y，z)，
则
令y=-2，则n=(1，-2，5)，D正确.
解析
7.在空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1=(2，1，1)与n2=(0，2，1)为其
法向量，若α∩β=l，则直线l的一个方向向量为　　　　 . (写出一个方向向量的坐标)
设直线l的方向向量为d=(x，y，z)，
则
令y=1，则z=-2，x=所以直线l的一个方向向量为d=.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
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14
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16
(答案不唯一)
8.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，若点P(a，1，1)在平面ABC内，则a=　　　.
设平面ABC的法向量是n=(x，y，z)，
又=(-1，1，0)=(-1，0，1)，
所以取x=1，得n=(1，1，1)，
因为P(a，1，1)在平面ABC内=(a-1，1，1)，
则n·=a-1+1+1=0，解得a=-1.
解析
答案
1
2
3
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5
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-1
9.已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，-2).
(1)写出直线BC的一个方向向量；
∵B(2，0，0)，C(0，2，-2)，∴=(-2，2，-2)，
即(-2，2，-2)为直线BC的一个方向向量.(答案不唯一)
解
答案
1
2
3
4
5
6
7
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10
11
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13
14
15
16
(2)设平面α经过点A，且是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式.
由题意得=(x-2，y-2，z-2)，
∵是平面α的法向量，则·=0，
即(-2，2，-2)·(x-2，y-2，z-2)=0.
∴-2(x-2)+2(y-2)-2(z-2)=0.
化简得x-y+z-2=0.
解
答案
1
2
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5
6
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16
10.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=6，AA1=3，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：
(1)平面ABCD；
答案
1
2
3
4
5
6
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15
16
答案
1
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11
12
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14
15
16
以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(6，0，0)，C(0，2，0)，
D1(0，0，3)，A1(6，0，3)，
所以=(0，0，3)，
因为DD1⊥平面ABCD，
所以为平面ABCD的一个法向量，
所以平面ABCD的一个法向量为=(0，0，3).(答案不唯一)
解
(2)平面ACC1A1.
答案
1
2
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5
6
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15
16
设平面ACC1A1的法向量为m=(x，y，z)，
因为=(-6，2，0)=(0，0，3)，
所以
令x=1，则m=(1，3，0)，
所以平面ACC1A1的一个法向量为
m=(1，3，0).(答案不唯一)
解
11.在三棱锥P-ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC=CB=1，PC=2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的一个法向量的是
A.
B.(11)
C.(1，1，1)
D.(2，-2，1)
√
综合运用
答案
1
2
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5
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16
因为P(0，0，2)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，
所以=(1，0，-2)=(-1，1，0)，
设平面PAB的法向量为n=(x，y，1)，
由
解得所以n=(2，2，1).
又=n，
因此，平面PAB的一个法向量为.
解析
答案
1
2
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4
5
6
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8
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15
16
12.(多选)已知直线l1的方向向量a=(2，4，x)，直线l2的方向向量b=(2，y，2)，若|a|=6，且a⊥b，则x+y的值是
A.1 B.-1 C.3 D.-3
√
答案
1
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4
5
6
7
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9
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11
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13
14
15
16
√
因为|a|==6，所以x=±4.
因为a⊥b，所以a·b=2×2+4y+2x=0，
即y=-1-x，所以当x=4时，y=-3；
当x=-4时，y=1.所以x+y=1或x+y=-3.
解析
13.从点A(2，-1，7)沿向量a=(8，9，-12)的方向取线段长||=34，则B点的坐标为
A.(18，17，-17) B.(-14，-19，17)
C. D.
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√
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设B点坐标为(x，y，z)，
则=λa(λ>0)，
即(x-2，y+1，z-7)=λ(8，9，-12)，
因为||=34，
即=34，解得λ=2，
所以x=18，y=17，z=-17.
解析
14.若ABC是平面α内三点，设平面α的法向量为a=(x，y，z)，则x∶y∶z=　　 　　.
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2∶3∶(-4)
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由已知得==
∵a是平面α的法向量，
∴a·=0，a·=0，
即
∴x∶y∶z=y∶y∶=2∶3∶(-4).
解析
15.已知在空间直角坐标系中，A(2，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，6)，点M(x，y，2)(x>0，y>0)在平面ABC内，则+的最小值为　　 　 .
拓广探究
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依题意=(-2，3，0)=(0，-3，6)=(x-2，y，2)，
设平面ABC的法向量为m=(a，b，c)，
则
令c=1，得m=(3，2，1)，
依题意，m·=0，则3x+2y=4，
则+=(3x+2y)=≥=
当且仅当x=4-y=2-4时取等号.
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16.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果=(2，-1，-4)=(4，2，0)=(-1，2，-1).
(1)求证：是平面ABCD的法向量；
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因为·=(-1，2，-1)·(2，-1，-4)=0
·=(-1，2，-1)·(4，2，0)=0，
所以AP⊥AB，AP⊥AD.
又AB∩AD=A，
所以AP⊥平面ABCD.
所以是平面ABCD的法向量.
证明
(2)求平行四边形ABCD的面积.
因为||==||==2
·=(2，-1，-4)·(4，2，0)=6，
所以cos〈〉==
故sin〈〉=
S ABCD=||·||sin〈〉=8.
解
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第一章　1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
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