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(共123张PPT)
第3课时
空间中直线、平面的垂直
第一章　1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
<<<
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系(重点).
学习目标
类比空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？
导 语
一、直线与直线垂直
二、直线与平面垂直
课时对点练
三、平面与平面垂直
随堂演练
内容索引
直线与直线垂直
一
提示　垂直.
如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？
问题1
设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2 .
u1⊥u2
u1·u2=0
(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直.
(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.
注 意 点
<<<
如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=CC1.求证：AB1⊥MN.
例 1
方法一　设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知得AB
CNB1
∵M为BC的中点，∴M.
证明
∴==(1，0，1)，
∴·=-+0+=0.
∴⊥
即AB1⊥MN.
证明
方法二　设=a=b=c，
则由已知条件和正三棱柱的性质，
得|a|=|b|=|c|=1，a·c=b·c=0，
=a+c=(a+b)=b+c，
=-=-a+b+c，
∴·=(a+c)·=-+cos 60°+0-0+0+=0.
∴⊥即AB1⊥MN.
证明
证明两直线垂直的基本步骤
(1)坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.
(2)基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.
反
思
感
悟
　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E为AC的中点.
求证：BD1⊥EB1.
跟踪训练 1
以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1，
则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
EB1(1，1，1).
=(-1，-1，1)，=
∴·=(-1)×+(-1)×+1×1=0，
∴⊥∴BD1⊥EB1.
证明
二
直线与平面垂直
提示　平行(共线).
如图，设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直于平面α时，u，n之间有什么关系？
问题2
设直线 l 的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α λ∈R，使得 .
u∥n
u=λn
　(课本例4)　如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1 =1，∠A1AB =∠A1AD=∠BAD=60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.
例 2
设=a=b=c，则{a，b，c}为空间的一个基底，
且=a+b-c=b-a=c.
因为AB=AD=AA1=1，∠A1AB =∠A1AD=∠BAD=60°，
所以a2=b2=c2=1，a·b=b·c=c·a=.
在平面BDD1B1上，取为基向量，则对于平面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ，μ)，使得=λ+μ.
证明
所以·=λ·+μ·=λ(a+b-c)·(b-a)+μ(a+b-c)·c=0.
所以是平面BDD1B1的法向量.
所以A1C⊥平面BDD1B1.
证明
　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
例 2
方法一　设该正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，
B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a).
所以=(-a，-a，a)，
=(0，2a，2a)=(-2a，2a，0).
证明
设平面B1AC的法向量为m=(x，y，z)，
则
取x=1，则y=1，z=-1，故m=(1，1，-1).
又=(-a，-a，a)=-a(1，1，-1)=-am.
所以∥m，
所以EF⊥平面B1AC.
证明
方法二　由方法一可知=(-a，-a，a)
=(0，2a，2a)=(-2a，2a，0).
因为·=(-a，-a，a)·(0，2a，2a)
=(-a)·0+(-a)·2a+a·2a=0，
·=(-a，-a，a)·(-2a，2a，0)=2a2-2a2+0=0，
所以EF⊥AB1，EF⊥AC.
又AB1∩AC=A，AB1，AC 平面B1AC，
所以EF⊥平面B1AC.
证明
方法三　设=a=c=b，
连接BD(图略)，
则=+=+)
=+)=+-)
=(b+c-a).
因为=+=a+b，
证明
所以·=(b+c-a)·(a+b)
=(b2-a2+c·a+c·b)
=(|b|2-|a|2+0+0)=0，
所以⊥即EF⊥AB1.
同理，EF⊥B1C.
又AB1∩B1C=B1，AB1，B1C 平面B1AC，
所以EF⊥平面B1AC.
证明
向量法证明线面垂直的两种思路
(1)应用判定定理：选取基向量或建立空间直角坐标系，表示直线的方向向量和平面内两条相交直线的方向向量，证明直线的方向向量与另两个相交直线的方向向量的数量积均为零，从而证得结论.
(2)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论.
反
思
感
悟
　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D.求证：A1C⊥平面BDE.
跟踪训练 2
连接C1D，
∵C1在平面ABC内的射影为D，
∴C1D⊥平面ABC，
又BD，AC 平面ABC，
∴C1D⊥BD，C1D⊥AC，
又△ABC为等边三角形，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
则以D为坐标原点，DB，DA，DC1所在直线分别为x，y，z轴，
证明
建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，B(0，0)，
C(0，-1，0)，C1(0，0)，
EA1(0，2)，
∴=(0，0)=
=(0，-3，-).
证明
方法一　设平面BDE的法向量为m=(x，y，z)，
∵
不妨取z=1，则y=则m=(01)，
∴平面BDE的一个法向量为m=(01)，
∵=(0，-3，-)，
∴=-m，∴∥m，∴A1C⊥平面BDE.
证明
方法二　∵·=0·=-=0，
∴⊥⊥即BD⊥A1C，DE⊥A1C，
又BD∩DE=D，BD，DE 平面BDE，
∴A1C⊥平面BDE.
证明
平面与平面垂直
三
提示　垂直.
设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？
问题3
设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β .
n1⊥n2
n1·n2=0
　(课本例5)　证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
已知：如图，l⊥α，l β，
求证：α⊥β.
例 3
如图，取直线l的方向向量u，平面β的法向量n.
因为l⊥α，
所以u是平面α的法向量.
因为l β，而n是平面β的法向量，
所以u⊥n.
所以α⊥β.
证明
如图，在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证：平面EFG⊥平面PBC.
例 3
如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设PA=PB=PC=3，则P(0，0，0)，A(3，0，0)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，
∴=(0，-1，-1)=(1，-1，-1).
设平面EFG的法向量为n=(x，y，z)，
则有n⊥n⊥.
∴令y=1，得z=-1，x=0，即n=(0，1，-1).
证明
显然=(3，0，0)是平面PBC的一个法向量.
又n·=0，所以n⊥
即平面EFG的法向量与平面PBC的法向量互相垂直，
∴平面EFG⊥平面PBC.
证明
证明面面垂直的两种方法
(1)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.
(2)几何法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.
反
思
感
悟
　如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PBC.
跟踪训练 3
取AB的中点O，CD的中点M，
连接OM，则OM⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD=AB，
OM 平面ABCD，
所以OM⊥平面PAB，
又PA=PB，所以PO⊥AB，
以点O为原点，OP，OB，OM所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
证明
设AP=a，AD=b，
则A(0，-a，0)，B(0，a，0)，
P(a，0，0)，C(0，a，b)，
D(0，-a，b)，
所以=(0，0，b)=(a，a，0)，
=(0，0，b)=(a，-a，0)，
设n1=(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量，
n2=(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量，
证明
则由
z1=0，令x1=1，
则y1=-1，即n1=(1，-1，0)，
同理z2=0，令x2=1，
可得y2=1，即n2=(1，1，0).
因为n1·n2=1-1=0，
所以平面PAD⊥平面PBC.
证明
1.知识清单：
(1)直线与直线垂直的向量表示及应用.
(2)直线与平面垂直的向量表示及应用.
(3)平面与平面垂直的向量表示及应用.
2.方法归纳：转化法、法向量法.
3.常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.若平面α，β的法向量分别为a=(2，-1，0)，b=(-1，-2，0)，则α与β的位置关系是
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.无法确定
√
a·b=-2+2+0=0，
∴a⊥b，∴α⊥β.
解析
1
2
3
4
2.已知平面α的法向量为a=(1，2，-2)，平面β的法向量为b=(-2，-4，k)，若α⊥β，则k等于
A.4 B.-4 C.5 D.-5
√
∵α⊥β，∴a⊥b，
∴a·b=-2-8-2k=0.∴k=-5.
解析
1
2
3
4
3.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是　　　.
垂直
1
2
3
4
以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，
则EFP(0，0，1)，
B(1，1，0)，C(0，1，0)，
∴==(-1，0，0)，
=(0，1，-1)，
设平面PBC的法向量为n=(x，y，z)，
解析
1
2
3
4
则
令y=1，则z=1，
∴平面PBC的一个法向量为n=(0，1，1).
∴=-n，
∴∥n，∴EF⊥平面PBC.
解析
1
2
3
4
4.在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC= SB=则直线SC与BC是否垂直　　　.(填“是”或“否”)
是
1
2
3
4
如图，以A为坐标原点，平行于BC的直线为x轴，AC，AS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则由AC=2，BC=
SB=
得B(-2，0)，S(0，0，2)，C(0，2，0)，
=(0，2，-2)=(-0，0).
因为·=0，
所以SC⊥BC.
解析
课时对点练
五
对一对
答案
1
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6
7
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16
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B C D C A ABC 0
题号 8 11 12 13 14 15
答案 (-2，4，1)或 (2，-4，-1) AC D ABD A
9.
答案
1
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(1)如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PA=AB=BC=1，则A(0，0，0)，
B(1，0，0)，P(0，0，1).
因为∠ABC=60°，AB=BC，
所以△ABC为正三角形.
所以CE=
9.
答案
1
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16
设D(0，y1，0)，
=
由AC⊥CD·=0，
即-+=0，
解得y1=则D
9.
答案
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=.
=
·=-×+×=0⊥即AE⊥CD.
9.
(2)方法一　由(1=(1，0，0)=
设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)，
令y=2，则n=(0，2，-.
=
答案
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9.
=n∥n，
所以PD⊥平面ABE.
方法二　由(1==.
·=×+×(-1)=0，
⊥即PD⊥AE.
由(1=(1，0，0)，
答案
1
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9.
·=0，所以PD⊥AB.
又AB∩AE=A，AB，
AE 平面ABE，所以PD⊥平面ABE.
答案
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10.
答案
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设AB=AS=1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，
S(0，0，1)，E.
方法一　连接AC，设AC与BD相交于点O，
连接OE，则O.
=(0，0，1)=
10.
答案
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=
又E AS，所以OE∥AS.
又AS⊥平面ABCD，
所以OE⊥平面ABCD.
又OE 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
10.
答案
1
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方法二　设平面BDE的法向量为n1=(x，y，z).
=(-1，1，0)，=
所以
令x=1，
可得平面BDE的一个法向量为n1=(1，1，0).
因为AS⊥平面ABCD，
10.
答案
1
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所以平面ABCD的一个法向量为n2==(0，0，1).
因为n1·n2=0，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
16.
答案
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(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD，
平面ADEF∩平面ABCD=AD，
AF⊥AD，AF 平面ADEF，
∴AF⊥平面ABCD.
∵AC 平面ABCD，
∴AF⊥AC.
过A作AH⊥BC于H(图略)，
16.
答案
1
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则BH=1，AH=CH=3，
∴AC=2
∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB.
∵AB∩AF=A，AB，
AF 平面FAB，∴AC⊥平面FAB.
∵BF 平面FAB，∴AC⊥BF.
16.
答案
1
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(2)存在.理由如下：
由(1)知，AF，AB，AC两两垂直.以A为坐标原点，
x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，
C(0，20)，E(-12).
假设在线段BE上存在一点P满足题意，
则易知点P不与点B，E=λ，则λ>0，
16.
答案
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P.
设平面PAC的法向量为m=(x，y，z).
=
=(0，20)，得
16.
答案
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x=1，则z=
∴m=PAC的一个法向量.
同理，可求得n=BCEF的一个法向量.
当m·n=0，即λ=平面PAC⊥平面BCEF，
故存在满足题意的点P，=.
基础巩固
1.设l1的一个方向向量为a=(1，3，-2)，l2的一个方向向量为b=(-4，3，m)，若l1⊥l2，则m等于
A.1 B. C. D.3
√
因为l1⊥l2，所以a·b=0，
即1×(-4)+3×3+(-2)×m=0，
所以2m=9-4=5，即m=.
解析
答案
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2.设a，b分别是两条直线a，b的方向向量，α，β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，则“α⊥β”是“a⊥b”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
答案
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a⊥α，b⊥β，则a是平面α的一个法向量，b是平面β的一个法向量，
则由a⊥b得α⊥β，必要性满足，反之若α⊥β，则法向量a⊥b，充分性满足，应是充要条件.
解析
答案
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3.已知n1=(x，2)，n2=(-3-2)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则x等于
A.-7 B.-1 C.1 D.7
√
因为α⊥β，所以n1⊥n2，所以n1·n2=×(-3)+x×+2×(-2)=0，解得x=7.
解析
答案
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4.已知点A(0，1，0)，B(-1，0，-1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为
A.(1，0，-2) B.(1，0，2)
C.(-1，0，2) D.(2，0，-1)
√
答案
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由题意知=(-1，-1，-1)=(2，0，1)=(x，-1，z)，又PA⊥平面ABC，
所以有·=(-1，-1，-1)·(x，-1，z)=0，
得-x+1-z=0. ①
·=(2，0，1)·(x，-1，z)=0，得2x+z=0， ②
联立①②得x=-1，z=2，
故点P的坐标为(-1，0，2).
解析
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于
A.BD B.AC C.A1D D.A1A
√
答案
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以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为1，则C(0，1，0)，B(1，1，0)，
A(1，0，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，E
∴==(-1，1，0)，=(-1，-1，0)
=(-1，0，-1)，=(0，0，-1)，
解析
答案
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16
∵·=(-1)×+(-1)×+0×1=0，
∴CE⊥BD.
又∵·=-1≠0，
·=-≠0·=-1≠0，
∴CE与AC，A1D，A1A均不垂直.
解析
6.(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，若=(2，-1，-4)=(4，2，0)=(-1，2，-1)，则下列结论正确的有
A.AP⊥AB
B.AP⊥AD
C.是平面ABCD的一个法向量
D.∥
√
√
√
答案
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因为·=-2-2+4=0，
所以⊥所以AP⊥AB，A正确；
因为·=-4+4+0=0，
所以⊥所以AP⊥AD，B正确；
因为AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD=A，
AB，AD 平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD，
所以是平面ABCD的一个法向量，C正确；
解析
答案
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=-=(2，3，4)，
设=λ=(-λ，2λ，-λ)，
即此方程组无解，D错误.
解析
7.已知a=(0，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1)分别是平面α，β，γ的一个法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有　　对.
因为a·b=(0，1，1)·(1，1，0)=1≠0，a·c=(0，1，1)·(1，0，1)=1≠0，b·c=(1，1，0)·(1，0，1)=1≠0，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中互相垂直的有0对.
解析
答案
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0
8.在△ABC中，A(1，-2，-1)，B(0，-3，1)，C(2，-2，1).若向量n所在的直线与平面ABC垂直，且|n|=则n的坐标为　　　　 　　　 　.
答案
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(-2，4，1)或(2，-4，-1)
答案
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根据题意，得=(-1，-1，2)，=(1，0，2).
设n=(x，y，z)，∵n与平面ABC垂直，
∴可得
∵|n|=∴=
解得y=4或y=-4.
当y=4时，x=-2，z=1；当y=-4时，x=2，z=-1.
∴n的坐标为(-2，4，1)或(2，-4，-1).
解析
9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点.
(1)求证：AE⊥CD；
答案
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如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PA=AB=BC=1，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，1).
因为∠ABC=60°，AB=BC，所以△ABC为正三角形.
所以CE=
证明
答案
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设D(0，y1，0)，则=
由AC⊥CD得·=0，即-+=0，
解得y1=则D所以=.
又=所以·=-×+×=0，
所以⊥即AE⊥CD.
证明
(2)求证：PD⊥平面ABE.
答案
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方法一　由(1)知=(1，0，0)=
设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)，
则
令y=2，则n=(0，2，-).
又=显然=n，所以∥n，
所以PD⊥平面ABE.
证明
方法二　由(1)知==.
所以·=×+×(-1)=0，
所以⊥即PD⊥AE.
由(1)知=(1，0，0)，所以·=0，所以PD⊥AB.
又AB∩AE=A，AB，AE 平面ABE，所以PD⊥平面ABE.
证明
答案
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10.在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS=AB，E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD.
答案
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设AB=AS=1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，
S(0，0，1)，E.
方法一　连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，
则O.
因为=(0，0，1)=
所以=
证明
答案
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又E AS，所以OE∥AS.
又AS⊥平面ABCD，
所以OE⊥平面ABCD.
又OE 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
证明
答案
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方法二　设平面BDE的法向量为n1=(x，y，z).
因为=(-1，1，0)=
所以
令x=1，
可得平面BDE的一个法向量为n1=(1，1，0).
证明
答案
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因为AS⊥平面ABCD，
所以平面ABCD的一个法向量为
n2==(0，0，1).
因为n1·n2=0，所以平面BDE⊥平面ABCD.
证明
11.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM
A.和AC垂直
B.和AA1垂直
C.和MN垂直
D.和AC，MN都不垂直
√
√
综合运用
答案
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以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).
设正方体的棱长为2a(a>0)，
则M(0，0，a)，A(2a，0，0)，
C(0，2a，0)，O(a，a，0)，
N(0，a，2a)，A1(2a，0，2a).
∴=(-a，-a，a)=(0，a，a)，
=(-2a，2a，0)=(0，0，2a).
解析
答案
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∴·=0·=0，
·=2a2≠0，
∴OM⊥MN，OM⊥AC，OM和AA1显然不垂直.
解析
12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是BD的中点，M是棱AA1上一点，且平面MBD⊥平面OC1D1，则等于
A. B. C. D.1
√
答案
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如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，
则B(1，1，0)，D(0，0，0)，O
D1(0，0，1)，C1(0，1，1)，
设M(1，0，t)，0≤t≤1，
则==
=(1，1，0)=(1，0，t)，
解析
设平面OC1D1的法向量为m=(x，y，z)，则
解得y=0，令z=1，得x=2，则m=(2，0，1)，
设平面MBD的法向量为n=(a，b，c)，
则
令c=1，则a=-t，b=t，故n=(-t，t，1)，
由题意得m·n=(2，0，1)·(-t，t，1)=-2t+1=0，解得t=故=1.
解析
答案
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13.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BC1，CD1的中点，则下列说法正确的是
A.MN与CC1垂直
B.MN与平面ACC1A1垂直
C.MN与DC平行
D.MN与平面BDA1平行
答案
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√
√
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如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设AB=2，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，
M(1，2，1)，N(0，1，1)，
解析
对于A=(-1，-1，0)=(0，0，2)，
则·=0，所以MN⊥CC1，故A正确；
答案
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对于B=(-2，2，0)，则·=0，所以MN⊥AC，又AC∩CC1=C，AC，CC1 平面ACC1A1，所以MN⊥平面ACC1A1，故B正确；
解析
对于C=(0，2，0)，若MN与DC平行，
则存在唯一实数λ，使得=λ所以无解，
所以MN与DC不平行，故C错误；
答案
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对于D=(2，2，0)=(2，0，2)，
设平面BDA1的法向量n=(x，y，z)，
则有
可取n=(1，-1，-1)，
因为·n=-1+1+0=0，且MN 平面BDA1，
所以MN∥平面BDA1，故D正确.
解析
14.已知梯形CEPD如图1所示，其中PD=8，CE=6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图2所示的几何体.已知当点F满足=λ(0<λ<1)时，平面DEF⊥
平面PCE，则λ的值为　　　.
答案
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如图，以A为坐标原点，
AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
∴C(4，4，0)，D(0，4，0)，E(4，0，2)，P(0，0，4)，F(4λ，0，0)，
则=(4，0，-2)=(4，4，-4)，
=(4(λ-1)，0，-2)=(4，-4，2)，
若m=(x，y，z)是平面DEF的一个法向量，
则令z=2，
解析
答案
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可得m=
若n=(a，b，c)是平面PCE的一个法向量，
则令c=2，可得n=(1，1，2)，
由平面DEF⊥平面PCE，得m·n=0，
即++4=0，解得λ=.
解析
15.在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BAC=AB=AC=AA1=1.已知G，E分别为A1B1和CC1的中点，D，F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段DF长度的取值范围为
A. B.
C.[1) D.
拓广探究
√
答案
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建立如图所示的空间直角坐标系，
则EG
设F(x，0，0)，D(0，y，0)且x，y∈(0，1)，
则==
由于GD⊥EF，
所以·=0，即x+2y-1=0，x=1-2y，
解析
答案
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所以||===
又因为x，y∈(0，1)，所以1-2y∈(0，1)，
得y∈所以||∈
即线段DF长度的取值范围为.
解析
16.如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2.
(1)求证：AC⊥BF；
答案
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∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
AF⊥AD，AF 平面ADEF，
∴AF⊥平面ABCD.
∵AC 平面ABCD，
∴AF⊥AC.过A作AH⊥BC于H(图略)，
则BH=1，AH=CH=3，∴AC=2
∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB.
∵AB∩AF=A，AB，AF 平面FAB，∴AC⊥平面FAB.
∵BF 平面FAB，∴AC⊥BF.
证明
答案
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(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
答案
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存在.理由如下：
由(1)知，AF，AB，AC两两垂直.以A为坐标原点，
的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，
C(0，20)，E(-12).
假设在线段BE上存在一点P满足题意，
则易知点P不与点B，E重合，设=λ，
解
答案
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16
则λ>0，P.
设平面PAC的法向量为m=(x，y，z).
由==(0，20)，
得
即令x=1，则z=
解
答案
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16
∴m=为平面PAC的一个法向量.
同理，可求得n=为平面BCEF的
一个法向量.
当m·n=0，即λ=时，平面PAC⊥平面BCEF，
故存在满足题意的点P，此时=.
解
第一章　1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
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