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(共75张PPT)
2.1.1
倾斜角与斜率
第二章　 §2.1　直线的倾斜角与斜率
<<<
1.了解直线的倾斜角和斜率的概念(重点).
2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.
3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率(重点).
学习目标
交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k==.若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？本节课我们就来学习一下.
导 语
一、直线的倾斜角
二、直线的斜率
课时对点练
三、倾斜角和斜率的应用
随堂演练
内容索引
直线的倾斜角
一
提示　两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.
在平面中，怎样才能确定一条直线？
问题1
提示　直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同.
在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？
问题2
1.倾斜角的定义：
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴 与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 .
2.倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为 .
正向
0°
0°≤α<180°
(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角；未作旋转时，倾斜角为0°.
(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度.
(3)一条直线的倾斜角必存在且唯一.
注 意 点
<<<
(1)(多选)下列命题中，正确的是
A.任意一条直线都有唯一的倾斜角
B.一条直线的倾斜角可以为-30°
C.倾斜角为0°的直线有无数条
D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1)
√
例 1
任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A正确；
倾斜角不可能为负，故B错误；
倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，故C正确；
当α=0°时，sin α=0；当α=90°时，sin α=1，故D错误.
解析
√
(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为
A.α+45° B.α-135°
C.135°-α D.α-45°
√
√
根据题意，画出图形，如图所示.
通过图象可知，
当0°≤α<135°时，
l1的倾斜角为α+45°；
当135°≤α<180°时，
l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.
解析
直线倾斜角的概念和范围
(1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
(2)注意倾斜角的范围.
反
思
感
悟
　(1)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为　　　 　.
跟踪训练 1
60°或120°
有两种情况：①如图(1)，
直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，
即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
解析
(1)　　　　(2)
(2)已知直线l1的倾斜角α1=15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为　　　　.
135°
设直线l2的倾斜角为α2，
l1和l2向上的方向所成的角为120°，
所以∠BAC=120°，所以α2=120°+α1=135°.
解析
二
直线的斜率
提示　tan α==.
在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.
(1)已知直线l经过O(0，0)，P(1)，α的正切与O，P的坐标有什么关系？
问题3
提示　tan α==1-.
(2)类似地，如果直线l经过P1(-1，1)，P2(0)，α的正切与P1，P2的坐标有什么关系？
问题3
提示　tan α=.
(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α的正切与P1，P2的坐标有什么关系？
问题3
1.把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k= .
2. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k= ，
当x1=x2时，直线P1P2的斜率不存在.
正切值
tan α
3.直线的方向向量与斜率的关系：
(1)直线P1P2的方向向量=(x2-x1，y2-y1)，当x1≠x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为=(1，k)，其中k为直线P1P2的斜率.
(2)当x1=x2时，直线P1P2与x轴垂直，直线没有斜率，其一个方向向量为(0，1).
(1)当x1=x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°.
(2)当y1=y2时，直线斜率为0，倾斜角为0°.
(3)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关.
(4)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换.
(5)直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k=.
注 意 点
<<<
(课本例1)　如图，已知A(3，2)，B(-4，1)，C(0，-1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
例 2
直线AB的斜率kAB==；
直线BC的斜率kBC===-；
直线CA的斜率kCA===1.
由kAB>0及kCA>0可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；
由kBC<0可知，直线BC的倾斜角为钝角.
解
经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.
(1)A(2，3)，B(4，5)；
例 2
存在.直线AB的斜率kAB==1，
则直线AB的倾斜角α满足tan α=1，
又0°≤α<180°，
所以倾斜角α=45°.
解
(2)P(-3，1)，Q(-3，10)；
不存在.因为xP=xQ=-3，
所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α=90°.
解
(3)M(2，4)，N(-3，4).
存在.因为yM=yN=4，
所以直线MN的斜率为0，倾斜角α=0°.
解
求直线的斜率的两种方法
(1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k=tan α.
(2)利用斜率公式：k=(x1≠x2).
反
思
感
悟
(1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为　　　.
(2)若过点P(-2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为　　.
跟踪训练 2
由斜率公式k==1，得m=1.
解析
-
1
(3)已知直线l的方向向量的坐标为(1)，则直线l的倾斜角为　　　.
设直线l的斜率为k，
则k=所以直线的倾斜角为.
解析
倾斜角和斜率的应用
三
提示　当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大.
当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？
问题4
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k的范围 k=0 _____ 不存在 _____
k的增减性 随α的增大而_____ 随α的增大而_____
k>0
k<0
增大
增大
已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
例 3
如图，由题意可知kPA==-1，kPB==1.
要使直线l与线段AB有公共点，
则直线l的斜率k的取值范围是(-∞，-1]∪[1，+∞).
解
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，
所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
解
倾斜角和斜率的应用
(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.
(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.
反
思
感
悟
已知A(3，3)，B(-4，2)，C(0，-2).
(1)求直线AB和AC的斜率；
跟踪训练 3
由斜率公式可得直线AB的斜率kAB==.
直线AC的斜率kAC==.
故直线AB的斜率为直线AC的斜率为.
解
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围.
如图所示，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.
解
1.知识清单：
(1)直线的倾斜角及其范围.
(2)直线斜率的定义和斜率公式.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)下列说法正确的是
A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B.若k是直线的斜率，则k∈R
C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
√
√
√
1
2
3
4
2.若经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于
A.2 B.1 C.-1 D.-2
√
由题意知，tan 45°=得m=2.
解析
1
2
3
4
3.已知A(-1，-2)，B(2，1)，C(x，2)三点共线，则x=　　　，直线AB的倾
斜角为　　　.
因为A(-1，-2)，B(2，1)，C(x，2)三点共线，所以kAB=kBC，
即=解得x=3，
设直线AB的倾斜角为θ，
由tan θ=1得θ=所以直线AB的倾斜角为.
解析
3
1
2
3
4
4.经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是　　 　　 .
(其中m≥1)
当m=1时，倾斜角α=90°；
当m>1时，tan α=>0，
∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.
解析
0°<α≤90°
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B AC D A C -2
题号 11 12 13 14 　15 答案 B A B 　B
对一对
答案
1
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9.
答案
1
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(1)若直线l与x轴平行，
则直线l的斜率k==0，∴m=1.
(2)若直线l与y轴平行，
则直线l的斜率不存在，∴m=-1.
(3)直线l的一个方向向量的坐标为(3，1)，故k=
=解得m=.
9.
答案
1
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(4)由题意可知，直线l的斜率k=1，
=1，解得m=0.
(5)由题意可知，直线l的斜率k>0，
>0，解得-110.
答案
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在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD=60°，所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，所以kOD=kBC=tan 60°=.
因为CD∥OB，且OB在x轴上，
所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以kOB=kCD=0，
由菱形的性质，知∠COB=30°，∠OBD=60°，所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，
所以kOC=tan 30°=kBD=tan 120°=-.
16.
答案
1
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M(x，y)，N(2，1)两点的直线的斜率.因为点M在函数x+2y=6的图象上，
且1≤x≤3，所以可设该线段为AB，
且AB
又kNA=-kNB=
∪.
基础巩固
1.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是
A.(4，2)与(-4，1) B.(0，3)与(3，0)
C.(3，-1)与(2，-1) D.(-2，2)与(-2，5)
√
D项，因为x1=x2=-2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在.
解析
答案
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2.已知点A(1)，B(33)，则直线AB的倾斜角θ是
A.60° B.30° C.120° D.150°
√
答案
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kAB==
∴tan θ=且0°≤θ<180°，
∴θ=30°.
解析
3.(多选)已知点A(2，-1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标可以为
A.(3，0) B.(-3，0)
C.(0，-3) D.(0，3)
√
设在x轴上点P的坐标为(m，0)或在y轴上点P的坐标为(0，n)，因为直线PA的倾斜角为45°，可得kPA=1，得==1，
解得m=3，n=-3，故点P的坐标为(3，0)或(0，-3).
解析
答案
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√
4.下列可作为斜率k=-的直线的方向向量的是
A.(2，3) B.(3，2)
C.(-3，-2) D.(-3，2)
√
斜率为k=-的直线的一个方向向量为a=所以与a共线的非零向量都可以作为该直线的方向向量.经验证D中向量与共线.
解析
答案
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5.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则
A.k1B.k3C.k1D.k3√
答案
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答案
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设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，
则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°，
所以tan α1<0，tan α2>tan α3>0，
即k1<0，k2>k3>0.
解析
6.若某直线的斜率k∈(-∞]，则该直线的倾斜角α的取值范围是
A. B.
C.∪ D.
√
答案
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∵直线的斜率k∈(-∞]，
∴k≤tan
∴该直线的倾斜角α的取值范围是∪.
解析
7.已知直线l经过(1，0)，(2)两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三
倍，则直线m的倾斜角是　　　.
由直线l经过(1，0)，(2)两点，
则直线l的斜率k1==
设直线m的倾斜角为α，所以直线m的斜率k2=tan α=
因为0≤α<π，所以α=.
解析
答案
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8.若点P(3，m)在过点A(2，-1)，B(-3，4)的直线上，则m=　　　.
由点P(3，m)在过点A(2，-1)和B(-3，4)的直线上，
可得=即==-1，解得m=-2.
解析
答案
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-2
9.已知直线l经过两点A(-1，m)，B(m，1)，问：当m取何值时：
(1)直线l与x轴平行？
若直线l与x轴平行，
则直线l的斜率k==0，
∴m=1.
解
答案
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(2)直线l与y轴平行？
若直线l与y轴平行，
则直线l的斜率不存在，
∴m=-1.
解
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(3)直线l的一个方向向量的坐标为(3，1).
直线l的一个方向向量的坐标为(3，1)，
故k=即=解得m=.
解
答案
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(4)直线的倾斜角为45°？
由题意可知，直线l的斜率k=1，
即=1，解得m=0.
解
答案
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(5)直线的倾斜角为锐角？
由题意可知，直线l的斜率k>0，
即>0，解得-1解
答案
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10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD=60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.
答案
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在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD=60°，
所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，
所以kOD=kBC=tan 60°=.
因为CD∥OB，且OB在x轴上，
所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以kOB=kCD=0，
由菱形的性质，知∠COB=30°，∠OBD=60°，
所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，
所以kOC=tan 30°=kBD=tan 120°=-.
解
11.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是
A.-2 B.-1 C.1 D.2
√
综合运用
答案
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设A(a，b)是直线l上任意一点，
则平移后得到点A'(a-2，b+2)，
于是直线l的斜率k=kAA'==-1.
解析
12.已知点A(2，3)，B(-3，-2)，若直线l过点P(1，1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是
A. B.
C. D.{k|k<2}
√
答案
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∵kAP==2，
kBP==如图，
又直线l与线段AB始终没有交点，
∴斜率k的取值范围是.
解析
13.过点A(2，1)，B(m，3)的直线的倾斜角α的取值范围是则实数m的取值范围是
A.(0，2] B.(0，4)
C.[2，4) D.(0，2)∪(2，4)
答案
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答案
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由直线的倾斜角α的取值范围是
得直线的斜率存在时，k<-1或k>1.
当m≠2时，k==
∴<-1或>1，
解得0当直线的斜率不存在时，m=2符合题意.
综上，实数m的取值范围是(0，4).
解析
14.若A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则+的值为　　　.
答案
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∵A，B，C三点共线，∴kAB=kAC，
即=即ab=2a+2b，
两边同除以ab，得1=+即+=.
解析
15.已知f(x)=log2(x+1)，且a>b>c>0，则的大小关系是
A.>> B.>>
C.>> D.>>
拓广探究
√
答案
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因为表示经过点O(0，0)和点A(x，f(x))的直线的斜率，所以的几何意义可以表示为3个斜率，作函数f(x)=log2(x+1)的图象，如图所示.
因为a>b>c>0，在函数图象上找到对应点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))，将这三点与坐标原点O相连，如图所示，可得>>.
解析
答案
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16.已知实数x，y满足方程x+2y=6，当1≤x≤3时，求的取值范围.
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的几何意义是过M(x，y)，N(2，1)两点的直线的斜率.因为点M在函数x+2y=6的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB，
且AB又kNA=-kNB=
所以∪.
解
第二章　 §2.1　直线的倾斜角与斜率
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