资源简介

(共68张PPT)
2.2.1
直线的点斜式方程
第二章　 §2.2　直线的方程
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1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程.
2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.(重点)
3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题.(难点)
学习目标
射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若要把子弹飞行的轨迹看作一条直线，且射击手达到了上述的两个动作要求，则托枪的手的位置相当于直线上的定点，眼睛瞄准的方向即为直线的倾斜方向.
导 语
一、求直线的点斜式方程
二、直线的斜截式方程
课时对点练
三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直
随堂演练
内容索引
求直线的点斜式方程
一
提示　根据过两点的直线的斜率公式得=k，即y-y0=k(x-x0).
给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线.怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？
问题1
我们把方程 称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程.
方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的 ，简称点斜式.
y-y0=k(x-x0)
点斜式方程
(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此种形式.
(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y=y0.特别地，x轴的方程是y=0.
(3)当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地，y轴的方程是x=0.
注 意 点
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(课本例1)　直线l经过点P0(-2，3)，且倾斜角α=45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.
例 1
直线l经过点P0(-2，3)，斜率k=tan 45°=1，代入点斜式方程得y-3=x+2.
解
画图时，只需再找出直线l上的另一点P1(x1，y1)，例如，取x1=-1，则y1=4，得点P1的坐标为(-1，4)，过P0，P1两点的直线即为所求，如图所示.
根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(-4，3)，斜率k=3；
例 1
由点斜式方程可知，
所求直线的点斜式方程为y-3=3(x+4).
解
(2)经过点B(-1，4)，倾斜角为135°.
由题意知，直线的斜率k=tan 135°=-1，
故所求直线的点斜式方程为y-4=-(x+1).
解
求直线的点斜式方程的步骤及注意点
(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y-y0=k(x-x0).
(2)点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x=x0除外.
反
思
感
悟
求满足下列条件的直线方程：
(1)经过点(2，-3)，倾斜角是直线y=x的倾斜角的2倍；
跟踪训练 1
∵直线y=x的斜率为，
∴直线y=x的倾斜角为30°.
∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为.
∴所求直线方程为y+3=(x-2)，
即x-y-2-3=0.
解
(2)经过点P(5，-2)，且与y轴平行；
与y轴平行的直线，其斜率k不存在，
不能用点斜式方程表示.
但直线上点的横坐标均为5，
故直线方程可记为x=5.
解
(3)过P(-2，3)，Q(5，-4)两点.
过P(-2，3)，Q(5，-4)两点的直线斜率
kPQ===-1.
∵直线过点P(-2，3)，
∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y-3=-(x+2)，即x+y-1=0.
解
二
直线的斜截式方程
提示　由点斜式方程得y-b=k(x-0)，
即y=kx+b.
直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程.
问题2
1.直线l与y轴的交点(0，b)的 叫做直线l在y轴上的截距.
2.把方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.
纵坐标b
(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距.
(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.
注 意 点
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已知直线l1的方程为y=-2x+3，l2的方程为y=4x-2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.
例 2
由斜截式方程知，直线l1的斜率k1=-2，
又因为l∥l1，所以kl=-2.
由题意知，l2在y轴上的截距为-2，
所以直线l在y轴上的截距b=-2.
由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2.
解
本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求直线l的方程.
延伸探究 1
∵l1⊥l，直线l1：y=-2x+3，
∴l的斜率为.
∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，
直线l2：y=4x-2，∴l在y轴上的截距为2.
∴直线l的方程为y=x+2.
解
若本例条件不变，求本例中直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
延伸探究 2
令x=0得y=-2，令y=0得x=-1.
所以所求三角形的面积为S=×|-2|×|-1|=1.
解
求直线的斜截式方程的策略
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.
(2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可.
反
思
感
悟
根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直
三
(课本例2)　已知直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，试讨论：
(1)l1∥l2的条件是什么？
例 3
若l1∥l2，则k1=k2，此时l1，l2与y轴的交点不同，
即b1≠b2；
反之，若k1=k2，且b1≠b2，
则l1∥l2.
解
(2)l1⊥l2的条件是什么？
若l1⊥l2，则k1k2=-1；
反之，若k1k2=-1，
则l1⊥l2.
解
已知直线l1：y=-x+和l2：6my=-x+4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？
例 3
当m=0时，l1：4y-5=0；l2：x-4=0，l1与l2垂直；
当m≠0时，l2的方程可化为y=-x+.
由-=-，得m=±；由≠，得m≠且m≠，
所以当m=-时，l1与l2平行；又-·=-1无解.
故当m=-时，l1与l2平行；当m=0时，l1与l2垂直.
解
若l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则l1∥l2 k1=k2且b1≠b2，l1⊥l2 k1k2=-1.
反
思
感
悟
(1)当a为何值时，直线l1：y=-x+2a与直线l2：y=(a2-2)x+2平行？
跟踪训练 2
由题意可知，=-1，=a2-2，
∵l1∥l2，∴
解得a=-1，
故当a=-1时，直线l1：y=-x+2a与直线l2：y=(a2-2)x+2平行.
解
(2)当a为何值时，直线l1：y=(2a-1)x+3与直线l2：y=4x-3垂直？
由题意可知，=2a-1，=4，
∵l1⊥l2，∴4(2a-1)=-1，解得a=.
故当a=时，直线l1：y=(2a-1)x+3与直线l2：y=4x-3垂直.
解
1.知识清单：
(1)直线的点斜式方程.
(2)直线的斜截式方程.
2.方法归纳：待定系数法、数形结合法.
3.常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为-2，则此直线的方程为
A.y=x+2 B.y=-x+2
C.y=-x-2 D.y=x-2
√
∵直线l的倾斜角为60°，∴k=tan 60°=，
∴直线l的方程为y=x-2.
解析
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2.已知直线l的方程为y+=(x-1)，则l在y轴上的截距为
A.9 B.-9 C. D.-
√
由y+=(x-1)，
得y=x-9，
∴l在y轴上的截距为-9.
解析
1
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4
3.若直线y=kx+b通过第一、三、四象限，则有
A.k>0，b>0 B.k>0，b<0
C.k<0，b>0 D.k<0，b<0
√
∵直线经过第一、三、四象限，
∴图形如图所示，
由图知，k>0，b<0.
解析
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4.已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a=　 　.
由题意可知a·(a+2)=-1，
解得a=-1.
解析
-1
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B D A A D BC y=-x+4或y=-x-4
题号 8 11 12 13 14
答案 y=x+5 BC D y=±x-6 y=x-2-1
题号 　15 答案 　y=-x+
对一对
答案
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(1)∵l1∥l2，
∴两直线的斜率相等.
∴m2-2=-1且2m≠1，
∴m=±1.
(2)∵l1⊥l2，∴2m-1=
∴m=.
10.
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当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2，
经检验符合题目的要求.
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y-2=k(x-2)，
令y=0，得x=
由三角形的面积为2，
××2=2.
10.
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解得k=.
可得直线l的方程为y-2=x-2).
综上可知，直线l的方程为x=2或y=x+1.
16.
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(1)由y=kx+2k+1，
得y-1=k(x+2).
由直线方程的点斜式可知，直线l恒过定点(-2，1).
(2)设函数f(x)=kx+2k+1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若要使当-3直线上的点都在x轴上方，
16.
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解得-≤k≤1.
所以实数k.
基础巩固
1.过点P(2，-1)，且倾斜角为90°的直线方程为
A.y=-1 B.x=2
C.y=2 D.x=-1
√
过点P(2，-1)，且倾斜角为90°的直线垂直于x轴，
其方程为x=2.
解析
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2.直线y=ax+1的倾斜角为120°，则实数a的值为
A. B.- C. D.-
√
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直线y=ax+1的倾斜角为120°，因此该直线的斜率k=a，
又k=tan 120°=-，
所以a=-.
解析
3.已知直线l过点(-3，4)且方向向量为(1，-2)，则l在x轴上的截距为
A.-1 B.1 C.-5 D.5
√
因为直线l的方向向量为(1，-2)，
所以直线l的斜率k=-2，
又直线l过点(-3，4)，
所以直线方程为y-4=-2(x+3)，
令y=0，得x=-1，
所以l在x轴上的截距为-1.
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4.过点(-1，3)且垂直于直线y=x+的直线方程为
A.y-3=-2(x+1) B.y-3=-2(x-1)
C.y-3=-(x+1) D.y-3=(x+1)
√
所求直线与已知直线垂直，
因此所求直线的斜率为-2，
故方程为y-3=-2(x+1).
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答案
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5.以A(2，-5)，B(4，-1)为端点的线段的垂直平分线的方程是
A.y-(-3)=2(x-3) B.y-3=2(x-3)
C.y-3=-(x-3) D.y-(-3)=-(x-3)
√
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由A(2，-5)，B(4，-1)，
知线段AB的中点坐标为(3，-3)，
又由斜率公式可得kAB==2，
所以线段AB的垂直平分线的斜率为k=-=-，
所以线段AB的垂直平分线的方程为y-(-3)=-(x-3).
解析
6.(多选)已知直线l：y=x-1，则
A.直线l过点(，-2)
B.直线l的斜率为
C.直线l的倾斜角为60°
D.直线l在y轴上的截距为1
√
√
答案
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对于A，将(，-2)代入y=x-1，可知不满足方程，故A不正确；
对于B，由y=x-1，知直线l的斜率为，故B正确；
对于C，设直线l的倾斜角为α，则tan α=，可得α=60°，故C正确；
对于D，由y=x-1，令x=0，可得直线l在y轴上的截距为-1，故D不正确.
解析
7.已知斜率为-的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线l的方
程为　　　 .
设l：y=-x+b，令x=0，得y=b；令y=0，得x=b.
由题意，得·|b|·=6，
∴b2=16，∴b=±4.故直线l的方程为y=-x±4.
解析
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y=-x+4或y=-x-4
8.直线l的斜率k为方程x2-2x+1=0的根，且在y轴上的截距为5，则直线l的方程为　　 　.
由题意，方程x2-2x+1=0的根为1，
所以k=1，又在y轴上的截距为5，
则直线l的方程为y=x+5.
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y=x+5
9.求满足下列条件的m的值.
(1)直线l1：y=-x+1与直线l2：y=(m2-2)x+2m平行；
∵l1∥l2，
∴两直线的斜率相等.
∴m2-2=-1且2m≠1，
∴m=±1.
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(2)直线l1：y=-2x+3与直线l2：y=(2m-1)x-5垂直.
∵l1⊥l2，∴2m-1=，
∴m=.
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10.直线l过点(2，2)，且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程.
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当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经检验符合题目的要求.
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y-2=k(x-2)，令y=0，得x=，
由三角形的面积为2，得××2=2.
解得k=.
可得直线l的方程为y-2=(x-2).
综上可知，直线l的方程为x=2或y=x+1.
解
11.(多选)同一坐标系中，直线l1：y=ax+b与l2：y=bx-a大致位置正确的是
综合运用
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√
√
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因为l1：y=ax+b，l2：y=bx-a，
对于A，由图可得直线l1的斜率a<0，在y轴上的截距b<0，
而l2的斜率b>0，矛盾，故A错误；
对于B，由图可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b<0，
而l2的斜率b<0，在y轴上的截距-a<0，即a>0，符合题意，故B正确；
对于C，由图可得直线l1的斜率a<0，在y轴上的截距b>0，
而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，符合题意，故C正确；
对于D，由图可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b>0，
而l2的斜率b<0，矛盾，故D错误.
解析
12.已知直线l：y=xsin θ+cos θ的图象如图所示，则角θ是
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
√
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结合图象易知，sin θ<0，cos θ>0，则角θ是第四象限角.
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13.在y轴上的截距为-6，且与y轴相交成60°角的直线方程为
　　　　　　.
答案
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y=±x-6
由题意知，直线与y轴相交成60°角，
则直线的倾斜角为30°或150°，
可得直线斜率为tan 30°=或tan 150°=-，
即k=±，
所以所求直线方程为y=±x-6.
解析
14.已知直线y=x-1的倾斜角为α，另一直线l的倾斜角β=2α，且过点(2，-1)，则直线l的方程为　　　　　　　.
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y=x-2-1
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因为已知直线的斜率为，
即tan α=，所以α=30°，
所以直线l的斜率k=tan β=tan 2α=tan 60°=，
又l过点(2，-1)，
所以l的方程为y-(-1)=(x-2)，
即y=x-2-1.
解析
15.数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点B(-1，0)，C(0，3)，AB=AC，则
△ABC的欧拉线的斜截式方程为　　 　　.
拓广探究
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y=-x+
答案
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因为AB=AC，所以△ABC外心，重心，垂心都位于线段BC的垂直平分线上，
设线段BC的垂直平分线的斜率为k，则k·kBC=-1，
因为kBC==3，所以k=-，
又因为BC的中点坐标为，
所以△ABC的欧拉线方程为y-=-，
化成斜截式为y=-x+.
解析
16.已知直线l：y=kx+2k+1.
(1)求证：直线l恒过一个定点；
答案
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由y=kx+2k+1，得y-1=k(x+2).
由直线方程的点斜式可知，直线l恒过定点(-2，1).
证明
(2)当-3答案
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设函数f(x)=kx+2k+1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若要使当-3直线上的点都在x轴上方，
需满足
解得-≤k≤1.所以实数k的取值范围是.
解
第二章　 §2.2　直线的方程
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