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(共108张PPT)
第1课时
距离问题
第一章　1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题
<<<
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面间的距离问题.(重点)
2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
学习目标
立交桥是伴随着高速公路应运而生的.城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景.在设计过程中，工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离，工程师是如何计算出来的？
导 语
一、点到直线的距离
二、点、直线、平面到平面的距离
课时对点练
随堂演练
内容索引
点到直线的距离
一
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.请找出向量在直线l上的投影向量其模为多少？如何利用这些条件求点P到直线l的距离？
问题1
提示　如图，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u. ||=|(a·u)u|=|a·u|，在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为
PQ==.
点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ==.
在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA1=2，求O1到直线AC的距离.
典例
方法一　连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，
∴=(-2，0，2)=(-2，3，0)，
∴·=(-2，0，2)·(-2，3，0)=4，
取a==(-2，0，2)，u==
∴a·u=
∴O1到直线AC的距离d==.
解
方法二　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，过O1作O1D⊥AC于点D，
设D(x，y，0)，则=(x，y，-2)=(x-2，y，0).
∵=(-2，3，0)⊥∥
∴
∴D∴||==.
即O1到直线AC的距离为.
解
在典例的条件下，M，N分别是O1A1，O1C1的中点，证明：MN∥AC，并求直线MN与AC的距离.
延伸探究 1
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，C(0，3，0)，
M(1，0，2)，N
∴=(-2，3，0)==
∴∥
又MN与AC不重合，
∴MN∥AC，故点M到直线AC的距离即所求距离.
解
直线AC的单位方向向量u===(1，0，-2)，
∴点M到直线AC的距离
d===
所以直线MN与AC的距离为.
解
(1)用向量法求点到直线的距离的一般步骤
①求直线的单位方向向量u.
②计算所求点与直线上某一点所构成的向量a.
③利用公式d=.
(2)如果求空间中两条平行直线l，m间的距离，可在其中一条直线(如l)上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到另一条直线m的距离求解.
反
思
感
悟
二
点、直线、平面到平面的距离
已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.如何利用向量与n求点P到平面α的距离？
问题2
提示　过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，向量在向量n上的投影向量为借助数量积运算可知||=向量的长度与P到平面α的距离相等，故点P到平面α的距离为PQ=.
点到平面的距离
已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ=.
实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.
注 意 点
<<<
在典例的条件下，E，F分别为AB，BC的中点.求点O到平面O1EF的距离.
延伸探究 2
建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，O1(0，0，2)，
EF(1，3，0)，
∴==
设平面O1EF的法向量为n=(x，y，z)，
则
解
取y=2，则x=3，z=∴n=
又=(0，0，2)，
∴点O到平面O1EF的距离为==.
解
　(课本例6)　如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
(1)求点B到直线AC1的距离；
延伸探究 3
以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，EF
所以=(0，1，0)=(-1，1，-1)，
=
=
==.
解
取a==(0，1，0)，u==(-1，1，-1)，
则a2=1，a·u=.
所以，点B到直线AC1的距离为
==.
解
(2)求直线FC到平面AEC1的距离.
因为==所以FC∥EC1，所以FC∥平面AEC1.
所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离.
设平面AEC1的法向量为n=(x，y，z)，
则
所以
取z=1，则x=1，y=2.
解
所以，n=(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量.
又因为=
所以点F到平面AEC1的距离为
==.
即直线FC到平面AEC1的距离为.
解
在典例及延伸探究1，2的条件下，证明：MN∥平面O1EF，并求直线MN到平面O1EF的距离.
延伸探究 3
建立如图所示的空间直角坐标系，
易知MN∥AC，AC∥EF，
∴MN∥EF，
又MN 平面O1EF，EF 平面O1EF，
∴MN∥平面O1EF，
∴点M到平面O1EF的距离即所求距离.
由延伸探究2知，平面O1EF的一个法向量为n=
=(-1，0，0)，
解
∴点M到平面O1EF的距离为
==
故直线MN到平面O1EF的距离为.
解
在典例及延伸探究1，2的条件下，证明平面BMN∥平面O1EF，并求两平面的距离.
延伸探究 4
建立如图所示的空间直角坐标系，
则M(1，0，2)，N
B(2，3，0)，
∴==(-1，-3，2)，
设平面BMN的法向量为m=(a，b，c)，
则
取b=2，则a=3，c=
解
∴m==n，
∴平面BMN∥平面O1EF，
∴点M到平面O1EF的距离与两平面的距离相等，
由延伸探究3知，所求距离为.
解
(1)用向量法求点面距离的步骤
①建系：建立恰当的空间直角坐标系.
②求点坐标：写出(求出)相关点的坐标.
③求向量：求出相关向量的坐标(α内两不共线向量，平面α的法向量n).
④求距离d=.
反
思
感
悟
(2)如果直线l∥平面α，求直线l到平面α的距离，可在直线l上任取一点P，则点P到平面α的距离等于直线l到平面α的距离.
(3)如果两个平面α，β互相平行，求这两个平行平面的距离，可在其中一个平面α内任取一点P，则点P到平面β的距离等于这两个平行平面的距离.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)点到直线的距离.
(2)点到平面的距离与直线到平面的距离和两个平行平面的距离的转化.
2.方法归纳：数形结合、转化法.
3.常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用.对公式推导过程的理解是应用的基础.
随堂演练
三
1
2
3
4
1.已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为
A. B.1 C. D.2
√
∵A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，
=(1，0，0)=(-1，2，-2)，
∴点A到直线BC的距离为d===.
解析
1
2
3
4
2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是
A. B. C. D.
√
1
2
3
4
以P为坐标原点，分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，0)，A(1，0，0)，
B(0，1，0)，C(0，0，1).
可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1，1，1)，
则点P到平面ABC的距离为d==.
解析
1
2
3
4
3.已知棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为
A. B. C. D.
√
1
2
3
4
建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，0)，
C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(1，0，1)，
所以 =(1，0，-1)，
=(0，1，-1)，
=(-1，0，0)，
设平面 A1C1D 的一个法向量为m=(x，y，1)，
解析
1
2
3
4
则
解得
故m=(1，1，1)，
显然平面AB1C∥平面A1C1D，
所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d===.
解析
1
2
3
4
4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C1到平面ACD1的距离
为　　　.
1
2
3
4
以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，
A1(1，0，1)，
解析
所以=(-1，1，0)=(-1，0，1)=(0，0，1)，
设n=(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则
1
2
3
4
令x=1，则n=(1，1，1).
直线A1C1到平面ACD1的距离即点A1到平面ACD1的距离，故d===.
解析
课时对点练
四
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C D A AD
题号 11 12 13 14 　15 答案 C D 　C
对一对
答案
1
2
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5
6
7
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9.
答案
1
2
3
4
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(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，
M(2，0，1)，C1(0，2，2)，
直线AC1的一个单位方向向量为
u==(2，0，1)，
故点M到直线AC1的距离d===.
9.
答案
1
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4
5
6
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(2)设平面MA1C1的法向量为n=(x，y，z)，
取x=1，得z=2，
故n=(1，0，2)为平面MA1C1的一个法向量，
因为N(1，1，0)，=(-1，1，-1)，
故N到平面MA1C1的距离d===.
10.
答案
1
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建立如图所示的空间直角坐标系，
则B1(1，1，1)，EF
C1(0，1，1)，A(1，0，0).
(1==
∥即AE∥FC1，
所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离.
10.
答案
1
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取u==
=.
=·u=
所以直线FC1到直线AE的距离为=.
10.
答案
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(2)因为AE∥FC1，所以FC1∥平面AB1E，
所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到
平面AB1E的距离.
=(1，0，0)=(0，1，1)，
设平面AB1E的法向量为n=(x，y，z
10.
答案
1
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取z=2，可得n=(1，-2，2)，
所以C1到平面AB1E=
所以直线FC1到平面AB1E.
16.
答案
1
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假设存在点E满足题意.以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，1)，
B(0，2，0)，=(0，0，2)，=(2，-2，2).
=λλ∈(0，1)，
则E(2λ，2(1-λ)，2λ)，
=(-2，0，1)，=(2(λ-1)，2(1-λ)，2λ)，
16.
答案
1
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4
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设n=(x，y，z)为平面AED的法向量，
取x=1，则y=z=2，
即n=AED的一个法向量.
16.
答案
1
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因为点A1到平面AED的距离d==
=
又λ∈(0，1)，
所以λ=.
故存在点E，且当点E为A1B的中点时，点A1到平面AED.
基础巩固
1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=a，AA1=2a，则点D1到直线AC的距离为
A.a B. C. D.
√
答案
1
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3
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6
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答案
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方法一　连接BD，AC交于点O(图略)，
则D1O==为所求.
方法二　如图建立空间直角坐标系，
易得C(a，a，0)，D1(0，a，2a)，
取a==(-a，0，2a)，u==
则点D1到直线AC的距离为==.
解析
2.两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n=(-1，0，1)，则两平面间的距离是
A. B. C. D.3
√
答案
1
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3
4
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∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)=(2，1，1)，且两平面的一个法向量n=(-1，0，1)，
∴两平面间的距离d===.
解析
3.如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=5，AB=12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是
A.5 B.8
C. D.
√
答案
1
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答案
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以D为坐标原点的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0，12，0)，D1(0，0，5).
设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0).
设平面A1BCD1的法向量为n=(a，b，c)，
由n⊥n⊥
得n·=(a，b，c)·(-x，0，0)=-ax=0，
解析
答案
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n·=(a，b，c)·(0，-12，5)=-12b+5c=0，
所以a=0，b=c，
所以可取n=(0，5，12).
又=(0，0，-5)，所以点B1到平面A1BCD1的距离为=.
因为B1C1∥平面A1BCD1，
所以B1C1到平面A1BCD1的距离为.
解析
4.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于
A. B.
C. D.
√
答案
1
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以D1为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则B1(2，2，0)，C1(0，2，0)，
E(2，1，2)，F(1，2，2).
=(0，-1，2)=(-1，0，2)，
设平面B1EF的法向量为n=(x，y，z)，
则
解析
答案
1
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令z=1，得n=(2，2，1).
又∵=(-2，0，0)，
∴点C1到平面B1EF的距离
d===.
解析
5.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，G为线段DD1上的点，且DG=DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则直线A1D1到平面EFGH的距离为
A. B.
C. D.
√
答案
1
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以点D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则EFG
D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，
∴=(-1，0，0)=
=(-1，0，0)，则=∴∥.
解析
答案
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又∵EF 平面EFGH，A1D1 平面EFGH，
∴A1D1∥平面EFGH.
∴A1D1到平面EFGH的距离，
即为点D1到平面EFGH的距离.
设平面EFGH的法向量为n=(x，y，z)，
则
解析
答案
1
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令z=6，则y=-1，∴n=(0，-1，6)，
又∵=
∴点D1到平面EFGH的距离d==
∴直线A1D1到平面EFGH的距离为.
解析
6.(多选)已知平面α的一个法向量为n=(-1，-2，2)，点A(x2，2x+1，2)为平面α内一点，若点P(0，1，2)到平面α的距离为4，则x的值为
A.2 B.1 C.-3 D.-6
√
答案
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√
因为=(0，1，2)-(x2，2x+1，2)=(-x2，-2x，0)，n=(-1，-2，2)，
所以·n=x2+4x，|n|==3，
所以点P到平面α的距离为d===4，解得x=2或x=-6.
解析
7.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB=3，
AD=4，PA=1，则P到BD的距离为　　　.
答案
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答案
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5
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如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，
所以=(3，0，-1)，=(-3，4，0)，
取a==(3，0，-1)，
u==
则a2=10，a·u=-
所以点P到BD的距离为==.
解析
8.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，
则直线BD到平面EFD1B1的距离为　 　.
答案
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如图建立空间直角坐标系，则B(1，1，0)，EB1(1，1，1)，D1(0，0，1)，
所以==(-1，-1，0)=
设平面EFD1B1的法向量为n=(x，y，z)，
则
解析
答案
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令z=1，则n=(-2，2，1)，因为BD∥B1D1，BD 平面EFD1B1，B1D1 平面EFD1B1，所以BD∥平面EFD1B1，所以直线BD到平面EFD1B1的距离即为点B到平面EFD1B1的距离，所以直线BD到平面EFD1B1的距离为d=
==.
解析
9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，M为BB1的中点，N为BC的中点.
(1)求点M到直线AC1的距离；
答案
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建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，
M(2，0，1)，C1(0，2，2)，
直线AC1的一个单位方向向量为u=
=(2，0，1)，
故点M到直线AC1的距离d===.
解
(2)求点N到平面MA1C1的距离.
答案
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设平面MA1C1的法向量为n=(x，y，z)，
则
取x=1，得z=2，
故n=(1，0，2)为平面MA1C1的一个法向量，
因为N(1，1，0)，
所以=(-1，1，-1)，
故N到平面MA1C1的距离d===.
解
10.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.
(1)求直线FC1到直线AE的距离；
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建立如图所示的空间直角坐标系，
则B1(1，1，1)，EF
C1(0，1，1)，A(1，0，0).
因为=
=
所以∥即AE∥FC1，
所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离.
解
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取u==
又=.
所以=·u=
所以直线FC1到直线AE的距离为=.
解
(2)求直线FC1到平面AB1E的距离.
答案
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因为AE∥FC1，所以FC1∥平面AB1E，
所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到平面AB1E的距离.
=(1，0，0)=(0，1，1)，
设平面AB1E的法向量为n=(x，y，z)，
则即
取z=2，可得n=(1，-2，2)，
解
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所以C1到平面AB1E的距离为=
所以直线FC1到平面AB1E的距离为.
解
11.如图，ABCD-EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足=++则P到AB的距离为
A. B.
C. D.
√
综合运用
答案
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如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
可作为x，y，z轴方向上的单位向量，
因为=++
所以==(1，0，0)，=
所以P点到AB的距离d===.
解析
12.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M=λ(0<λ<2)，设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为
A.λ B.
C.λ D.
√
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以D为原点，DA所在直线为x轴，
DC所在直线为y轴，
DD1所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系(图略)，
则M(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，
=(-2，0，1)=(0，2，0)=(0，λ，1).
设平面D1EF的法向量为n=(x，y，z)，
解析
答案
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则
取x=1，得n=(1，0，2)，
所以点M到平面D1EF的距离为d===.
因为N为EM的中点，
所以N到平面D1EF的距离为.
解析
13.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”，如图.已知在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为　　　　.
答案
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以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，
如图，则B(0，0，0)，A(2，0，0)，P(2，0，2)，C(0，2，0)，
由M为PC的中点可得M(1，1，1).
=(1，1，1)，
=(2，0，0)=(2，0，2).
设n=(x，y，z)为平面MAB的法向量，
解析
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则
即
令z=-1，可得n=(0，1，-1)，
点P到平面MAB的距离为d==.
解析
14.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，则线段AB1上的动
点P到直线BC1的距离的最小值为　　　.
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如图，在平面ABC内过点A作Ay⊥AB，
显然射线AB，Ay，AA1两两垂直，
以点A为原点，射线AB，Ay，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
因为正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，
解析
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C1
所以=(1，0，1)=
答案
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因为动点P在线段AB1上，
则令=t=(t，0，t)，0≤t≤1，
即有点P(t，0，t)，所以=(t-1，0，t)，
则||2=(t-1)2+t2=2t2-2t+1，
从而=(t+1)，
解析
答案
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因此点P到直线BC1的距离d=
=
==≥
当且仅当t=时取等号，
所以线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为.
解析
15.如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC=∠FAB=90°，则四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离为
A. B.
C. D.
拓广探究
√
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该几何体的直观图如图所示，
分别取AD，BC的中点O，M，连接OM，PM，PO，
∵PO=1，OM=2，
PM===
∴OP2+OM2=PM2，∴OP⊥OM，
又∵PO⊥AD，
∴由线面垂直的判定定理得出PO⊥平面ABCD，
以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系.
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则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(-1，2，0)，
D(-1，0，0)，P(0，0，1)，
=(1，2，-1)=(-1，2，-1)，
设四棱锥P-ABCD外接球的球心为N(0，1，a)，
∵PN=NA，
∴(-1)2+(1-a)2=1+(-1)2+(-a)2，
解得a=0.
∴=(0，-1，1)，
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设平面PBC的法向量为n=(x，y，z)，
则
取z=2，则n=(0，1，2)，
则四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离为
d====.
解析
16.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，CA=2，侧棱AA1=2，D是CC1的中点，则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1，B两点)，使得点A1到平面AED的距离为？
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假设存在点E满足题意.以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(2，0，0)，A1(2，0，2)，
D(0，0，1)，B(0，2，0)，
=(0，0，2)=(2，-2，2).
设=λλ∈(0，1)，
则E(2λ，2(1-λ)，2λ)，=(-2，0，1)，
=(2(λ-1)，2(1-λ)，2λ)，
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设n=(x，y，z)为平面AED的法向量，
则
即
取x=1，则y=z=2，
即n=为平面AED的一个法向量.
解
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因为点A1到平面AED的距离d==
所以=
又λ∈(0，1)，所以λ=.
故存在点E，且当点E为A1B的中点时，
点A1到平面AED的距离为.
解
第一章　1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题
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