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(共86张PPT)
2.1.2
两条直线平行和垂直的判定
第二章　 §2.1　直线的倾斜角与斜率
<<<
1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.(重点)
2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.(难点)
学习目标
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？本节课我们就来研究一下.
导 语
一、两条直线平行的判定
二、两条直线垂直的判定
课时对点练
三、平行与垂直的综合应用
随堂演练
内容索引
两条直线平行的判定
一
提示　两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补.
在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？
问题1
提示　两直线平行，倾斜角相等.
平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？
问题2
对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2 .
k1=k2
(1)若没有特别说明，说“两条直线l1，l2”时，指两条不重合的直线.
(2)l1∥l2 k1=k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合.
(3)k1=k2 l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在).
(4)l1∥l2 k1=k2或两条直线的斜率都不存在.
注 意 点
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(课本例2)　已知A(2，3)，B(-4，0)，P(-3，1)，Q(-1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论.
例 1
如图，由已知可得直线BA的斜率kBA==
直线PQ的斜率kPQ==.
因为kBA=kPQ，
所以直线AB∥PQ.
解
(课本例3)　已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，-1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
例 1
如图，由已知可得AB边所在直线的斜率kAB=-
CD边所在直线的斜率kCD=-
BC边所在直线的斜率kBC=
DA边所在直线的斜率kDA=.
因为kAB=kCD，kBC=kDA，所以AB∥CD，BC∥DA.
因此四边形ABCD是平行四边形.
解
判断下列各题中的直线l1与l2是否平行：
(1)l1经过点A(-1，-2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(-1，-1)；
例 1
k1==1，k2==
k1≠k2，l1与l2不平行.
解
(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1，1)，B(2，2)；
k1=1，k2==1，k1=k2，
故l1∥l2或l1与l2重合.
解
(3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(-1，3)，N(2，0)；
k1==-1，k2==-1，
则有k1=k2.
又kAM==-2≠-1，
则A，B，M三点不共线.故l1∥l2.
解
(4)l1经过点A(-3，2)，B(-3，10)，l2经过点M(5，-2)，N(5，5).
由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2.
解
已知A(-2，m)，B(m，4)，M(m+2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为　　　 .
延伸探究
0或1
当m=-2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；当m=-1时，直线MN的斜率不存在，
而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；
当m≠-2，且m≠-1时，kAB==kMN==.
因为AB∥MN，所以kAB=kMN，
即=解得m=0或m=1.
当m=0或1时，经检验，两直线不重合.
综上，m的值为0或1.
解析
判断两条不重合的直线是否平行的方法
反
思
感
悟
二
两条直线垂直的判定
提示　k1·k2=-1.
平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a=(1，k1)，b=(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？
问题3
对应 关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2 k1·k2=-1 l1与l2中的一条斜率 ，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2
图示
不存在
(1)l1⊥l2 k1k2=-1成立的条件是两条直线的斜率都存在.
(2)当直线l1⊥l2时，有k1k2=-1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2=-1，则一定有l1⊥l2.
(3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1=-.
注 意 点
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　(课本例4)　已知A(-6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，-6)，试判断直线AB与PQ的位置关系.
例 2
直线AB的斜率kAB=
直线PQ的斜率kPQ=-.
因为kABkPQ=×=-1，
所以直线AB⊥PQ.
解
(课本例5)　已知A(5，-1)，B(1，1)，C(2，3)三点，试判断△ABC的形状.
例 2
边AB所在直线的斜率kAB=-
边BC所在直线的斜率kBC=2.
由kABkBC=-1，得AB⊥BC，
即∠ABC=90°.
所以△ABC是直角三角形.
解
　已知△ABC的顶点为A(5，-1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值.
例 2
若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB=-1，
即·=-1，解得m=-7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC=-1，
即·=-1，解得m=3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，
∴kAC·kBC=-1，
即·=-1，解得m=±2.
综上所述，m=-7或m=3或m=±2.
解
判断两条直线是否垂直的方法
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
反
思
感
悟
　(多选)下列各对直线互相垂直的是
A.l1过点M(1，1)，N(1，2)，l2过点P(1，5)，Q(3，5)
B.l1的斜率为-l2过点P(1，1)，Q
C.l1的倾斜角为30°，l2过点P(3)，Q(4，2)
D.l1过点M(1，0)，N(4，-5)，l2过点P(-6，0)，Q(-1，3)
跟踪训练 1
√
√
√
A中，l1与x轴垂直，l2与x轴平行，故两直线垂直；
B中，l2过点P(1，1)，Q
kPQ=故两条直线垂直.
C中，kPQ=故l1不与l2垂直.
D中，l1过点M(1，0)，N(4，-5)，kMN=- ，
l2过点P(-6，0)，Q(-1，3)，
kPQ=故两条直线垂直.
解析
平行与垂直的综合应用
三
　已知A(-4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(-3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状.
例 3
A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图，
由斜率公式可得
kAB==kCD==kAD==-3，
kBC==-∴kAB=kCD，
由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD.
由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行.
又kAB·kAD=×(-3)=-1，
∴AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形.
解
利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
反
思
感
悟
已知点A(0，3)，B(-1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列).
跟踪训练 2
设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，
由于kAB=3，kBC=0，
∴kAB·kBC=0≠-1，即AB与BC不垂直，
故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰.
(1)若CD是直角梯形的直角腰，
则BC⊥CD，AD⊥CD，
∵kBC=0，∴CD的斜率不存在，从而有x=3.
又kAD=kBC，∴=0，即y=3，
此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为(3，3).
解
(2)若AD是直角梯形的直角腰，
则AD⊥AB，AD⊥CD，
∵kAD=kCD=
∴解得x=y=
∴D点坐标为.
综上，D点坐标为(3，3)或.
解
1.知识清单：
(1)两直线平行的判定.
(2)两直线垂直的判定.
(3)两直线平行、垂直的应用.
2.方法归纳：分类讨论、数形结合.
3.常见误区：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.若过点P(3，2m)和点Q(-m，2)的直线与过点M(2，-1)和点N(-3，4)的直线平行，则m的值是
A. B.- C.2 D.-2
√
由题意知，直线PQ的斜率存在，
由kPQ=kMN，即=
得m=-.经检验知，m=-符合题意.
解析
1
2
3
4
2.(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为
A. B.- C.a D.不存在
√
当a≠0时，由k1·k2=-1知，k2=-
当a=0时，l2的斜率不存在.
解析
√
1
2
3
4
3.已知两点M(2，2)和N(5，-2)，点P在x轴上，且∠MPN为直角，则点P的坐标为
A.(1，0) B.(6，0)
C.(1，0)或(6，0) D.不存在
√
1
2
3
4
设P点坐标为(x0，0)，
则kPM=kPN=
由于∠MPN=90°，故kPM·kPN=-1，
即·=-1，
解得x0=1或x0=6，
故P点坐标为(1，0)或(6，0).
解析
1
2
3
4
4.若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(-2，-1)，Q(3，-6)，则直线l1与l2的位置关系是　 　　.
直线l1的倾斜角为135°，
故斜率=tan 135°=-1.
由l2经过点P(-2，-1)，Q(3，-6)，
得==-1，所以=
所以直线l1与l2平行或重合.
解析
平行或重合
课时对点练
五
对一对
答案
1
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3
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5
6
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8
9
10
11
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14
15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D AC AC ABD -5 2　-
题号 11 12 13 14 　15 答案 A D 3+2 　4+
9.
答案
1
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3
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16
(1)直线l1的斜率不存在，
直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2.
(2)由题意，知直线l2的斜率k2一定存在，直线l1的斜率可能不存在.
当直线l1的斜率不存在时，3=a-2，
即a=5，此时k2=0，
则l1⊥l2，满足题意.
当直线l1的斜率k1存在时，a≠5，
由斜率公式，
9.
答案
1
2
3
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16
得k1==
k2==.
由l1⊥l2，知k1k2=-1，
·=-1，
解得a=0.
综上所述，a的值为0或5.
10.
答案
1
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16
(1)设点D坐标为(a，b)，
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以kAB=kCD，kAD=kBC，
所以D(-1，6).
10.
答案
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16
(2)因为kAC==1，
kBD==-1，
所以kAC·kBD=-1，所以AC⊥BD，所以 ABCD为菱形.
16.
答案
1
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16
(1)设Q(x，y)，由已知得kMN=3，
由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN=-1，
×3=-1. ①
由已知得kPN=-2，
由PN∥MQ，可得kPN=kMQ，
=-2. ②
联立①②求解得x=0，y=1，即Q(0，1).
16.
答案
1
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(2)设Q(x，0)，
∵∠NQP=∠NPQ，∴kNQ=-kNP.
又∵kNQ=kNP=-2，
∴=2，即x=1，∴Q(1，0).
又∵M(1，-1)，∴MQ⊥x轴，
故直线MQ的倾斜角为90°.
基础巩固
1.下列说法正确的是
A.平行的两条直线的斜率一定存在且相等
B.平行的两条直线的倾斜角一定相等
C.垂直的两条直线的斜率之积为-1
D.只有斜率相等的两条直线才一定平行
√
答案
1
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因为当两条直线的倾斜角为90°时，两条直线平行，但是没有斜率，故A不正确；
平行的两条直线的倾斜角一定相等，故B正确；
垂直的两条直线的斜率存在时，斜率之积为-1，当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，两直线也垂直，故C不正确；
斜率不存在的两条直线也能够平行，故D不正确.
解析
2.直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为
A.- B. C.- D.
√
答案
1
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3
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如图，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥l2，
则l2的倾斜角等于30°+90°=120°，
∴l2的斜率为tan 120°=-tan 60°=-.
解析
3.已知点A(-2，2)，B(6，4)，H(5，2)，H是△ABC的垂心.则点C的坐标为
A.(6，2) B.(-2，2)
C.(-4，-2) D.(6，-2)
√
答案
1
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设C点坐标为(x，y)，直线AH的斜率kAH==0，
∵BC⊥AH，而点B的横坐标为6，则x=6，
直线BH的斜率kBH==2，
∴直线AC的斜率kAC==-∴y=-2，
∴点C的坐标为(6，-2).
解析
4.(多选)已知经过点A(3，n)，B(5，m)的直线l1与经过点P(-m，0)，Q(0，n2)(mn≠0)的直线l2平行，则m，n的关系为
A.m=-n B.m=n
C.m=2n D.m=-2n
√
由题意得==因为l1∥l2，所以=即=化简得m2-mn-2n2=0，所以m=-n或m=2n.
解析
答案
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16
√
5.(多选)以A(-1，1)，B(2，-1)，C(1，4)为顶点的三角形，下列结论正确的有
A.kAB=-
B.kBC=-
C.该三角形是以A点为直角顶点的直角三角形
D.该三角形是以B点为直角顶点的直角三角形
√
答案
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√
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对于A，因为A(-1，1)，B(2，-1)，所以kAB==-所以A正确；
对于B，因为B(2，-1)，C(1，4)，所以kBC==-5≠-所以B错误；
对于C，因为kAB=-kAC==所以kAB·kAC=-×=-1，
所以AB⊥AC，所以△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形，所以C正确；
对于D，因为kAB=-kBC=-5，所以kAB·kBC≠-1，所以D错误.
解析
6.(多选)设平面内四点P(-4，2)，Q(6，-4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论正确的是
A.PQ∥SR B.PQ⊥PS
C.PS∥QS D.PR⊥QS
√
√
√
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由斜率公式知，
kPQ==-kSR==-kPS==kQS==-4，kPR==
∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.
而kPS≠kQS，
∴PS与QS不平行，故ABD正确.
解析
7.小明研究一张坐标纸中A(-4，m)，B(1，0)，C(3，0)，D(2，n)四点的关系时，发现直线AB与CD的方向向量互相垂直，则mn=　　　.
由题意可知直线AB与CD的斜率存在，
因为直线AB与CD的方向向量互相垂直，
所以直线AB与CD的斜率之积为-1，
又A(-4，m)，B(1，0)，C(3，0)，D(2，n)，
所以·=-1，整理得mn=-5.
解析
答案
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-5
8.若l1与l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根，若l1⊥l2，则
b=　　 ；若l1∥l2，则b=　　　.
当l1⊥l2时，k1k2=-=-1，得b=2.
当l1∥l2时，k1=k2，Δ=9-4×2×(-b)=0，
得b=-.
解析
答案
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2
-
9.(1)直线l1经过点A(3，2)，B(3，-1)，直线l2经过点M(1，1)，N(2，1)，判断l1与l2是否垂直；
直线l1的斜率不存在，
直线l2的斜率为0，
所以l1⊥l2.
解
答案
1
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(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a-2，3)，直线l2经过点C(2，3)，
D(-1，a-2)，若l1⊥l2，求a的值.
答案
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由题意，知直线l2的斜率k2一定存在，
直线l1的斜率可能不存在.
当直线l1的斜率不存在时，3=a-2，
即a=5，此时k2=0，
则l1⊥l2，满足题意.
当直线l1的斜率k1存在时，a≠5，
解
答案
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由斜率公式，
得k1==k2==.
由l1⊥l2，知k1k2=-1，
即·=-1，
解得a=0.
综上所述，a的值为0或5.
解
答案
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10.已知在 ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4).
(1)求点D的坐标；
答案
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设点D坐标为(a，b)，
因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB=kCD，kAD=kBC，
所以
所以D(-1，6).
解
(2)试判定 ABCD是否为菱形？
答案
1
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因为kAC==1，kBD==-1，
所以kAC·kBD=-1，
所以AC⊥BD，所以 ABCD为菱形.
解
11.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是
A.(-3，1) B.(4，1) C.(-2，1) D.(2，-1)
√
综合运用
答案
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如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即 AOBC1， ABOC2， AOC3B.根据平行四边形的性质，可知B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标.
解析
12.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为
A.1 B.0
C.3，-1 D.-3
√
答案
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设正方形一条边所在的直线倾斜角为α，斜率为k，
则tan=2 =2，
解得tan α=故k=
根据垂直关系可得另一条边的斜率为-=-3，
所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为-3.
解析
13.已知直线l1，l2的斜率分别为==直线l1，l2互相垂直，且a，b>0，则+的最小值为　　　 　.
答案
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3+2
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由题得·=·=-1，
所以a+b=1，又a>0，b>0，
所以+=(a+b)=3++≥3+2=3+2
当且仅当=即a=2-
b=-1时等号成立.
所以+的最小值为3+2.
解析
14.如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长|AD|=5 m，宽|AB|=3 m，其中一条小路为AC，另一条小路过点D.在BC上
有一点M，使得两条小路AC与DM互相垂直，此时BM的长为　　　m.
答案
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以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，3)，D(5，3)，C(5，0)，
设M(x，0)，0由题意可知直线AC和直线DM的斜率都存在，
由于AC与DM互相垂直，
所以kAC·kDM=-1，即·=-1，
解得x=所以BM的长为 m.
解析
15.直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m-1)，B(m，2)，则m=　　　　.
答案
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4+
拓广探究
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如图，直线l1的倾斜角为30°+30°=60°，
∴直线l1的斜率
k1=tan 60°=.
由l1∥l2知，直线l2的斜率k2=k1=.
∴直线AB的斜率存在，且kAB=-=-.
∴==-解得m=4+.
解析
16.已知M(1，-1)，N(2，2)，P(3，0).
(1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；
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设Q(x，y)，由已知得kMN=3，
由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN=-1，
即×3=-1. ①
由已知得kPN=-2，
由PN∥MQ，可得kPN=kMQ，
即=-2. ②
联立①②求解得x=0，y=1，即Q(0，1).
解
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP=∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.
设Q(x，0)，
∵∠NQP=∠NPQ，∴kNQ=-kNP.
又∵kNQ=kNP=-2，
∴=2，即x=1，∴Q(1，0).
又∵M(1，-1)，∴MQ⊥x轴，
故直线MQ的倾斜角为90°.
解
答案
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第二章　 §2.1　直线的倾斜角与斜率
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